精品解析：第二学期阶段性复习检测卷 2024-2025学年湘教版数学九年级下册

2024-2025学年湘教版数学九年级第二学期阶段性复习检测卷 一、单选题(每题3分，共30分) 1. 抛物线的开口向上，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为(　　) A 8 B. 12 C. 16 D. 20 4. 如图，为的直径，、为上两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的解析式为，下列选项中，正确的是（ ） A. 函数的最小值为1 B. 函数图象的对称轴为直线 C. 函数图象的开口向下 D. 当时，随的增大而增大 6. 如图，四边形内接于，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. ，则 D. 若，则 8. 如图，矩形在外接圆与水平地面相切于点，已知圆的半径为4，且．若在没有滑动的情况下，将圆向右滚动，使得点向右移动了，则此时与地面相切的弧为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（   ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（，a，b，c是常数）开口向上，过，两点（其中），下列四个结论：①；②若，则；③对于任意实数t，总有；④关于x一元二次方程（）必有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ③④ D. ①③④ 二、填空题(每题3分，共24分) 11. 如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则______度． 12. 若抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个公共点，则a的值为____________． 13. 直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于________． 14. 将抛物线沿y轴向上平移_______个单位长度后经过点． 15. 若二次函数y＝2x2﹣5的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a_____b（填“＜”或“＝”或“＞”）． 16. 已知点和点N都在抛物线上，如果轴，则线段的长度为________． 17. 如图，中，，点O是边上一点，以点O为圆心，为半径作与边相切于点A，若，则弦的长为________． 18. 如图，已知与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心，所对的圆心角都是、A、C、O在同一直线上，公路宽米，则弯道外侧边线比内侧边线多______米（结果保留）． 三、解答题(共66分) 19. 如图，抛物线的顶点坐标为，对称轴与x轴交于点E，与x轴交于点A，B两点，请回答下列问题． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在y轴上，且，求线段的长． 20. 如图，直径AB为20cm，弦，的平分线交于D，求BC，AD，BD的长． 21. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，，点D为的中点． （1）求的半径； （2）求的度数． 22. 如图，正五边形的边长为6，以点B为圆心，线段为半径画圆． （1）求的度数； （2）求的长度． 23. 某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少. 24. 如图，是的直径，P为的中点，连接并延长至点B，使，连接． （1）求证为切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 25. 已知拋物线经过和点． （1）求抛物线的表达式； （2）若的半径为1，圆心P在抛物线上运动，在运动过程中，是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若的半径为r，圆心Q在抛物线上，当与两坐标轴都相切时，求半径． 26. 【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年湘教版数学九年级第二学期阶段性复习检测卷 一、单选题(每题3分，共30分) 1. 抛物线的开口向上，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线开口向上可得，进而求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系． 2. 下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解．熟练掌握其定义：“一般地，形如（，其中、、为常数）的函数是二次函数”是解题的关键． 【详解】解：A、，则不是二次函数，故不符合题意； B、是二次函数，故符合题意； C、根据二次函数的定义：不是二次函数，故不符合题意； D、当时，原函数为：，则不是二次函数，故不符合题意， 故选B． 3. 如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为(　　) A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理，得，且，解答即可． 本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 【详解】解：根据垂径定理，得， 根据勾股定理，得， 故． 故选：C． 4. 如图，为的直径，、为上两点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，进而得到，再由圆周角定理即可得到的度数，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5. 已知二次函数的解析式为，下列选项中，正确的是（ ） A. 函数的最小值为1 B. 函数图象的对称轴为直线 C. 函数图象的开口向下 D. 当时，随的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据二次函数的顶点式，即可判定开口方向、对称轴及最小值，再根据二次函数的性质，即可一一判定． 【详解】解：， 函数图象的开口向上，故C错误； 二次函数的解析式为， 该函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，函数的最小值为1， 当时，随的增大而减小， 故A正确，其它选项错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和运用二次函数图象和性质是解决本题的关键． 6. 如图，四边形内接于，连接，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质，多边形内角和，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理和圆周角定理解答即可． 【详解】解：，，， ， ， ， ， 故选：A． 7. 已知二次函数的图象如图所示，，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. ，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的图像与系数关系，解答该题的关键是掌握二次函数图像和性质的相关知识点，根据二次函数的系数与图像的关系解答即可． 【详解】解：A、根据函数图像可得当时，，故A错误； B、根据对称轴为直线可得：故，故B正确； C、根据函数图像可得当，则，故C错误； D、根据函数的对称性得：，则，故D错误； 故选：B． 8. 如图，矩形在外接圆与水平地面相切于点，已知圆的半径为4，且．若在没有滑动的情况下，将圆向右滚动，使得点向右移动了，则此时与地面相切的弧为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的周长公式求出圆的周长以及圆转动的周数，根据题意分别求出和的长，比较即可得到答案． 【详解】解：∵圆O半径为4， ∴圆的周长为：， ∵将圆O向右滚动，使得O点向右移动了， ∴， 即圆滚动6周后，又向右滚动了， ∵矩形的外接圆O与水平地面相切于A点，， ∴，， ∴此时与地面相切的弧为， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及圆的周长公式等知识，得出O点转动的周数是解题关键． 9. 如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得正六边形的内角和，从而可知阴影部分的面积等于两个半径为x的圆面积，从而得到y与x的函数关系式． 【详解】解：∵正六边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°， ∴y==2πx2（0＜x≤5）． 当x=5时，y=2π×25=50π． 故选A． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意列出y与x之间的函数关系式是解题的关键． 10. 已知抛物线（，a，b，c是常数）开口向上，过，两点（其中），下列四个结论：①；②若，则；③对于任意实数t，总有；④关于x的一元二次方程（）必有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线对称性求得对称轴为直线，从而可得，再根据二次函数的性质与图象即可判断；把抛物线表达式转化成，求得、，可得，即可判断；利用作差法可得，即可判断；根据二次函数与二元一次方程组的关系进行判断即可． 【详解】解：∵对称轴为， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴， ∴，故①正确； 若，则， ∴抛物线与x轴交于点、， ∴，解得，故②错误； ∵， ∵，， ∴，即，故③正确； ∵抛物线开口向上，且与x轴有两个交点， ∴抛物线与直线有两个交点， ∴关于x的一元二次方程（）必有两个不相等的实数根，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x的交点问题、二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质、函数与方程的关系是解题的关键． 二、填空题(每题3分，共24分) 11. 如图，是的直径，位于两侧的点C，D均在上，，则______度． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，补角求出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，位于两侧的点C，D均在上，， ∴， ∴； 故答案为：75． 12. 若抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个公共点，则a的值为____________． 【答案】0 【解析】 【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点与根的判别式有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式大于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个交点．根据抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出a的值． 【详解】∵抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个公共点， ∴， ∴． 故答案为：0 13. 直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，根据勾股定理求得斜边的长，再根据直角三角形的斜边等于其外接圆的直径可得这个三角形的外接圆的半径． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8， ∴直角三角形的斜边， 所以这个三角形的外接圆的半径， 故答案为：5． 14. 将抛物线沿y轴向上平移_______个单位长度后经过点． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象平移上加下减是解题的关键． 设向上平移个单位，则平移后的解析式为，将代入，计算求解即可． 【详解】解：， 设向上平移个单位，则平移后的解析式为， 将代入得，， 解得，， 故答案为：2． 15. 若二次函数y＝2x2﹣5的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a_____b（填“＜”或“＝”或“＞”）． 【答案】＜． 【解析】 【分析】先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出与的大小关系. 【详解】的对称轴为，开口方向向上，顶点坐标为（0，-5）． ∵对于开口向上的函数，点距离对称轴越近，函数值越小，2比3距离对称轴更近， ∴ 故填：<. 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键. 16. 已知点和点N都在抛物线上，如果轴，则线段的长度为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程的知识，根据轴，得出，是解答本题的关键． 首先求出抛物线解析式为，根据轴，可得，令，求出，进而求解即可． 【详解】将代入抛物线中，可得：， 解得：， 即抛物线解析式为：， ∵轴，， ∴， 当时，， 解得：或， 即， ∴的长度为． 故答案为：4． 17. 如图，中，，点O是边上一点，以点O为圆心，为半径作与边相切于点A，若，则弦的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据等边对等角得到，，根据切线的性质得到，从而求出，得到，根据，求出半径，得到，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、含角的直角三角形的性质，勾股定理，等边对等角等知识，遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线． 18. 如图，已知与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心，所对的圆心角都是、A、C、O在同一直线上，公路宽米，则弯道外侧边线比内侧边线多______米（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】先求出与的长，再用的长减去的长． 【详解】设，则， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长的计算公式，解题的关键是掌握弧长的计算公式． 三、解答题(共66分) 19. 如图，抛物线的顶点坐标为，对称轴与x轴交于点E，与x轴交于点A，B两点，请回答下列问题． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在y轴上，且，求线段的长． 【答案】（1） （2）1或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和勾股定理的应用，求得顶点坐标是本题的关键． （1）用待定数法求二次函数的解析式即可． （2）先求出A，B两点之间的坐标，即可求出，根据求出点P的坐标，再根据两点之间的距离求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为 ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 令，则， 解得， ∴，， ∴， ∴． ①当时， ②当时， 综上：的长为1或． 20. 如图，的直径AB为20cm，弦，的平分线交于D，求BC，AD，BD的长． 【答案】BC=16cm，AD=BD=10cm． 【解析】 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴BC= =16（cm）； ∵CD是∠ACB的平分线， ∴， ∴AD=BD， ∴AD=BD= ×AB=10（cm）． 21. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，，点D为的中点． （1）求的半径； （2）求的度数． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据圆周角定理得到，然后根据含角直角三角形的性质求出直径，进而求解即可； （2）首先求出，然后根据圆内接四边形的性质得到，然后根据点D为的中点得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 四边形是的内接四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，弧、弦、角关系，等边对等角和三角形内角和定理等知识，根据题意找出相关的角度关系是解题关键． 22. 如图，正五边形的边长为6，以点B为圆心，线段为半径画圆． （1）求的度数； （2）求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆、扇形的弧长，解题的关键是确定正五边形的内角的度数， （1）首先求出，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可； （2）根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 ∵五边形是正五边形， ∴ ∵ ∴； 【小问2详解】 ∵正五边形的边长为6， ∴． 23. 某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少. 【答案】（1）w＝﹣x2+90x﹣1800；（2）当x＝45时，w有最大值，最大值是225；（3）该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 【解析】 【分析】（1）每天的销售利润=每天的销售量×每件产品的利润； （2）根据配方法，可得答案； （3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】（1）w＝（x﹣30）•y ＝（﹣x+60）（x﹣30） ＝﹣x2+30x+60x﹣1800 ＝﹣x2+90x﹣1800， w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800； （2）根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225， ∵﹣1＜0， 当x＝45时，w有最大值，最大值是225． （3）当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200， 解得x1＝40，x2＝50， ∵50＞42，x2＝50不符合题意，舍， 答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元销售利润，销售单价应定为40元． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用. 24. 如图，是的直径，P为的中点，连接并延长至点B，使，连接． （1）求证为的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据是的直径，可得，再根据P为的中点，得出，再推出，从而得证； （2）利用求得阴影部分的面积． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∵P为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴，, ∵P为的中点， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质以及扇形面积公式的应用，正确掌握切线的判定是解题的关键． 25. 已知拋物线经过和点． （1）求抛物线的表达式； （2）若的半径为1，圆心P在抛物线上运动，在运动过程中，是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若的半径为r，圆心Q在抛物线上，当与两坐标轴都相切时，求半径． 【答案】（1） （2）圆心的坐标， （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）分类讨论：①与轴相切，根据切线的性质，可得关于的方程，②与轴相切，根据自变量与函数值的关系，可得答案； （3）根据切线的性质，圆心在坐标轴的平分线上，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【小问1详解】 由题意，得； 解得； 抛物线解式为； 【小问2详解】 ①由与轴相切，得 ． 当时，，方程无解； 当时，，解得， 与轴相切，圆心的坐标； ②由与轴相切，得 ， 当时，，即圆心的坐标 当时，，圆心的坐标， 与轴相切，圆心的坐标，； 【小问3详解】 设圆心， 由与两坐轴都相切，得 ，． 解得， 与两坐标轴都相切时，的半径为为． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用相切得出横坐标于纵坐标相等或互为相反数得出关于的方程是解题关键． 26. 【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形面积． 【答案】（1）①见解析；②；（2），证明见解析；（3），证明见解析；（4）； 【解析】 【分析】（1）①利用垂直平分线定义即可作出正方形；②利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到结论； （2）根据题意过点C作交于E，利用圆周角定理得到，再判定，证明出和是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形三边关系即可； （3）根据题意过点B，作，在上截取，连接，再证明，再利用含的直角三角形三边关系即可得到本题答案； （4）根据题意以为边，作正方形，连接，设，则，，再分别在和和中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：（1）①如图所示，作直径的垂直平分线交于点A，C，则四边形是正方形； ②如图所示， ， 故答案为：． （2），证明如下： 如图，过点C作交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（ASA）， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 如图所示，过点C作交于F， 同理可得是等腰直角三角形，， ∴，； （3）， 如图，过点B，作，在上截取，连接， ∵，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （4）如图，以为边，作正方形，连接，， 根据（1）可得P在上，则， ∴， 设，则，， 在中，， 在中，， 在 中，， ∴， 解得 （负值舍去）， ∴， ∴矩形的面积为． 【点睛】本题考查角平分线定义及画法，圆周角定理，全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质，勾股定理，含的直角三角形三边关系．掌握圆周角定理是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$