中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册第3章 圆锥曲线 3.2.2双曲线的几何性质

3.2.2双曲线的几何性质 授课题目 3.2.2双曲线的几何性质 选用教材 高等教育出版社《数学》 （拓展模块一上册） 授课时长 1课时 授课类型 新授课 课程目标与核心素养 课程目标：1.能根据双曲线的标准方程描述双曲线的性质；2.能根据双曲线的性质条件求出双曲线的标准方程，并能运用性质解决相关问题． 核心素养：1.引导学生抽象出双曲线的几何特征，发展数学抽象素养；2.能利用双曲线的几何性质求出双曲线的标准方程，进一步感悟坐标法，发展直观想象素养；3.能将实际问题抽象成双曲线问题，进而利用双曲线知识解决实际问题，发展数学运算素养、数学建模素养． 教材分析 从知识上讲，在学习双曲线标准方程的基础上，也是进一步研究双曲线几何性质；从方法上讲，它为后面研究抛物线提供了基本模式和理论基础.因此本节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一. 学情分析 本节授课对象为计算机专业学生.学生已经学过双曲线及标准方程，对其步骤和方法已有一定的基础；但由于学生抽象双曲线的几何特征会出现困惑，进而分析、抽象动点的轨迹特征会比较困难；利用性质条件求双曲线标准方程的过程，可能会造成学生运算困难.. 教学策略 教师引导学生观察双曲线几何特征. 教学重点 双曲线的几何特征. 教学难点 双曲线几何特征的准确刻画，利用双曲线的几何性质解决问题. 教学环节 教师活动 设计意图 导入新课 （3分钟） 1 直观感知 为什么冷却塔的塔身大多是双曲线的形状？ 2 回顾旧知 问题1：双曲线的概念是什么？标准方程是什么？ 引入图片情境激发学生的学习欲望.使学生从实际生活中认识双曲线. 用类比的思想，通过已经学过的椭圆的知识猜想双曲线，开展后续教学. 讲授新课 （17分钟） 讲授新课（17分钟） 1 引入新课 前面,我们借助于椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质.那么,如何借助与双曲线的标准方程来研究双曲线的几何性质呢？ 下面以为例,探究双曲线的几何性质. 2 探索新知 （1）范围 从双曲线的标准方程可知，，因此，，从而得到，从而得到 这说明,双曲线的两支分别位于直线x=-a的左侧与直线x=a的右侧,如图所示. （2）对称性 类似于前面关于椭圆对称性的研究,借助于方程 . 可以发现,双曲线关于x轴、y轴和坐标原点都是对称的. x轴与y轴都称为双曲线的对称轴,坐标原点称为双曲线的对称中心(简称中心). （3）顶点 令y=0,得到x=±a.因此,双曲线与x轴有两个交点 A1(-a,0) 和A2(a,0)(如图).双曲线与它的对称轴的两个交点A1 、A2称为双曲线的顶点,线段A1A2称为双曲线的实轴,它的长等于2a,a是双曲线的实半轴长. 令x=0,得到y²=-b²,这个方程没有实数解. 因此,双曲线与y 轴没有交点. 我们仍将点B1(0,-b)与B2(0,b)画在y轴上,如图所示.线段B1B2称为双曲线的虚轴,它的长等于2b,b是双曲线的虚半轴长. 显然,双曲线的焦点、顶点与实轴都在同一个坐标轴上． （4）渐近线 经过点A1、A2分别作y 轴的平行线x=-a,x=a,经过点B1、B2分别作x轴的平行线y=-b,y=b.这四条直线围成一个矩形,如图所示. 矩形的两条对角线所在直线的方程为. 观察图可以看出,双曲线的两支向外延伸时，分别与这两条直线逐渐接近但又永不相交,我们把这两条直线 称为双曲线的渐近线. 借助双曲线的标准方程,可以更严格地描述渐进线的性质.将双曲线的标准方程变为. 可以看到,当|x|无限增大时,y的值无限接近于的值.这说明,当|x|无限增大时,双曲线与直线 无限接近(但不能相交). （5）离心率 双曲线的焦距与实轴长的比称为双曲线的离心率,记作e. 即. 因为c>a>0,所以e>1. 于是有，容易看出,e越大， 的值越大，从而渐近线斜率的的绝对值越大，双曲线的张口越大，因此，离心率e反映了双曲线张口的大小. 3 归纳概括 通过填写的表格，归纳总结双曲线标准方程的特点： (1)双曲线标准方程形式：左边是两个分式平方差，右边是1； (2)的关系：； (3)范围、顶点、轴长、焦点、焦距、对称性、离心率、渐近线方程等. 给学生提供一个动手操作、合作学习的机会，在动手操作的过程中激发学生的学习热情与求知欲. 通过观察双曲线的几何特征：轴对称，合理建立直角坐标系，从而为后面求双曲线的标准方程做铺垫. 让学生尝试化简求出焦点在轴上的双曲线标准方程，分析得出焦点在轴上的双曲线标准方程，并进行对比、概括、记忆. 将两种类型的双曲线方程加以比较，可以加深学生对双曲线相关知识的理解和深化，为后面进一步研究双曲线奠定基础. 巩固提升 （15分钟） 1 例题讲解 例1 求双曲线4y²-16x²=64的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和顶点的坐标以及渐近线方程. 解：将原方程化为标准方程，得，所以双曲线的焦点在y轴上,并且，因此实长轴，虚轴长，离心率，所以焦点坐标 ，顶点坐标为渐近线方程为. 例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程. （1） 一个焦点的坐标为(10,0),一条渐近线的方程为3x-4y=0； （2） 焦距为12,离心率为. 解：（1）由题设可知，双曲线的焦点在x轴上,渐近线的方程为，于是有，所以. 因此，所求的双曲线的标准方程为. （3）由已知条件可知2c=12,因此，c=6，又， 所以，， 于是，双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为 ，双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为. 2课堂练习 1. 求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标,离心率与渐近线方程. （1）x²-9y²=81；（2） 9x²-4y²=-36. 利用例题讲解加强学生对双曲线概念和标准方程、几何性质的理解和巩固。 课堂练习，加深、、关系式的应用，让学生学会“先定位，再定量”，初步根据定义及求双曲线的方程. 同时，当焦点坐标不明确时，要分类讨论. 课堂小结 （3分钟） 1.双曲线的概念； 2.双曲线的标准方程. 知识点概括. 布置作业 （2分钟） 1.必做：教材习题A组； 2.预习：抛物线的标准方程； 3.阅读：教材扩展延伸内容. 巩固本节课内容的同时，布置下节课的预习任务，同时通过阅读拓展视野. 板书设计 1、 双曲线几何性质 三、课堂训练 2、 例题讲解 四、课堂小结 课后反思 学科网（北京）股份有限公司 $$