精品解析：2024--2025学年人教版九年级数学上册 期中测试卷

期中综合测试卷 时间：120分钟满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 新型冠状病毒肺炎简称“新冠肺炎”，是指新型冠状病毒感染导致的肺炎，预防新型冠状病毒感染的措施是尽量不去人员密集场所，勤洗手，戴口罩，保持室内通风．下列“抗击疫情”的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C D. 2. 是关于x一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，等腰梯形中，∥，，交于点，点、分别为、的中点，则下列关于点成中心对称的一组三角形是（ ） A. B. C. D. 4. 若则代数式的值为（ ） A. 或3 B. 1或 C. D. 3 5. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向左平移8个单位 D. 向右平移8个单位 7. 在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ） A. m=,n= B. m=5，n= -6 C. m= -1，n=6 D. m=1，n= -2 8. 小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的的值小，则原方程的根的情况（　　） A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个根是 D. 有两个相等的实数根 9. 从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度(单位：与小球运动时间(单位：之间的函数关系式为，若后抛出的小球经过比先抛出的小球高，则抛出两个小球的间隔时间是（ ）s A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 10. 抛物线对称轴是直线，且过点顶点位于第二象限，其部分图象如图所示给出以下判断：①，且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则．其中正确的个数有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 二次函数的最大值是__________． 12. 已知是方程的两个实数根，则的值为__________． 13. 如图，在△ABC中，AC=BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，若AB=2，∠ACB=30°，则线段CD的长度为______． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于_______． 15. 如图，抛物线过点，，且顶点在第一象限，设，则M的取值范围是___． 16. 某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是_______． 17. 已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于，则代数式的最小值是_________. 18. 如图，正方形的边长为4，点E是的中点，平分交于点F，将绕点A顺时针旋转得，则的长为_____． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度，在第二象限内有横、纵坐标均为整数的A，B两点，点，点A的横坐标为，且． （1）在平面直角坐标系中标出点A，并连接，，． （2）画出关于点O成中心对称的图形． 20. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 21. 如图，已知正方形的边长为，点是对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至的位置，连接、． （1）求证：； （2）当点在什么位置时，的面积最大？并说明理由． 22. 如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． （1）、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； （2）、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离是10cm． 23. 阅读下面的材料： 上课时，李老师提出这样一个问题：对于任意实数，关于的不等式恒成立，求的取值范围． 小捷的思路是原不等式等价于，设函数，画出两个函数的图象（函数y₁的图象如图所示），于是原问题转化为求函数的图象在函数的图象上时，的取值范围． 请结合小捷的思路，解决问题： （1）对于任意实数，关于的不等式恒成立，则的取值范围是． （2）关于方程在范围内有两个不同的根，求的取值范围． 24. 已知是一张直角三角形纸片，其中，，小亮将它绕点逆时针旋转β后得到，交直线于点． （1）如图1，当时，所在直线与线段有怎样的位置关系?请说明理由． （2）如图2，当时，求为等腰三角形时的度数． 25. 公司年使用自主研发生产的“”系列甲、乙、丙三类芯片共万块，生产了万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多万块．这些“”芯片解决了该公司年生产的全部手机所需芯片的． （1）求年甲类芯片的产量； （2）公司计划年生产的手机全部使用自主研发的“”系列芯片．从年起逐年扩大“”芯片的产量，年、年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比小，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.年到年，丙类芯片三年的总产量达到亿块．这样，年的公司的手机产量比年全年的手机产量多，求丙类芯片年的产量及的值． 26. 综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（-2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点． （1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标； （2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N是抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中综合测试卷 时间：120分钟满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 新型冠状病毒肺炎简称“新冠肺炎”，是指新型冠状病毒感染导致的肺炎，预防新型冠状病毒感染的措施是尽量不去人员密集场所，勤洗手，戴口罩，保持室内通风．下列“抗击疫情”的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 2. 是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程即可求解． 【详解】解：由题意得： ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查方程的解的定义．掌握相关定义即可． 3. 如图，等腰梯形中，∥，，交于点，点、分别为、的中点，则下列关于点成中心对称的一组三角形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵点E、F分别为AO、BO的中点，∴AB=2EF，EF∥AB，∵AB∥CD， ∴CD∥EF，∴∠CDO=∠OFE，∠DCO=∠FEO，∵AB=2CD，AB=2EF，∴EF=CD， ∴△CDO≌△EFO，即关于点O成中心对称的一组三角形是△CDO与△EFO．故选C． 4. 若则代数式的值为（ ） A. 或3 B. 1或 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，设，把原方程转化为，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】设， 原方程变形为：， 或 解得或， ∵， ∴． 故选：D． 5. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，作轴于．解直角三角形求出，即可． 【详解】解：如图，作轴于． 由题意：，， ， ，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形变化——旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 6. 在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向左平移8个单位 D. 向右平移8个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律． 【详解】y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）． y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）． 所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5）， 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 7. 在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ） A. m=,n= B. m=5，n= -6 C. m= -1，n=6 D. m=1，n= -2 【答案】D 【解析】 【分析】由两抛物线关于y轴对称，可知两抛物线的对称轴也关于y轴对称，与y轴交于同一点，由此可得二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，由此可得关于m、n的方程组，解方程组即可得. 【详解】关于y轴对称，二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数， ∴， 解之得， 故选D. 【点睛】本题考查了关于y轴对称的抛物线的解析式间的关系，弄清系数间的关系是解题的关键. 8. 小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的的值小，则原方程的根的情况（　　） A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个根是 D. 有两个相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】直接把已知数据代入进而得出 的值，再解方程求出答案． 【详解】解：∵小刚在解关于的方程时，只抄对了，解出其中一个根是， ∴， 解得：， 故原方程中， ∴原方程为， 则， 则原方程的根的情况是不存在实数根， 故选：A． 【点睛】此题考查了根的判别式和一元二次方程的解，正确得出的值是解题关键． 9. 从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度(单位：与小球运动时间(单位：之间的函数关系式为，若后抛出的小球经过比先抛出的小球高，则抛出两个小球的间隔时间是（ ）s A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】把t=2.5代入，求得，当时，解方程即可得出结论. 【详解】解：把t=2.5代入，得， 当时，即， 解得 t=4或t=-2（不合题意，舍去） ∴抛出两个小球间隔的时间是4-2.5=1.5. 故选B. 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键. 10. 抛物线的对称轴是直线，且过点顶点位于第二象限，其部分图象如图所示给出以下判断：①，且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则．其中正确的个数有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据二次函数的图象和性质一一判断即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴，经过点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴且，故①错误， ∵抛物线对称轴，经过， ∴和关于对称轴对称， ∴时，， ∴，故②正确， ∵抛物线与x轴交于， ∴时，， ∴， ∵， ∴，即，故③错误， ∵，， ∴，故④正确， ∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为， ∴方程的两个根分别为， ∴， ， ∴，故⑤错误，正确的个数为2个． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 二次函数的最大值是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】二次函数的顶点式在x=h时有最值，a>0时有最小值，a<0时有最大值，题中函数 ，故其在时有最大值. 【详解】解：∵， ∴有最大值， 当时，有最大值8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确定方法是解题的关键. 12. 已知是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】由一元二次方程的解的定义并结合根与系数的关系，可得出，，将其代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，即，， ∴． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 13. 如图，在△ABC中，AC=BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，若AB=2，∠ACB=30°，则线段CD的长度为______． 【答案】2 【解析】 【分析】连接CE，如图，利用旋转的性质得到AD=AB=2，AE=AC，∠CAE=60°，∠AED=∠ACB=30°，则可判断△ACE为等边三角形，从而得到∠AEC=60°，再判断DE平分∠AEC，根据等腰三角形的性质得到DE垂直平分AC，于是根据线段垂直平分线的性质得DC=DA=2． 【详解】解：连接CE，如图， ∵△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE， ∴AD=AB=2，AE=AC，∠CAE=60°，∠AED=∠ACB=30°， ∴△ACE为等边三角形， ∴∠AEC=60°， ∴DE平分∠AEC， ∴DE垂直平分AC， ∴DC=DA=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于_______． 【答案】2. 【解析】 【分析】根据“关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案． 【详解】解：根据题意得： △＝4﹣4a（2﹣c）＝0， 整理得：4ac﹣8a＝﹣4， 4a（c﹣2）＝﹣4， ∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程， ∴a≠0， 等式两边同时除以4a得：， 则， 故答案为2． 【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键． 15. 如图，抛物线过点，，且顶点在第一象限，设，则M的取值范围是___． 【答案】. 【解析】 【分析】将（-1，0）与（0，2）代入y=ax2+bx+c，可知b=a+2，利用对称轴可知：a＞-2，从而可知M的取值范围． 【详解】将与代入， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为. 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型． 16. 某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据利润＝售价﹣成本价结合半年以后的销售利润为元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每个季度平均降低成本的百分率为x， 依题意，得：． 故答案为． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17. 已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于，则代数式的最小值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥，把x=代入代数式即可求得． 【详解】∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点， ∴，顶点为（-2,1） ∴由题意可知a>0, ∵线段AB的长不大于4， ∴4a+1≥3 ∴a≥ ∴a2+a+1的最小值为：（）2++1=； 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键． 18. 如图，正方形的边长为4，点E是的中点，平分交于点F，将绕点A顺时针旋转得，则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质∶对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了正方形的性质和勾股定理． 利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，，，于是可判断点在的延长线上，接着证明平分，得到，然后计算就可得到的长． 【详解】解：正方形的边长为4，点是的中点， ， ， 将绕点顺时针旋转得， ，，，，，而， 点在的延长线上， 平分交于点， ， ，即， ， , ， ， ， ， 故答案为： ． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度，在第二象限内有横、纵坐标均为整数的A，B两点，点，点A的横坐标为，且． （1）在平面直角坐标系中标出点A，并连接，，． （2）画出关于点O成中心对称的图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查中心对称图形的画法，勾股定理，掌握中心对称的特点即可正确画出图形． （1）根据勾股定理求得点A的纵坐标，即可在坐标系中描出点A，并连接，，； （2）将、分别延长相等的长度，连接后即可得到中心对称的图形． 【小问1详解】 ∵点的横坐标为，， ∴点A的纵坐标为， ∴点坐标， 如图所示，，，即为所求． 【小问2详解】 如图所示，即为所求； ． 20. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【答案】（1）；（2）的值为． 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足． 【详解】解：（1）根据题意得， 解得； （2）的最大整数为2， 方程变形为，解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， 而， ∴的值为． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 21. 如图，已知正方形的边长为，点是对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至的位置，连接、． （1）求证：； （2）当点在什么位置时，的面积最大？并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）在中点时，的面积最大，见解析 【解析】 【分析】（1）由题意推出，结合正方形的性质利用SAS证明； （2）设AE=x，表示出AF，根据∠EAF=90°，得出关于面积的二次函数，利用二次函数的最值求解. 【详解】解：（1）∵绕点顺时针旋转至的位置， ∴，， ∵在正方形中 ， ∴，， ∴， 即， ∴； （2）由（1）知， ∴，， ∴， 设， ∵正方形的边长为， 故， ∴， ∴， ∴当即在中点时，的面积最大． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、旋转的性质和二次函数的性质，准确利用题中的条件进行判定和证明，将待求的量转化为二次函数最值. 22. 如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． （1）、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； （2）、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离是10cm． 【答案】（1）5秒 （2）1.6秒或4.8秒 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题，涉及解一元一次方程和勾股定理，代数式的表示， （1）设P、Q两点从出发开始到x秒满足条件，则，，根据梯形的面积公式求解即可； （2）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作，垂足为E，则，有，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为， 则，， 根据梯形的面积公式得， 解之得， 答： P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； 【小问2详解】 解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作，垂足为E，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得． 答：从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是． 23. 阅读下面的材料： 上课时，李老师提出这样一个问题：对于任意实数，关于的不等式恒成立，求的取值范围． 小捷思路是原不等式等价于，设函数，画出两个函数的图象（函数y₁的图象如图所示），于是原问题转化为求函数的图象在函数的图象上时，的取值范围． 请结合小捷的思路，解决问题： （1）对于任意实数，关于的不等式恒成立，则的取值范围是． （2）关于的方程在范围内有两个不同的根，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数与不等式组，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键． （1）请结合小捷的思路回答：直接根据函数的顶点坐标可得出的取值范围； （2）设，，记函数在内的图象为，于是原问题转化为与有两个交点时的取值范围，结合图象可得出结论 【小问1详解】 解：请结合小捷的思路回答：由函数图象可知，时，关于的不等式恒成立． 故答案为：． 【小问2详解】 解决问题：将原方程转化为， 设，，记函数在内的图象为， 于是原问题转化为与有两个交点时的取值范围， 结合图象可知，的取值范围是：． 24. 已知是一张直角三角形纸片，其中，，小亮将它绕点逆时针旋转β后得到，交直线于点． （1）如图1，当时，所在直线与线段有怎样的位置关系?请说明理由． （2）如图2，当时，求为等腰三角形时的度数． 【答案】（1）互相垂直，见解析 （2）或或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，应用分类讨论思想和等腰三角形的性质是解决问题的关键； （1）由旋转的性质可判断直线与线段垂直； （2）根据旋转的性质得，分类讨论：当时，根据等腰三角形的性质得，即；当时，根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和可计算出，即；当时，根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和可计算出，即． 【小问1详解】 解：与互相垂直，理由如下： ，， ， ， 由旋转的特质，得， ， ， 与互相垂直． 【小问2详解】 解：根据旋转的性质得， 当时，，即； 当时，， ， ， 即； 当时，， ， 即． 综上所述，的度数为或或． 25. 公司年使用自主研发生产的“”系列甲、乙、丙三类芯片共万块，生产了万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多万块．这些“”芯片解决了该公司年生产的全部手机所需芯片的． （1）求年甲类芯片的产量； （2）公司计划年生产的手机全部使用自主研发的“”系列芯片．从年起逐年扩大“”芯片的产量，年、年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比小，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.年到年，丙类芯片三年的总产量达到亿块．这样，年的公司的手机产量比年全年的手机产量多，求丙类芯片年的产量及的值． 【答案】（1）万块；（2）丙类芯片年的产量为万块，． 【解析】 【分析】（1）设年甲类芯片的产量为万块，由题意列出方程，解方程即可； （2）2018年万块丙类芯片的产量为万块，设丙类芯片的产量每年增加的熟练为万块，则，解得：，得出丙类芯片年的产量为万块，年公司手机产量为万部，由题意得出，设，化简得：，解得：，或（舍去），即可得出答案． 【详解】（1）设年甲类芯片的产量为万块， 由题意得：， 解得：； 答：年甲类芯片的产量为万块； （2）年万块丙类芯片的产量为万块， 设丙类芯片的产量每年增加的数量为万块， 则， 解得：， 丙类芯片年的产量为万块， 年公司手机产量为万部， ， 设， 化简得：， 解得：，或（舍去）， ， ， ； 答：丙类芯片年的产量为万块，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及一元二次方程和一元一次方程的解法；弄清数量关系列出方程是解题的关键． 26. 综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（-2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点． （1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标； （2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N是抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）W=x2-x．顶点D的坐标为（2，-1）．（2）当m=时，S有最大值为．（3）存在这样的点M和点N，点M的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出顶点D的坐标； （2）由平移性质，可知重叠部分为一平行四边形．如答图2，作辅助线，利用相似比例式求出平行四边形的边长和高，从而求得其面积的表达式；然后利用二次函数的性质求出最值； （3）本问涉及两个动点，解题关键是利用平行四边形的判定与性质，区分点N在x轴上方、下方两种情况，分类讨论，避免漏解．设M（t，0），利用全等三角形求出点N的坐标，代入抛物线W′的解析式求出t的值，从而求得点M的坐标． 【详解】解：（1）设抛物线W解析式为W=ax2+bx+c， ∵抛物线W经过O（0，0）、A（4，0）、C（-2，3）三点， ∴，解得： ∴抛物线W解析式为W=x2-x． ∵W=x2-x=（x-2）2-1， ∴顶点D的坐标为（2，-1）． （2）由▱OABC得，CB∥OA，CB=OA=4． 又∵C点坐标为（-2，3）， ∴B点的坐标为（2，3）． 如答图2，过点B作BE⊥x轴于点E，由平移可知，点C′在BE上，且BC′=m． ∴BE=3，OE=2，∴EA=OA-OE=2． ∵C′B′∥x轴， ∴△BC′G∽△BEA， ∴，即， ∴C′G=m． 由平移知，▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分四边形C′HAG是平行四边形． ∴S=C′G•C′E=m（3-m）=-（m-）2+， ∴当m=时，S有最大值为． （3）答：存在． 在（2）的条件下，抛物线W向右平移4个单位，再向下平移个单位，得到抛物线W′， ∵D（2，-1），∴F（6，-）； ∴抛物线W′的解析式为：y=（x-6）2-． 设M（t，0）， 以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ①若点N在x轴下方，如答图3所示： 过点D作DP∥y轴，过点F作FP⊥DP于点P， ∵D（2，-1），F（6，-），∴DP=，FP=4； 过点N作NQ⊥x轴于点Q， 由四边形FDMN为平行四边形，易证△DFP≌△NMQ， ∴MQ=FP=4，NQ=DP=， ∴N（4+t，-）， 将点N坐标代入抛物线W′的解析式y=（x-6）2-，得：（t-2）2-=-， 解得：t=0或t=4， ∴点M坐标为（0，0）或（4，0）； ②若点N在x轴上方， 与①同理，得N（t-4，） 将点N坐标代入抛物线W′的解析式y=（x-6）2-，得：（t-10）2-=， 解得：t=6或t=14， ∴点M的坐标为（6，0）或（14，0）． 综上所述，存在这样的点M和点N，点M的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）． 考点：二次函数综合题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$