1.4 解直角三角形 课件 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第一章　直角三角形的 边角关系 4　解直角三角形 北师大版-数学-九年级下册 学习目标 1.熟练掌握直角三角形除直角外五个元素之间的关系； 2.学会根据题目要求正确地选用这些关系式解直角三角形. 【重点】正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形. 【难点】选择适当的关系式解直角三角形. 新课导入 生活中,我们常常遇到与直角三角形有关的问题. 新课导入 两锐角的关系: 三边的关系:. 边与角的关系: 直角三角形的边角关系 c2 90° a2+b2= ∠A+∠B= 锐角三角函数 b A B C a ┌ c sinA=cosB cosA=sinB tanA= a c = b c = a b = 1 tanB 复习引入 新知探究 知识点 已知两边解直角三角形 1 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. b A B C a ┌ c 5 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且 ,求这个直角三角形的其他元素. 解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2, A B C 在Rt△ABC中， 新知探究 新知探究 趁热打铁 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角形的其他元素．(角度精确到1′) 由c＝5，b＝4，得sin B＝ ＝0.8， ∴∠B≈53°8′. ∴∠A＝90°－∠B≈36°52′. 由勾股定理得 解： 7 新知探究 “已知两边”怎样解直解三角形？ (1)已知a，b，怎么求∠A的度数？ (2)已知a，c，怎么求∠A的度数？ (3)已知b，c，怎么求∠A的度数？ 由 由 由 b A B C a ┌ c 8 新知探究 知识点 已知一边及一锐角解直角三角形 2 例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，且 b = 30，∠B＝ 25°,求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1）. A B C b 30 c a 25° 解： 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠B = 25°， ∴∠A=65°. 新知探究 在图中的 Rt△ABC 中，根据 ∠A＝75°，斜边AB＝6，解这个直角三角形？ A B C 6 75° ） 解： 趁热打铁 10 新知探究 已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °- ∠ A；②c= 若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A； ②a=c·sin A ; ③b=c·cos A. 已知“一边及一锐角”怎样解直角三角形 b A B C a ┌ c 新知探究 知识点 构造直角三角形解决问题 3 解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. 在 △ACD 中，∠C = 45°，AC=2， ∴CD = AD = sinC·AC = 2sin45°= . 在 △ABD 中，∠B = 30°， ∴BD = ∴BC = CD+BD = + . 例3 如图，在 △ABC 中，∠B = 30°，∠C = 45°，AC = 2，求 BC. D A B C 新知探究 C A B D A B C E 提示：求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适当的辅助线，将其转换为直角三角形来解题. D 归纳总结 课堂小结 解直角三角形 概念 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 应用 已知两边解直角三角形 已知一边和一锐角解直角三角形 课堂训练 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， AB＝8，则BC的长是(　　) A. B．4 C．8 D．4 D 2. 在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3， 则a等于(　　) A. B. C．6 D. B 课堂训练 3.如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，EC=4， sinB＝ ，则菱形的周长是（　　） A．10 B．20 C．40 D．28 C 课堂训练 4.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB= ，则AC的长为（　　） A．3 B．3.75 C．4.8 D．5 B 课堂训练 5.在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)若c= ,a=6,则b=______,∠B=______,∠A=______； (2)若a= ，b=4，则∠A=______,∠B=______,c=______. 6 45° 45° 60° 30° 8 6.在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)若∠B=60°,BC= ,则∠A=______,AC=______,AB=______； (2)若∠A=45°,AB=2,则∠B=______,AC=______. 30° 45° 课堂训练 6. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = ， BC = 5， 试求AB的长. 解： A C B 设 ∴AB的长为 课堂训练 图① 解：∵cos∠B= ，∴∠B=45°， 当△ABC为钝角三角形时，如图①， ∵AC = 13，∴由勾股定理得 CD = 5. ∴BC = BD - CD =12-5 = 7. 7. 在 △ABC 中，AB = ，AC = 13，cos∠B = ，求 BC 的长. 课堂训练 当 △ABC 为锐角三角形时，如图②， BC =BD + CD = 12 + 5 = 17. ∴BC 的长为 7 或 17. 图② 注意分类讨论！！！ $$