专题07数列（10大题型95题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（黑龙江专用）

专题07:数列 经典基础题 题型01:数列的递推公式 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在数列中，，，则 ． 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，（），则（    ） A． B．0 C． D．2 3．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等比数列满足，其前项和．则（    ） A．数列的公比为 B．数列为递减数列 C． D．当取最小值时， 4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串按一定移动圆环的次数决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要少移动的次数，数列满足且则解下5个环所需要最少移动的次数为（    ） A．7 B．10 C．16 D．31 5．（23-24高二上·黑龙江绥化·期末）若数列满足，且，，则（   ） A． B． C． D． 6.（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记为数列的前n项和，为数列的前n项积， 已知 ，则（    ） A． B． C． D．数列是等差数列 7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足：，且，，则此数列的前20项的和为 ． 8．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）填空 （1）3，3.1，3.14，3.142，…可以写出递推公式 （2）2，4，6，8，10，⋯为正偶数组成的数列，其递推公式可以写成 题型02:等差数列 9．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）数列是等差数列，且，，那么 . 10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在无穷等差数列中，公差为d，则“存在，使得”是“（）”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，设数列的前项和为，则下列结论正确的是（         ） A．数列为等差数列 B． C．数列的前项和为 D．数列的前项和为 12．（23-24高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 , 且, 则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·黑龙绥化·期末）已知等差数列的前项和为，且，，则当取得最大值时，（    ） A．37 B．36 C．18 D．19 14．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．33 B．66 C．22 D．44 15．（23-24高二上·黑龙江绥化·期末）在等差数列中，，则的值是（      ） A．36 B．48 C．72 D．24 16．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 17．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记为等差数列的前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）设数列的前n项和为，若，则下列说法中正确的有（    ） A．存在A，B，C使得是等差数列 B．存在A，B，C使得是等比数列 C．对任意A，B，C都有一定是等差数列或等比数列 D．存在A，B，C使得既不是等差数列也不是等比数列 19．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）等差数列中，公差为d，且则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在各项均为正数的等差数列中，，，，成等比数列，保持数列中各项先后顺序不变，在与（）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，则 . 21．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）各项均为正数的等比数列的前项和为，且成等差数列，若，则（    ） A．或15 B．或 C．15 D． 22．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列，则的最大值为（    ） A．12 B．22 C．37 D．55 23．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）高斯，德国著名数学家､物理学家､天文学家､大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，创造了等差数列前n项和公式，已知等差数列的前项和为，则的值为（    ） A．17 B．15 C．13 D．11 24．（23-24高二上·黑龙江佳木斯·期末）是等差数列的前项和，且．则时，的最大值为（    ） A．197 B．198 C．199 D．200 25．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是公差不为0的等差数列，是与的等比中项，则（    ） A．－9 B．0 C．9 D．无法确定 26．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）等差数列的前项和为，若则等于 A．12 B．18 C．24 D．42 27．（23-24高二上·黑龙江绥化·期末）已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 28．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）数列的通项公式为，前项和为，下列结论中正确的是（      ） 35．（22-23高二上·福建莆田·期中）已知是数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列为等差数列 C． D． 29．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）若等差数列与等差数列的前n项和分别为和，且，则 ． 30．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在数列中，，且前n项和满足，则数列的通项公式为________． 31．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知在递增的等差数列中，，． (1)求和； (2)求的通项公式． 32．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列中，且. (1)求； (2)求数列{}的前n项和的最大值. 33．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在等差数列中，已知 （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求满足的的最小值. 34．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列为等差数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 35．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：已知正项等差数列的公差是等差数列的公差的两倍，设、分别为数列、的前n项和，且，，________，设，求的前n项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 题型03:等比数列 36．（23-24高二上·黑龙江绥化·期末）在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是 ． 37．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在正项等比数列中，已知，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 38．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 40．（23-24高二上·黑龙江绥化·期末）已知等比数列满足，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 41．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛.从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%.现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（    ）参考数据： A．17.9万亿 B．19.1万亿 C．20.3万亿 D．21.6万亿 42．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）若递增等比数列满足，，则此数列的公比（　　） A． B．或 C． D．或 43．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）在等比数列中，是方程的两个根，则＝（　　） A． B． C． D．2 44．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知数列满足，，，则 ． 45．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）某高21．（22-23高二下·江苏镇江·期中）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有（    ） A．八层 B．十层 C．十一层 D．十二层 46．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数. 47．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知各项均为正数的等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 48．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列满足：，，数列满足，且，. (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列满足，求的前项和. 49．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足：，数列为等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求和：． 50．（23-24高二上·黑龙江绥化·期末）设是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意正整数n，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 51．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为，并且满足条件，，.给出下列结论，其中正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．的值是中最大的 52．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和满足：. （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若数列满足，为数列的前项和，求证：. 题型04:数列的前n项和 53．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）将正偶数按如下所示的规律排列： 2 4    6    8 10    12    14    16    18 20    22    24    26    28    30    32 …… 则数字2024的位置为第 行，从左向右第 个数. 54．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3＝，a2+a4＝，则＝（    ） A． B． C．2 D．9 55．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）数列的通项公式为，前项和为，下列结论中正确的是（      ） A．的最小值为 B．存在正整数，使得 C．存在正整数，使得 D．记，则数列有最小项 57．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的首项，且，，则满足条件的最大整数 . 58．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列是首项为25，公差为的等差数列，则数列的前30项的和为 . 59．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于 ． 60．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A．60 B．45 C．30 D．15 61．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 62．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等比数列的前n项和（），则k的值为（    ） A． B．1 C． D． 63．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（    ） A． B． C． D． 64．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，且，若，则正整数为（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 65．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．48 B．81 C．93 D．243 66．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 67．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，，则（    ） A．是递减数列 B． C． D． 68．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列为等差数列，为的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：. 69．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知数列的前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 70．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则 . 71．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 . 72．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．为的最小值 C． D． 73．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）设是等比数列的前项和，若，则 . 题型05:等差等比混合数列 74．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，若. (1)求数列通项公式； (2)设，求数列的前项和. 75．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知正项等比数列中，，． (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和． 76．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和. 精选提升题 题型06:构造数列 77．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，且，若，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 78．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题．现有这样一个整除问题：将1到2035这2035个数中，能被5除余2且被7整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列共有 项． 题型07:特殊数列 79．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记，则（    ） A． B． C． D． 80．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）在①，②且，③且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． 问题：设数列为等差数列，其前项和为，__________．数列为等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 注：若选多个条件解答，则按第一个解答计分． 题型08:数列不等式 81．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是等差数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式. (2)求的最大值. 82．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 83．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）数列的前n项和，其第k项满足，则k的值可以为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 84．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）数列{an}的通项公式是，那么在此数列中最大的项为（　　） A．a7 B．a8 C．a9 D．a10 85．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列{}满足，若对任意正整数都有恒成立，则k的取值范围是 . 86．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知等差数列的前项和为，，为整数，且. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，且数列前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围. 87．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的首项为1，其前项和为，且是2与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)若是数列的前项和，求证：. 四、解答题 88．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，证明：. 题型09:数列新定义 89．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差.则下列说法错误的是（    ） A．等比数列一定是比等差数列，且比公差 B．等差数列一定不是比等差数列 C．若数列是等差数列，是等比数列，则数列一定是比等差数列 D．若数列满足，，则该数列不是比等差数列 90．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）设正项数列的前项和为，，，则 ． 题型10:数列综合 91．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且满足，等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 92．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，，等比数列的公比为，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前10项和． 93（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的首项为3，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和. 94．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和，的通项公式为 . 95．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）设是等比数列，公比大于0，是等差数列，.已知，，，. （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足，，其中 （i）求数列的通项公式； （ii）若的前n项和，求. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07:数列 经典基础题 题型01:数列的递推公式 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在数列中，，，则 ． 【答案】 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】直接由递推关系进行累乘运算即可. 【详解】由题意知． 故答案为：. 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，（），则（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据递推公式可得数列的周期性即可求解. 【详解】由，可得， ， ， 因此为周期数列，且周期为3， 故， 故选：B 3．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等比数列满足，其前项和．则（    ） A．数列的公比为 B．数列为递减数列 C． D．当取最小值时， 【答案】D 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、基本不等式求和的最小值、等比数列通项公式的基本量计算、判断数列的增减性 【分析】利用退一相减法可得数列的递推公式，进而可得公比为，，进而可判断数列的单调性，再根据基本不等式可得当且仅当时，取最小值，进而可得公比与通项公式. 【详解】由已知，当时，，则，即， 当时，，所以，由等比数列知：公比为， 所以，即，所以，A、C选项错误； 又，，则公比，所以数列为递增数列，B选项错误； ，当且仅当，即时取等号，此时公比为，所以数列的通项公式为，D选项正确； 故选：D. 4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串按一定移动圆环的次数决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要少移动的次数，数列满足且则解下5个环所需要最少移动的次数为（    ） A．7 B．10 C．16 D．31 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据数列递推公式代入求解即可； 【详解】 ， 故选：C. 5．（23-24高二上·黑龙江绥化·期末）若数列满足，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和 【分析】根据已知推导出数列的首项，并得到为等比数列，根据等比数列求和公式求解. 【详解】令，根据已知可得， 令，则，所以， 所以数列是首项和公比都为的等比数列， 所以是首项为，公比为的等比数列前项之和. 所以. 故选：A 6.（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记为数列的前n项和，为数列的前n项积， 已知 ，则（    ） A． B． C． D．数列是等差数列 【答案】ACD 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由递推关系证明数列是等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据数列与其前前n项和，数列与其前n项积之间的等量关系求解，然后逐项判断即可. 【详解】由题为数列的前n项积，则， 又因为， 所以， 则，所以数列是以为公差为等差数列，故D正确； 令，得，则， 则，也符合， 所以，故C正确； 由题意知，故A正确； ， 不满足上式， 所以，故B错误. 故选：ACD. 7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足：，且，，则此数列的前20项的和为 ． 【答案】1133 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】根据递推关系，可以得到奇数项和偶数项分别成等差和等比数列，进而分组求和即可. 【详解】当时，由可知，的奇数项成等差数列，且公差为2，首项为；当时，可知的偶数项成等比数列，且公比为2，首项为， 故前20项和为. 故答案为:1133 8．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）判断正误（填正确或错误） （1）3，3.1，3.14，3.142，…可以写出递推公式．( ) （2）2，4，6，8，10，⋯为正偶数组成的数列，其递推公式可以写成：．( ) 【答案】 错误 正确 【知识点】求递推关系式 【分析】根据所给数列规律求解即可. 【详解】（1）3，3.1，3.14，3.142，…此数列前4项没有规律，即此数列不能写出递推公式，故错误. （2）2，4，6，8，10，⋯为正偶数组成的数列，则，故正确. 故答案为：（1）错误；（2）正确． 题型02:等差数列 9．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）数列是等差数列，且，，那么 . 【答案】 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据等差数列的通项公式，进而写出数列的通项公式，可得答案. 【详解】解：令，因为，， 所以，，则的公差为， 所以，故， 所以. 故答案为：. 10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在无穷等差数列中，公差为d，则“存在，使得”是“（）”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】用定义法进行判断. 【详解】充分性：若，，此时，而，满足，即存在，使得，但是不成立.故充分性不成立； 必要性：若，则，此时.故必要性满足. 故选：B 11．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，设数列的前项和为，则下列结论正确的是（         ） A．数列为等差数列 B． C．数列的前项和为 D．数列的前项和为 【答案】ABC 【知识点】分组（并项）法求和、由Sn求通项公式、求等差数列前n项和、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】先构造数列，知其前项和求通项，进而再求出，选项A，由定义证明为等差数列；选项B，利用等差数列前项和公式求解即可；选项C，两项并一项，并项为常数列求和；选项D，分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出. 【详解】由， 设，则， 所以当时，， 两式相减得，， 当时，也适合上式. 则，解得，， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 则， 故选项AB正确； 选项C，数列的前项和 ，故C项正确； 选项D，， 则前项和为， 故D项错误. 故选：ABC. 12．（23-24高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 , 且, 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】由等差数列性质可得，由等差数列前项和公式可得、，即可令，代入计算即可得. 【详解】因为数列、都是等差数列, 所以, 又，， 故，，即有, 在中，令，得， 故. 故选：D. 13．（23-24高二上·黑龙绥化·期末）已知等差数列的前项和为，且，，则当取得最大值时，（    ） A．37 B．36 C．18 D．19 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】利用等差数列的性质与前项和公式推得，，从而得解. 【详解】因为， ， 所以，，从而当时，取得最大值． 故选：C. 14．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．33 B．66 C．22 D．44 【答案】A 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算、等差中项的应用 【分析】先由等差数列的性质求出，再按照等差数列求和公式及等差数列性质求解即可. 【详解】由题意知：，则，则. 故选：A. 15．（23-24高二上·黑龙江绥化·期末）在等差数列中，，则的值是（      ） A．36 B．48 C．72 D．24 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差中项的性质求得，再由即可得结果. 【详解】由题设，，则， 所以. 故选：A 16．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】ABC 【知识点】判断数列的增减性、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】由等差数列的求和公式结合已知条件可得，，从而得且，进而可得出答案． 【详解】等差数列的前项和为， ，所以， ，所以，所以且， 所以等差数列是递减数列，且当时，取得最大值． 故D正确，ABC错误． 故选：ABC． 17．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记为等差数列的前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式即可得出． 【详解】设等差数列的公差为． ∵，∴，且，解得：，， ∴，． 故选：BC． 18．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）设数列的前n项和为，若，则下列说法中正确的有（    ） A．存在A，B，C使得是等差数列 B．存在A，B，C使得是等比数列 C．对任意A，B，C都有一定是等差数列或等比数列 D．存在A，B，C使得既不是等差数列也不是等比数列 【答案】ABD 【知识点】判断等差数列、由定义判定等比数列 【分析】由题设可得，特殊值法讨论，研究的性质，进而判断各选项的正误. 【详解】∵， ∴当n≥2时，． 两式作差得：． 当A＝B＝0且时，， ∴数列{an}是等比数列，故B正确； 当A＝0、B≠0且时，，可得：， ∴， ∴数列{an}既不是等差也不是等比数列，故D正确，C错误； 当A＝B＝1时，，而满足此式，故A正确； 故选：ABD． 19．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）等差数列中，公差为d，且则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】由题意得到，，利用等差数列的性质及求和公式，可对四个选项逐一判断其正误，从而得到答案． 【详解】设等差数列中，且，，，故正确； ，故错误； 又，故正确； 又，故正确； 综上所述，结论正确的有， 故选：． 20．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在各项均为正数的等差数列中，，，，成等比数列，保持数列中各项先后顺序不变，在与（）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，则 . 【答案】348 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、分组（并项）法求和 【分析】计算出公差，得到，从而得到，，，……，，，再求和即可. 【详解】设公差为，由题意得， 即，解得， 解得或（舍去）， 故，， 则，，，， ，，， ，，， ，， 故. 故答案为：348 21．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）各项均为正数的等比数列的前项和为，且成等差数列，若，则（    ） A．或15 B．或 C．15 D． 【答案】C 【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】根据条件先求解出的值，然后根据等比数列前项和公式求解出结果. 【详解】设等比数列的公比为，由题意可知， 因为成等差数列且， 所以， 所以，解得或（舍）， 所以， 故选：C. 22．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列，则的最大值为（    ） A．12 B．22 C．37 D．55 【答案】B 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】根据是公差为的等差数列，求出的通项公式，判断其为等差数列，确定该数列为递减数列，确定其正项，即可求得答案. 【详解】由题意，且是公差为的等差数列， 可知的首项为， 则， 故，则数列为，公差为的等差数列，且为递减数列， 令， 即等差数列的前4项为正项，从第5项开始为负， 故的最大值为， 故选：B 23．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）高斯，德国著名数学家､物理学家､天文学家､大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，创造了等差数列前n项和公式，已知等差数列的前项和为，则的值为（    ） A．17 B．15 C．13 D．11 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】由可得，又，根据等差数列性质可求，结合等差数列前n项和公式可求的值. 【详解】∵   ， ∴   ， ∵  ，    ∴     ， ∴  ， 又数列为等差数列， ∴  ， ∴  ，又，， ∴  . 故选：A. 24．（23-24高二上·黑龙江佳木斯·期末）是等差数列的前项和，且．则时，的最大值为（    ） A．197 B．198 C．199 D．200 【答案】B 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】依题意可得、，即可得到，再根据等差数列前项和公式及下标和性质计算可得； 【详解】解：因为，即，，所以，所以数列的公差，所以，，故时，的最大值为198； 故选：B 25．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是公差不为0的等差数列，是与的等比中项，则（    ） A．－9 B．0 C．9 D．无法确定 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比中项的应用 【解析】由得出，代入可得答案. 【详解】设的公差为d，因为是与的等比中项， 所以，即，可得， 所以. 故选：B. 26．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）等差数列的前项和为，若则等于 A．12 B．18 C．24 D．42 【答案】C 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】数列每2项构成的等差数列的公差为6，计算得到答案. 【详解】第一个2项和为2，第二个2项和为8，则每2项构成的等差数列的公差为6， 第三个2项和为14，则， 故选：C. 27．（23-24高二上·黑龙江绥化·期末）已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】求等差数列前n项和、等比中项的应用 【分析】设等差数列的公差为，根据，，成等比数列，求得公差d，然后逐项判断. 【详解】设等差数列的公差为， 由于，，成等比数列，所以， 即，所以，解得或（舍去）， 所以，. 所以，A选项正确； ，，， 由于，所以，B选项正确； ，，所以C选项正确，D选项错误. 故选：ABC. 28．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）数列的通项公式为，前项和为，下列结论中正确的是（      ） 35．（22-23高二上·福建莆田·期中）已知是数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列为等差数列 C． D． 【答案】ACD 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、判断等差数列 【分析】 由题意，令计算即可判断A；根据计算可得，进而得，结合等差中项的应用即可判断BC；由选项B可知数列的奇、偶数项均为等差数列，结合等差数列前n项求和公式计算即可判断D. 【详解】A：当时，，又， 所以，故A正确； B：当时，由，得， 两式相减得， 由，得，所以， 所以，得，则， 即，所以数列不为等差数列，故B错误； C：由选项B可知，所以，故C正确； D：由选项B可知，所以， 即数列的奇数项为首项是1，公差是3的等差数列， 偶数项为首项是2，公差是3的等差数列， 所以 所以 故，故D正确. 故选：ACD 29．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）若等差数列与等差数列的前n项和分别为和，且，则 ． 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据给定条件结合等差数列项的性质、等差数列前n项和公式计算作答. 【详解】等差数列与等差数列的前n项和分别为和，且， 于是得， 所以. 故答案为： 30．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在数列中，，且前n项和满足，则数列的通项公式为________． 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用与的关系可求得数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求解 【详解】当时，，解得； 当时，由， 得， 两式相减得 ， 即， 整理得， 因为，所以，即， 又，故数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以. 故答案为： 31．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知在递增的等差数列中，，． (1)求和； (2)求的通项公式． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】（1）由，结合题意得到方程组，即可求解； （2）设数列的公差为，由（1）列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：因为，所以， 解得或， 又因为数列递增数列，所以. （2）解：设数列的公差为（）， 由，可得，解得，， 所以数列的通项公式为． 32．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列中，且. (1)求； (2)求数列{}的前n项和的最大值. 【答案】(1)＝﹣4n+17； (2)28. 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和的最值 【分析】(1)根据等差数列的定义判断为等差数列即可求其通项公式； (2)根据等比数列前n项和的性质即可求其最值. 【详解】（1）由﹣4，可知，﹣＝﹣4， ∴数列{}是以13为首项，以﹣4为公差的等差数列， ∴＝13﹣4(n﹣1)＝﹣4n＋17； （2）由(1)可知，数列{}单调递减，且a4＞0，a5＜0， ∴当n＝4时，{}的前n项和取得最大值＝13＋9＋5＋1＝28. 33．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在等差数列中，已知 （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求满足的的最小值. 【答案】（1）；（2）14. 【知识点】等差数列的简单应用、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据等差数列的概念即可得通项公式；然后可得，令，解方程可得n的最小值. 【详解】解：（1）根据题意，公差； ； 则； （2）根据，可得 ， 可根据题意，令， 则当时，解一元二次方程得n的范围为（舍去）和. 可知n的最小值为14. 34．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列为等差数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【解析】（1）先建立方程组求得，再求数列的通项公式； （2）先化简为，再利用“裂项相消法”求数列的前项和即可 【详解】解：（1）因为，，所以， 因为数列为等差数列，所以，解得， 所以． （2）因为，，所以， 所以． 35．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：已知正项等差数列的公差是等差数列的公差的两倍，设、分别为数列、的前n项和，且，，________，设，求的前n项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】选择见解析；. 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和 【解析】根据条件设的公差为2d，的公差为d，若选择条件①根据，列式求，再代入数列的基本量的计算，求数列和的通项公式，若选择条件②根据条件，解出数列的基本量和，以及求出数列和的通项公式，若选择条件③根据条件，以及，，组成方程组，求和，这三个条件都根据基本量表示数列和的通项公式，并得到，利用错位相减法求和. 【详解】不妨设的公差为2d，的公差为d， 方案1：选条件① 由题意得，，， 解之得，，， 则，则， ，① ，② 两式相减，整理得：. 方案2：选条件② 由题意得，， 解得，或，（舍去）， 则，，则， ，① ，② 两式相减，整理得：. 方案3：选条件③ 由题意得，，即， 化简得，，， 联立方程组得，，， 则的公差为2，的公差为1， ，，则， ，① ，② 两式相减，整理得：. 题型03:等比数列 36．（23-24高二上·黑龙江绥化·期末）在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是 ． 【答案】 【知识点】等比中项的应用、等比数列下标和性质及应用 【分析】由韦达定理得，从而，，由等比数列的性质得，由此能求出结果． 【详解】等比数列中，，是方程的两根，， ，，所以且， ． 故答案为： 37．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在正项等比数列中，已知，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等比数列的基本量运算求出公比，进而化简求值即可． 【详解】设等比数列的公比为 ，或（舍） 则 故选：B 38．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列可得，再由等比数列的基本公式计算可得公比的值，从而得数列的通项公式； （2）根据裂项相消法直接求数列的前项和即可. 【详解】（1）设等比数列的公差为，则， 由，，成等差数列可得，即， 又，所以，即，解得或（舍）， 所以； （2）由（1）可得，所以， 所以. 39．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知各项均为正数的等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和 【分析】（1）利用等比数列的基本量转化已知条件，解方程求得首项和公比，则问题得解； （2）根据（1）中所求得到，再用错位相减法即可求得结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，， 所以. 因为各项均为正数，所以解得，或. 又因为，所以是递增的等比数列，所以，. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知. 则，① 在①式两边同时乘以3得，，② ①-②得，即， 所以. 40．（23-24高二上·黑龙江绥化·期末）已知等比数列满足，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】 根据等比数列的性质得到，设出公比，从而得到，得到答案. 【详解】 因为，所以， 设的公比为，则， 则，负值舍去， 故. 故选：C 41．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛.从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%.现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（    ）参考数据： A．17.9万亿 B．19.1万亿 C．20.3万亿 D．21.6万亿 【答案】B 【知识点】写出等比数列的通项公式、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】确定从2013年到2022年，每年的进出口累计总额构成等比数列，确定首项和公比，根据等比数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】依题意可得从2013年到2022年，每年的进出口累计总额构成等比数列， 其中，公比， 故2022年进出口累计总额约为（万亿）， 故选：B 42．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）若递增等比数列满足，，则此数列的公比（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【知识点】等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列的单调性 【分析】利用等比中项的性质可求得的值，然后根据已知条件可求出的值，进一步求出数列的通项，结合等比数列的单调性进行验证，即可得解. 【详解】因为数列是等比数列，则，可得， 所以，，可得， 即，即，解得或， 当时，，此时，数列为递减数列，不合乎题意； 当时，，此时，数列为递增数列，合乎题意. 综上所述，. 故选：C. 43．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）在等比数列中，是方程的两个根，则＝（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据韦达定理和等比数列的性质得到答案. 【详解】由韦达定理得，由等比数列的性质得. 故选：B 44．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知数列满足，，，则 ． 【答案】128 【知识点】累乘法求数列通项、由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式、等比数列的定义 【分析】由题意，根据等比数列的定义可知数列是首项为，公比为4的等比数列，由等比数列的通项公式可得，利用累乘法求得，令，计算即可求解. 【详解】由题意知，，即，又， 所以数列是首项为，公比为4的等比数列， 所以， 当时，， 所以. 故答案为：128 45．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）某高21．（22-23高二下·江苏镇江·期中）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有（    ） A．八层 B．十层 C．十一层 D．十二层 【答案】D 【知识点】等差数列的简单应用、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】设该塔共有层，根据等差数列的求和公式计算即可. 【详解】设该塔共有层， 则， 即， 解得或（舍）， 即该塔共有层. 故选：D 46．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数. 【答案】4，3，2 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设这三个数依次为，根据题意列式求解即可. 【详解】设这三个数依次为， 由题意可得，解得， 所以这三个数4，3，2. 47．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知各项均为正数的等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和 【分析】（1）利用等比数列的基本量转化已知条件，解方程求得首项和公比，则问题得解； （2）根据（1）中所求得到，再用错位相减法即可求得结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，， 所以. 因为各项均为正数，所以解得，或. 又因为，所以是递增的等比数列，所以，. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知. 则，① 在①式两边同时乘以3得，，② ①-②得，即， 所以. 48．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列满足：，，数列满足，且，. (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】错位相减法求和、求等比数列前n项和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）依题意，对原式进行化简，根据等比数列的定义证明即可； （2）依题意，利用等差数列的通项公式，写出数列的通项，再结合（1）中的结论，得出数列的通项，从而得到数列的通项，然后利用数列的错位相减法求和，即可求出数列的前项和. 【详解】（1）证明：因为，且， 所以，即，所以， 又因为， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列； （2）解：等差数列满足，，所以， 由（1）可知，，所以， 因为， 所以 ①， ② ， ①②，得： ， 所以. 49．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足：，数列为等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求和：． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）首先求出，，即可求出等比数列的通项公式，从而求出的通项公式； （2）利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为，，数列为等比数列， 所以，，则，即是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则. （2） . 50．（23-24高二上·黑龙江绥化·期末）设是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意正整数n，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、等比数列的其他性质 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断． 【详解】是首项为正数的等比数列，若公比，则数列中奇数项为正，偶数项为负，一定有，充分性满足， 但是时，数列各项均为正，，也就是说时，得不出，不必要． 故选：A． 51．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为，并且满足条件，，.给出下列结论，其中正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．的值是中最大的 【答案】ABD 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、等比数列下标和性质及应用 【分析】运用等比数列的定义和等比数列的性质根据题目条件逐项分析即得. 【详解】对于A，∵，，即， ，又，又， ，且， ，故A正确； 对于B，，，即，故B正确； 对于C，由于，而，故有，故C错误； 对于D，由题可知， 所以当时，，即，当时，，即， ∴T99的值是Tn中最大的，故D正确. 故选：ABD. 52．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和满足：. （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若数列满足，为数列的前项和，求证：. 【答案】（1）;（2）见解析. 【知识点】由定义判定等比数列、错位相减法求和 【详解】试题分析： (1)利用题中所给的递推关系整理可得，结合题意可得是以为首项，2为公比的等比数列，且. (2) 利用题意错位相减可得，据此可得. 试题解析： （1）证明：当时，，① 当时，② 由①②两式相减得：，即， ∴，∴， 当时，，则， ∴是以为首项，2为公比的等比数列， ∴，∴. （2）证明：，∴ 则① ② 由①-②得： ∴. ∴当时，，； ， ∴单调递增， ∴ 所以综上得：. 题型04:数列的前n项和 53．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）将正偶数按如下所示的规律排列： 2 4    6    8 10    12    14    16    18 20    22    24    26    28    30    32 …… 则数字2024的位置为第 行，从左向右第 个数. 【答案】 32 51 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】由已知归纳出规律，计算出前行所有数和个数后，可确定2024所在的行及其顺序号． 【详解】数字2024是第1012个数， 由已知前行所有数的个数为， ，，，， 所以数字2024在第32行，第51个数， 故答案为：32；51. 54．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3＝，a2+a4＝，则＝（    ） A． B． C．2 D．9 【答案】D 【知识点】求等比数列前n项和 【解析】根据等比数列的通项公式求得公比，再由等比数列的前项和公式可求得结论． 【详解】设等比数列{an}的公比为q，由题意可知，q≠1. ∴， 则＝＝1+q3＝1+8＝9. 故选：D. 55．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）数列的通项公式为，前项和为，下列结论中正确的是（      ） A．的最小值为 B．存在正整数，使得 C．存在正整数，使得 D．记，则数列有最小项 【答案】ABD 【知识点】确定数列中的最大（小）项、判断或写出数列中的项、数列求和的其他方法 【分析】利用数列通项公式、前项和的定义、数列的单调性、基本不等式分析运算即可得解. 【详解】对于A：因为，令，解得， 又，，，所以当或时取得最小值，最小值为，故A正确； 对于B：令，解得：或（舍去），即， ∴，即存在正整数，使得，故B正确； 对于C：由知，当时，且单调递增， 当且时，，，则； 当且时，，当且仅当时等号成立， 而且时，，故等号不成立，即. 综上知，不存在正整数，使得，故C错误； 对于D：由知，，，， 当时，且单调递增， ∴由知，，，， ∴当时数列有最小项，故D正确； 故选：ABD. 57．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的首项，且，，则满足条件的最大整数 . 【答案】2023 【知识点】求等比数列前n项和、由递推关系证明等比数列、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】将已知条件恒等变换为，则有是等比数列，从而得，，根据的单调性，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 所以 易知当时，单调递增， 又因为， ， 所以满足的最大整数为2023. 故答案为：2023 58．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列是首项为25，公差为的等差数列，则数列的前30项的和为 . 【答案】458 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和 【分析】由已知求出数列的通项与前项和，数列的前30项的和为，求值即可. 【详解】数列是首项为25，公差为的等差数列， 则有，数列的前项和， 若，则且， 数列的前30项的和 . 故答案为：458 59．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于 ． 【答案】 【知识点】等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】利用等差数列的基本性质以及等差数列的求和公式可得出，即可求得的值. 【详解】因为等差数列共有项， 所有奇数项之和为， 所有偶数项之和为， 所以，，解得. 故答案为： 60．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A．60 B．45 C．30 D．15 【答案】B 【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用、等差中项的应用 【分析】 由等差数列的前n项和性质计算即可. 【详解】 因为，所以． 故选：B． 61．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列片段和性质及应用 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 62．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等比数列的前n项和（），则k的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】前n项和与通项关系 【分析】由已知得，当时，，且当时也满足，由此求出. 【详解】等比数列的前项和为， ， 当时，， 所以当时也满足，即，所以 故选：． 63．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】结合等差数列的前项和，根据等差数列的性质判断． 【详解】是等差数列，∴，又，所以，公差， 因此中，当时递减，是最小值，从开始，递增， 又，， 所以使得的最大的为11， 故选：C． 64．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，且，若，则正整数为（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【知识点】求等比数列前n项和、累加法求数列通项 【分析】确定，，利用累加法确定，代入计算得到答案. 【详解】，故，，故， . 故， ，即，故，解得. 故选：B 65．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．48 B．81 C．93 D．243 【答案】C 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列的前项和先确定公比，再计算得，从而计算得的值，即可得的值. 【详解】设等比数列的公比为，因为，， 若，则，得，则，故， 则，所以， 所以，所以. 故选：C. 66．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、等差数列前n项和的其他性质及应用 【分析】根据，结合等差数列的前项和公式，构造出符合题意的一组与的通项公式，再进行计算即可． 【详解】根据题意，数列、都是等差数列，显然两个数列都不是常数列， ， 因为等差数列前项和公式为， 所以不妨令为常数，且， 所以时，，． ，，，. 故选：A 67．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，，则（    ） A．是递减数列 B． C． D． 【答案】BD 【知识点】裂项相消法求和、由递推数列研究数列的有关性质、判断数列的增减性 【分析】根据数列单调性的判断方法，累加法，累乘法以及裂项求和法，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：，又当时，与矛盾，故，即， 故该数列递增数列，A错误； 对B：， 根据A知：，即，，故B正确； 对C：，由可得， 故（当或时取得等号），故，C错误； 对D：由可得，即， 故， 又，故，故，D正确. 故选：BD. 68．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列为等差数列，为的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】裂项相消法求和、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用等差数列通项公式和求和公式列方程组求出基本量，然后可得通项； （2）根据裂项相消法求和，然后可证. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题知，即 解得， 所以. （2）因为， 所以 ， 因为，所以，即 69．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知数列的前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、含绝对值的等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据，求出是首项为，公比为2的等比数列，得到通项公式； （2）求出，设的前项和为，分和两种情况，结合等差数列求和公式求出答案. 【详解】（1）①， 当时，， ∴． 当时，②， 式子①-②得， 故， ∴数列是首项为，公比为2的等比数列， ∴； （2）由（1）可得，， 设的前项和为， 当时，，故， 当时，，故 ， 故 70．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则 . 【答案】/0.9 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】 利用与的关系将已知转化为，并求出的通项公式. 再利用与的关系求出，写出的通项公式，利用裂项相消求解. 【详解】 ∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， 当时，,解得符合， ∴，， 当时，符合，∴，， 所以 . 故答案为： 71．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 . 【答案】 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列奇数项与偶数项之间的关系进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为等差数列的项奇数项之和为140，偶数项之和为120， 所以有， 故答案为： 72．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．为的最小值 C． D． 【答案】AC 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、由Sn求通项公式、求等差数列前n项和的最值 【解析】利用和与项的关系，分和分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到可计算后否定D. 【详解】, , 对于也成立， 所以，故A正确； 当时，,当n=17时,当时，, 只有最大值，没有最小值，故B错误； 因为当时，,∴，故C正确； ， 故D错误. 故选：AC. 73．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）设是等比数列的前项和，若，则 . 【答案】 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列片段和性质及应用 【分析】可设出公比，结合等比数列前项和公式进行运算；或借助等比数列前项和中的片段和的关系进行计算. 【详解】法一： 设，当时，，不符合要求，故， 故，即， 则. 法二： 由为等比数列，故， 由，即，即， 即，即. 故答案为：. 题型05:等差等比混合数列 74．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，若. (1)求数列通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】累乘法求数列通项、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、求等差数列前n项和 【分析】（1）由题意推出，根据累乘法，即可求得答案； （2）结合（1）可得的表达式，利用分组求和法，结合等差等比数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】（1）由，可得， 故， 而，故时，， 也适合该式， 故； （2）结合（1）可得， 故 . 75．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知正项等比数列中，，． (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和 【分析】（1）由等比数列的性质列方程组，解方程，求出，即可得出答案； （2）由（1）求出，再由错位相减法求解即可. 【详解】（1）由题意，，， ， 又在正项等比数列中，，， 故. （2）因为，所以， 令，其前项和为 ， ， 所以 ， 所以，所以. 76．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）直接由等差数列、等比数列的基本量的计算算出公差，公比即可得解. （2）直接由等比数列公式法、错位相减法求和运算即可得解. 【详解】（1）由题意设等差数列等比数列的公差公比分别为， 则由题意有，解得， 所以和的通项公式分别为. （2）设数列的前n项和为，由（1）可得， 所以，， 两式相减得， 所以数列的前n项和为. 精选提升题 题型06:构造数列 77．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，且，若，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】裂项相消法求和、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】由可得数列是等差数列，进而可得数列的通项公式，故可得数列的通项公式，进而通过裂项相消法得到数列的前项和，最后代入得到. 【详解】， ，数列是等差数列， ，，，， 数列的公差， ，既， 故， ， ， 故选：D. 78．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题．现有这样一个整除问题：将1到2035这2035个数中，能被5除余2且被7整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列共有 项． 【答案】59 【知识点】观察法求数列通项 【分析】根据已知条件判断出的规律，由此确定项数. 【详解】依题意将1到2035这2035个数中，能被5除余2且被7整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列， 则， 时，，， ， 所以此数列共有项. 故答案为： 题型07:特殊数列 79．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】根据斐波那契数列的性质求解即可. 【详解】由， 得 . 故选：C 80．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）在①，②且，③且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． 问题：设数列为等差数列，其前项和为，__________．数列为等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 注：若选多个条件解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据数列为等差数列的特点，结合已知条件，求出数列中的基本量，确定数列的通项公式； （2）根据（1）中结论求出表达式，根据已知条件求出通项公式，用分组求和与裂项相消法求即可. 【详解】（1）选条件① 依题意得，当时，，解得，又， 即，解得，又数列为等差数列，设公差为， 则，所以 验证：当时，与条件相符， 综上所述，所以； 选条件② 设等差数列的公差为，因为且所以有 ，整理有，解得 所以，所以 选条件③ 设等差数列的公差为，由，则有，即， 故，所以，又因为， 即，解得，所以 验证：当时，， 所以符合已知条件，综上所述，所以. （2）由（1）有，又因为为等比数列， 设公比为，且，，所以，所以， 所以， 故 题型08:数列不等式 81．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是等差数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式. (2)求的最大值. 【答案】(1)； (2)28. 【知识点】由Sn求通项公式、二次函数法求等差数列前n项和的最值、求等差数列前n项和的最值 【分析】 （1）利用公式进行求解. （2）利用给定的前项和，结合二次函数求出最值即得. 【详解】（1）等差数列的前项和， 当时，， 当时，， 显然满足上式， 所以数列的通项公式是. （2）由于，而， 于是当时，， 所以的最大值是28. 82．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）利用关系及等比数列定义求数列通项公式； （2）根据已知写出通项公式，应用裂项相消法求不等式左侧的和，即可证结论. 【详解】（1）当时，，得， 当时，，，则， 即，所以. 故数列是以为首项，为公比的等比数列. 故. （2）因为. 所以， 因为， 所以， 又恒成立，故，得证. 83．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）数列的前n项和，其第k项满足，则k的值可以为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】数列不等式能成立（有解）问题、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用的关系求通项公式，结合题设不等式求k值. 【详解】当时，； 当时，； 也满足， 所以的通项公式为， 由，则，得，又，故或9. 故选：AB 84．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）数列{an}的通项公式是，那么在此数列中最大的项为（　　） A．a7 B．a8 C．a9 D．a10 【答案】AB 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】利用作商可得数列相邻两项的大小关系，从而可判断数列的单调性情况，由数列的单调性即可求得答案． 【详解】因为数列{an}的通项公式是， 所以，即， 令1，解得n≤7，即n≤7时递增，n＞7时递减， ∴a1＜a2＜a3＜•••＜a7＝a8＞a9＞•••， ∴a7＝a8最大， 故选：AB． 85．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列{}满足，若对任意正整数都有恒成立，则k的取值范围是 . 【答案】 【知识点】数列不等式恒成立问题、由递推关系式求通项公式、确定数列中的最大（小）项 【分析】先通过构造得到数列是一个以3为首项，3为公比的等比数列，再求的通项公式，代入到不等式可得，利用作差法可判断的最大值，则答案可求. 【详解】由可得，又因为，所以， 即数列是一个以3为首项，3为公比的等比数列， 所以， 对任意正整数都有，则，即， 设，则， 当时，，当时，， 即，所以， 所以 故答案为：. 86．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知等差数列的前项和为，，为整数，且. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，且数列前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】数列不等式恒成立问题、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由可知，，列出不等式组，解之可得，结合等差数列的通项公式即可求解； （2）由（1）得，当为偶数时，，当为奇数时，，结合和恒成立问题依次计算即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 由，可知，，即 因为为整数，所以， 结合不等式组解得， 所以. （2）由（1）可知. 当为偶数时， . 又，即对任意偶数都成立，所以. 同理，当为奇数时， ， 又，即对任意奇数都成立， 易知当奇数时，函数取得最小值-15， 故. 综上，. 87．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的首项为1，其前项和为，且是2与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)若是数列的前项和，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等比中项的应用、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）设等差数列的公差为，由等比中项的性质即可得，在由等差数列的通项公式和前项和公式代入化简可求出，即可求出数列的通项公式； （2）由裂项相消法求和即可； 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意， 即，解得， ， 即数列的通项公式为. （2）， . 四、解答题 88．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【知识点】数列不等式恒成立问题、裂项相消法求和、由递推关系证明等比数列、由定义判定等比数列 【分析】（1）根据数列递推式，可得，结合等比数列定义，即可证明结论； （2）利用（1）的结论求出，可得的表达式，利用裂项求和法，即可求得，继而证明结论. 【详解】（1）证明：由题意知数列的首项，且满足， 故， 由于，故，故， 故数列是以为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1）可得，故， 故， 故 ， 由于，故. 题型09:数列新定义 89．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差.则下列说法错误的是（    ） A．等比数列一定是比等差数列，且比公差 B．等差数列一定不是比等差数列 C．若数列是等差数列，是等比数列，则数列一定是比等差数列 D．若数列满足，，则该数列不是比等差数列 【答案】ABC 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、数列新定义 【分析】根据比等差数列定义直接验证可判断A；令，依定义验证可判断B；令，，然后依定义验证可判断C；根据递推公式求出前4项，然后依定义验证可判断D. 【详解】若为等比数列，公比，则，， 所以，故选项A错误； 若，是等差数列，则，故为比等差数列，故选项B错误； 令，，则，此时无意义，故选项C错误； 因为数列满足，， 所以，，故， 所以不是比等差数列，故选项D正确. 故选：ABC. 90．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）设正项数列的前项和为，，，则 ． 【答案】 【知识点】数列求和的其他方法、利用an与sn关系求通项或项、数列新定义 【分析】先整理式子，利用的关系，将得到和的关系，从而求出 【详解】，． ． ． 故答案为：． 题型10:数列综合 91．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且满足，等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、错位相减法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据与之间的关系，结合等比数列的定义和通项公式、等差数列的通项公式进行求解即可； （2）利用错位相减法，结合等差数列和等比数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】（1）由， 当时，由， 两式相减，得， 因此数列是以2为首项，为公比的等比数列，即. 设等差数列的公差为， 因为，所以，因此， 故，； （2）由（1）可知，， 所以， 设数列的前项和为， 则有， ， 两式相减，得， 即， 因此 92．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，，等比数列的公比为，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前10项和． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）当时求出，可得通项与，由求数列的通项公式； （2）利用分组求和法求数列的前10项和. 【详解】（1）当时，，，， 等比数列的公比为，则有， 由，可得． 当时，． 经检验，当时，满足上式， 所以． （2）， 设的前10项和为， ． 93（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的首项为3，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，即可得证； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）由数列的首项为，且满足， 可得，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，可得， 所以数列的前项和. 94．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和，的通项公式为 . 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】先求得，再根据时，的关系求得，验证后即得答案. 【详解】当时，， 当时，， 不适合上式， 故的通项公式为， 故答案为： 95．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）设是等比数列，公比大于0，是等差数列，.已知，，，. （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足，，其中 （i）求数列的通项公式； （ii）若的前n项和，求. 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）（i）；（ii）. 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，进而根据已知条件计算得，，故，； （Ⅱ）根据题意得，，进而得，再根据裂项求和得，，故. 【详解】（Ⅰ）设等比数列的公比为q.由，， 可得.因为，可得， 故 设等差数列的公差为d，由，可得. 由，可得， 从而，， 故. 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. （Ⅱ） （i）， （ii）. （注：写成亦可.） . 学科网（北京）股份有限公司 $$