第11讲 数列求和的常见方法（九大重难点）-2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第11讲 数列求和的常见方法 重难点01等差等比公式求和 【解题必备】等差数列的前项和， 等比数列的前项和， 例1．将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（    ） A．55 B．75 C．111 D．135 【答案】C 【详解】不妨设第n（）个“拐角数”为， 不难发现， 所以，得， 当时，也符合上式，所以， 所以第7个“拐角数”是， 第8个“拐角数”是， 第9个“拐角数”是， 第10个“拐角数”是， 第11个“拐角数”是， 第12个“拐角数”是.故C对； 故选：C 例2．已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列. (1)求的通项公式： (2)若为数列的前项和，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以， 整理得，由，解得， ， 所以的通项公式为； （2）由（1）可得，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 由，故单调递增，则， 又因为． 故，得证. 练习1．对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，， ， ， ， ， 由等比数列的前项和公式，得， 所以的通项公式. 故选：A 练习2．等差数列中，，记，则当 时，取得最大值． 【答案】4 【详解】在等差数列中，， ， 即， ． 所以数列是单调递减数列， 所以， 所以当时，；当时，， 故当时，取得最大值． 故答案为：4 练习3．已知正项数列满足，（且），设． (1)求，，； (2)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (3)求的通项公式．并求其前n项和． 【答案】(1)，， (2)是等差数列，理由见解析 (3)，． 【详解】（1）由，， 知当时，， 即，解得或（舍）． 当时，， 即，解得或（舍）， ，，． （2）数列为等差数列，理由如下： 由可知． ，，又，故（且）． 当时，． 又，是以0为首项，1为公差的等差数列． （3）由（2）可知，， ． 练习4．已知是单调递增的等差数列，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公差为， 由，得，则． 由成等比数列，得，则， 而是单调递增的等差数列，所以，所以． 解方程组得 所以的通项公式为． （2）由，可得，所以． 故是以为首项，公比为的等比数列， 所以． 重难点02分组求和法 【解题必备】适用于的形式,其中数列是等差数列或等比数列 例3．已知等差数列，，，则数列的前n项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列公差为，由，得，则， 所以，， 则数列的前n项和为 . 故选：D. 例4．已知等差数列的前项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）设的公差为，因为，所以， 又，则，故， 所以； 因为，，所以，解得， 所以. （2）结合（1）可得： . 练习1．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若满足，．设为数列的前n项和，求． 【答案】(1) (2)-240 【详解】（1）因为，， 所以当时，，则，即， 当时，也成立，所以． （2）由（1），， 则， 则 ． 练习2．已知数列满足，. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为. 又，故数列是首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）有，可得， 所以有. 练习3．已知数列满足，点在直线上. (1)设，证明为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因点在直线，则. 可得， 即，且， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. （2）由（1）可知：，即 所以. 练习4．已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公差为，则， 由，得，整理得，解得（舍去）， 因此，； （2）因为，所以, 重难点03错位相减法 【解题必备】如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解． 错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． 例5．已知数列的通项公式为，则此数列的前项和 . 【答案】 【详解】由题知，① 所以，② ①-②得， 所以. 故答案为： 例6．已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【详解】（1）由，， 所以是首项、公比均为3的等比数列， 故； （2）由（1）有，则， 所以， 两式相减，得， 所以. 练习1．记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意， 所以，当时，， 两式作差得， 所以，则数列为常数数列， 且，所以； （2）， 所以，① ② ①-②得 所以 练习2．已知等差数列的前项和为，数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为,则 ∵，∴，解得 ∴数列的通项公式为. （2）由（1），得， ∴数列的前项和 ∴   ∴ 所以 练习3．已知数列中． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，得，即， 又，有， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，则有， ， ， ①-②得 ， ，即. 练习4．已知数列满足，. (1)求证：是等差数列； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【详解】（1）由，又， ∴，故，且， ∴是首项、公差均为的等差数列. （2）由（1），，则，又， ∴，则， ∴，， 则， ∴，. 重难点04裂项相消法之等差型及根式型 【解题必备】把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见等差型及根式型公式：（1）；（2）； （3）；（4）； （5） 例7．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 所以当时， ，， ……，， 所以， 所以. 当时，符合. 所以. 故选：B 例8．已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，，记数列的前项和，求证：. 【答案】（1）；（2）详见解析. 【详解】（1）当时，由得：；又由可得时，， 上面两式相减得：，即，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴； （2） ∵，∴，∴， 则， ∵，∴. 练习1．已知等差数列的前n项和满足，. (1)求的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得， 所以. （2）由（1）知，，则， 所以 . 练习2．已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）可得，则， 所以， 所以 . 练习3．在等比数列中，公比，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由及，得， 两式相减，得， 即， 所以， 由，得， 所以，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1），得， 所以. 练习4．已知数列的前n项和为，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得： 即， 所以数列为等差数列， 由得， 设公差为d，，得， 所以， 故数列的通项公式为． （2）， 所以． 重难点05裂项相消法之指数型及三角型 【解题必备】常见指数型及三角型公式：（1）； （2）； （3）； （4）；（5） （6） 例9．已知正项等比数列的前项和为且. (1)求； (2)求数列的前项的和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设公比为，由可得， 又，解得或， 由于为正项数列，所以，故； （2）由可得， ， 故 . 例10．已知数列满足，且的前项的和记为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， ∴ ， ∴ 故选：C 练习1．已知数列的前项和为，，，且. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）将两边同时除以， 得. 所以是等差数列. 当时，，公差是， 得，则，① 当时，，② ①-②，得，整理得， 则， 也符合，所以. （2）证明：由（1）得， 所以， 因为，所以. 练习2．已知是正项等差数列的前项和，满足． (1)求数列的通项公式． (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为． 因为．所以令，得． 因为，所以． 令，得，即， 所以，所以公差，则． 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以． （2）由（1）可得， 所以 ． 练习3．在数列中，，.设数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，可得， 即，所以，又， 所以是以为首项，2为公差的等差数列，则， ， ，因为，所以， 所以，又恒成立，即恒成立， ，即. 故答案为：. 练习4．已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，设． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前100项和． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）由题意可得：，且，可得， 所以，可得， 则， 所以数列是以公差为的等差数列. （2）由（1）可得， 则， 整理得， 则 ， 所以数列的前100项和. 重难点06倒序相加法 【解题必备】如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 例11．已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 【答案】C 【详解】①， ②， ①+②得 ， 所以. 故选：C. 例12．（2024-2025学年高二上学期12月检测数学试卷）若等比数列满足，则（    ） A． B．1012 C． D．1013 【答案】A 【详解】等比数列满足，则， 所以，对任意的的正整数， ， 令， 则， 故. 故选：A. 练习1．已知某数列的通项，则（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】D 【详解】令函数， 则， 所以． 所以，令，则， 则有，所以． 故选：D． 练习2．若，数列的前项和为，且，，则（    ） A．76 B．38 C．19 D．0 【答案】A 【详解】因为， 所以 所以的图象关于点对称， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 又，， 所以，， 所以，所以， 所以，， 所以. 故选:A. 练习3．定义在上的函数满足是奇函数，若数列的项满足：，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由条件可知，， 即， 所以， ， 两式相加得， 即，则. 故答案为： 练习4．已知函数，，则的对称中心为 ；若（），则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为R，， 由，得， 则， 因此函数图象的对称中心是； 由，得，当时，， ， ， 于是，即，所以数列的通项公式为. 故答案为：； 重难点07分段数列求和 【解题必备】（1）分奇偶各自新数列求和；（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：①可构建新数列；②可“跳项”求和 例13．在等比数列中，，公比，且，是与的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在等比数列中，，且， 所以，，即，则， 因为是与的等比中项，所以，， 而，则，所以，，，所以，， 所以，. （2）解：因为， 当时，，． 当时，， . 综上所述，. 例14．已知数列满足，数列为等比数列，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，若__________，记数列满足求数列的前项和. 在①，②成等差数列，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，， 令得，又数列为等比数列，所以公比为2，即， 因此，，所以数列是以1为首项2为公差的等差数列， 所以， （2）由（1）知数列为公比为2的等比数列 若选①，由得，所以，则 若选②，由成等差数列得， 即，所以，则 若选③，由得，所以，则 所以 所以，数列的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列， 偶数项是以4为首项4为公比的等比数列， 所以 练习1．已知数列的前项和为，，，等差数列的前项和为，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，① 所以当时，， 又，所以. 当时，，② ①式减去②式得，所以. 又，，所以，， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以. 设等差数列的公差为， 因为，，可得，解得， 所以，即的通项公式为. （2）因为，设数列的前项和为， 则， ， 因此，. 练习2．已知数列的首项，且满足． (1)证明：为等比数列； (2)已知，为的前项和，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由， 得， 又， 所以是以为公比，1为首项的等比数列． （2）由（1）可得， 即， 当为奇数时，； 当为偶数时，， 所以， ， . 练习3．已知等差数列 的前 项和为 . (1)求数列 的通项公式 ； (2)求数列 的前 项和 . 【答案】(1)或 (2)答案见解析. 【详解】（1）设首项为，公差为，因， 则或. 则或； （2）当时，； 当时，注意到时，， 则此时； 当时，， 则. 综上，当时， 当时，. 练习4．记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由，可得，所以， 又由，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， 当时，，所以， 又当时，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知当为奇数时，； 当为偶数时，， 所以 重难点08并项求和法 【解题必备】适用于或，采用两项合并求解. 例15．已知数列的通项公式为，则 . 【答案】 【详解】因，可得则， 又则， …, 则. 故 . 故答案为：. 例16．已知数列满足，，记数列的前n项和为. （1）求的值； （2）求的最大值. 【答案】（1）；（2）10. 【详解】（1）由可得 当时，      （ⅰ） 所以，，…，， 因此. （2）当时，      （ⅱ）， （ⅰ）式减去（ⅱ）式得， 又，于是， 可得；当时，； 又， 则时，； 又， 时，； 因此时，取得最大值，且. 【点睛】关键点点睛：在递推关系中前面的系数出现型如的形式时，需要分奇偶来分别写出递推关系，从而求得通项或前n项和，并借助单调性求得最值. 练习1．已知数列{an}满足，记数列的前项和为，则＝ ． 【答案】930 【详解】因为，，两式相减，则，即的相邻两个奇数项之和恒为1；又，，两式相加，则，所以 故答案为：930 练习2．已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设等比数列的公比为，由及， 得， 解得，于是，即， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 所以 . 练习3．已知在数列中，. (1)求数列 的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为，可得， 所以，当时，， 即，又因为，则； 当时，成立，所以. （2）解：由（1）知，， 所以 ， 因为， 于是， ， 所以，所以数列的前项的和为. 练习4．已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前99项和为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以，， 累加得， 所以. （2）因为，所以. 当时，； 当时，； 当时，. 所以数列是以3为周期的数列. 故. 重难点09先放缩后求和 【解题必备】若前n项和无法求出，则将通项放缩成可以求和的形式，再求和，最后证明不等式，放缩的思路主要有放缩成裂项相消法求和以及放缩成等比数列求和两种 例17．已知数列满足，，，成等差数列. (1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)记的前n项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【详解】（1）由，，成等差数列可得：， 因为，可得，所以两边同时除以得：， 上式可化为： 所以数列表示是以为首项，3为公比的等比数列 所以，即 （2）因为 所以 又因为 所以， （当n＝1时等号成立）， 综上可知：. 例18．记为数列的前项和，已知． (1)求证：数列是等差数列； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由题设且， 则，所以， 当时，，即， 综上，数列是公差为2的等差数列 （2）由题意及（1）得， 所以， 当时， 则， 又， 所以得证. 练习1．证明：，． 【答案】证明见解析 【详解】 ， 即， 令， 则， 两式相减得， 可得， ∴原式 且原式（或原式）． 综上，原不等式成立． 练习2．已知，抛物线与轴正半轴相交于点．设为该拋物线在点处的切线在轴上的截距． (1)求数列的通项公式； (2)设， 求证： （且）． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，令，解得 又在轴正半轴，故 ，故切线斜率 抛物线在点处的切线方程为 令 所以它在轴上的截距． （2）由题意， 故 又对且时 得证 练习3．已知数列的前n项和为，． (1)证明：数列为等比数列； (2)记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）， ，∴， 故数列为等比数列，首项为，公比为2； （2）由(1)可知，∴， . 练习4．已知数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：由，得， ∴， ∴是以为首项，以2为公比的等比数列， ∴， ∴数列的通项公式为； （2）解：当时，，即时，， ∴ ， 又时，， 综上，. 【跟踪练习】 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第11讲 数列求和的常见方法 重难点01等差等比公式求和 【解题必备】等差数列的前项和， 等比数列的前项和， 例1．将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（    ） A．55 B．75 C．111 D．135 例2．已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列. (1)求的通项公式： (2)若为数列的前项和，求证：． 练习1．对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（   ） A． B． C． D． 练习2．等差数列中，，记，则当 时，取得最大值． 练习3．已知正项数列满足，（且），设． (1)求，，； (2)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (3)求的通项公式．并求其前n项和． 练习4．已知是单调递增的等差数列，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，求． 重难点02分组求和法 【解题必备】适用于的形式,其中数列是等差数列或等比数列 例3．已知等差数列，，，则数列的前n项和为（   ） A． B． C． D． 例4．已知等差数列的前项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 练习1．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若满足，．设为数列的前n项和，求． 练习2．已知数列满足，. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 练习3．已知数列满足，点在直线上. (1)设，证明为等比数列； (2)求数列的前项和. 练习4．已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 重难点03错位相减法 【解题必备】如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解． 错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． 例5．已知数列的通项公式为，则此数列的前项和 . 例6．已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 练习1．记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 练习2．已知等差数列的前项和为，数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 练习3．已知数列中． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； 练习4．已知数列满足，. (1)求证：是等差数列； (2)若，求数列的前n项和. 重难点04裂项相消法之等差型及根式型 【解题必备】把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见等差型及根式型公式：（1）；（2）； （3）；（4）； （5） 例7．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 例8．已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，，记数列的前项和，求证：. 练习1．已知等差数列的前n项和满足，. (1)求的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 练习2．已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 练习3．在等比数列中，公比，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为. 练习4．已知数列的前n项和为，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 重难点05裂项相消法之指数型及三角型 【解题必备】常见指数型及三角型公式：（1）； （2）； （3）； （4）；（5） （6） 例9．已知正项等比数列的前项和为且. (1)求； (2)求数列的前项的和. 例10．已知数列满足，且的前项的和记为，则（　　） A． B． C． D． 练习1．已知数列的前项和为，，，且. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：. 练习2．已知是正项等差数列的前项和，满足． (1)求数列的通项公式． (2)设，求数列的前项和． 练习3．在数列中，，.设数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围为 . 练习4．已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，设． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前100项和． 重难点06倒序相加法 【解题必备】如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 例11．已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 例12．（2024-2025学年高二上学期12月检测数学试卷）若等比数列满足，则（    ） A． B．1012 C． D．1013 练习1．已知某数列的通项，则（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 练习2．若，数列的前项和为，且，，则（    ） A．76 B．38 C．19 D．0 练习3．定义在上的函数满足是奇函数，若数列的项满足：，则数列的通项公式为 ． 练习4．已知函数，，则的对称中心为 ；若（），则数列的通项公式为 ． 重难点07分段数列求和 【解题必备】（1）分奇偶各自新数列求和；（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：①可构建新数列；②可“跳项”求和 例13．在等比数列中，，公比，且，是与的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求． 例14．已知数列满足，数列为等比数列，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，若__________，记数列满足求数列的前项和. 在①，②成等差数列，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解. 练习1．已知数列的前项和为，，，等差数列的前项和为，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 练习2．已知数列的首项，且满足． (1)证明：为等比数列； (2)已知，为的前项和，求． 练习3．已知等差数列 的前 项和为 . (1)求数列 的通项公式 ； (2)求数列 的前 项和 . 练习4．记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 重难点08并项求和法 【解题必备】适用于或，采用两项合并求解. 例15．已知数列的通项公式为，则 . 例16．已知数列满足，，记数列的前n项和为. （1）求的值； （2）求的最大值. 练习1．已知数列{an}满足，记数列的前项和为，则＝ ． 练习2．已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和. 练习3．已知在数列中，. (1)求数列 的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2024项和. 练习4．已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前99项和为，求. 重难点09先放缩后求和 【解题必备】若前n项和无法求出，则将通项放缩成可以求和的形式，再求和，最后证明不等式，放缩的思路主要有放缩成裂项相消法求和以及放缩成等比数列求和两种 例17．已知数列满足，，，成等差数列. (1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)记的前n项和为，证明：. 例18．记为数列的前项和，已知． (1)求证：数列是等差数列； (2)若，求证：． 练习1．证明：，． 练习2．已知，抛物线与轴正半轴相交于点．设为该拋物线在点处的切线在轴上的截距． (1)求数列的通项公式； (2)设， 求证： （且）． 练习3．已知数列的前n项和为，． (1)证明：数列为等比数列； (2)记数列的前n项和为，证明：． 练习4．已知数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)证明： 【跟踪练习】 2 学科网（北京）股份有限公司 $$