精品解析：2024-2025学年 人教版九年级数学上册期末试卷 （内蒙古专版试卷一）

2024-2025年内蒙古专版九年级数学期末试卷（试卷一） 时间：120分钟总分：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 I卷 一、单选题（共30分） 1. 将二次函数化为的形式，结果为（　　） A. B. C. D. 2. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（　　） A. 0 B. C. D. 3. 有张大小、材质相同，背面无差别卡片正面上分别写着：台湾岛是我国第一大岛；我国的领海宽度为海里；澳门于年月日回归祖国．已知正确，错误（澳门于年月日回归祖国），则将卡片背面朝上放置在桌上，从中随机抽取两张，上面的国防知识都正确的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，等边三角形和正方形都内接于，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，且，则下列说法错误的是（　　） A. 存在一个m，使得 B. C. m值不可能为2 D. 当时，则 9. 如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ） A B. C. D. 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ II卷 二、填空题（共18分） 11. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给__________个人. 12. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 13. 如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC的长为6，∠ACB的角平分线交⊙O于D，则CD长为_____． 14. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 15. 如图所示，矩形的边在x轴上，在y轴上，反比例函数的图象x经过边上的点D和边上的点E，若D好是的中点，其坐标为，连接，则四边形的面积为_________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，1)、B(0，1+t)、C(0，1-t)(其中t＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1 为半径⊙D上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的取值范围是_____ ． 三、解答题（共52分） 17. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 18. 如图，已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中经过的路径长． 19. 随着初三同学体考结束，初二年级大课期间开始对跳绳、实心球和立定跳远这三项运动进行专项训练，为了了解同学们对这三项训练技巧的掌握情况，学校体育组抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果分为了四类：掌握3项技巧的为A类，掌握2项技巧的为B类，掌握1项技巧的为C类，掌握0项技巧的为D类，并绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）被调查的学生一共有 人；并请补全条形统计图； （2）若初二年级共有2500名学生，则初二年级大约有 名学生已掌握3项训练技巧； （3）A类的5名同学中有且仅有2名来自同一个班，现A类的5名同学中随机抽取2名同学来分享经验，用树状图或表格法求抽到的两个人恰好来自同一个班的概率． 20. 已知电灯电路两端的电压U为，设灯泡内钨丝的电阻为，通过的电流强度为． （1）求I关于R的函数表达式和自变量R的取值范围． （2）画出这个函数的图象． （3）如果通过钨丝的电流强度的最大限度不得超过，求选用灯泡电阻的允许值范围（精确到）． 21. 商场某种商品平均每天可销售60件，每件盈利100元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，请回答： （1）商场日销售量80件，商场日盈利可达到______元（直接填答案）； （2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到8400元？ （3）若商场日盈利元，求的最大值． 22. 如图，是的直径，于点M，M为的中点，过点作交的延长线于点．点在上，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 定义：如图，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．特例感知：在图，图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． （1）如图，当为等边三角形时，与的数量关系为___； （2）如图，当，时，的长为______，猜想论证； （3）在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给出证明过程． 24. 如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是． (1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标． (2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由． (3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年内蒙古专版九年级数学期末试卷（试卷一） 时间：120分钟总分：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 I卷 一、单选题（共30分） 1. 将二次函数化为的形式，结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先提取二次项系数−1，再根据完全平方公式整理即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，熟知配方法是解题的关键． 2. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据关于的方程有两个不相等的实数根得出，求出的取值范围，再找出符合条件的的值即可． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 观察四个选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 3. 有张大小、材质相同，背面无差别的卡片正面上分别写着：台湾岛是我国第一大岛；我国的领海宽度为海里；澳门于年月日回归祖国．已知正确，错误（澳门于年月日回归祖国），则将卡片背面朝上放置在桌上，从中随机抽取两张，上面的国防知识都正确的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，首先根据题意列表，然后由表格求得所有等可能的结果与从中随机抽取两张，上面的国防知识都正确的情况，再利用概率公式即可求得答案，掌握用列表法或画树状图法求概率． 【详解】如图， 由表格可知，共种等可能的结果，正确，错误，其中卡片上面的国防知识都正确的结果有种， ∴从中随机抽取两张，上面的国防知识都正确的概率是， 故选：． 4. 已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由a＞b＞c，且a+b+c=0，确定a＞0，c＜0，与x轴交点一个是（1，0），采取排除法即可选出所选答案. 【详解】解：A、由图知a＞0，-=1，c＞0，即b＜0， ∵已知a＞b＞c，故本选项错误； B、由图知a＜0，而已知a＞b＞c，且a+b+c=0，必须a＞0，故本选项错误； C、图C中条件满足a＞b＞c，且a+b+c=0，故本选项正确； D、∵a+b+c=0，即当x=1时a+b+c=0，与图中与x轴的交点不符，故本选项错误． 故选C. 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，点的坐标特点等知识点，灵活运用性质进行说理是解此题的关键．题型较好. 5. 如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据得到，再由四边形内接于得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴, 故选：C． 6. 在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质和判定、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由得出，根据旋转的性质可得为等腰三角形，再利用三角形的内角和定理得到，最后利用旋转角即可得出结论． 【详解】解：， ， 又、为对应点，点A为旋转中心， ，即为等腰三角形， ， 又、为旋转角， ． 故选：A． 7. 如图，等边三角形和正方形都内接于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解是解题的关键；过点作，，设圆的半径为，根据垂径定理可得与是直角三角形，根据三角函数值计算求解即可． 【详解】解：如图，过点作，，设圆的半径为， ∴与是直角三角形，， ∵等边三角形和正方形都内接于， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 8. 已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，且，则下列说法错误的是（　　） A. 存在一个m，使得 B. C. m的值不可能为2 D. 当时，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的综合，勾股定理的运用，根据正比例函数与反比例函数的图象和性质结合已知条件一一判断即可． 【详解】解：A、当时，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，，则，故说法正确； B、正比例函数与反比例函数的图象交于点，，则A、B关于原点对称，所以，故正确； C、反比例函数y的图象在二、四象限，而正比例函数在一、三象限，两函数图象不会相交，所以m的值不可能为2，故正确； D、由题意可知A在第二象限，点B在第四象限，当时，则，故错误， 故选：D． 9. 如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠，，进一步得到四边形OACB是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积=扇形AOB面积-菱形的面积，即可 【详解】依题意：， ∴ ∴四边形OACB是菱形 ∴ 连接OC ∵ ∴ ∴是等边三角形 同理：是等边三角形 故 由三线合一，在中： 故选：B 【点睛】本题考查菱形的判定，菱形面积公式，扇形面积公式；解题关键是发现是等边三角形 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质，待定系数法求二次函数解析式等．根据题意求出的值，代入得到的关系，再根据对称轴在直线的右侧即可求出本题答案． 【详解】解：∵点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴点关于原点对称， ∴， ∴， 将代入中，， 解得：， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴，即， ∴， 故④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴③错误，不符合题意， 综上所述：正确的是①②④， 故选：C． II卷 二、填空题（共18分） 11. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给__________个人. 【答案】7 【解析】 【详解】试题分析：设每轮传染中平均一个人传染给x个人， 则根据题意可知：， 解得：x=7或x=-9(舍去)， 故每轮传染中平均一个人传染给7个人． 12. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．根据一元二次方程解的定义得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC的长为6，∠ACB的角平分线交⊙O于D，则CD长为_____． 【答案】7． 【解析】 【详解】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB． ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD ∴DF=DG，弧AD=弧BD， ∴DA=DB． ∵∠AFD=∠BGD=90°， ∴△AFD≌△BGD， ∴AF=BG． 易证△CDF≌△CDG， ∴CF=CG． ∵AC=6，BC=8， ∴AF=1，（也可以：设AF=BG=X，BC=8，AC=6，得8-X=6+X，解X=1） ∴CF=7， ∵△CDF是等腰直角三角形，（这里由CFDG是正方形也可得）． ∴CD=． 故选B． 14. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 【答案】120 【解析】 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm）， 设圆心角的度数是n度． 则=4π， 解得：n=120． 故答案为120． 15. 如图所示，矩形的边在x轴上，在y轴上，反比例函数的图象x经过边上的点D和边上的点E，若D好是的中点，其坐标为，连接，则四边形的面积为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再根据点D为线段的中点即可找出点的坐标，根据k值几何意义得出求解即可； 【详解】∵D坐标为，点在反比例函数的图象上 ∴ ∵D好是的中点 ∴点的坐标为 ∵四边形为矩形，点D、E在反比例函数 的图象上， ∴ ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数系数k的几何意义，根据点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数k值是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，1)、B(0，1+t)、C(0，1-t)(其中t＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1 为半径的⊙D上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的取值范围是_____ ． 【答案】4≤t≤6 【解析】 【分析】根据点A、B、C的坐标，可知点A是BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得AP的长，再由勾股定理解得AD的长，最后由点与圆的位置关系解得t的最大值与最小值，进而确定t的取值范围． 【详解】连接AP， 由题意得， t要最大，就是点A到上的一点的距离最大 在AD延长线上， 的最大值是APAD+PD=5+1=6 的最小值是APAD-PD=5-1=4 故t的取值范围为： 4≤t≤6 故答案为：4≤t≤6． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，其中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形中线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 三、解答题（共52分） 17. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握相关解法是解题的关键； （1）根据配方法得，再开平方解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法化，再解两个一元一次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 ； ∴． ∴， 即， ∴，或． ∴，． 18. 如图，已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中经过的路径长． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换和轴对称以及求弧长： （1）由轴对称的性质先确定的坐标，再描点，连线即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点即可； （3）根据勾股定理求出，再根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 如图，为所作，点的坐标为． 【小问2详解】 如图，即为所求作； 【小问3详解】 ， 的长度为． 即点旋转到点的过程中经过的路径长为． 19. 随着初三同学体考的结束，初二年级大课期间开始对跳绳、实心球和立定跳远这三项运动进行专项训练，为了了解同学们对这三项训练技巧的掌握情况，学校体育组抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果分为了四类：掌握3项技巧的为A类，掌握2项技巧的为B类，掌握1项技巧的为C类，掌握0项技巧的为D类，并绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）被调查的学生一共有 人；并请补全条形统计图； （2）若初二年级共有2500名学生，则初二年级大约有 名学生已掌握3项训练技巧； （3）A类的5名同学中有且仅有2名来自同一个班，现A类的5名同学中随机抽取2名同学来分享经验，用树状图或表格法求抽到的两个人恰好来自同一个班的概率． 【答案】（1）50，见解析 （2）250 （3） 【解析】 【分析】（1）用D的人数除以所占的百分比，求出调查的学生数，再用总人数减去其他类别的人数，求出C类的人数，从而补全统计图； （2）用总人数乘以已掌握3项训练技巧的人数所占的百分比即可； （3）根据题意先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，继而根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 被调查的学生一共有：8÷16%=50（人）； C类别的人数有：50-5-16-8=21（人），补全统计图如下： 故答案为：50； 【小问2详解】 （名）， 故答案为：250； 【小问3详解】 将同一个班的2名学生均记为A，其他记为B、C、D，列表如下： 由表可知，共有20种等可能结果，其中所抽取的2名学生恰好来自同一个班级的有2种结果， 所以所抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率为． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20. 已知电灯电路两端的电压U为，设灯泡内钨丝的电阻为，通过的电流强度为． （1）求I关于R的函数表达式和自变量R的取值范围． （2）画出这个函数的图象． （3）如果通过钨丝的电流强度的最大限度不得超过，求选用灯泡电阻的允许值范围（精确到）． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得即可求解； （2）根据列表描点连线画出图像即可； （3）根据题意列不等式即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 列表如下： 描点连线如下： ； 【小问3详解】 当时，， 解得：， ∴选用灯泡电阻的允许值范围为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后根据关系式求解相关数据． 21. 商场某种商品平均每天可销售60件，每件盈利100元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，请回答： （1）商场日销售量80件，商场日盈利可达到______元（直接填答案）； （2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到8400元？ （3）若商场日盈利元，求的最大值． 【答案】（1）7200 （2）每件商品降价40元，商场日盈利可达8400元 （3）的最大值为8450元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程求解是解决问题的关键． （1）根据销量可得出降价的数目，根据降价后每件的利润销量日盈利进行计算即可； （2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到8400元，列出方程求解即可； （3）表示出关于的方程，然后整理为关于的一元二次方程，根据判别式，可得出的最大值． 【小问1详解】 解：由销量增加了20件，得降价了10元， 日盈利（元， 故答案为：7200； 【小问2详解】 解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到8400元， 由题意得：， 化简得：，解得：，， 该商场为了尽快减少库存，则不合题意，舍去， ， 答：每件商品降价40元，商场日盈利可达8400元； 【小问3详解】 解：由（2）得， 化简得：， 由得，，解得：， 故的最大值为8450， 答：商场日盈利元，的最大值为8450元． 22. 如图，是的直径，于点M，M为的中点，过点作交的延长线于点．点在上，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，由，即垂径定理可得为等边三角形，可得到，由平行线的判定可得，结合交的延长线于点，得到，根据切线的判定即可求解； （2）如图所示，连接，，由（1）中，根据含角的直角三角形的性质可得，根据垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质可得，，，，根据圆周角定理可得，在中，根据含角的直角三角形的性质可得，由此即可求解． 小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵直径， ， ， ，为的中点， ∴是的垂直平分线，则，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 交的延长线于点， ， ， ， 为半径，， 为切线， 【小问2详解】 解：如图所示，连接，， ，，， ， 直径， ， ，， ，则， ， ， ， ，，， ， ， ， ，，， ． 【点睛】本题主要考查切线的判定，垂径定理，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，含的直角三角形的性质等知识的综合，掌握切线的判定方法，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 定义：如图，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．特例感知：在图，图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． （1）如图，当为等边三角形时，与的数量关系为___； （2）如图，当，时，的长为______，猜想论证； （3）在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）； （2），猜想论证见解析； （3），证明见解析． 【解析】 【分析】（）首先证明是含有是直角三角形，可得即可解决问题； （）首先证明，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题； （）延长至点使得，连接、，证明四边形是平行四边形，根据性质得，，由，则，所以，从而证明即可求解． 【小问1详解】 ∵是等边三角形， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵是的“旋补三角形”， ∴，，， 在和中， ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 猜想：， 证明：如图，延长至点使得，连接、， ∵是的中线，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 24. 如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是． (1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标． (2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由． (3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？ 【答案】（1）直线y=x+4，点B的坐标为（8，16）；（2）点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18． 【解析】 【分析】（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标； （2）分若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2三种情况求得m的值，从而确定点C的坐标； （3）设M（a，a2），得MN=a2+1，然后根据点P与点M纵坐标相同得到x=，从而得到MN+3PM=﹣a2+3a+9，确定二次函数的最值即可． 【详解】（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2， ,A点的坐标为（-2，1）， 设直线的函数关系式为y=kx+b， 将（0，4），（-2，1）代入得 解得 ∴y＝x＋4 ∵直线与抛物线相交， 解得：x=-2或x=8， 当x=8时，y=16， ∴点B的坐标为（8，16）； （2）存在． ∵由A(－2，1)，B(8，16)可求得AB2＝=325 .设点C(m，0)， 同理可得AC2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5， BC2＝(m－8)2＋162＝m2－16m＋320， ①若∠BAC＝90°，则AB2＋AC2＝BC2，即325＋m2＋4m＋5＝m2－16m＋320，解得m＝－； ②若∠ACB＝90°，则AB2＝AC2＋BC2，即325＝m2＋4m＋5＋m2－16m＋320，解得m＝0或m＝6； ③若∠ABC＝90°，则AB2＋BC2＝AC2，即m2＋4m＋5＝m2－16m＋320＋325，解得m＝32， ∴点C的坐标为(－，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)　 （3）设M(a，a2)， 则MN＝， 又∵点P与点M纵坐标相同， ∴x＋4＝a2， ∴x= ， ∴点P的横坐标为， ∴MP＝a－， ∴MN＋3PM＝a2＋1＋3(a－)＝－a2＋3a＋9＝－ (a－6)2＋18， ∵－2≤6≤8， ∴当a＝6时，取最大值18， ∴当M的横坐标为6时，MN＋3PM的长度的最大值是18 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$