第8章 数列之拔高题型讲义——2025届高三数学一轮复习

模块3 数列拔高题型 §第1节 奇偶数列问题一求和篇 一、内容提要 有的数列求和时需分n为奇数和偶数讨论，常见的有以下两类： 1. 通项为奇偶分段的结构：例如， 这种情况奇数项和偶数项各自构成不同类型的数列，求和时常按奇数项、偶数项分组求和. 2. 通项含(-1)n这种结构：由于通项中含所以求和时会出现正负交替的现象，求和时常把相邻两项组合. 3. 递推式含(-1)n这类结构：可分奇偶讨论将递推式化简，再进行分析. 二、考点题型 类型Ⅰ：通项为奇偶分段的数列求和 【例1】已知数列{an}满足 (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 令 求数列 的前n项和 【反思】若通项按奇偶分段，只需按奇数项、偶数项分组求前 n项和即可. 类型Ⅱ：通项或递推式含(-1)n的数列求和 【例2】设 则数列{an}的前n项和 【反思】当通项中有(-1)n时，常按相邻项分组求和：求和时先求 n为偶数的情形，此时恰好分整数组，再求 n为奇数的情形，可通过添项凑成偶数项，即 这样可以简化计算. 【例3】已知数列{an}满足 求数列 的前20项和. 【反思】当递推公式中含有(-1)n这种结构时，往往需要通过分奇偶讨论，化简递推式，再进行分析. 【例4】设{an}是等差数列, {bn}是等比数列,且 (1)求{an}与{bn}的通项公式; (2) 设{an}的前 n项和为 Sn, 求证: (3) 求 【总结】若通项中含有(-1)n这类结构，且不易整体求和，则可以考虑按相邻两项组合，进行分组求和. §第2节 奇偶数列问题一综合篇 一、内容提要 高考中常见的需分奇偶讨论的情形有下面几种： 1. 递推式分奇偶：n为奇数和n为偶数时的递推公式不同，此时一般需通过分奇偶讨论来分析数列 2. 递推式为 an+2和an的关系：此为隔项递推，它反映的是相邻的奇数项，或相邻的偶数项之间的关系，在分析这种递推式时，往往也需分奇偶讨论. 有的题给的虽是和之间的递推式，但直接分析不易，要化为an+2和 an的递推式来处理. 如本节例2的变式. 注意：分奇偶讨论时，下标变换是常用操作，的奇数项构成的数列可表示为偶数项构成的数列为将 看成定义在 上的函数，记作 则 而对于已知和求 的问题，本质上就是已知 和f(2k)求f(n),可用换元法, 分别令2k-1和2k等于n, 便可求得各自的f(n), 即an. 二、考点题型 类型Ⅰ：递推式分奇偶 【例1】已知数列{an}满足 . (1)记 写出b₁, b₂,并求数列{bn}的通项公式; (2) 求{an}的前20项和. 【反思】遇到像本题所给的分奇偶的递推式，可先把n=2k-1和n=2k分别代入，将下标变换成k，建立,,的关系式，消去偶数项即可找到奇数项的关系. 【变式】已知数列{an}满足 其中 (1) 设 证明：数列 为等比数列,并求an; (2)求数列的前n项和. 【反思】求得和后，还原成 an的方法是直接把下标2k-1和2k代换成n. 类型Ⅱ：递推式为an+2和 an的关系 【例2】已知数列{an}满足 且 则 【反思】若{an}满足 则{an}的奇数项、偶数项各自构成公差为 d 的等差数列，所以遇到这类递推式，应分奇偶讨论求通项公式. 【变式】已知数列{ an}满足且 求{an}的通项公式. 【反思】像 这种递推公式，可进n得到两式相除得 从而分奇偶讨论. §第3节 数列综合大题专项 一、内容提要 本节收录一些数列综合大题，包括开放性大题、数列的去项和添项问题等. 1. 开放性大题：题干可能给出几个条件，让我们选1个或2个，再解答问题，这类题作答前应先评估怎样选条件，接下来的解题过程自己比较熟悉. 2. 去项和添项问题：这类题的核心是分析去项、添项后的数列的构成，要解决这个问题，往往需要结合通项先估计临界位置大概在哪里，再到附近去尝试. 3. 特值探路法：当由所给关系式不易正面求解问题时，可考虑通过取n=1，2，3等来找到问题的答案，再进行分析，这种方法一般称之为“特值探路法”. 4. 丢项放缩：在某些证明与前n项和有关的不等式问题中，若前n项和无法求出，则常考虑将其放缩成能求和的新数列，具体常见放缩方法见例4的反思. 二、考点题型 类型Ⅰ：开放性数列大题 【例1】 已知数列{an}的各项均为正数,记 Sn为{an}的前n项和, 从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列 是等差数列；②数列 是等差数列； 【反思】上面的证法2、3，核心思想都是消元，根据 把其它有关的量全部用表示，证出结论. 类型Ⅱ：数列中的特值探路 【例2】已知数列{an}为等差数列, {bn}为等比数列且公比q=2, 数列{an}和{bn}的前 n项和分别为 Sn和 Tn, 且满足 求等差数列{an}的通项公式. 【反思】若已知某一个或几个数列为等差、等比数列，但又不易直接翻译已知条件求得通项，还可考虑取特值探路. 例如本题就是通过取n=1，2，3构造关于a₁，b₁和d的方程组，求解出了两个数列的参数. 类型Ⅲ：数列中的去项、添项问题 【例3】已知数列{an}满足 (1) 证明数列 是等比数列，并求 的通项公式； (2) 设 在数列 中将 中的项去掉，余下的项按原顺序构成数列 求 【变式】已知数列{an}的前n项和为 Sn, 且 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设集合将集合PQ中的项按照从小到大的顺序排列，得到数列{xn}，求数列{xn}的前50项和. 【总结】从上面两道题可以看出，数列的去项、添项问题，核心在于分析去项、添项后的数列的构成，要解决这个问题，往往需要结合通项先估计临界位置大概在哪里，再到附近去尝试. 类型Ⅳ：丢项放缩大题 【例4】已知数列 满足 (1) 证明: 数列 是等差数列，并求 (2) 若数列 满足 证明： 【反思】我们总结几种常见的放缩方式：①直接丢项，例如 ②糖水不等式放缩，例如；③全放缩成一样的，如本题对 bn的放缩. 类型V：数列综合分析 【例5】图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数q, … … … … … … (1) 设 求数列 的通项公式； (2) 设 是否存在实数λ，使 恒成立? 若存在，求出λ的所有值，若不存在，请说明理由. 【反思】有些数列大题，有着类似“新定义”的背景，此类题并无通法，我们就需要仔细分析题目的条件，将其转化为我们熟悉的知识，如本题，我们将复杂的数阵拆分为熟知的等差与等比数列，思路就出来了. §第4节 数列拔高小题专项 一、内容提要 数列综合小题种类繁多，若是压轴小题，难度往往较大，本节归纳了下面几类常见的题型： 1. 数列的单调性： 为递增数列⇔ 恒成立， 为递减数列⇔ 恒成立.分析数列的最大项或最小项，常需要判断数列的单调性，若通项不复杂，则可根据 用函数的方法来判断单调性. 若通项较复杂或没给通项，只给了递推公式，则可通过作差判断 的正负来研究 的单调性； 若是正项数列，也可作商判断 与1的大小. 2. 两数列的公共项问题：对于数列和 的公共项有关问题，在小题中有时可列出若干项，观察规律就能解决. 若要严格论证，由于公共项在两数列中的位置不同，故常设 建立m和n的关系，结合m，n都为正整数来分析它们的取值情况. 3. 递推式裂项：有的递推公式通过变形，可产生同一数列前后项的差(裂项)，那么就可对其求和，进而分析一些问题. 4. 数列中构造函数分析：在数列问题中，若涉及到指数、对数、三角与多项式混合的超越式，往往考虑构造函数分析问题. 5. 放缩求和：当数列 无法求和，而问题又与其前n项和有关时，可考虑将 an放缩成能求和的式子来处理，放缩时应尝试与 an形式接近的能求和的结构. 常见的有放缩成等比数列、可裂项结构等. 6. 找规律：这类题会给出一列数，或一些图形，解题的关键在于找到它们的规律，然后运用数列的方法进行接下来的推理. 7. 综合提升题：这部分收录一些未进行归类的数列综合小题. 二、考点题型 类型Ⅰ：数列的单调性与最大最小项 【例1】已知 为递减数列，若 则实数λ的取值范围是 . 【变式1】若 且数列 为递增数列，则实数λ的取值范围是 . 【变式2】设数列{an}的前n项和为 Sn, 已知 且 其中n≥2,则 的最大值是 . 【总结】常通过比较 an与an+1的大小来判断数列{an}的单调性，有时会考虑先化简再作差 (商). 类型Ⅱ：两数列的公共项问题 【例2】将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列 则的前n项和为 . 【总结】数列和的公共项问题，有限罗列总结规律是小题中常用的方法之一.若要严格论证，可设建立m和n的关系，再结合*来分析各自的取值情况，从而解决问题. 类型Ⅲ：递推式裂项 【例3】设数列满足 用[x]表示不超过x的最大整数，则 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【总结】对递推式裂项，常从要求和的式子出发，由递推式凑出该结构，并分离出来，达到裂项的效果. 类型Ⅳ：数列中构造函数分析 【例4】已知数列 满足 则下列说法正确的是( ) 【例5】已知等差数列的前 n项和为Sn, , 则下列结论正确的是 ( ) C. =22, 【总结】由上面两道题可以看出，当所给条件为指数、对数、三角与多项式混合的超越结构时，这类式子不大可能通过简单变形就解决问题，故常考虑构造函数分析. 类型V：放缩求和 【例6】(多选) 已知数列满足 则 ( ) 是等比数列 【反思】若要放缩成等比数列求和，直接丢项是最简单的放缩方法，但若尝试后发现不行，则可用待定系数法来调整. 另外，本题的不等式也可用糖水不等式来证，即. 类型Ⅵ：找规律 【例7】已知 数列1, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 1, 2, 4, 8, 4, 2, 1, …, 1, 2, 4, …,2k-2, 2k-1, 2k-2, …, 4, 2, 1, … 的前n项和为 若 则 n的最小值为 . 类型Ⅶ：综合提升题 【例8】 已知数列的各项均为正数, 的前n项和 Sn满足 给出下列四个结论: ①; ②为常数列; ③为递增数列; ④中存在小于的项.其中所有正确结论的序号是 . 【反思】当正面证明结论较困难时，可考虑用反证法，即先假设结论不成立，并由此出发推出矛盾，从而否定假设，得出结论. 学科网（北京）股份有限公司 $$