精品解析：四川省职教高考研究联合体2024一2025学年普通高等学校对口招生第二次模拟考试数学试题

2024-2025学年四川省职教高考研究联合体 普通高校对口招生第二次模拟考试 数学试卷 2024-12 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）.第I卷1-2页，第II卷3-4页，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（共60分） 注意事项： 1.必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2.第I卷共1大题，15小题，每小题4分，共60分. 一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据区间的运算求解交集即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式求解即可. 【详解】. 故选：A. 3. 已知不等式的解集为，则，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】先根据解集，判断出是原式的零点，再代入求解即可知道、的值. 【详解】依题意和是不等式对应的方程的根， 将代入方程得，解得， 再把代入不等式为，可化为 解得，所以，. 故选：C. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式求解定义域即可. 【详解】因为函数，所以，解得且， 所以函数定义域为， 故选：D 5. 已知向量，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算及模长计算公式进行求解即可. 【详解】， ， . 故选：B. 6. 若直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线垂直，建立关于的等式，求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：C. 7. （ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数幂的性质及对数的运算求解. 【详解】. 故选：B 8. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程以及椭圆的焦点位置，即可求解. 【详解】椭圆方程为， 椭圆的标准方程为：， 椭圆的焦点在y轴上， ， 焦点为， 由题意可设，所求的椭圆方程为， 又有相同焦点，且短轴长为2， ，， ， 有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为. 故选：B. 9. 函数，是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期公式与奇偶性计算判断即可. 【详解】设，则， 故函数为奇函数； 又其最小正周期为， 所以函数，是最小正周期为的奇函数. 故选：. 10. 子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自《论语·卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】“工欲善其事，必先利其器.”意思是工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良， 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立； 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件. 故选：B. 11. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面之间的关系和线面之间的关系，对选项进行判断即可求解. 【详解】对于选项A：若，，则或，故A错误. 对于选项B：若，，则，是根据垂直与同一平面的两直线平行，故B正确. 对于选项C：若，，则或平面与平面相交，故C错误. 对于选项D：若，，则或，故D错误. 故选：B. 12. 要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦型函数的平移规则求解即可. 【详解】因为， 所以要得到的图像， 只需要将的图像向左平移个单位就可以. 故选：A. 13. 某电视台计划在五一期间某段时间连续播放5个广告，其中2个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个必须是公益广告，且商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 64种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步计数结合排列的问题即可求解. 【详解】由题意得，分2步进行分析：首先3不同的公益广告排成一列有种方法， 其次除去最开始的空位，3个不同的公益广告形成的三个空可供商业广告选择， 则商业广告有种方法，所以总共有种方式. 故选：D. 14. 四川省某中职学校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据直方图计算，这400名学生中每周的自习时间不少于25小时的人数是（ ） A. 240 B. 300 C. 120 D. 280 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算，这两组的人数，由频数的计算公式计算即可. 【详解】自习时间在的人数有人， 自习时间在的人数有人， 这400名学生中每周的自习时间不少于25小时的人数共有人. 故选：C. 15. 已知定义在上的偶函数满足，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据和偶函数的性质，得到函数是周期函数，再将化为，即可求解. 【详解】依题意，令，得到， 因为在上是偶函数，所以， 代入到，得， 即，得到， 所以， 因此是周期为4的函数，即， 所以， 故选：C. 第II卷（共90分） 注意事项： 1.必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试卷、草稿纸上无效. 2.第II卷共2大题，11小题，共90分. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 16. 已知单位向量，的夹角为，且与垂直，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知求得，再由与垂直，可得，展开即可求得的值. 【详解】因为为单位向量，且夹角为， 所以， 又与垂直， 所以， 即，则. 故答案为：. 17. 在的二项展开式中，项的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式的展开通项公式即可求解. 【详解】由题意得，展开的通项公式为. 令，解得，则，即项的系数为. 故答案为：. 18. 已知函数，__________. 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数的解析式，直接代入计算即可. 【详解】因为函数， 所以， 所以. 故答案为：. 19. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点到直线的距离为5，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程确定准线方程，再由抛物线的定义即可求值. 【详解】已知抛物线，其中 准线方程为，由于点在抛物线上， 且点到直线的距离为5， 则点到准线的距离为， 因为点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以. 故答案为：3. 20. 公元前4世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究，他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数，形数是联系算数和几何的纽带，如图所示为五角形数的前4个，则第10个五角形数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】记第个五角形数为，根据题意得到与的递推关系式，从而利用累加法与等差数列的求和公式即可得解. 【详解】记第个五角形数为， 由题意知： 可得， 由累加法得 ， 所以. 故答案为：. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21. 某公司组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是每人从装有质地均匀、大小相同的4个黄球、4个红球的箱子中一次性地随机摸出3个球，若恰有1个红球可获得50元优惠券，恰有2个红球可获得100元优惠券，3个都是红球可获得200元优惠券，其他情况无优惠券.小王参加了公司的抽奖活动. （1）求小王恰好摸出1个黄球的概率； （2）设小王获得的优惠券金额为，求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型公式计算求解即可； （2）分情况写出离散型随机变量的分布列及数学期望即可. 【小问1详解】 记事件A：小王恰好摸出1个黄球，则. 【小问2详解】 由题意得，的可能取值为， 所以的分布列为 0 50 100 200 所以. 22. 已知等差数列的公差，为数列的前项和，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等比数列，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对于等差数列，通项公式为，根据已知条件列出关于和的方程组来求解通项公式即可； （2）先求出，的值，再根据等比中项性质求出的值. 【小问1详解】 因为是等差数列，所以，则，， 已知，即， 又因为，，，所以， 解①②得：， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由可得，， 等差数列的前项和公式为， 将代入得， . 因为，，成等比数列，所以，即， 解得或， 又因为，所以. 23. 在钝角中，角所对的边分别是，且. （1）求的值； （2）若的外接圆半径为，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和为，以及两角和差的正弦公式化简，再根据正弦定理进行边角互换，即可求解. （2）根据正弦定理先求得，再根据余弦定理得到，即可求解. 【小问1详解】 因为，又， 所以， 即， 得到， 因为为钝角三角形，所以， 即，根据正弦定理得到，故. 【小问2详解】 由正弦定理得到， 又根据余弦定理得， 所以，则. 24. 如图所示，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，. （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，再根据线面垂直证明面面垂直. （2）由三棱锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 如图所示，连接BD， 由是菱形，且知，是等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； 【小问2详解】 因为平面，所以平面， 所以是三棱锥的高， 在等边三角形中，因为，所以， 所以， 所以. 25. 已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点. （1）求的轨迹方程； （2）当时，求直线的方程及的面积. 【答案】（1） （2）直线:. 【解析】 【分析】(1)利用向量法，将题中的几何条件向量化即可求解. (2)利用求出直线的斜率，再用三角形的面积公式即可求解 【小问1详解】 由圆，得，因此圆的圆心为，半径为4 设点的坐标为：，则，. 又因为线段的中点为，则有，即:， 整理得：.因此的轨迹方程：. 【小问2详解】 由（1）知，点的轨迹是以点为圆心， 为半径的圆，记圆心为. 由于，因此在线段的垂直平分线上，又在圆上，从而，又因为，所以直线的斜率为. 直线的方程为，整理得到：. 所以点到直线的距离为：，又点到直线距离为，所以， 那么. 26. 已知关于的不等式. （1）是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； （2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）不存在，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将不等式转化为，分类讨论当时，判断不等式是否恒成立，当时，需满足和，求出是否存在实数，若无解则不存在； （2）设，将端点代入，求出的解即可. 【小问1详解】 由题得：， 若对任意恒成立， 当时，必须，即，解得， 当时，不恒成立， 所以，不存在实数，使不等式对任意恒成立. 【小问2详解】 设， 当时，恒成立， 必须，即， 的根为，即的解为, 的根为，即的解为或, 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省职教高考研究联合体 普通高校对口招生第二次模拟考试 数学试卷 2024-12 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）.第I卷1-2页，第II卷3-4页，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（共60分） 注意事项： 1.必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2.第I卷共1大题，15小题，每小题4分，共60分. 一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知不等式的解集为，则，的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. （ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 9. 函数，是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 10. 子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自《论语·卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 12. 要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 13. 某电视台计划在五一期间某段时间连续播放5个广告，其中2个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个必须是公益广告，且商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 64种 D. 36种 14. 四川省某中职学校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据直方图计算，这400名学生中每周的自习时间不少于25小时的人数是（ ） A. 240 B. 300 C. 120 D. 280 15. 已知定义在上的偶函数满足，若，则等于（ ） A. B. C. D. 第II卷（共90分） 注意事项： 1.必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试卷、草稿纸上无效. 2.第II卷共2大题，11小题，共90分. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 16. 已知单位向量，的夹角为，且与垂直，则__________. 17. 在的二项展开式中，项的系数为__________. 18. 已知函数，__________. 19. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点到直线的距离为5，则__________. 20. 公元前4世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究，他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数，形数是联系算数和几何的纽带，如图所示为五角形数的前4个，则第10个五角形数为__________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21. 某公司组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是每人从装有质地均匀、大小相同的4个黄球、4个红球的箱子中一次性地随机摸出3个球，若恰有1个红球可获得50元优惠券，恰有2个红球可获得100元优惠券，3个都是红球可获得200元优惠券，其他情况无优惠券.小王参加了公司的抽奖活动. （1）求小王恰好摸出1个黄球的概率； （2）设小王获得的优惠券金额为，求随机变量的分布列及数学期望. 22. 已知等差数列的公差，为数列的前项和，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等比数列，求的值. 23. 在钝角中，角所对的边分别是，且. （1）求的值； （2）若的外接圆半径为，，求的面积. 24. 如图所示，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，. （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积. 25. 已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点. （1）求的轨迹方程； （2）当时，求直线的方程及的面积. 26. 已知关于的不等式. （1）是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； （2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $