2.1不等式的基本性质课件-2024-2025学年高一上学期高教版（2021）中职数学基础模块上册

第二章 不等式 2.1 不等式的基本性质 中职高教（2021）数学基础模块上册（修订版） 目录 01 新课导入 03 课堂小结 02 新课讲解 04 课后作业 新课导入 第一部分 PART 01 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here “横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，不知你是否能够体会到诗中蕴含的不等关系.与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中也起着重要的作用. 新课导入 2021年东京奥运会射击混合团队10米气步枪比赛中国队杨皓然/杨倩以633.2环打破了631.7环的奥运会纪录. 如何体现两个记录的差距？ 通过观察两个数的差的符号，来比较它们的大小．因为633.2 − 631.7 =1.5>0， 所以得到结论：新成绩比原记录多了1.5环． 新课导入 两个周长相等的矩形，它们的面积哪个更大呢？ 图（1）所示为正方形，面积为3cm×3cm=9cm2； 图（2）所示为长方形，面积为4cm×2cm=8cm2． 由于9−8=1＞0，所以它们的面积不相等，且图（1）所示正方形的面积大于图（2）所示矩形的面积． 新课导入 新课讲解 第二部分 PART 02 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 一般地，对于任意实数a，b，如果𝒂−𝒃>𝟎，那么称a大于b（或b小于a）． 因为实数与数轴上的点是一一对应的，对于任意实数都可以在数轴上找到对应的点和，如图所示． 当点在点的右边时，； 当点在点的左边时，； 当点与点重合时，． 新课讲解 关于实数的大小关系，可以通过以下运算来表示： 要比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为比较它们的差与 的大小．这种比较大小的方法称为作差比较法． 新课讲解 典例1 比较与 的大小． 解 因为 所以 例题讲解 典例2 比较 与 的大小． 解 因为 所以 例题讲解 探究与发现 设a，b均为实数，试比较a²＋b²－ab与ab的大小． 分析：a²+b²-ab-ab=(a-b)2 ≥0， 所以a²＋b²－ab ≥ ab. 例题讲解 【巩固1】用“<”号把下列各数连接起来． 解：作差比较的大小. 因为=-  0, 所以 同理可比较出,而正数大于负数， 所以< < . 巩固练习 【巩固2】已知x是实数，比较x²-3x+8与(x-1)(x-2)的大小. 解：因为 x²-3x+8-(x-1)(x-2) =x²-3x+8-x²+3x-2 =6＞0, 所以 x²-3x+8＞(x-1)(x-2). 巩固练习 比较两个实数大小的作差比较法为研究不等关系奠定了基础，那么如何用这个方法研究不等式的性质呢？ 在义务教育阶段，我们学习过一些不等式的性质. 性质1 如果a>b，那么a+c>b+c． 性质1表明，不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变．因此性质1也称为不等式的加法法则． 如果a+b>c，那么a>c-b． 利用不等式的加法法则，容易证明： 这表明，不等式的任何一项可以从不等式的一边移到另一边，但同时要改变符号．这条结论也称为移项法则． 巩固练习 性质2 如果a>b，c>0，那么ac>bc． 如果a>b，c<0，那么ac<bc． 性质2表明，不等式两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 性质2也称为不等式的乘法法则． 新课讲解 性质1的证明 由a＞b知，a– b＞0，于是 (a＋c)–(b＋c)=a＋c–b–c=a–b＞0， 所以a＋c＞b＋c． 实数a、b和在数轴上分别对应点和，a+c和b+c在数轴上分别对应点’和点． 当>0时，点和点同时向右平移个单位，即可到达点和点的位置； 当<0时，点和点同时向左平移个单位，即可到达点和点的位置． 显然，两种情况中，点点的左右位置与点和点的情况相同． 作差比较法 几何法 新课讲解 17 性质3 如果 ，那么 ． 证明 由a＞b， b＞c ，得a– b＞0，b−c＞0； 所以 a－c＝a−b＋b−c＝(a −b)＋(b −c)＞0， 由此得a＞c． 性质3表明不等式具有传递性． 新课讲解 18 性质3 如果 ，那么 ． 对于实数a、b和c，它们在数轴上分别对应点、和， 由，所以点在点的右边，又因为，即点在点右边，所以三个点从左到右依次为点、点和点，即． 几何法 新课讲解 19 性质4也称为同向不等式的可加性． 性质4 如果 ， ，那么 ． 证明 由a＞b， c＞d ，由性质1得 , , 由性质3得 新课讲解 20 典例3 用符号 填空，并说明利用了不等式的哪（几）条基本性质． （1）如果，那么 （2）如果，那么 （3）如果，那么 ； （4）如果，那么 ． 解 （1）根据不等式性质1，不等式两边同时减去5，不等号方向不变，即． （2）根据不等式性质1，不等式两边同时加上4，不等号方向不变，即，而> .所以>. 利用不等式的性质（4）更加直接.因为a>b,4>2,所以>. 例题讲解 解 （3）根据不等式性质2，不等式两边同时除以，不等号方向改变，即． （4）根据不等式性质2，不等式两边同时乘以3，不等号方向不变，即，再仿照（2）的方法，可以得到． 典例3 用符号 填空，并说明利用了不等式的哪（几）条基本性质． （1）如果，那么 （2）如果，那么 （3）如果，那么 ； （4）如果，那么 ． 例题讲解 典例4 若 ， ，试证明 ． 同理，由 ， ，得 ． 因此，由不等式的性质3可得． 解 因为 ， ，由不等式的性质2得 ． 不等式的性质之一：两边都是正数的同向不等式，两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向. 例题讲解 典例5 如果代数式 与代数式 的差不大于2，求x的取值范围． 解 由题可知(6𝑥+7)−(3𝑥−5)⩽2， 化简得 3𝑥+12⩽2， 因此3𝑥⩽2−12 故 ． 所以x的值范围是 ． 例题讲解 【巩固3】用符号“<”或“>”填空，并说出应用了不等式的哪条性质. (1)若a＞b,则a-3 b-3 (2)若a＞b,则6a 6b (3)若a＜b,则-4a -4b (4)若a＜b,则5-2a 5-2b 解： (1)a-3＞b-3,应用性质2； (2)6a＞6b,应用性质3； (3)-4a＞-4b,应用性质3； (4)5-2a＜5-2b,应用性质2与性质3. 巩固练习 【巩固4】下列命题正确的是(　 　) A．若a>b，则 B．若a>b，则a2>b2 C．若a>b，c<d，则a－c>b－d D．若a>b，c>d，则ac>bd 解：本题考查不等式的性质．对于A，若a>b，则， 取a＝1，b＝－1不成立； 对于B，若a>b，则a2>b2，取a＝0，b＝－1不成立； 对于C，若a>b，c<d，则a－c>b－d，正确； 对于D，若a>b，c>d，则ac>bd，即a＝1，b＝－1，c＝1，d＝－2不成立．故选C. 巩固练习 课堂小结 第三部分 PART 03 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 课堂小结 课后作业 第四部分 PART 04 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here (1) 课后回顾： 教材章节2.1； (2) 巩固作业： P41，45练习；P46习题2.1的1,2,3,4. 课后作业 在PPT软件中双击 图标打开配套讲稿 第二章 不等式 2.1 不等式的基本性质 中职高教（2021）数学基础模块上册（修订版） 授课题目 2.1 不等式的基本性质 选用教材 高等教育出版社《数学》 （基础模块上册） 授课 时长 2 课时 授课 类型 新授课 教学提示 本课由实际问题入手，引出比较两个实数大小的“做差比较法”．并将在初中所学一些不等式的性质的基础上，进一步研究不等关系，梳理 不等式的基本性质． 教学目标 能熟练使用“作差比较法”，能举例说明不等式的基本性质，逐步提高数学抽象核心素养；能利用不等式的基本性质推断、证明数（式）的 大小关系，逐步提高逻辑推理核心素养． 教学 重点 “作差比较法”，不等式的性质的简单应用 教学 难点 不等式性质的应用 教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 同学们，与相等关系相比，不等关系在现实世界中更为普遍．我们知道，不等式就是描述不等关系的一种重要的数学表示形式，我们将通过实数大小的比较，来研究不等式的基本性质． 2.1.1 实数的大小 你知道吗？两个周长相等的矩形，如图所示，它们的面积哪个更大呢？ 图 2-1 （ 1 ）所示为正方形，面积为3cm×3cm=9cm2；图 2-1（2）所示为长方形， 面积为 4cm×2cm=8cm2．由于 9−8=1＞0，所以 说明 体会 从具体的 问题引导 学生发现 两个实数 大小比较 的方法， 展示 观察 使学生能 情境导入 情境 情境 够顺利完 成比较大 提出 思考 小的抽象 问题 问题 过程，培 引导 养学生数 学生 计算 学抽象的 观察 分析 核 心 素 分析 判断 养． 它们的面积不相等，且图 2-1（1）所示正方形 的面积大于图 2-1（2）所示矩形的面积． 一般地，对于任意实数 a，b，如果a  b  0, 那么称 a 大于 b（或 b 小于 a）． 因为实数与数轴上的点是一一对应的，对于任意实数𝑎，𝑏都可以在数轴上找到对应的点𝐴和𝐵，如图所示． 从图中，我们容易观察到，当点𝐴在点𝐵的 右边时，𝑎 Σ 𝑏；当点𝐴在点𝐵的左边时，𝑎 € 𝑏； 当点𝐴与点𝐵重合时，𝑎 = 𝑏． 因此，关于实数𝑎，𝑏的大小关系，我们可以通过以下运算来表示： a  b  a  b  0 a  b  a  b  0 a  b  a  b  0 由此可知，要比较两个实数（或代数式） 的大小，可以转化为比较它们的差与0 的大小．这种比较大小的方法称为作差比较法． 精炼 体会 师生共同 语言 总结两个 实数比较 讲解 理解 大小的方 关键 法，并利 词语 用数轴进 分析 一 步 说 数形 明，数形 结合 结合深化 提出 “ 作差比 探索 新知 数轴 领会 较法”，培 表示 养学生直 的意 观想象、 义 逻辑推理 强调 总结 和数学抽 解释 记忆 象等核心 等价 素养 符号 归纳 总结 例 1 比较 5 与 2 的大小． 7 3 解 因为 5  2  15  14  15  14  1  0 ， 7 3 21 21 21 21 所以 5  2 ． 7 3 例 2 比较(x+1)(x+2) 与3x 1 的大小． 提问 观察 通过例题 帮助学生 例题 思考 掌握“ 作 辨析 引导 差 比 较 分析 求解 法”，培养 观察 学生的数 解 因为 (x+1)(x+2)  (3x 1)  (x2  3x  2)  (3x 1)  x2  3  0 ， 所以(x+1)(x+2)  3x  1 ． 探究与发现 设 a，b 均为实数，试比较 a²＋b²－ab 与 ab 的大小． 学运算、 提问 思考 逻辑推理 等核心素 引导 求解 养 分析 观察 提问 思考 分析 理解 练习 2.1.1 提问 思考 通过练习 1．比较下列各组实数的大小． 及时掌握 巩固练习 （1）4 与 7 ；（2）5 与 2 ；（3）6 与 0.83． 5 9 8 3 7 2．若a  b ，比较2a  1 与2b  1 的大小． 动手 求解 学生的知 识掌握情 3．比较 x 2  1 与 2x2+3 的大小． 况，查漏 指导 交流 补缺 2.1.2 不等式的性质 上一节我么学习的比较两个实数大小的作差比较法为研究不等式奠定了基础．那么， 如何用这个方法研究不等式的性质呢？ 在义务教育阶段，我们学习过一些不等式的性质，如： 性质 1 如果a  b ，那么a  c  b  c ． 性质 1 表明，不等式两边同时加上（或减 去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变．因此性质 1 也称为不等式的加法法则． 利用不等式的加法法则，容易证明： 如果a  b  c ，那么a  c  b ． 这表明，不等式的任何一项可以从不等式 的一边移到另一边，但同时要改变符号．这条结论也称为移项法则． 通过利用 说明 体会 “ 作差比 较法” 让 学生尝试 回顾 回忆 进行一些 义务 不等式性 教育 观察 质 的 证 情境 导入 阶段 明，提高 学习 学生的数 过的 思考 学思维能 不等 力，培养 式性 学生逻辑 质， 推理、数 引导 计算 学抽象等 学生 分析 核心素养 性质 2 如果a  b ， c  0 ，那么ac  bc ； 如果a  b ， c  0 ，那么ac  bc ． 性质 2 表明，不等式两边同时乘(或除以) 同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边 进一步认识和 思考 判断 同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改 变． 不等 式的 性质 2 也称为不等式的乘法法则． 基本 性质 性质 1 的证明 由 a＞b 知，a– b＞0，于是 (a＋c)–(b＋c)=a＋c–b–c=a–b＞0， 所以 a＋c＞b＋c． 当然，我们也可以借助数轴来看性质 1， 如图所示，实数 a、b 和在数轴上分别对应点𝐴和𝐵，a+c 和 b+c 在数轴上分别对应点𝐴′和点 𝐵′．当𝑐>0 时，点𝐴和点𝐵同时向右平移𝑐个单位，即可到达点𝐴′和点𝐵′的位置；当𝑐<0 时， 点𝐴和点𝐵同时向左平移|𝑐|个单位，即可到达点𝐴′和点𝐵′的位置． 显然，两种情况中，点𝐴′点𝐵′的左右位置与点𝐴和点𝐵的情况相同． 性质 3 如果a  b ， b  c ，那么a  c ． 尝试 体会 教师引导 利用 学生了解 “ 作 性质的证 差比 明步骤和 较 方法，并 法 ” 理解 数形结合 证明 利用数轴 进一步说 明不等式 性质，培 探索 新知 养学生直 观想象、 数形 分析 逻辑推理 结合 领会 和数学抽 利用 象等核心 数轴 思考 素养 说明 讨论 强调 尝试 证明 证明 由 a＞b，b＞c，有 a−b＞0，b−c＞0； 所以 总结 a－c＝a−b＋b−c＝(a −b)＋(b −c)＞0， 由此得 a＞c． 性质 3 表明不等式具有传递性． 同样，我们也可以借助数轴来看不等式的 说明分析 记忆 传递性．如图所示，对于实数 a、b 和 c，它们在数轴上分别对应点𝐴、𝐵和𝐶，由𝑎 Σ 𝑏，所以点𝐴在点𝐵的右边，又因为𝑏 Σ 𝑐，即点𝐵在点𝐶 右边，所以三个点从左到右依次为点𝐶、点𝐵和 点𝐴，即𝑎 Σ 𝑏 Σ 𝑐． 引导学生证明 思考讨论 尝试 证明 利用已有的性质可以证明如下结论： 说明 性质 4 如果a  b ，c  d ，那么a  c  b  d ． 性质 4 也称为同向不等式的可加性． 证明 因为a  b ， c  d ，由性质 1 得 a  c  b  c ， b  c  b  d ， 由性质 3 得 a  c  b  d ． 引导分析 说明 总结 记忆 分析 例 3 用符号“  ”或“  ”填空，并说明利用了 提问 观察 通过例题 不等式的哪（几）条基本性质． 帮助学生 （1）如果𝑎 € 𝑏，那么𝑎 — 5 𝑏— 5； 不等式基 例题辨析 （2）如果𝑎 Σ 𝑏，那么𝑎 + 4 𝑏+ 2； （3）如果𝑎 € 𝑏，那么— a — b； 2 2 引导 本性质的熟 练 应 （4）如果𝑎 Σ 𝑏，那么3𝑎 — 2 3𝑏 — 用，培养 3． 学生的逻 解 （1）根据不等式性质 1，不等式𝑎 € 𝑏两边同时减去 5，不等号方向不变，即 𝑎— 5 € 𝑏— 5 ． （2） 根据不等式性质 1，不等式𝑎 Σ 𝑏两边同时加上 4，不等号方向不变，即 𝑎+ 4 Σ 𝑏+ 4， 又因为𝑏+ 4 Σ 𝑏+ 2，所以根据不等式性质 3， 可以得到𝑎+ 4 Σ 𝑏+ 2． （3） 根据不等式性质 2，不等式𝑎 € 𝑏两边同时除以—2，不等号方向改变，即 — a Σ — b． 2 2 （4） 根据不等式性质 2，不等式两边同时乘以 3，不等号方向不变，即 3𝑎 Σ 3𝑏， 再仿照（2）的方法，可以得到 3𝑎 — 2 Σ 3𝑏 — 3． 例 4 若a  b  0 ， c  d  0 ，试证明ac  bd ． 解 因为a  b ， c  0 ，由不等式的性质 2 得 ac  bc ． 同理，由c  d ， b  0 ，得 bc  bd ． 因此，由不等式的性质 3 可得ac  bd ． 例 5 如果代数式6 x  7 与代数式3x  5 的差不大于 2，求 x 的取值范围． 解 由题可知 (6x  7)  (3x  5)2 ， 化简得 3x 122 ， 分析 思考 辑推理等 核心素养 求解 提问 观察 引导 思考 分析 求解 提问 观察 分析 思考 求解 因此 3x2 12 ， 故 x 10 ． 3 所以 x 的取值范围是{x| x 10 }． 3 探究与发现 如果 a>b，c>d，是否有“a-c> b-d”成立呢？ 如果成立，请说明理由；否则，请举出反例． 提问分析 思考领悟 练习 2.1.2 1. 已知 a＞b，用符号“＞”或“＜”填空: （1）a+1 b+1；（2） -5a -5b； （3） 3a+3 3b+2． 2. 判断下列结论是否正确，并说明理由． （1）如果𝑎 € 𝑏且𝑏 € 𝑐，那么𝑎 € 𝑐； （2） 如果a Σ b，那么𝑎2 Σ 𝑏2； （3） 如果a Σ b 且𝑐 Σ 𝑑 ，那么a + 𝑐 Σ b + 𝑑 ． 3．若代数式 3x-5 与代数式 x+2 的差不小于 3，求 x 的取值范围． 提问 思考 通过练习 及时掌握 学生的知 巡视 动手 识掌握情 求解 况，查漏 巩固练习 指导 补缺 交流 归纳总结 引导总结 反思交流 培养学生总结学习过程能力 1.书面作业：完成课后习题和学习与训练； 巩固提高 布置 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回 查漏补缺 作业 顾； 说明 记录 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容． $$