专题07 特殊三角形综合问题（共40道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（浙教版）

专题07 特殊三角形综合问题（共40道） 一、单选题 1．如图在中，是斜边上的高，角平分线交于，于，有下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②④ 2．如图，中， ，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点，，，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的有（    ） ①； ②若，则； ③； ④； ⑤， ⑥ A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F，连接交于G．给出四个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在中，交于D，平分交于E，F 为延长线上一点，交的延长线于点M，交的延长线于点 G，的延长线交于点 H，连接，则下列结论∶①；②；③；④若，则．其中正确的有（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 5．如图，在中，，，平分，与相交于点，，交延长线于，且垂足为，是边的中点，连接与相交于点，则下列结论①；②；③；④；⑤正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在三角形中，，，平分，交于E，点G是上的一点，且，连交于P，连，下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 7．如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接．下列结论①；②；③是等边三角形；④；⑤平分．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．如图，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在中，于点，平分交于点，点在边上运动，作 ，交于点，交于点，连接，，若此时满足，．有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在中，，，平分，交于，点G是上的一点，且，连交于P，连，下列结论： ①，②，③，④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 11．如图，在中，，以为边，作，满足，为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，在和中，，点C，D，E在同一条直线上，连接B、D和B，E，下列四个结论：①；②；③④，其中，正确的个数是（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 13．如图，在中，，点是射线上两点，且，若，，则下列结论中①是等腰直角三角形；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，点在的平分线上，且与互补，，，将绕点任意旋转，下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④的最小值为 A．个 B．个 C．个 D．个 15．如图，在中，，，射线是的角平分线，交于点D，过点B作的垂线与射线交于点E，连接，M是的中点，连接并延长与的延长线交于点G．则下列结论中：①；②垂直平分；③；④；⑤．正确的有（    ） A．①②⑤ B．①③④ C．②③⑤ D．②③④ 16．如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①； ②；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．如图，在中，，，平分交于点，交延长线于点，交的延长线于点，连接．则下列结论：①；②；③；④；⑤其中不正确的结论有（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 18．在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交千点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．如图，中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G．下列结论正确的有（　　）个． ①；②；③是等腰三角形；④；⑤； A．5 B．4 C．3 D．2 20．如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点H，交于点E，于F，交于点G．下列结论中，正确的个数是（    ）． （1），（2），（3），（4），（5）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 21．如图，在中，，，平分，交于，点是上的一点，且，连交于，连，下列结论： ， ， ， ，其中正确的有 ． 22．如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、，交于，为上一点，连接；在下列结论中： ①； ②若垂直平分，则； ③若垂直平分，则； ④若，则； 其中正确的结论有 ．（填写正确结论的序号） 23．如图，在中，、，交于点，平分分别交、于点、，交于点，交于点．下列结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 ．（只填序号） 24．如图，在中，，，平分交于点E，于点D，交的延长线于M，连接．下列结论：①，②，③，④，⑤；其中正确的结论有 ． 25．如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边分别交于点E、F，当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，上述结论中始终正确的有 ． 26．如图，在中，，，平分交于，交延长线于，交的延长线于，连接，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 27．如图，在中，，于点，的平分线交于点，交于点，于，的延长线交于点，下列四个结论：①；②；③；④连接，若，则，其中正确的结论有 ． 28．如图，在中，，，，点为中点，于点，其延长线交于点，交延长线于点，平分交于点，交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的有 ．（只填序号）    29．如图，边长为6的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③；④的周长最小值为9；⑤当周长最小时，．其中正确的结论有 （填序号）．    30．如图，已知中，，，，点是的中点，给出以下结论： ①图中只有两对全等三角形； ②， ③， ④， ⑤的最小值为， ⑥， 当在内绕顶点旋转时（点不与、重合）上述结论始终正确的有 （填序号）．    31．如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．(填序号)    32．如图，在中，，，，与相交于点F，连接并延长交于点G，的平分线交的延长线于点H，连接．则下列结论：①，②；③；④．其中正确的有 ．    33．如图，在等边中，点D为线段上一点（不含端点），平分交于点E，与的延长线交于点F，连接，且，以下结论：①；②；③是等腰三角形；④连接，；⑤其中正确的有 （请写序号） 34．如图，在中，，，于点D，平分交于点E，交于点G，过点A作于点H，交于点F，下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号有 ． 35．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有 （将正确答案的序号填在横线上） ①；②；③；④． 36．如图，在中，，，平分交于点，于点，交的延长线于，连接下列结论：，，，，；其中正确的结论有 ． 37．如图，Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB的外角平分线CF相交于点D，AD交CB于P，CF交AB的延长线于F，过D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长线交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④FH＝CD+GH；⑤CF＝2CD+EG，其中正确的有 ． 38．如图，在中，，是的中点，点在上，，，垂足分别为，，连接则下列结论中：①；②；③；④；⑤若平分，则正确的有 （只填序号）. 39．如图，，，，和交于点，点，为边上的两点，且，连接，，则下列结论：①；②；③；④只有当时，，其中正确的有 ．（填序号） 40．如图，中，，于点，过点作且，点是上一点且，连接、，连接交于点．下列结论中正确的有 ． ① ② ③平分 ④ ⑤． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 特殊三角形综合问题（共40道） 一、单选题 1．如图在中，是斜边上的高，角平分线交于，于，有下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据“直角三角形两锐角互余”可证明，即可判断结论①；利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，，即可判断结论②；证明为等腰三角形，易得，即可判断结论③；结合，即可判断结论④． 【详解】解：∵，， 和都是的余角， ∴，故①正确； ∵角平分线交于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴， 故③错误． 故正确的结论为①②④． 故选：C． 2．如图，中， ，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点，，，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的有（    ） ①； ②若，则； ③； ④； ⑤， ⑥ A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理可求，由角平分线的定义可求，在由三角形内角和定理可求，故①正确；由角平分线的定义和三角形内角和定理可求，由①可求，由直角三角形的性质可求，故②正确；由直角三角形的性质可得，故③错误；由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，故④错误；由“”可证，可得，由“”可证，可得，即，⑤正确；由角平分线的性质可得，由全等三角形的性质可得，可得，由③可求，故⑥正确，即可求解． 【详解】解：①， ， 又平分，平分， ，， ， ，故①正确； ②，， ， 平分， ， 由①知， ， ， ， ，故②正确； ③由②知， ， ，故③正确； ④如图，延长，交于点， ，，， ， ， ， ，故④错误； ⑤如图，在上截取，连接， ，，， ， ， ， 又，， ， ， ，故⑤正确； 如图，过点N作于P，于Q， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 由③知， ， ， 故⑥正确； 故选：B． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F，连接交于G．给出四个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，综合性较强．根据等腰直角三角形的性质得：，，平分．所以可证；；．即证得与全等．根据全等三角形性质判断结论是否正确． 【详解】解：，，直角的顶点是的中点， ，，． ，， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， 故①正确；③正确； 是等腰直角三角形，是的中点， ， 不是的中位线， ，故②错误； ④， ， ． 故④正确； ， ， ，是定值， 但的长不是定值， ． 故⑤错误； 故正确的有①、③、④，共三个． 故选：C． 4．如图，在中，交于D，平分交于E，F 为延长线上一点，交的延长线于点M，交的延长线于点 G，的延长线交于点 H，连接，则下列结论∶①；②；③；④若，则．其中正确的有（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角的平分线性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．根据直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角的平分线性质进行求解判断即可． 【详解】解：，，， ， ， 从现有条件无法得出， 无法得出， 故①错误； ， ， ， ， 故②正确； 平分， 点到，的距离相等，都设为， ， 故③正确． 在和中， ， ， 故④正确； 故选：C． 5．如图，在中，，，平分，与相交于点，，交延长线于，且垂足为，是边的中点，连接与相交于点，则下列结论①；②；③；④；⑤正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意易得，，则有，进而可证，，进而问题可判断①②；连接，根据等腰三角形三线合一证明，可判断③，由，即可判断④；作于M，利用角平分线的性质定理即可判断⑤． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确， 连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 作于M． ∵平分，， ∴， ∵，且， ∴，故⑤错误， ∴正确的有3个； 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键． 6．如图，在三角形中，，，平分，交于E，点G是上的一点，且，连交于P，连，下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，根据全等三角形的性质与判定，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴可知所在直线垂直平分， ∴， ∴，，故错误； ∵， ∴， 由上可知：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故正确； 综上：正确， 故选：． 7．如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接．下列结论①；②；③是等边三角形；④；⑤平分．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】由和是等边三角形，可得，，，进而可证，即可判断①；利用等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质得到，即可得 ，即可判断②；根据可得，得到，，可判断③；根据知，据此可判断④；过点作，，垂足分别为点，由可得，即可得，再根据角平分线的判定即可判断⑤，据此即可求解． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，故③正确； ∴， ∴， ∴， 故④正确； 如图，过点作，，垂足分别为点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分，故选项⑤正确； 综上，正确的有①②③④⑤，共个， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，角平分线的判定，平行线的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 8．如图，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据是的高，，结合是的角平分线， 平分，得到即可得到，判断①；证明，判断②；延长交于点N，证明，得到判定③；证明，根据全等三角形的性质，结合中线平分面积判断④即可． 【详解】解：解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， 平分， ∴ ∴， ∴，故①错误； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，是的角平分线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形， 条件不足，无法得到为等边三角形，故②错误； 延长交于点N， 在和中， ∴， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误， ∵，， ∴ ∴， ∵，平分， ∴为的中点， ∴， ∴，故④正确； 故选A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角的平分线的定义，同一三角形中，大角对大边，直角三角形的特征量，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，三角形内角和定理是解题的关键． 9．如图，在中，于点，平分交于点，点在边上运动，作 ，交于点，交于点，连接，，若此时满足，．有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先根据三角形内角和定理和三角形外角的性质得到，进而判断①；先假设，进而根据等腰三角形的性质与判定得出，即可判断②，根据等角的余角相等，以及三角形的外角的性质，即可判断③，延长交于点，连接，证明得出，进而证明，根据平行线间的距离相等得出，进而判断④，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴, 又∵， ∴，故①正确； 若， ∵ ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴，则， ∴仅当时，有，故②不正确； 设， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴，故③正确 如图所示，延长交于点，连接， ∵平分，， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴ 即，故④正确 故正确的有①③④ 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中线的性质，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．如图，在中，，，平分，交于，点G是上的一点，且，连交于P，连，下列结论： ①，②，③，④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】设与交于点，根据等腰三角形的判定和性质以及直角三角形两锐角互余，可判断①结论；先证明，再结合等角对等边的性质，可判断②结论；由垂直平分线的性质证明，可判断③结论；证明，可判断④结论． 【详解】解：如图，设与交于点， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故①正确，符合题意； ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， 垂直平分， ， ，，， ， ， ， 故③错误，不符合题意； ， ， 由上可知：， 在和中， ， ， ， 故④正确，符合题意； 综上：①②④正确，符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，熟练掌握有关知识点是解题的关键． 11．如图，在中，，以为边，作，满足，为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设交于点G，延长到点F，使，连接，则垂直平分，因此，所以，再证明，根据全等三角形的判定定理“”证明，得，可判断①正确；假设成立，则，所以，得，则垂直平分，可推导出是等边三角形，以及，这与题中所给条件不符，可判断②错误；由得，而，所以，可判断③正确；由得，因为，所以，可判断④正确． 【详解】解：如图，设交于点G，延长到点F，使，连接， ， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故①正确； 假设成立，则， ， ， 垂直平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 显然，与题中所给条件不符， 故②错误； ， ， 故③正确； ， ， 故④正确， 综上所述：①③④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 12．如图，在和中，，点C，D，E在同一条直线上，连接B、D和B，E，下列四个结论：①；②；③④，其中，正确的个数是（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，即可判断结论②；再根据全等三角形的性质，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，进而得出，再根据等量代换，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，即可判断结论①；再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据，得出，即可判断结论③；根据勾股定理，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据等量代换，得出，同理得出，然后把代入，得出，即可判断结论④，综合即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵在和中， ， ， ∴．故结论②正确； ， ， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，故结论①正确． ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴，故结论③错误． ∵，即， ∴在中，利用勾股定理得：． ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴在中，利用勾股定理得：． ∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∴，故结论④正确． 综上所述，正确的结论为①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 13．如图，在中，，点是射线上两点，且，若，，则下列结论中①是等腰直角三角形；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合，，可证明，即可判断结论①；证明，结合全等三角形的性质可得，即可判断结论②；结合，易得，进而可知，即可判断结论③；证明，由“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，，结合，易得，即可判断结论④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，故结论①正确； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即，故结论②正确； ∵， ∴，， ∴， ∴，故结论③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①②③④，共计4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质、证明是解题的关键． 14．如图，点在的平分线上，且与互补，，，将绕点任意旋转，下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④的最小值为 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】作于，于，由平分，，，可推出，根据勾股定理和角平分线的性质可得，证明得到，证明得到，，由，可判断①；根据，可判断②；根据将绕点任意旋转时，的长度是变化的，可判断③；证明是等边三角形，得到，当，时，有最小值，可判断④． 【详解】解：如图，作于，于， ， ， ， ， ， 平分，，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，故①正确； ，故②正确； 将绕点任意旋转时，的长度是变化的，故③错误； ，， 是等边三角形， ， ，，即时，有最小值，最小值为，故④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形． 15．如图，在中，，，射线是的角平分线，交于点D，过点B作的垂线与射线交于点E，连接，M是的中点，连接并延长与的延长线交于点G．则下列结论中：①；②垂直平分；③；④；⑤．正确的有（    ） A．①②⑤ B．①③④ C．②③⑤ D．②③④ 【答案】A 【分析】先由题意得到，再由角平分线的定义得到，从而推出，再由三线合一定理即可证明，即可判断②；得到，再由，可得，则，从而可证明，即可判断①；则，再由，可得到，即可判断③；由，即可判断④．延长交延长线于G，若，证明即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵M是的中点， ∴， ∴垂直平分，，故②正确， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴，故⑤正确； ∵， ∴，故④错误； 如图所示，延长交延长线于G， ∵，， ∴是等腰直角三角形， 若， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴C为的中点， ∴， ∴， ∴与矛盾； ∴与不垂直，故③错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质与判定条件是解题的关键． 16．如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①； ②；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先证明出，再根据全等三角形的性质，圆内接四边形的判定和性质推出其他选项，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形， 点是的中点， ，平分，且， ， 又， ， ， 故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 故②正确； ， ， ， ∴，， 故③错误； 当时，的最小，如图所示：   是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， ， ， 故④正确； ，， ， ， ，， ， ， 四边形的面积是16，为定值， 故⑤正确， 即正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，外角的性质，三角形的面积，证明是解题的关键． 17．如图，在中，，，平分交于点，交延长线于点，交的延长线于点，连接．则下列结论：①；②；③；④；⑤其中不正确的结论有（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】作，，，垂足为、，证明，由全等三角形的性质得出，，证明为等腰直角三角形，可判断①正确；求出，可得为的中线，进而可判断②；证明，，进而可判断③；证明，得出，，求出，证明，可判断④⑤． 【详解】解：作，，，垂足为、， 根据等腰直角三角形的性质有：， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ，， ， 又 ，， ， ，， 又 ， 为等腰直角三角形， ，①正确； ，， ， ， 为的中线， ，②正确； 平分，，， ，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ， ， ，③正确； ，，， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ，，⑤正确； ，④正确； 即不正确的为0个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 18．在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交千点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】证明，，可得，，进一步可判断①②，证明，求出，进一步可判断③，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得，进一步可判断④． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，，， ∴，故①②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， ∴，故③符合题意； 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故④符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；熟练的确定全等三角形是解本题的关键． 19．如图，中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G．下列结论正确的有（　　）个． ①；②；③是等腰三角形；④；⑤； A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】由“”可证，可得，故 ① 正确．由等腰三角形的性质可得 ，故②正确，由角的数量关系可求，可得，即是等腰直角三角形，故③正确．由全等三角形的性质可得，则可得，故④正确；由角平分线的性质可得点F到的距离等于点F到的距离，由三角形的面积公式可求 ，故⑤正确，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，故①正确． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故③正确． ∵， ∴， ∴，故④正确； ∵平分， ∴点F到的距离等于点F到的距离， ∴ ，故⑤正确， 所以，正确的结论是①②③④⑤，共5个 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，证明三角形全等是解题的关键． 20．如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点H，交于点E，于F，交于点G．下列结论中，正确的个数是（    ）． （1），（2），（3），（4），（5）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由是的角平分线，，，可得 ，，证明，则，可  判断（1）的正误；由，可得，可判断（2）的正误；由，可得，设，则，，，，，可得，可判断（4）的正误；如图，延长交的延长线于，过点E作交于M，交于点N，则为等腰三角形，，则，，，，则，可得，可判断（5）的正误；证明，则，，由勾股定理得，，由，可得，则，可判断（3）的正误． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，（1）正确，故符合要求； ∴， ∴，（2）正确，故符合要求； ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，，， ∴，（4）正确，故符合要求； 如图，延长交的延长线于，过点E作交于M，交于点N， ∵是的角平分线，， ∴为等腰三角形，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，（5）正确，故符合要求； ∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，（3）错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题 21．如图，在中，，，平分，交于，点是上的一点，且，连交于，连，下列结论： ， ， ， ，其中正确的有 ． 【答案】 【分析】如图，设与交于点，求解，，结合，求解，可得正确；证明，求解，证明，可得正确；证明，，可得错误；证明，可得，可得正确． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴可知所在直线垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， 由上可知：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故正确； 综上：正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 22．如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、，交于，为上一点，连接；在下列结论中： ①； ②若垂直平分，则； ③若垂直平分，则； ④若，则； 其中正确的结论有 ．（填写正确结论的序号） 【答案】②③④ 【分析】对于①，由于点的位置不确定，无法说明，故①错误；对于② ，过点作于点，由，知，显然，由得到，故，显然，故，故②正确；对于③，先证明，则，故，即，故③正确；对于④，过点作的垂线交延长线于点，连接，先证明，则，再证明，则，继而，故④正确． 【详解】解：对于①，由于点的位置不确定，无法说明，故①错误； 对于② ，过点作于点， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵等腰，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵等腰， ∴， ∵ ∴， ∴，故②正确； 对于③，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 对于④，过点作的垂线交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，垂直平分线的性质，解题的关键在于添加辅助线构造全等三角形，难度较大． 23．如图，在中，、，交于点，平分分别交、于点、，交于点，交于点．下列结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 ．（只填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题主要考查了三角形综合．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质．作辅助线构造直角三角形，是关键． 根据角平分线性质得到，证明，得到，则①正确；根据等腰直角三角形性质得到，根据角平分线定义得到，根据三角形外角性质得到，得到，则②正确；过G作于I，则，根据，得到，根据，推出，得到，得到，设,则，得到，根据勾股定理得到，得到，则③错误；推出，得到，推出，得到，得到，得到，则④正确；根据，得到，根据，得到，则⑤正确． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则②正确； 过G作于I，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 则③错误； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则④正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 则⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 24．如图，在中，，，平分交于点E，于点D，交的延长线于M，连接．下列结论：①，②，③，④，⑤；其中正确的结论有 ． 【答案】①②③④⑤ 【分析】过作于，作，交于，过作于，根据角平分线的定义求出，，根据角平分线的性质求出，，根据等腰三角形的性质和判定求出，即可求出；根据三角形外角性质求出，证，推出，即可求出；证，得到，，即可求出． 【详解】解：过作于， ，平分， ， ，， ， ， ， 由角平分线的性质得：， ， ，， ， 正确； 作，交于， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正确，正确； 过作于， ， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ，， 正确； 由角平分线的性质得：， ， 正确； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定等，能综合运用这些知识点进行推理是解题的关键． 25．如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边分别交于点E、F，当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，上述结论中始终正确的有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题以旋转为背景考查了全等三角形的判定和性质，解题时需要运用等腰直角三角形的判定及性质，根据题意得出是解答此题的关键环节． 利用证明，根据全等三角形对应边相等可得，，根据全等三角形的面积相等，推出，即可求解． 【详解】解：解：、都是的余角， ， ，且P是的中点， ， 在和中， ， ，故结论①正确； ， ， 又， 是等腰直角三角形，故结论②正确； 随着点E的变化而变化， ，故结论③错误； ， ， ， 故结论④正确； 则正确的选项有：①②④， 故答案为：①②④ 26．如图，在中，，，平分交于，交延长线于，交的延长线于，连接，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】作，，，垂足为、，证明，由全等三角形的性质得出，，证明为等腰直角三角形，可判断①正确；求出，可得为的中线，进而可判断②；证明，，进而可判断③；证明，得出，，求出，证明，求出可判断④． 【详解】解：作，，，垂足为、， ，， ， 又 ，， ， ，， 又 ， 为等腰直角三角形， ，①正确； ，， ， ， 为的中线， ，②正确； 平分，，， ，，易得为等腰直角三角形， ， ， ，③错误； ，，， ， ，， ，， ， ， 在和中，， ， ， ，④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 27．如图，在中，，于点，的平分线交于点，交于点，于，的延长线交于点，下列四个结论：①；②；③；④连接，若，则，其中正确的结论有 ． 【答案】①③/③① 【分析】证明，可得，故①正确；根据题意无法确定、的大小关系，则无法得到，故②错误；由，可得，再证明为等腰三角形，从而得到，进而得到，可得，进而证明，故③正确；结合三角形中线的性质可得，，进而可得，故④错误． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 根据题意无法确定的大小、的大小关系， ∴无法得到，故②错误； ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴，故④错误． 综上所述，正确的有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角两锐角互余、等腰三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 28．如图，在中，，，，点为中点，于点，其延长线交于点，交延长线于点，平分交于点，交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的有 ．（只填序号）    【答案】①②③④⑤⑥ 【分析】过点作交的延长线于，证明和得到即可判断①；由，得到即可判断②；根据三角形的面积得出即可判断③；根据同角的余角相等可得，从而得到，即可判断④；证明得到，即可判断⑤；根据三角形内角和定理找到角直角的关系即可判断⑥；从而得到答案． 【详解】解：①过点作交的延长线于，如图所示：   ， ， ，，， ， 在和中， ， ， ，，， ∵点为的中点， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， 故结论①正确； ②， 又， ， 故结论②正确； ③∵点为的中点， 和等底同高， ， 又， ，即， ， ， ， 故结论③正确； ④，平分， ， ， ， ， ， 又， ， 故结论④正确； ⑤， ， 在和中， ， ， ， ， 故结论⑤正确； ⑥， ，即， ， 由结论①正确得：， ， ，即， 故结论⑥正确． 综上所述：正确的结论是①②③④⑤⑥， 故答案为：①②③④⑤⑥． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 29．如图，边长为6的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③；④的周长最小值为9；⑤当周长最小时，．其中正确的结论有 （填序号）．    【答案】①②③④ 【分析】①根据等边三角形三线合一可以判断；②由垂直平分，得到，而，得到，得到②中结论；③根据②中可得到结论；④当点和点重合时，的边长最短为3，此时的周长为9；⑤先证明点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，的周长最小，即最小，而，即最小，当和重合时，取最小值，而此时，据此可判断． 【详解】解：①根据等边三角形三线合一可以得：，故①正确； ②∵垂直平分， ∴， 而， 得到； 故②正确； ③根据②中的结论可得③正确； ④的周长最短，即的长度最小，当点和点重合时，，此时的周长为9，故④正确； ⑤连接并延长，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，    ∵ 即 ∴ 在和中， ∴≌ ∴ ∴点在射线上移动； ∵、关于直线对称， ∴， ∴， ∴为等边三角形， 又∵为中点 ∴ ∴ 周长最小，则最小； ∵直线为的垂直平分线， ∴， 在中， 所以当与重合时最小，即为的长， 此时， 故⑤错误； 故正确结论序号为①②③④． 【点睛】本题考查了轴对称最短问题，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明在射线上运动． 30．如图，已知中，，，，点是的中点，给出以下结论： ①图中只有两对全等三角形； ②， ③， ④， ⑤的最小值为， ⑥， 当在内绕顶点旋转时（点不与、重合）上述结论始终正确的有 （填序号）．    【答案】②③④⑥ 【分析】根据全等三角形的判定定理得到≌，≌，≌，再利用全等三角形的性质得到题中的边角关系，即可得到相关结论． 【详解】 ，， ， 点是的中点， ， ， ， ，， 在和中， ， ≌ ， ≌，≌，①错误； ≌， ，②正确； ≌， ，④正确； ≌， ，又， 是等腰直角三角形， 则， 当时，取最小值，最小值,⑤错误； 当取最小值时，取最小值， 的最小值为， ，， ， ，③正确； ，， ， ， ，⑥正确； 故答案为：②③④⑥． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 31．如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．(填序号)    【答案】①②④ 【分析】①当时，是等边三角形，根据等角对等边，以及三角形的内角和定理即可得出，进而判断①；证明，根据全等三角形的性质判断②；作直线于点， 过点作于点，过点作于点，证明，，，即可得是的中点，故④正确，证明，可得，在中，，在中，，得出 ，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：①当时，是等边三角形， ∴ ∴ ∵等腰直角、， ∴ ∴ ∴；故①正确； ②∵等腰直角、， ∴， ∴ ∴ ∴；故②正确； ④如图所示，作直线于点， 过点作于点，过点作于点，    ∵， ∴， 又， ∴ 又∵， ∴ 同理得，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，即是的中点，故④正确， ∴， 设，则 在中， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴,故③错误 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 32．如图，在中，，，，与相交于点F，连接并延长交于点G，的平分线交的延长线于点H，连接．则下列结论：①，②；③；④．其中正确的有 ．    【答案】 【分析】①利用三角形内角和定理即可说明其正确；②利用等腰三角形的判定和性质及判定全等即可；③首先根据全等三角形的性质，可得，再根据等腰直角三角形的判定和性质，可证得为等腰直角三角形，为的垂直平分线，再结合等量代换和等式的性质，即可得出结论；④利用②中的结论结合等量代换和等式的性质，即可得出结论． 【详解】解：设与交于点M，如图，    °，， ， 故①正确； ，， 、都是等腰直角三角形， ，.， 在和中， ， ， 故②正确； ， ， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形． 是的平分线， ，， 即为的垂直平分线， ， ， ， 故③正确； ，，， ， 故④正确． 综上，正确结论有， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 33．如图，在等边中，点D为线段上一点（不含端点），平分交于点E，与的延长线交于点F，连接，且，以下结论：①；②；③是等腰三角形；④连接，；⑤其中正确的有 （请写序号） 【答案】①③④⑤ 【分析】通过证明，即可判断①；根据等边三角形的性质可得，，则，即可判断②；根据可得，再根据等边三角形的性质可得，即可判断③；设，则，根据等腰三角形的性质可得，根据三角形外角定理可得，求出x，即可判断④；延长到点M，使，连接，通过证明即可判断⑤． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 故①正确； ②∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴和不全等， 故②不正确； ③由①可得， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故③正确； ④设，则， 由③可得是等腰三角形； ∴， ∵， ∴，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故④正确； ⑤延长到点M，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故⑤正确； 综上：正确的有：①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形全等的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活运用，通过三角形的全等得出对应角相等，对应边相等． 34．如图，在中，，，于点D，平分交于点E，交于点G，过点A作于点H，交于点F，下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号有 ． 【答案】①③④ 【分析】根据角平分线定义得到，根据余角的性质得到，等量代换得到，故①正确；如图，连接，根据全等三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，故②错误；根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，故③正确；根据全等三角形的性质得到，推出，得到，于是得到．故④正确． 【详解】解：∵平分交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．故④正确； 综上所述：正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理是解题的关键． 35．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有 （将正确答案的序号填在横线上） ①；②；③；④． 【答案】①②③④ 【分析】根据，，可得，可知①正确；利用证明，得，从而说明是等腰直角三角形，可知②正确；过点作于，则，利用可证，可说明③、④正确． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故②正确； 过点作于，则， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴，故③、④正确； 故答案为；①②③④． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 36．如图，在中，，，平分交于点，于点，交的延长线于，连接下列结论：，，，，；其中正确的结论有 ． 【答案】①②③④⑤ 【分析】过作于，作，交于，过作于，根据角平分线的定义求出，，根据角平分线的性质求出，，根据等腰三角形的性质和判定求出，即可求出；根据三角形外角性质求出，证≌，推出，即可求出；证≌，得到，，即可求出． 【详解】解：过作于， ，平分， ， ，， ， ， ， 由角平分线的性质得：， ， ，， ， 正确； 作，交于， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正确，正确； 过作于， ， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， ≌， ，， 正确； 由角平分线的性质得：， ， 正确； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定等，能综合运用这些知识点进行推理是解题的关键． 37．如图，Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB的外角平分线CF相交于点D，AD交CB于P，CF交AB的延长线于F，过D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长线交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④FH＝CD+GH；⑤CF＝2CD+EG，其中正确的有 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】①设∠GCD＝x，∠DAC＝y，则：，故＝45°． ②根据三线合一，延长GD与AC相交于点P，则CG＝CP，AP＝AF； ③证△ACD与△AED全等即可，同时可得出三角形CDE是等腰直角三角形； ④注意到E是三角形CGF三条高所在的直线的交点，从而可证△CHG≌△FHE，则FH＝CH＝EH+CE＝GE+CE＝CD+GH； ⑤在DF上截取DM＝CD，证△EMF≌△CEG即可． 【详解】解：①设∠GCD＝x，∠DAC＝y，依题意得：， 故＝45°，①正确； ②如图：延长GD与AC交于点P'， 由三线合一可知CG＝CP'， ∵∠ADC＝45°，DG⊥CF， ∴∠EDA＝∠CDA＝45°， ∴∠ADP＝∠ADF， ∴△ADP'≌△ADF（ASA）， ∴AF＝AP'＝AC+CP'＝AC+CG，故②正确； ③如图： ∵∠EDA＝∠CDA， ∠CAD＝∠EAD， 从而△CAD≌△EAD， 故DC＝DE，③正确； ④∵BF⊥CG，GD⊥CF， ∴E为△CGF垂心， ∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形， ∴HF＝CH＝EH+CE＝GH+CE＝GH+CD，故④错误； ⑤如图：作ME⊥CE交CF于点M， 则△CEM为等腰直角三角形，从而CD＝DM，CM＝2CD，EM＝EC， ∵∠MFE＝∠CGE， ∠CEG＝∠EMF＝135°， ∴△EMF≌△CEG（AAS）， ∴GE＝MF， ∴CF＝CM+MF＝2CD+GE， 故⑤正确； 综上所述，①②③⑤正确． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形三条高所在的直线的交点(垂心)的性质、全等三角形的判定与性质等多个知识点，技巧性很强，难度较大，要求学生具有较高的几何素养． 38．如图，在中，，是的中点，点在上，，，垂足分别为，，连接则下列结论中：①；②；③；④；⑤若平分，则正确的有 （只填序号）. 【答案】②③④ 【分析】根据等角的余角相等可证得∠BCF=∠CAE，无法证明∠BCF=∠DAE，可判断①错误；连接FM、CM，证明和可证得BF=CE，AE=CF，△EMF为等腰直角三角形，进而可得到∠DEM=45°，，即可判断②③正确；设CM与AE交于点N，连接DN，证明得到DF=NE，DM=MN，利用勾股定理可判断④正确；利用角平分线定义、直角三角形的性质和等腰三角形的判定证得DE=ME，再证明得到CE=DE=BF，结合可判断⑤错误． 【详解】解：∵AE⊥CD， ∴∠CEA=∠AEF=90°，又∠ACB=90°， ∴∠BCF+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°， ∴∠BCF=∠CAE，无法证明∠BCF=∠DAE，故①错误； ∵BF⊥CD， ∴∠BFC=∠CEA=90°， 在和中， ∴， ∴BF=CE，CF=AE， ∴AE-CE=CF-CE=EF， 连接FM、CM， ∵∠ACB=90°，点M为AB的中点，   ∴CM=BM=AM，CM⊥AB， ∴∠FBD+∠FDB=∠DCM+∠MDC=90°，又∠FDB=∠MDC， ∴∠FBD=∠DCM， 在和中， ∴ ∴FM=ME，∠CME=∠BMF， ∴∠BMF+∠BME=∠CME+∠BME=∠CMB=90°，即∠EMF=90°， ∴△EMF为等腰直角三角形， ∴∠FEM=∠EFM=45°， ∴∠AEM=∠AEF-∠FEM=45°， ∴∠AEM=∠DEM，AE-CE=，故②③正确； 设CM与AE交于点N，连接DN， 在和中， ∴，   ∴DF=NE，DM=MN， ∵∠DEN=∠DMN=90°， ∴， 即，故④正确； ∵∠ACB=90°，AC=BC，   ∴∠CAB=∠CBA=45°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE=∠DAE=22.5°， ∵∠DEM=45°，∠AED=90°， ∴∠ADE=∠EMD=67.5°， ∴DE=ME，   ∵∠CAE=∠DAE，∠AEC=∠AED=90°，AE=AE， ∴， ∴CE=DE=BF，又 ∴EF：BF=：DE=：1，故⑤错误， 综上，正确的有②③④， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、角平分线的定义等知识，作为填空题，难度较大，解答关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 39．如图，，，，和交于点，点，为边上的两点，且，连接，，则下列结论：①；②；③；④只有当时，，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】先由，得出，再利用证明，故①正确；由“”可证，得出，进而得出，由勾股定理得出②正确；利用特殊位置可判断，故③错误；由“”可证，可得，故④正确，即可求解． 【详解】解：①，， ，， 在和中， ， ，故①正确； ②由①知， ，， ， ． ，， ． 在与中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ，故②正确； 当点是的中点时，即点与点重合， 在中，，， ，故③错误； 当时， 则， 又，， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 40．如图，中，，于点，过点作且，点是上一点且，连接、，连接交于点．下列结论中正确的有 ． ① ② ③平分 ④ ⑤． 【答案】①②③ 【分析】根据平行线的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，即可判断结论①；根据，得出，即可判断结论②；再根据全等三角形的性质，得出，，再根据等腰直角三角形的性质，得出，结合角之间的数量关系，得出，进而得出，再根据角平分线的定义，得出平分，即可判断结论③；再根据全等三角形的性质，得出，再根据面积之间的数量关系，结合梯形的面积，得出，再根据的面积，得出，即可判断结论④；过点作，交于，根据垂线的定义，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据等角对等边，得出，再根据平角的定义，得出，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，即可判断结论⑤，综合即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，故结论正确，符合题意； 在和中， ， ∴，故结论②正确，符合题意； ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分，故结论③正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论④错误，不符合题意； 如图，过点作，交于， ∴， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，故结论⑤错误，不符合题意， 综上所述，正确的结论有：①②③． 故答案为：①②③． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$