专题06 特殊三角形最值问题（共40道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（浙教版）

专题06 特殊三角形最值问题（共40道） 一、单选题 1．如图，在中，，分别以点为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于，画直线为的中点，为直线上任意一点，若的面积为15，则的最小长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，三线合一定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．如图，连接，．利用三角形的面积公式求出，再根据两点之间线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵， 为的中点， ∴， ，， ， 由作图可知：垂直平分线段， ， ， 的最小值为6， 故选：B． 2．如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，取中点，连接，由题意知，，证明，则，，可知当三点共线时，最小，最小为，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，取中点，连接，   ∵，，点D是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，最小为， 由勾股定理得，， 故选：C． 3．如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】如图：连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的面积可得，再根据垂直平分线的性质、轴对称的性质可得，进而说明的最小值为即可解答． 【详解】解：如图所示：连接．    ∵，D是中点， ∴于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为6． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，确定的长度的最小值是解题的关键． 4．如图，中，，，的面积为21，于D，EF是AB边的中垂线，点P是EF上一动点，周长的最小是等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，故点D是BC边的中点，根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BP+PD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：∵△ABC是等腰三角形， AD⊥BC ∴点D是BC边的中点 ∴BD=CD==3 ∵的面积为21 ∵EF是线段AB的垂直平分线 ∴点B关于直线EF的对称点为点A ∴AD的长为BP+PD的最小值 ∴△PBD的周长最小=(BP+PD)+BD=AD+BC=7+3=10 故选D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 5．如图，菱形ABCD的边长为2，且∠DAB＝60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得点A与点C关于BD对称，则△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，由∠BAD＝60°，可求∠EBG＝60°，则BG＝，EG＝，在Rt△AEG中，求出AE＝，则△PCE的周长＝AE＋CE＝＋1，即为所求． 【详解】解：∵菱形ABCD， ∴点A与点C关于BD对称， 连接AE交BD于点P，连接PC， 则PE＋PC＝PA＋PC＝AE， ∴△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小， ∵E是BC的中点，菱形ABCD的边长为2， ∴BE＝1，AB＝2， 过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G， ∵∠BAD＝60°， ∴∠ABC＝120°， ∴∠EBG＝60°， ∴BG＝，EG＝， 在Rt△AEG中，AE2＝AG2＋EG2， ∴AE＝， ∴△PCE的周长＝AE＋CE＝＋1， ∴△PCE的周长的最小值为＋1， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握菱形的性质，将所求问题转化为求AE的长是解题的关键． 6．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，且AD=6，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PC与PE的和最小是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】连接BE，与AD交于点P，连接CP，则BE的长度即为PE与PC和的最小值，根据三角形的面积公式即可证出BE=AD=6，从而得出结论． 【详解】解：如图，连接BE，与AD交于点P，连接CP， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC，BC=AC， ∴PC=PB， ∴PE+PC=PB+PE=BE，根据两点之间线段最短，BE的长就是PE+PC的最小值， ∵E是AC的中点， ∴BE⊥AC， ∵S△ABC=BC·AD=AC·BE， ∴BE=AD=6， 即PC与PE的和最小值是6． 故选：C． 【点睛】本题考查了最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 7．如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（   ） A．8 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，根据轴对称的性质可得PQ＝P1Q，PR＝P2R，从而得到△PQR的周长＝P1P2并且此时有最小值，连接P1O、P2O，根据轴对称的性质和已知条件可得△P1OP2为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，则PQ＝P1Q，PR＝P2R， 所以△PQR的周长＝PQ+QR+PR＝P1Q+QR+P2R＝P1P2， 由两点之间线段最短可得：此时△PQR周长最小， 连接P1O、P2O，则∠AOP＝∠AOP1，OP1＝OP，∠BOP＝∠BOP2，OP2＝OP， 所以OP1＝OP2＝OP＝8，∠P1OP2＝2∠AOB＝2×45°＝90°， 所以△P1OP2为等腰直角三角形， 所以P1P2＝OP1＝8， 即△PQR最小周长是8． 故选：B． 【点睛】本题考查了由轴对称确定最短路线问题、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，难点在于作辅助线得到与△PQR周长相等的线段． 8．如图，中，，点分别是的中点，在上找一点，使最小，则这个最小值是（    ）    A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】要求PA+PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA，PE的值，从而找出其最小值． 【详解】解： ∵Rt△ABC中，AC=BC=2，点D，E分别是AB，AC的中点， ∴CE=1，AD=BD， ∴A、B关于CD对称 如图，连接BE交CD于点P，则PA=PB ∴BE就是PA+PE的最小值，    在Rt△BCE中，由勾股定理得： ∴PA+PE的最小值是 故选：B 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题时注意转化思想的运用． 9．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB =90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD、AC上的动点，使CE+EF的和最小，则这个最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】过点C作CMAB，在AB上截取，可得≌，所以，从而得出CM的长度就是CE+EF的最小值，根据直角三角形斜边上的高线得出答案． 【详解】如图： 过点C作CMAB，在AB上截取， 平分， ， 在和中 ， ≌， ， ， 当C、E、共线时，且点与M重合时CE+EF=CM取最小值． 在 中 ∵AC=6，BC=8， ∴AB=10， 根据等面积法得： ， 则CM=， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的就是三角形中求最值的问题，解决本题的关键就是做对称，等量代换，利用等面积法求出最小值，从而得出答案． 10．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA＋PE最小，则这个最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【详解】连接BE,则BE就是PA+PE的最小值,因为Rt△ABC中,AC=BC=4,点D,E分别是AB,AC的中点,所以CE=2cm,所以BE=, PA+PE的最小值,故选C. 11．如图，，在的同侧，，，，M 为的中点， 若，则的最大值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、、、、，由对称的性质得，，，，再由“有一个角为的等腰三角形是等边三角形．”可判定为等边三角形，由等边三角形的性质得 ，由，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、、、、， ， ， ， ， M 为的中点， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了对称在几何变换中的应用，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等，根据题意构建等边三角形来转移线段是解题的关键． 12．如图，在中，．  将 边沿翻折，点B落在点处，连接交于点D．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形中的翻折问题、垂线段最短，解题的关键是掌握翻折的性质． 根据将边沿翻折，点B落在点F处，可得，即知当最小时，最大，此时，用面积法求出，即可得到答案． 【详解】解：如图：    ∵将边沿翻折，点B落在点F处， ∴， ∴， 当最小时，最大，此时， ∵ ∵， ∴， ∴， 故选：D． 13．动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，利用全等三角形的判定定理准确找出图中的全等三角形是解题的关键． 如图，分别连接，，作，交的延长线于，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到、；再证明，则，利用等腰三角形的三线合一性质得到，从而得到，，，四点共圆，利用圆中最长的弦为直径得到当取最大值时，则等于直径，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，分别连接，，作，交的延长线于， 和是等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ， ，，，四点共圆， 当取最大值时，则等于直径， 为直径， ， 四边形为矩形， ， ， 点在上， 于， ，两点重合，此时为中点，， ． ， ． 故选：C． 14．如图，在中，，，，是的中点，动直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为（  ） A．8 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，可证得，再证明，从而得到，然后根据，可得，然后根据勾股定理可得，再由当时，与重合，则最大为，即可．作适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点， ，， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， 当时，与重合，则最大为， 即的最大值为． 故选：B． 15．如图，四边形，平分，，，，则面积的最大值为（   ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查角分线定义、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，解题关键是通过作辅助线找出与面积相关的面积最大的条件．延长构造等腰三角形，与垂直时三角形的面积最大． 【详解】解：延长与交于点， ∵平分于， ∴，， ∴， ∴，为中点， ， ， ， 当时，面积最大， ∴此时面积最大， ， 故选：C． 16．如图，线段是等腰与的公共边，，，点为线段的中点，连接，则长的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】作，使得，连接和，以点E为圆心长为半径画圆E，由题意可得，结合和，可证明，则有，当点C运动到点F、E和点C共线时，取得最大值，此时长也为最大，此时，有题意可得，，即可求得答案． 【详解】解：作，使得，连接和，以点E为圆心长为半径画圆E，如图， ∵， ∴， ∴， ∵等腰， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点C运动到点F、点E和点C三点共线时，取得最大值，此时长也为最大，此时， ∵，点为线段的中点， ∴， ∵，，， ∴， 则， 那么，长的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查动点的最值问题，涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是构造全等三角形，利用三点共线取最大值即可求解． 17．如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、轴对称图形的性质；通过轴对称图形的性质转化线段和角是解题的关键．作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；易得，，；进而构造出等边，然后根据三角形的三边关系可得；求出的长即可 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；    由轴对称图形的性质可知：，， ∴ 即：当三点共线时， ∵ 为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 即：的最大值为 故选：A． 18．如图，在等边中，点D在平面内，，，则的最大值为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 以为边作等边三角形，证明得，根据三角形三边的关系求出的最大值即可求解． 【详解】如图，以为边作等边三角形，则，．    ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∵， ∴当点E，D，C三点共线时，有最大值，即的长度为5． ∴的最大值是5． 故选：B． 19．如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为　　 A．40 B．28 C．20 D．10 【答案】D 【分析】延长，交于点，可证，得出，，则，当时，最大为20，即最大为10． 本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到是解题的关键． 【详解】解：如图：延长，交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，； ， ，即； ， ， 当时，最大， 即最大． 故选：D． 20．如图，在中，，，D为的中点，点E、F分别在、边上运动（点E不与点A、C重合）且保持，连接，在此运动变化过程中，的最大值为（    ） A．3 B． C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质； 连接，证明，可得，则的面积最小时，的面积最大，此时，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接． ∵D是中点， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当的面积最小时，的面积最大， ∴当时，的面积最大，此时，． 故选：B． 二、填空题 21．如图，在直角三角形中，，是上一点，，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线性质，过作，使，取中点，连接，，先证明得到，即可得到，最后由，得到当，，三点共线时，最大，此时． 【详解】解：如图，过作，使，取中点，连接，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵中点，， ∴， ∴， ∵， ∴当，，三点共线时，最大，此时， 故答案为：． 22．如图，四边形中，，则的最大值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．在的左侧作等边三角形，连接．由，推出，因为，，，所以当、、共线时，的值最大，最大值为． 【详解】解：如图，在的左侧作等边三角形，连接． 则，， ， ， 在和中， ， ， ，， 当、、共线时，的值最大，最大值为． 故答案为：7 23．如图，在中，为线段上一动点，连接，过点作于，为，则最小值为： ；最大值为 ． 【答案】 0 4 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值， 三角形三边关系的应用，根据三角形三边的关系可得，故当点D与点C重合时，此时点H与点C重合，有最小值，最小值为，即最小值为；设，由勾股定理得到，则，再由，得到，则，故的最大值为4． 【详解】解：∵， ∴当点D与点C重合时，此时点H与点C重合，有最小值，最小值为，即最小值为； 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为4， 故答案为：0；4． 24．如图，和是等腰直角三角形，，连接、． 若，，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】50 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质；证明，则四边形面积的最大时，的面积最大，当时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，，即， ∴， ∴四边形的面积等于， 当面积最大时，四边形面积最大， ∵是定值，是定值， ∴当时，的面积取得最大值， ∵，， ∴四边形的面积的最大值为 ． 故答案为：50． 25．如图，在中，，，，点D是上的一个动点（点D与点B不重合）），连接，作点B关于直线的对称点E，当点E在的下方时，连接、，则面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】连接交于，利用对称性质可得，根据垂线段最短，当时，最小，则最大，即点到的距离最大，此时面积最大，利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 连接交于，如图， ∵点B关于直线的对称点是E， ∴， 当时，最小，则最大，即点到的距离最大，此时面积最大， 由得， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称性质、垂线段最短、三角形的面积、勾股定理等知识，能得出当时面积最大是解答的关键． 26．如图，在直角三角形中，，是上一点，，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半．解决本题的关键是过点作，作，连接，连接点与的中点得到线段，连接，构造，根据全等三角形对应角相等求出，利用勾股定理求出的长度，再根据三角形三边关系找到的最大值． 【详解】解：如下图所示， 过点作，作，连接， 连接点与的中点得到线段，连接， ， ， ， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在中，， 在中， 当点、、三点共线时取最大值，最大值为． 故答案为：． 27．如图，在中，，，是边上一点，且，为射线上一动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，作点C关于射线的对称点，连接．则，证明是等腰直角三角形，求出，在中，，当在同一直线上时，取最大值，即可得到答案． 【详解】解：如图． 作点C关于射线的对称点，连接． 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴当在同一直线上时，取最大值，即为． ∴的最大值是． 故答案为：． 28．如图，边长为2的正，两顶点A、B 分别在直角的两边上滑动，点C在的内部，则的长的最大值为 ； 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的三边关系，根据题意作出辅助线判定出当、、三点共线时，最长是解题的关键．取的中点，连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长度，再根据等边三角形的性质求出的长，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得，判定当、、三点共线时，最长，然后求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ，点为的中点， ， 等边三角形的边长为2，为中线， ， ， 在中，， 当、、三点共线时，最长，最大值为， 的最大值为：， 故答案为： 29．如图，在中，，线段，线段绕点旋转，交于点，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】略 30．如图，正三角形的边长为2，点E是边上的动点（不与端点A、B重合），在上方作正三角形．当点E由点B向点A运动过程中．求面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用． 根据，是等边三角形，得，，，根据等量代换，全等三角形的判定，得，得四边形的面积为：，根据的面积等于四边形面积，当最小时，的面积最大，即可． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：， ∴的面积等于四边形面积， 当时，最小，最小，最大， ∵， ∴， 过点E作于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：．    31．如图，中，．D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交于点E，F，则线段长的最大值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将BF的最大值转化为AF最小是解决本题的关键，属于压轴题． 先求出的长，过点F作于H，连接，若要使最大，则需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可． 【详解】解：连接， ∵中， ∴， ∵垂直平分， ∴， 过点F作于H，若要使最大，则需要最小， 设则 ∵（垂线段最短） 解得． ∴最小值为2，的最大值为， 故答案为：4． 32．如图，在等边三角形中，是中线，点分别在上，且，动点在上，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点P关于的对称点，连接交于，此时的值最小．最小值． 【详解】解：是等边三角形， ，， ∵是中线， ∴，，． ∵， ，， 如图，作点P关于的对称点，连接交于， 此时的值最小．最小值， ， ∴， ∴，而， 是等边三角形， ， 的最小值为3． 故答案为：3． 33．如图，在等边中，是上中线且，点D在线段上，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了轴对称的性质﹣最短路径问题，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，根据等边三角形的性质可得，，，据此得出，作点A关于的对称点M，连接交于，此时的值最小，此时，证明是等边三角形，得出，于是得到结论，熟练掌握轴对称的性质、等边三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】如图，连， ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 如图，作点A关于的对称点M，连接交于， 此时的值最小，此时， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：4． 34．如图，锐角△中，，，△的面积是6，，，分别是三边上的动点，则△周长的最小值是 ． 【答案】2 【分析】根据对称性质，将周长转换为一条直线，如图所示（见详解），作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，三角形是等边三角形，周长，即最小就是的值最小，的面积是，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∴，即是的垂直平分线，是的垂直平分线，且，； ∵， ∴， 即， ∴当点在一条直线上时，三角形是等边三角形， ∴， ∴周长，即的最小值就是的最小值， 根据垂线段最短，可知当时，最小，即此时周长最小， ∵的面积是，， 即， ∴，即周长最小， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的对称性找最短路径，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解和掌握垂直平分线的性质，对称轴的性质找最短路径的方法是解题的关键． 35．如图，在等腰中，，于点，，两动点分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】度或 【分析】依据题意，连接，先证明，得到，从而推出当、、三点共线且时最小，即此时最小，过点作于点，交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，，同理可得，则，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴，， 又∵是公共边， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线且时最小，即此时最小，过点作于点，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，线段最短问题，三角形外角的性质等知识，解题的关键将的最值转化为． 36．如图，在中，，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点F为上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称-最短路线问题，连接，，根据折叠得出C和E关于对称，，当F和D重合时，的值最小，即可此时的周长最小，最小值是，先求出长，代入求出即可． 【详解】解：连接，， ∵沿折叠C和E重合， ∴，，， ∴，垂直平分， ∴C和E关于对称， ∴，， ∴的周长， ∴当F和D重合时，的值最小，此时的周长最小，最小值是． 故答案为：6． 37．如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为 ，的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件求得各边数据，然后根据已知一边一角，构造全等三角形，当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点，进而勾股定理即可求解；对于，构造等边三角形，进而即可求解． 【详解】如图所示，过作交的于， ∵，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴ 如图所示，作且，连接，， ∵ ∴ ∴ ∴ ， 当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ 在中，， ∴ ∴，即的最小值为； 如图所示，作关于的对称点，连接,则 ∵ 则 ∴， ∵对称， ∴ ∴都是等边三角形， 连接， ∵， ∴，则， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴当在上时，， 如图所示 此时取得最小值，最小值 故答案为：，． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，线段最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 38．如图，边长为2的等边中， 是上中线且，连接，在的右侧作等边，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点，作，连接，可证得出;根据是等边三角形，是上中线，可得，进一步推出；根据条件求出，可得；据此即可求解； 【详解】解：作，连接，如图所示： 由题意得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∴； ∴; ∵是等边三角形，是上中线， ∴垂直平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵， 可得， ∴， ∴； ∵，是上中线， ∴是的中位线， ∴是上中线， ∴， ∴； 故答案为： 39．如图，在中，点D，E分别是边上的两点，连接，，已知，，则的最小值的平方是 ．    【答案】194 【分析】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点间线段最短和勾股定理．过点作，并使得，连接构造，然后得到，进而得知，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，最后利用勾股定理求得的值即可得到答案． 【详解】解：过点作，并使得连接， 则， ∴，    ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值， ∵， ∴， ， 故答案为：194． 40．在中，， 点D、 E在边上，且，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 如图，作，使得．作交的延长线于G．证明，则，，的最小值为的长，由，可得，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作，使得．作交的延长线于G． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为的长， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，． 故答案为：． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 特殊三角形最值问题（共40道） 一、单选题 1．如图，在中，，分别以点为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于，画直线为的中点，为直线上任意一点，若的面积为15，则的最小长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（    ） A．2 B． C． D． 3．如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 4．如图，中，，，的面积为21，于D，EF是AB边的中垂线，点P是EF上一动点，周长的最小是等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．如图，菱形ABCD的边长为2，且∠DAB＝60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，且AD=6，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PC与PE的和最小是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 7．如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（   ） A．8 B． C．16 D． 8．如图，中，，点分别是的中点，在上找一点，使最小，则这个最小值是（    ）    A．4 B． C． D． 9．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB =90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD、AC上的动点，使CE+EF的和最小，则这个最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 10．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA＋PE最小，则这个最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 11．如图，，在的同侧，，，，M 为的中点， 若，则的最大值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．20 12．如图，在中，．  将 边沿翻折，点B落在点处，连接交于点D．则的最大值为（   ） A． B． C． D．   13．动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（ ） A．2 B． C． D． 14．如图，在中，，，，是的中点，动直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为（  ） A．8 B． C． D．9 15．如图，四边形，平分，，，，则面积的最大值为（   ） A．8 B．9 C． D．10 16．如图，线段是等腰与的公共边，，，点为线段的中点，连接，则长的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 17．如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 18．如图，在等边中，点D在平面内，，，则的最大值为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 19．如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为　　 A．40 B．28 C．20 D．10 20．如图，在中，，，D为的中点，点E、F分别在、边上运动（点E不与点A、C重合）且保持，连接，在此运动变化过程中，的最大值为（    ） A．3 B． C．6 D．9 二、填空题 21．如图，在直角三角形中，，是上一点，，，则的最大值为 ． 22．如图，四边形中，，则的最大值为 ． 23．如图，在中，为线段上一动点，连接，过点作于，为，则最小值为： ；最大值为 ． 24．如图，和是等腰直角三角形，，连接、． 若，，则四边形面积的最大值为 ． 25．如图，在中，，，，点D是上的一个动点（点D与点B不重合）），连接，作点B关于直线的对称点E，当点E在的下方时，连接、，则面积的最大值是 ． 26．如图，在直角三角形中，，是上一点，，，则的最大值为 ． 27．如图，在中，，，是边上一点，且，为射线上一动点，则的最大值为 ． 28．如图，边长为2的正，两顶点A、B 分别在直角的两边上滑动，点C在的内部，则的长的最大值为 ； 29．如图，在中，，线段，线段绕点旋转，交于点，则的最大值为 ． 30．如图，正三角形的边长为2，点E是边上的动点（不与端点A、B重合），在上方作正三角形．当点E由点B向点A运动过程中．求面积的最大值为 ．    31．如图，中，．D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交于点E，F，则线段长的最大值是 ． 32．如图，在等边三角形中，是中线，点分别在上，且，动点在上，则的最小值为 ． 33．如图，在等边中，是上中线且，点D在线段上，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 34．如图，锐角△中，，，△的面积是6，，，分别是三边上的动点，则△周长的最小值是 ． 35．如图，在等腰中，，于点，，两动点分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 36．如图，在中，，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点F为上一动点，则的周长最小值为 ． 37．如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为 ，的最小值为 ． 38．如图，边长为2的等边中， 是上中线且，连接，在的右侧作等边，则周长的最小值是 ． 39．如图，在中，点D，E分别是边上的两点，连接，，已知，，则的最小值的平方是 ．    40．在中，， 点D、 E在边上，且，则的最小值 ． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$