5.3.5 实际问题与一元一次方程 （分段计费问题与方案选择问题）课件2024-2025学年人教版数学七年级上册

5.3.5 实际问题与一元一次方程 (第5课时 分段计费问题和方案选择问题) 一、复习巩固(1分钟) 知识点1 3 3. 某商品原来每件零售价是 a 元,现在降价,每件打8折,降价后每件零售价是 元. 1. 商品标价200元,九折出售,售价是 元. 180 0.8a 知识点1 举例 含义 力度 满200减50 满200, 超过部分打7折 满减 优惠大酬宾 若消费 (量) 为x, 单另计费的分界为10,则 超过的部分量= (x -分界值) 超过部分实付= (x -10) 0.7 超出的部分 举例 含义 力度 满200送50 买一副球拍送一盒乒乓球 若球拍单价30元,球5元 满赠 优惠大酬宾 二、学习目标 (1分钟) 通过建立方程模型解决不同能效空调综合费用的比较问题,初步掌握解决方案问题的一般方法,提升模型观念,增强应用意识.(重点,难点) 明确方案选择问题是通过列方程或列式计算求解,再通过分类讨论或比较出最优方案的过程. 知道分段计费问题是不同区间的计费标准各不相同,总费用需要分段计费再汇总. 8 表5.3-2 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年 耗电(kW h) 1.5 1级 3000 640 1.5 3级 2600 800 三、教授新课 (15分钟) 一、不同能效空调的综合费用比较问题 购买空调时,需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从当年生产的两款空调中选购一台,表5.3-2是这两款空调的部分基本信息. 如果电价是0.5元/(kW h),请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 思考:综合费用由哪两部分构成? 综合费用=购买的费用+电费 解:设空调的使用年数为t,1级效能空调综合费用表示为 3000+0.5 640 t 整理,得 3000 +320t 3级效能空调综合费用表示为 2600+0.5 800 t 整理,得 2600 +400t 动动手:设空调的使用年数为t, 表示出这两款空调的综合费用. 想一想:两个式子该如何比较大小呢? (提示:类比两数比较大小) 问题1 在什么情况下,两款空调综合费用一样? 解: 3000 +320t= 解得 t=5. 2600 +400t ∴当使用时间为5年时,两种空调综合费用一样. 问题2 做差比较两空调综合费用 (3000 +320t) -(2600 +400t) 去括号,合并同类项,得 400 - 80t 整理得 80(5 - t) 分析: 若 大-小 得到结果为正数 若 小-大 得到结果为负数 当t>5时, 80(5 - t)是负数,可得(3000 +320t) 小,即1级能效空调综合费用低. 当t<5时, 80(5 - t)是正数,可得(2600 +400t)小,即3级能效空调综合费用低. (3000 +320t) -(2600 +400t) 大-小 (3000 +320t) -(2600 +400t) 小-大 方法归纳,阶段总结 设出未知数, 费用的多少随哪个量的变化而变化, 空调综合费用随着使用年数在变化 方案解决步骤 (1)先列等式,求出分界点 (2)再做减法,合并同类项,整理,比较出大小,来确定方案 一家游泳馆每年6月-8月出售夏季会员证. 每张会员证120元,只限本人使用,凭会员证购入场券每张15元,不凭会员证购入场券每张20元. 讨论并回答下列问题: (1) 在什么情况下,使用会员证与不使用会员证付一样的费用? (2)在什么情况下,使用会员证比不使用会员证更合算? (3)在什么情况下,不使用会员证比使用会员证更合算? 购买入场券x张 使用会员证 不使用会员证 会员费 120 入场券费用 15x 20x 实际付费 = = + 综合费用=会员费+入场券费 单一费用 学以致用,变式训练1 120+15x 20x 16 解:(1) 设购买入场券x张,由题意,得 120+15x=20x 解得 x=24 当x=24时,使用会员证与不使用会员证付一样的费用. 所以,当x>24时,使用会员证比不使用会员证更合算. (2) (120+15x) - 20x 化简得 120 -5x 变形整理得 5(24 -x) 当x>24时, 5(24 -x)是负数,可得(120+15x)比20x的值小,使用会员证合算. (3)当x<24时, 5(24 -x)是正数,可得20x的值比(120+15x)小,不使用会员证合算. 所以,当x<24时,不使用会员证比使用会员证更合算. 方法点拨 设出未知数, 费用的多少随哪个量的变化而变化, 入场券综合费用随着购买入场券张数的多少在变化 方案解决步骤 (1)先列等式,求出分界点, (2)再做减法,合并同类项,整理,比较出大小,来确定方案 用A4纸在某复印社复印文件,复印页数不超过20时每页收费0.12元;复印页数超过20时,超过部分每页收费0.09元. 在某图书馆复印同样的文件,不论复印多少页,每页收费0.1元. 问:如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜? (复印的页数不为零) 变式训练2 综合运用 复印页数x 复印社复印费用/元 图书馆复印费用/元 x <20 0.12x 0.1x x =20 0.12 20=2.4 0.1 20=2 x >20 2.4+0.09(x-20) 0.1x 列表分析 表示复印费 复印页数x 复印社复印费用/元 图书馆复印费用/元 x <20 0.12x 0.1x x =20 0.12 20=2.4 0.1 20=2 x >20 2.4+0.09(x-20) 0.1x 解:设复印页数为x,由题意,列表得: (1) 当 x <20 时,0.12x 大于 0.1x 恒成立,图书馆价格便宜; (2) 当 x = 20 时,图书馆价格便宜; (3) 当 x >20时,由题意得 2.4+0.09(x-20) = 0.1x. 解得 x = 60 当x = 60时,两者价格相同; 综上所述 当 x <60页时,图书馆价格便宜; 当 x =60页时,两者价格相同; 当 x >60页时,复印社价格便宜. 2.4+0.09(x-20) - 0.1x. 化简得 0.6- 0.01 x 整理得 0.01(60- x) 当x>60时, 0.01(60-x)是负数,可得2.4+0.09(x-20)的值小,复印社价格便宜. 当x<60时, 0.01(60-x)是正数,可得0.1x的值小,图书馆价格便宜. 某市为鼓励居民节约用水,对自来水用户按分段计费方式收取水费:若每户每月用水不超过 10t,则按 2 元/t 收费;若每户每月用水超过 10t,则超过的部分按 2.5元/t 收费. (1)如果某居民3月用水12t ,应缴纳水费_元. (2)如果某居民4月缴纳水费35元,那么该居民用水多少吨? (3)如果某居民5月用水 x (x>10) t ,那么该居民应缴纳水费多少元? 25 二、阶梯水费(电价)问题 用水量x t 单价2元水费 单价2.5元水费 综合水费 不超过10 t 超过10 t 列表分析表示水费 应缴纳水费25元 该居民应缴纳水费(2.5x-5)元. 该居民用水16吨. = + 1.小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是:每户每月用水不超过30吨,每吨水费2.5元;超过30吨,超过部分每吨按3.5元,小明家今年5月份水费的平均价格为每吨2.9元,该月小明家的用水量_吨. 用水量未知 用水量x t 单价2.5元水费 单价3.5元水费 综合水费 不超过30 t 超过30 t 列表分析表示水费 思考:2.9在2.5-3.5之间,说明什么问题? 说明用水量超30 2. 小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是:每户用水不超过5吨,每吨水费x元;超过5吨,超过部分每吨加收2元,小明家今年5月份用水9吨,共交水费为44元,根据题意列出关于x的方程正确的是( ) A.5x+4(x+2)=44 B.5x+4(x-2)=44 C.9(x+2)=44 D.9(x+2)-4 2=44 A 水价未知 用水量9 t 单价x元 单价(x+2)元 综合水费 不超过5 t 超过5 t 归纳 根据已知条件找到合适的分段点,表示超出部分,然后根据,选择相应方程,建立等式分类讨论,从而得出整体选择方案. 四、课堂小结 (1分钟) 方法归纳,阶段总结 设出未知数, 费用的多少随哪个量的变化而变化, 空调综合费用随着使用年数在变化 入场券综合费用随着购买入场券张数的多少在变化 方案解决步骤 (1)先列等式,求出分界点 (2)再做减法,合并同类项,整理,比较出大小,来确定方案 28 五、布置作业 课本141页 第14题 Lavf58.76.100 Lavf58.76.100 Lavf58.76.100 Lavf58.76.100 $$