第10讲 数列通项公式的常见方法（九大重难点）-2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第10讲 数列通项公式的常见方法 重难点01周期数列 例1．已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（    ） A．2015 B．2016 C．1518 D．1519 例2．已知数列满足，，记数列的前项和为，则 . 【跟踪练习】 练习1．在数列中，，，记为数列的前n项和，则（    ） A．0 B．2018 C．1010 D．1009 练习2．已知数列满足，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 练习3．数列满足，，则（   ） A．2022 B．2020 C． D． 练习4．数列满足，且，则 ． 重难点02叠加法 【解题必备】叠加法：适用于，求 具体过程：两边分别相加得 例3．在数列中，，，则等于（   ） A．4 B． C．13 D． 例4．已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．（多选）将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是（   ） A．37 B．58 C．67 D．79 练习2．在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 练习3．已知数列满足，，则 . 练习4．已知，且，则数列的通项公式为 . 重难点03叠乘法 【解题必备】叠乘法：适用于，求 具体过程： ，两边分别相乘得 例5．若数列满足，则 ． 例6．已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 练习2．已知数列，则数列的通项为 练习3．已知数列中，求数列的通项公式． 练习4．已知数列的前项和为，，，则数列 ． 重难点04形如型和型的递推式 【解题必备】（1）形如且，方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. （2）形如，方法：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 例7．已知数列中，（且，则数列通项公式为（    ） A． B． C． D． 例8．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【跟踪练习】 练习1．若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 练习2．设数列的前项和为，若，，则 ． 练习3．已知数列的首项，且，则 . 练习4．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 重难点05形如型和型的递推式 【解题必备】（1）形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） （2）形如，则两边取倒数即可 例9．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 例10．已知数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，若，求的最大值． 【跟踪练习】 练习1．已知数列满足，，，则 . 练习2．数列中，若，，则 ． 练习3．在数列中，已知，，求的通项公式． 练习4．已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和满足，对任意正整数，试比较与的大小． 重难点06已知通项公式与前项和关系求通项 【解题必备】用消的3个步骤： ①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 例11．已知数列的前项和，若第项满足，则等于 ． 例12．已知数列的前n项的和为，．当时，，则（    ） A． B．1006 C．1007 D．1008 【跟踪练习】 练习1．已知数列的前项和为，若，则 . 练习2．设数列的前n项和为，已知，，则 ，数列的通项公式是 ． 练习3．已知数列的前项和为，满足对任意的，均有，则 . 练习4．已知数列的前n项和为，若，则 ． 重难点07前项积型和“和”型求通项 【解题必备】“和”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； “积”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； 例13．已知为正项数列的前项的乘积，且，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 例14．已知数列满足，若，则的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和. 练习2．已知数列满足，则 . 练习3．为数列的前项和，为数列的前项积，已知. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式. 练习4．（多选）已知数列的前n项和为，满足，则（   ） A．数列为等比数列 B．数列为等差数列 C． D．数列是等比数列 重难点08奇偶讨论型 【解题必备】（1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律；（2）分段数列；（3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列． 例15．已知数列满足，，，，则 ． 例16．（多选）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列满足，，则（    ） A． B． C．此数列的前项和为 D．数列的前60项和为930 【跟踪练习】 练习1．已知数列满足，且 (1)设，求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 练习2．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则 ；数列的前100项和为 . 练习3．数列满足，前16项和为540，则 ． 练习4．已知数列的前项和为，且满足，则 . 重难点09因式分解求通项 【解题必备】利用十字相乘进行因式分解． 例17．数列满足，且，则该数列前5项和可能是 (填一个值即可） 例18．若正项数列满足，则数列的通项公式是 ． 【跟踪练习】 练习1．已知正项数列的首项，若满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求. 练习2．已知正项数列满足：，，. （1）判断数列是否是等比数列，并说明理由； （2）若，设，，求数列的前项和. 练习3．正项数列中，，对任意都有． (1)求数列的通项公式及前项和； (2)设，试问是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出所有满足要求的；若不存在，请说明理由． 练习4．已知正项数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)记，求数列的前项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第10讲 数列通项公式的常见方法 重难点01周期数列 例1．已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（    ） A．2015 B．2016 C．1518 D．1519 【答案】C 【详解】依题意，， 因此数列是以2为周期的周期数列， 所以该数列前2024项的和为. 故选：C 例2．已知数列满足，，记数列的前项和为，则 . 【答案】 【详解】由题意得，，， ，， 所以为周期数列， 所以. 故答案为： 【跟踪练习】 练习1．在数列中，，，记为数列的前n项和，则（    ） A．0 B．2018 C．1010 D．1009 【答案】C 【详解】解：因为，所以． 因为，所以， ，，， ，，，…， 故数列为周期数列，周期为4． 所以． 故选：C． 练习2．已知数列满足，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】因为，， 令，则； 令，则； 令，则； 可知数列为周期为的周期数列，所以. 故选：A. 练习3．数列满足，，则（   ） A．2022 B．2020 C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，， ，， ， 故的一个周期为4． 又， 故． 故选：C 练习4．数列满足，且，则 ． 【答案】 【详解】数列中，，由，得，则， 因此数列是以2为周期的周期数列，， 所以，. 故答案为： 重难点02叠加法 【解题必备】叠加法：适用于，求 具体过程：两边分别相加得 例3．在数列中，，，则等于（   ） A．4 B． C．13 D． 【答案】A 【详解】依题意，在数列中，，， 即， 所以 ． 故选：A 例4．已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以由递推公式可得 当时，等式两边分别相加，得 ， 因为，则，而满足上式，所以， 即，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，当时，， 当时，，因为，所以的最小值为. 故选：A. 【跟踪练习】 练习1．（多选）将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是（   ） A．37 B．58 C．67 D．79 【答案】ACD 【详解】不妨设第n（）个“拐弯数”为， 不难发现，，，，…， 所以（）， 利用累加法得， 因而， 当时，也符合上式， 所以（）. 代入选项验算可知A，C，D三个选项正确. 故选：ACD. 练习2．在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则 ， ， ， ， … ， 以上各式累加得． 所以． 因为也适合上式， 所以． 故选：B. 练习3．已知数列满足，，则 . 【答案】 【详解】由可得， 所以， ， ……， ， 累加可得，，即 当时，也符合上式， 所以， 故答案为： 练习4．已知，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】等式两侧同除，得， 所以， 令，所以， 则，，，……，， 累加得：，而，故， 即，整理得. 故答案为： 重难点03叠乘法 【解题必备】叠乘法：适用于，求 具体过程： ，两边分别相乘得 例5．若数列满足，则 ． 【答案】 【详解】由题意，数列满足， 可得． 故答案为：. 例6．已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由，得， 所以， 所以，即①． 又因为②， ①②两式相乘，得． 故选：A． 【跟踪练习】 练习1．数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】因为，， 所以，，，…，， 累乘得，， 所以，， 由于，所以，， 显然当时，满足， 所以， 故答案为：. 练习2．已知数列，则数列的通项为 【答案】 【详解】∵ ①， ∴当时， ②， ①-②得：，即：， ∴， ∴，当时，结论也成立． ∴． 故答案为： 练习3．已知数列中，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】解：因为， 所以当时，， 所以， 以上个式子相乘得， 即， 所以． 当时，，也与已知相符， 所以数列的通项公式为． 练习4．已知数列的前项和为，，，则数列 ． 【答案】 【详解】由题意可得， 所以， 所以， 所以， 又因为，所以， 故答案为： 重难点04形如型和型的递推式 【解题必备】（1）形如且，方法:化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. （2）形如，方法：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 例7．已知数列中，（且，则数列通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，知：且()， 而，， ∴是首项、公比都为3的等比数列，即， 故选：C 例8．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）数列中，由，得，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，所以数列的前n项和. 【跟踪练习】 练习1．若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】， 又，故为公比为2的等比数列， 故，所以. 故答案为： 练习2．设数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】1536 【详解】因为，，则， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 则. 故答案为： 练习3．已知数列的首项，且，则 . 【答案】2022 【详解】由，得，又， 所以数列是以4为公比、以4为首项的等比数列， 所以，得. 所以， 则. 故答案为：2022 练习4．已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 【答案】 574 【详解】因为，， 则，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，即， 可得 ， 所以. 故答案为：；. 重难点05形如型和型的递推式 【解题必备】（1）形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） （2）形如，则两边取倒数即可 例9．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 例10．已知数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，若，求的最大值． 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）因为，所以， 故，又，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，解得， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，则， 所以 ， 因为 恒成立， 所以是单调递增数列， 且，， 故使得的的最大值为3. 【跟踪练习】 练习1．已知数列满足，，，则 . 【答案】 【详解】数列中，，，显然，取倒数得， 即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列， 因此，所以. 故答案为：. 练习2．数列中，若，，则 ． 【答案】19 【详解】∵，则， ∴，∴故数列为等差数列，公差等于2， 又，故， ∴. 故答案为：19． 练习3．在数列中，已知，，求的通项公式． 【答案】 【详解】由，得， 整理得， 所以是首项为，公比为的等比数列． 故，则． 练习4．已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和满足，对任意正整数，试比较与的大小． 【答案】(1)； (2)当时，；当时，. 【详解】（1）由已知，所以，又， 所以数列是首项为，公比的等比数列， 所以，即 . （2）已知，① 当时，． 当时，，② ①②得，也适合，所以；   设函数，则函数是上的减函数，且，， 所以当时，，即； 当时，，即． 因此，当时，；当时，． 重难点06已知通项公式与前项和关系求通项 【解题必备】用消的3个步骤： ①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并. 例11．已知数列的前项和，若第项满足，则等于 ． 【答案】8 【详解】由题设， 当时，， 显然满足，则， 由，即，，则. 故答案为：8 例12．已知数列的前n项的和为，．当时，，则（    ） A． B．1006 C．1007 D．1008 【答案】D 【详解】易知当时，，． 两式相减得，即． 又，， 即满足上式， 可得． 故选：D． 【跟踪练习】 练习1．已知数列的前项和为，若，则 . 【答案】54 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故答案为：54. 练习2．设数列的前n项和为，已知，，则 ，数列的通项公式是 ． 【答案】 1 【详解】当时，，则， 又，． 当时，， 则，即． 因为，所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 则，所以． 故答案为：1；. 练习3．已知数列的前项和为，满足对任意的，均有，则 . 【答案】 【详解】因为对任意的，均有，则有， 当时，，所以； 当时，，也即， 因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，则， 故答案为：. 练习4．已知数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】 【详解】由，可得， 两式相减得，即得， 则．又由，解得， 故是等比数列，公比为，首项为, 则，即得 故． 故答案为: . 重难点07前项积型和“和”型求通项 【解题必备】“和”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； “积”型式子可看做前n项和，然后用即可求解； 例13．已知为正项数列的前项的乘积，且，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【详解】由，得，于是，则， 两边取对数得，因此，数列是常数列， 则，即，所以，. 故选：B 例14．已知数列满足，若，则的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 当时，； 当时，， 两式相减可得，即； 且符合上式，所以. 又因为， 所以的前2025项和为. 故选：C. 【跟踪练习】 练习1．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 当时，得， 当时，由，得 ， 两式相减得：，则， 不满足上式，故； （2）由（1）知，则； 当时，， 故， 两式相减可得：， 故； 所以. 练习2．已知数列满足，则 . 【答案】 【详解】因为①， 当时，②， ①②得，所以， 所以. 故答案为： 练习3．为数列的前项和，为数列的前项积，已知. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）当时，，即，解得. 当时，，所以，所以， 即是以，公差为2的等差数列. （2）因为的通项公式为， 所以当时， 当时， 又因为， 所以数列的通项公式为：. 练习4．（多选）已知数列的前n项和为，满足，则（   ） A．数列为等比数列 B．数列为等差数列 C． D．数列是等比数列 【答案】ABC 【详解】因为， 若，则，即； 若，则， 可得，即； 且符合上式，所以. 对于选项A：因为，且， 所以数列是公比为2的等比数列，故A正确； 对于选项B：因为， 所以数列为等差数列，故B正确； 对于选项C：因为，所以，故C正确； 对于选项D：因为， 显然，所以数列不是等比数列，故D错误； 故选：ABC. 重难点08奇偶讨论型 【解题必备】（1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律；（2）分段数列；（3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列． 例15．已知数列满足，，，，则 ． 【答案】 【详解】，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， ，即，. 故答案为：. 例16．（多选）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列满足，，则（    ） A． B． C．此数列的前项和为 D．数列的前60项和为930 【答案】ABD 【详解】令且， 当时，①； 当时，②， 由①②联立得， 所以， 累加可得， 令(且为奇数)，得， 当时满足上式， 所以当为奇数时，， 当为奇数时，， 所以，其中为偶数， 所以， 所以，故A正确， ，故B正确； 由， 而，故此数列的前项和不为，故C错误； 因为， 所以的前2n项和 ， 则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用题中所给递推式，分奇偶讨论结合累加法求得数列通项公式，后续求和亦需分奇偶进行讨论. 【跟踪练习】 练习1．已知数列满足，且 (1)设，求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 【答案】(1) (2)20 【详解】（1）因为 所以，，，所以． 又因为，所以，所以． 因为，所以， 又因为，所以，所以，所以， 即， 所以， 又因为，所以，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即． （2）由（1）可知，所以， 所以， 又因为，所以， 即，所以， 所以， 因为， ， 所以是一个增数列， 因为，， 所以满足题意的n的最小值是20． 练习2．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则 ；数列的前100项和为 . 【答案】 【详解】令且， 当时，①； 当时，②， 由①②联立得. 所以， 累加可得. 令(且为奇数)，得. 当时满足上式， 所以当为奇数时，. 当为奇数时，， 所以，其中为偶数. 所以，所以. 因为， 所以的前2n项和 ， 所以 故答案为：， 练习3．数列满足，前16项和为540，则 ． 【答案】-2 【详解】因为数列满足， 当为奇数时，， 所以，，，， 则， 当为偶数时，， 所以，，，，，，， 故，，，，，，， 因为前16项和为540， 所以， 所以，解得． 故答案为：． 练习4．已知数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以，，且， 所以， 记，则，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 记的前项和为， 则 . 故答案为： 重难点09因式分解求通项 【解题必备】利用十字相乘进行因式分解． 例17．数列满足，且，则该数列前5项和可能是 (填一个值即可） 【答案】5（答案不唯一） 【详解】因为， 即， 所以或， 又，故该数列前5项可能为：1、1、1、1、1，或1、1、1、1、2， 或1、1、1、2、2，或1、1、2、2、2，或，或1、2、4、8、8，或1、2、4、8、16， 该数列前5项和可能是5、6、7、8、、23、31. 故答案为：5（答案不唯一）. 例18．若正项数列满足，则数列的通项公式是 ． 【答案】 【详解】在正项数列中，，则有， 于是得，而，因此得：数列是公比为2的等比数列， 则有，即， 所以数列的通项公式是. 故答案为： 【跟踪练习】 练习1．已知正项数列的首项，若满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求. 【答案】（1） ；（2）. 【详解】（1）正项数列的首项，因为， 所以，解得或（舍去）， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以. （2）因为，所以 ， 上面两式作差得 所以. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和. （2）错位相减法：若是等差数列，是等比数列，求. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有，，等. （4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法. 练习2．已知正项数列满足：，，. （1）判断数列是否是等比数列，并说明理由； （2）若，设，，求数列的前项和. 【答案】（1）是，理由见解析；（2）. 【详解】解：（1）∵， 又是正项数列，可得，∴， 易知，故， 所以数列是等比数列，首项为，公比为2. （2）由（1）知，，， ∴. 【点睛】本题考查等比数列的判断，考查分组求和法，数列中由递推公式不能说明数列是等比数列，加上条件才可得是等比数列． 练习3．正项数列中，，对任意都有． (1)求数列的通项公式及前项和； (2)设，试问是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出所有满足要求的；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，又， 数列是以1为首项，2为公差的等差数列． 所以的通项公式为，前项和. （2）存在正整数，使得成等差数列， 由（1）得， 假设存在正整数，传得成等差数列，则， 即， 当时，得，显然不成立， 所以，得， 为整数，，故， 即，对应的， 所以存在满足要求的，或或. 练习4．已知正项数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由题意，得，又， 所以，从而． 当时，． 由于不符合上式， 故 （2）由（1）知 当时，， 所以当时， ． 又也适合上式， 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$