2024-2025学年人教版九年级上册数学期末测试综合测试题

九年级上册数学期末测试综合测试题 考试范围：九年级上册数学；考试时间：100分钟；总分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．方程（x﹣5）（x﹣6）＝x﹣5的解是（　　） A．x＝5 B．x＝5 或x＝6 C．x＝7 D．x＝5 或 x＝7 2．如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝50°，则∠OBA的度数为（　　） A．25° B．30° C．40° D．50° 3．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣1，3），B（﹣3，0），C（﹣2，﹣2），将△ABC绕原点按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，其中A与A′对应，B与B´对应，则A´的坐标是（　　） A．（1，3） B．（3，1） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 4．已知△ABC， （1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°∠A； （2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A； （3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°∠A． 上述说法正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，则AD的长为（　　） A． B． C．D． 6．如图，已知平行四边形ABCD，以B为圆心，AB为半径作交BC于E，然后以C为圆心，CE为半径作交CD于F，若AD＝5，FD＝3，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（　　） A．π B．3π C．π D．12π 7．两个完全相同的三角形纸片，在平面直角坐标系中的摆放位置如图所示，点P与点P′是一对对应点，若点P的坐标为（a，b），则点P′的坐标为（　　） A．（b+3，a） B．（b，3﹣a） C．（a﹣3，﹣b） D．（3﹣a，﹣b） （6题图） （7题图） （9题图） （10题图） 8．一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx，在同一平面直角坐标系中的图象可能的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，“心”形是由抛物线y＝﹣x2+6和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，直线AB为“心”形对称轴，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则AB＝（　　） A．6 B．8 C．10 D．10 10．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线yx2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（　　） A．y x2 x+1 B．y x2 x﹣1 C．y x2 x+1 D．y x2 x﹣1 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知a，b为整数，且x2﹣ax+3﹣b＝O有两个不相等的实数根，x2+（6﹣a）x+7﹣b＝O有两个相等的实数根；x2+（4﹣a）x+5﹣b＝0没有实数根，则a+b＝　 　． 12．如图，AB是⊙O直径，D是半圆弧AB中点，P是BA延长线上一点，连接PD交A⊙O于点C，连接BC，若∠P＝25°，则∠ABC＝　 　o． 13．如图，该图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12cm2，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积为 　 　cm2． 14．若点P（m+1，﹣2）与点Q（2n﹣1，m）关于原点对称，则m＝　 　，n＝　 　． 15．若函数y＝x2﹣2x+b﹣1的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是　 　． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（8分）用两种方法求解方程：y2﹣6y+9＝16 方法一： 方法二： 17．（9分）线段AB与射线AP有一公共端点A． （1）用直尺和圆规作出∠BAP的角平分线AC．（不写作图方法） （2）用圆规在射线AP上截取线段AD＝AB，联结BD． （3）用直尺和圆规在BD右侧作出以点B为顶点的∠DBQ，使∠DBQ＝∠BDA，且BQ与AC相交于点E．（不写作图方法） （4）你认为线段AB和BE的大小关系如何？ 18．（9分）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H． （1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由； （2）连接CG，求证：四边形CBEG是正方形． 19．（9分）如图，我区荷兰花海景区东北角有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此扩建一个新品种花卉观光区，其中阴影部分为观览通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将种植新品种花卉． （1）设观览通道的宽度为x米，则a＝　 　（用含x的代数式表示）； （2）若新品种花卉总占地面积为2430平方米．请求出观览通道的宽度为多少米？ 20．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在上，，点E在BA的延长线上，∠CEA＝∠CAD． （1）如图1，求证：CE是⊙O的切线； （2）如图2，若∠CEA＝2∠DAB，OA＝8，求的长． 21．（10分）一个圆锥形零件的母线长为6，底面的半径为2，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积． 22．（10分）老李将自己新捕捞的150千克活海鲜贩运到内地某市销售，老李一到该市，了解到可靠信息：这种活海鲜当日一次性成交价为每千克80元，临近春节10天，一次性成交价会每过一天，每千克涨两元，老李想待价而沽，但又考虑到：他在该市每多住一夜，要多开支200元，而且这种海鲜，每过一夜会坏死1千克，坏死的海鲜必须扔掉，而且至少要留两天返程时间回家过年，怎么办？你能告诉老李住几个晚上后，第二天早上卖掉海鲜回家，即使除去开支，收入也是最好，而且不耽误回家过年？ 解：设老李住了x个晚上后，第二天早上就把活海鲜一次性卖掉，除去开支后的收入为y元．可用含x的式子表示：海鲜一次性成交价为每千克　 　元，一次性成交的海鲜重为　 　千克，一次性成交金额为　 　元，多开支费用为　 　元，除去开支后的收入为　 　元．（请继续完成分析计算过程，并算出最好的收入y的值） 23．（11分）如图，在顶点为P的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的对称轴l上取点A（h，k），过A作BC⊥l交抛物线于B、C两点（B在C的左侧），点A′和点A关于点P对称；过A′作直线m⊥l，又分别过点B、C作BE⊥m和CD⊥m，垂足为E、D．在这里我们把点A叫此抛物线的焦点，BC叫此抛物线的直径，矩形BCDE叫此抛物线的焦点矩形． （1）直接写出抛物线yx2的焦点坐标以及直径的长． （2）求抛物线y（x﹣3）2+2的焦点坐标以及直径的长． （3）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的直径为，求a的值． （4）①已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的焦点矩形的面积为2，求a的值． ②直接写出抛物线y（x﹣3）2+2的焦点矩形与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1有两个公共点时m的取值范围． 参考答案 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．解：方程移项得：（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）＝0， 分解因式得：（x﹣5）（x﹣7）＝0， 解得：x＝5或x＝7， 选：D． 2．解：连接OA， ∵∠C＝50°， ∴∠AOB＝2∠C＝100°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA（180°﹣100°）＝40°． 选：C． 3．解：作AM⊥x轴于M，作A′N⊥x轴于N， 根据题意，如图：A（﹣1，3）；易得：AM＝3，AN＝1； 将△ABC绕原点按顺时针方向旋转90°， 在直角△AOM和直角△A′ON中，OA＝OA′，∠AOM＝∠A′ON ∴△AOM≌△OA′N ∴AM＝A′M′＝3，AN＝A′N′＝1； A′的坐标为（3，1）； 选：B． 4．解：（1）若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点， 则∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB 则∠PBC+∠PCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A） 在△BCP中利用内角和定理得到： ∠P＝180﹣（∠PBC+∠PCB）＝180（180°﹣∠A）＝90°∠A， 成立； （2）当△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°时，结论不成立； （3）若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点， 则∠PBC∠FBC（180°﹣∠ABC）＝90°∠ABC， ∠BCP∠BCE＝90°∠ACB ∴∠PBC+∠BCP＝180°（∠ABC+∠ACB） 又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A ∴∠PBC+∠BCP＝90°∠A， 在△BCP中利用内角和定理得到： ∠P＝180﹣（∠PBC+∠PCB）＝180（180°+∠A）＝90°∠A， 成立． ∴说法正确的个数是2个． 选：C． 5．解：∵AB为直径的圆与AC相切， ∴∠CAB＝∠ADB＝90°， ∵AB＝2，AC＝1， ∴BC， ∵AD•BC＝AC•AB， ∴AD． 选：A． 6．解：设BE＝a，CE＝b， 根据题意可得， ， 解得：， ∴BE＝4，CE＝1， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°， ∴S扇ABE， S扇ECF， S阴＝S扇ABE+S扇ECF＝3π． 选：B． 7．解：∵（4，1）与（﹣1，﹣1）是一对对应点，（1，1）与（2，﹣1）是一对对应点， ∴对称中心是点（，0）． ∵点P与点P′是一对对应点，点P的坐标为（a，b）， ∴点P′的坐标为（3﹣a，﹣b）． 选：D． 8．解： 解得，或 即一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的交点为（1，a+b）和（）， A、B不可能； 选项C中由一次函数的图象可知，a＜0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＞0，C不可能； 由一次函数的图象可知，a＜0，b＞0，由二次函数的图象可知，a＜0，b＞0，选项D有可能． 选：D． 9．解：如图1，连接OD，过点B作BH⊥OC于点H， ∵抛物线y＝﹣x2+6和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形交于A、B两点， ∴∠COD＝60°，C、D关于直线OB对称， ∴∠COB＝∠BOD＝30°， ∵∠OHB＝90°， ∴OB＝2BH， 设BH＝a，则OB＝2a， ∴OHa， ∴B（a，a）， ∵抛物线y＝﹣x2+6经过点B， ∴a＝﹣a2+6， 解得：a或﹣2， ∴B （，3），B（﹣2，﹣6）（舍去）， ∴直线AB的解析式为：yx， 联立， 解得：xA＝﹣2，xB， ∴A点坐标是：（﹣2，﹣6）， ∴AB6． 选：A． 10．解：∵出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m， ∴B点的坐标为：（0，1），A点坐标为（4，0）， 将两点代入解析式得：， 解得：， ∴这条抛物线的解析式是：yx2x+1． 选：A． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．解：根据题意得，△1＝a2﹣4（3﹣b）＝a2+4b﹣12＞0， 即a2+4b＞12①； △2＝（6﹣a）2﹣4（7﹣b）＝a2+4b﹣12a+8＝0， 即a2+4b＝12a﹣8②； △3＝（4﹣a）2﹣4（5﹣b）＝a2+4b﹣8a﹣4＜0， 即a2+4b＜8a+4③； 把②分别代入①③得，， 解不等式组得；a＜3，而a为整数， 所以a＝2，再代入②得，4+4b＝12×2﹣8， 解得b＝3， 所以a+b＝2+3＝5． 答案为：5． 12．解：连接OD， ∵D是半圆弧AB中点， ∴∠DOB＝∠DOP＝90°， ∴∠DCB∠DOB＝45°， ∵∠P＝25°，∠P+∠ABC＝∠DCB， ∴∠ABC＝45°﹣25°＝20°， 答案为：20． 13．解：三个叶片的总面积为12cm2，∠AOB＝120°， ∴阴影部分的面积为， 答案为：4． 14．解：∵点P（m+1，﹣2）与点Q（2n﹣1，m）关于原点对称， ∴， 解得： 答案为：2，﹣1． 15．解：∵函数y＝x2﹣2x+b﹣1的图象与坐标轴有三个交点， ∴抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，且与x轴、y轴的不能为（0，0）， ∴（﹣2）2﹣4（b﹣1）＞0且b﹣1≠0， 解得：b＜2且b≠1， 答案为b＜2且b≠1． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．解：方法一：y2﹣6y+9＝16 （y﹣3）2＝16 y﹣3＝±4 y1＝﹣1，y2＝7； 方法二：y2﹣6y+9＝16 y2﹣6y﹣7＝0 （y+1）（y﹣7）＝0 y1＝﹣1，y2＝7． 17．解：（1）作∠BAP的角平分线AC；（2分） （2）作AD＝AB，连接BD；（1分） （3）作∠DBQ＝∠BDA，且BQ与AC相交于点E；（2分） （4）AB＝BE，理由是： ∵AC平分∠BAP， ∴∠BAC＝∠PAC， ∵BQ∥AP， ∴∠PAC＝∠BEA， ∴∠BEA＝∠BAC， ∴AB＝BE．（1分） 18．（1）解：FG⊥ED．理由如下： ∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后， ∴∠DEB＝∠ACB， ∵把△ABC沿射线平移至△FEG， ∴∠GFE＝∠A， ∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∴∠DEB+∠GFE＝90°， ∴∠FHE＝90°， ∴FG⊥ED； （2）证明：根据旋转和平移可得∠GEF＝90°，∠CBE＝90°，CG∥EB，CB＝BE， ∵CG∥EB， ∴∠BCG＝∠CBE＝90°， ∴四边形BCGE是矩形， ∵CB＝BE， ∴四边形CBEG是正方形． 19．解：（1）设通道的宽度为x米，则a； （2）根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x•2430， 解得x1＝2，x2＝38（不合题意，舍去）． 答：中间通道的宽度为2米． 答案为：． 20．（1）证明：如图1，连接OC， ∵∠CAO是△ACE的一个外角， ∴∠CAO＝∠CEA+∠ACE， 即∠CAD+∠DAB＝∠CEA+∠ACE， ∵∠CEA＝∠CAD． ∴∠DAB＝∠ACE， ∵， ∴∠ABC＝∠DAB， ∴∠ABC＝∠ACE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠OAC＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠ABC+∠OCA＝90°， ∴∠ACE+∠OCA＝90°， 即∠OCE＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：如图2，连接OD， 设∠DAB＝x， ∵∠CEA＝2∠DAB， ∴∠CEA＝2x， ∵∠CEA＝∠CAD， ∴∠CAD＝2x， ∵， ∴∠ABC＝∠DAB＝x， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠BAC＝90°， ∴x+2x+x＝90°， ∴x＝22.5°， 即∠DAB＝22.5°， ∴∠BOD＝2∠DAB＝45°， ∵OA＝8， ∴的长为2π． 21．解：这个圆锥形零件的侧面积6×2π×2＝12π； 这个圆锥形零件的全面积＝12π+π×22＝16π． 22．解：设老李住了x个晚上后，第二天早上就把活海鲜一次性卖掉，除去开支后的收入为y元． 可用含x的式子表示：海鲜一次性成交价为每千克（80+2x）元，一次性成交的海鲜重为（150﹣x）千克， 则一次性成交金额为（80+2x）（150﹣x）＝﹣2x2+220x+12000元， 由于多开支费用为200x元， 除去开支后的收入为（80+2x）（150﹣x）﹣200x ＝﹣2x2+20x+12000 ＝﹣2（x﹣5）2+12050， 所以当x＝5时，最好的收入为12050元． 答案为：80+2x、150﹣x、﹣2x2+220x+12000、200x、﹣2x2+20x+12000． 23．解：（1）∵抛物线yx2， ∴此抛物线焦点的横坐标是0，纵坐标是：01， ∴抛物线yx2的焦点坐标为（0，1）， 将y＝1代入yx2，得x1＝﹣2，x2＝2， ∴此抛物线的直径是：2﹣（﹣2）＝4； （2）∵y（x﹣3）2+2， ∴此抛物线的焦点的横坐标是：3，纵坐标是：23， ∴焦点坐标为（3，3）， 将y＝3代入y（x﹣3）2+2，得， 3（x﹣3）2+2， 解得，x1＝5，x2＝1， ∴此抛物线的直径时5﹣1＝4； （3）∵焦点A（h，k）， ∴ka（x﹣h）2+k， 解得x1＝h，x2＝h， ∴直径为：h（h）， 解得，a＝±， 即a的值是±； （4）①由（3）得，BC， 又CD＝A'A， 所以，S＝BC•CD2， 解得，a＝±； ②当1m≤1或5≤m＜5时，2个公共点， 理由：由（2）知抛物线y（x﹣3）2+2的焦点矩形顶点坐标分别为： B（1，3），C（5，3），E（1，1），D（5，1）， 当y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1过B（1，3）时，m＝1或m＝1（舍去）， 过C（5，3）时，m＝5（舍去）或，m＝5， ∴当m＝1或m＝5，时，1个公共点； 当1m≤1或5≤m＜5时，2个公共点． 由图可知，公共点个数随m的变化关系为： 当m＜1时，无公共点； 当m＝1时，1个公共点； 当1m≤1时，2个公共点； 当1＜m＜5时，3个公共点； 当5≤m＜5时，2个公共点； 当m＝5时，1个公共点； 当m＞5时，无公共点； 由上可得，当1m≤1或5≤m＜5时，2个公共点． 第1页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $$