专题1-1 八年级期末高分冲刺(选填篇)【25类题型】- 【期末重难点突破】2024-2025学年北师大版八年级数学上学期

【期末重难点突破】2024-2025学年北师大版八年级上 专题01 八年级期末高分冲刺(选填篇) 总览 题型解读 模块一 根式与二元方程组 2 【题型1】无理数的整数部分与小数部分 2 【题型2】根式的相关计算 2 【题型3】二元方程组的应用 3 【题型4】无理数的在数轴上的表示 5 模块二 一次函数 7 【题型1】一次函数的应用 7 【题型2】一次函数与相遇、追及问题 10 【题型3】新定义问题 13 【题型4】找规律求点的坐标 14 【题型5】动点的函数图像问题 18 【题型6】坐标系中构造三垂直模型 22 【题型7】角，特殊三角形，面积存在性问题 23 模块三 勾股定理 26 【题型1】最短路径 26 【题型2】勾股弦图 29 【题型3】勾股定理中的规律探究 31 【题型3】勾股定理与面积关系及计算 34 【题型4】利用勾股定理求值 37 【题型5】折叠问题 38 【题型6】作垂线构造直角三角形求值 42 【题型7】构造全等再结合勾股求线段长 44 【题型8】几何多情况论讨论 48 模块四 最值问题 51 【题型1】将军饮马 51 【题型2】相对运动 54 【题型3】垂线段最短 55 【题型4】瓜豆最值（轨迹类最值） 57 【题型5】逆等线问题（拼接挪移） 65 【题型6】胡不归问题 69 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 根式与二元方程组 【题型1】无理数的整数部分与小数部分 这个题型涉及无理数的拆分，即将无理数分解为整数部分和小数部分，以进行进一步的数学运算。 【例题1】设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ． 【巩固练习1】若a的整数部分为x，b的小数部分为y，求( x－y )( b－1 )的值． 【巩固练习2】若的整数部分为a，小数部分为b，求的值　　． 【题型2】根式的相关计算 根式计算包括根式的加减乘除、化简以及与其他数学表达式的运算 【例题1】（23-24八年级上·四川成都·期末）已知，则 ． 【例题2】已知x＝－1，则x 3＋x 2－3x＋2023的值为___________ 【例题3】已知＝4，则＝___________． 【巩固练习1】若m＝1＋，n＝1－，且( m 2－2m－a )( 3n 2－6n－4 )＝6，则a＝___________． 【巩固练习2】若xy＝3，则＝___________． 【巩固练习3】已知x＝ ，则x 3＋2x 2＋5的值为___________． 【巩固练习4】在实数范围内，等式成立，则　8　． 【题型3】含参二元方程组的求解 含参二元方程组的求解是一个常见的数学问题，其中“参”指的是方程中的一个或多个未知数，这些未知数在方程组中并不作为需要求解的主要变量，但它们的取值会影响方程组的解。以下是一个求解含参二元方程组的一般步骤和示例： 一般步骤 1.列出方程组：首先，明确方程组中的两个方程，以及其中的参数和需要求解的变量。 2.消元或代入： 选择适当的消元法或代入法来求解方程组。消元法通常是通过加减两个方程来消去一个变量，而代入法则是将一个方程中的变量用另一个方程中的表达式替换掉。 3.解出参数表达式： 在消元或代入后，可能会得到一个只包含参数和另一个变量的方程。解这个方程可以得到变量关于参数的表达式。 4.回代求解： 如果可能，将上一步得到的表达式回代到原方程组中的一个方程中，以求解出另一个变量关于参数的表达式。 5.讨论参数的取值： 根据题目的要求和实际情况，讨论参数的取值范围，以确保解是合理的。 示例 下含参二元方程组： ，其中是参数，和是需要求解的变量 选择消元法：这里我们选择消元法，将第一个方程乘以1，第二个方程乘以2，然后相加，以消去： 化简得：，解得： 回代求解：将代入第一个方程，解得：， 讨论参数的取值：在这个例子中，参数可以是任意实数，因为方程组的解对于所有的都是有效的。所以，原方程组的解为： 注意：在实际问题中，参数的取值可能会受到题目条件的限制，需要根据具体情况进行讨论 【例题1】关于x、y的方程组与有相同的解，则a+b的值为 ． 【例题2】若关于、的方程组的解满足，则的值为 ． 【巩固练习1】（23-24八年级上·四川成都·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的一个解，则m的值为 ． 【巩固练习2】（23-24八年级上·四川成都·期末）已知x、y、z满足，则 ． 【巩固练习3】甲、乙两人解方程组 时，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，试求m，n的值和方程组正确的解． 【巩固练习4】若关于x、y的二元一次方程组的解是一个周长为5的等腰三角形两边的长，则这个等腰三角形的腰长为___________． 【题型4】无理数的在数轴上的表示（结合勾股） 无理数在数轴上的表示是一个重要的数学概念，它帮助我们直观地理解无理数的位置和大小。结合勾股定理，我们可以利用直角三角形的边长来构造无理数，并在数轴上表示出来。 【例题1】如题图，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，已知，那么数轴上点C表示的数是（） A． B． C． D． 【例题3】如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形，将对角线绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是 ． 【巩固练习1】如图，在数轴上点A表示的数是2，点C表示的数是，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点表示．若以点为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为 ． 【巩固练习3】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，长方形的边长为3，长为1，在数轴上点A对应的数为，点B对应的数为2，以A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E,则E点表示的数为 ． 【巩固练习4】（24-25八年级上·广东深圳·期中）根据推理提示，回答下列问题：    即    的整数部分为1，小数部分为 (1)的整数部分是 ，小数部分是________； (2)如图所示，在数轴上点A 所表示的实数是________． 【巩固练习5】如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．（可以用含根号的式子表示） 模块二 一次函数 【题型1】一次函数的应用 一次函数，作为初中数学的重要部分，具有广泛的应用。以下是一次函数综合应用的一些实例： 1. 实际问题建模 在实际生活中，我们经常遇到与一次函数相关的问题。例如，当某商品的售价为元，成本为元，且销售量为时，其利润可以表示为，这是一个典型的一次函数。通过这个函数，我们可以轻松地计算出不同销售量下的利润。 2. 图形面积问题 一次函数也常用于解决与图形面积相关的问题。例如，给定一个矩形，其一边长为固定值，另一边长为变量，那么矩形的面积可以表示为，这也是一个一次函数。通过这个函数，我们可以分析面积随边长变化的情况。 3. 方案设计 在方案设计领域，一次函数同样发挥着重要作用。例如，某公司计划生产A、B两种配套产品，其中每天生产吨A产品，需生产吨B产品。已知生产A产品的成本与产量的关系为万元/吨，生产B产品的成本与产量的关系为万元/吨。那么，生产A、B两种配套产品的平均成本可以表示为（万元/吨）。通过这个函数，我们可以找到使平均成本最低的生产方案。 4. 方程与不等式问题 一次函数还可以与方程和不等式相结合，解决更复杂的问题。例如，已知直线与轴、轴的交点分别为A、B，若三角形AOB（O为坐标原点）的面积为4，求的值。这个问题可以通过设置方程来求解，其中表示三角形AOB的面积。 5. 最大值与最小值问题 在某些情况下，我们需要找到一次函数的最大值或最小值。这通常涉及到对函数性质的分析和判断。例如，在函数中，由于斜率，我们知道该函数是一个减函数。因此，在定义域内，当取最小值时，取最大值；反之亦然。 综上所述，一次函数具有广泛的应用领域和重要的实用价值。通过学习和掌握一次函数的性质和特点，我们可以更好地解决各种实际问题 【例题1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）根据深圳市出租车最新收费标准：起步价不超过2千米计费10元；若超过2千米，则超过2千米的部分按元/千米讨费（不满1千米按1千米计算）．小明在一次放学乘出租车回家的行程中付费元，设出租车行驶的里程为千米，则的取值范围是 ． 【例题2】如图，直线与直线交于点，与轴交于点，点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ． 【巩固练习1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数与的自变量x与因变量，的部分对应数值如下表，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ） x … 0 1 2 … … 1 5 9 … … 1 5 … A． B． C． D．无解 【巩固练习2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图1，11月10日晚，“深爱万物”—2023深圳人才嘉年华活动正式启动，千余架无人机在深圳人才公园上空上演“天空之舞”，为人才喝彩、向人才致敬．如图2的平面直角坐标系中，线段分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点P，轴于点B，点A的横坐标为25．则在第________秒时1号和2号无人机在同一高度．          【巩固练习3】（24-25八年级上·广东深圳·期中）平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点、点，直线经过点，且恰好将平均分成面积相等的两个部分，则k的值是 ． 【题型2】一次函数与相遇、追及问题 利用一次函数解决相遇和追及问题，涉及速度、时间和路程的关系 【例题1】已知1号探测气球从海拔5米处出发， 以的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15米处出发，以的速度上升．两个气球都上升了．图像表示两个探测气球的海拔高度差y（单位：m）与上升时间t（单位：min）之间的函数图像．下列说法正确的有 （   ）个． ①A点纵坐标为10；②B时刻，1号气球的海拔高度为25； ③当时，；④C点纵坐标为20； A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【例题2】甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论： ①，两城相距千米； ②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时； ③乙车出发后小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距千米时，或． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题3】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图1所示，在甲、乙两地之间有一车站丙（离乙地较近），一辆货车从甲地出发经丙站驶往乙地，一辆轿车从乙地出发经丙站驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，图2分别是货车、轿车行驶时离丙站的路程与行驶时间之间的函数图象．则下列说法错误的是（   ） A．货车的速度为 B． C．当时，两车相遇 D．当时，轿车刚好到达丙车站 【巩固练习1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则下列说法正确是（    ） A．甲步行的平均速度为32米/分． B．乙步行的平均速度为20米/分． C．当t时，乙到达终点． D．乙比甲提前分钟到达终点． 【巩固练习2】周末，自行车骑行爱好者甲、乙相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度骑行，乙比甲早出发分钟，乙骑行分钟后，甲以原速度的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．以下说法中错误的是（    ） A．点指甲从开始出发 B．甲的原速度为 C．甲与乙相遇时，甲出发了分钟 D．乙比甲晚分钟到达地 【巩固练习3】一辆货车从A地匀速驶往相距的B地，当货车行驶1小时经过途中的C地时，一辆快递车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当快递车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地．（货车到达B地，快递车到达A地后分别停止运动）行驶过程中两车与B地间的距离y（单位：）与货车从出发所用的时间x（单位：）间的函数关系如图所示．则货车到达B地后，快递车再行驶 到达A地． 【巩固练习4】甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发1后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离（）与甲车行驶的时间（）的函数关系的图象，则（　　） A．甲车的速度是120/ B．, 两地的距离是360 C．乙车出发4.5时甲车到达地 D．甲车出发4.5最终与乙车相遇 【题型3】新定义问题 根据题目中给出的新定义进行求解，需要较强的理解和应用能力 【例题1】（23-24八年级上·四川成都·期末）定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“新生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“新生函数”图象上，则的值是 ；若点在这个一次函数的“新生函数”图象上，则的值是 ． 【例题2】（24-25八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系xOy中，，，，，，若点P关于某直线l的对称点落在长方形内（不包含边界），则称点P是长方形的“l封闭点”；已知点，若点P是长方形的“l封闭点”，则直线l可以是 （填序号）①x轴；②y轴；③一三象限角平分线；④长方形的对称轴；若点Q是长方形的“y轴封闭点”，则求点Q横坐标x的取值范围为 ． 【巩固练习1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）新定义：若点，点，如果，那么点与点就叫作“和等点”，，称为等和．例如：点，点，因，则点与点就是和等点，为等和．如图在长方形中，点，点，轴，轴，若长方形的边上存在不同的两个点、，这两个点为和等点，等和为，则的长为 ．    【巩固练习2】（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【巩固练习3】（23-24八年级上·四川成都·期末）定义：若实数a，b满足（k为常数），则称点为“k倍幸福点”，如点为“3倍幸福点”．在平面直角坐标系中，点，点B为直线l：上两点，其中点B为“k倍幸福点”，且的面积为，则k的值为 ． 【巩固练习4】（24-25八年级上·广东深圳·期中）定义：在平面直角坐标系中，如果直线上的点经过一次变换后得到点，那么称这次变换为“逆倍分变换”．直线与轴、轴分别相交于点，，点为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点使得和的面积相等，则点的坐标为 ． 【题型4】找规律求点的坐标 方法：通过观察和分析数据，找出点的坐标变化的规律 【例题1】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，…，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25八年级上·四川成都·期中）如下图已知正方形的边长为，对角线相交于点O，以点O为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．分别过点作x轴、y轴的平行线，交于点、、、，得到正方形．分别过点、、、作、、、的平行线，交x轴、y轴于点、、、，．．．，按此规律继续作下去，则点的坐标为 ． 【例题3】（24-25八年级上·四川成都·期中）如上右图，在平面直角坐标系中，点在第一三象限角平分线上，过点作轴的平行线，交第二四象限角平分线于点，以线段为边在右侧作正方形；所在的直线交第一三象限角平分线于点，交第二四象限角平分线于点，再以线段为边在右侧作正方形……．以此类推，按照图中的规律，则点的坐标为 ；第2024个正方形的边长为 ． 【巩固练习1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，动点从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点，则第24秒时点所在位置的坐标是 ，第2024秒时点所在位置的坐标是 ． 【巩固练习2】（24-25八年级上·成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……若点，，则点的横坐标为 ．    【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：分别交y轴于点A，B．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点C作分别交直线与于点，；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点，；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足……按照此规律进行下去，则的面积为 ． 【巩固练习4】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，按此方法作下去，则点的坐标是 ． 【巩固练习5】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，点是平面直角坐标系原点，射线与轴重合，已知，过点作交轴于，过点作交直线于点，过作交轴于点，过点作交直线于点，重复操作，依次得到点，则点的坐标为 ，点的坐标为 ．（用含的式子表示）（提示：含角的直角三角形，三边之比为） 【巩固练习6】如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作 y 轴平行线，交直线 于点，以线段为边在右侧作第一个正方形 所在的直线交的图象于点，交 的图象于点 ，再以线段为边在右侧作第二个正方形…依此类推，按照图中反映的规律，第 3 个正方形的边长是 ；第 100 个正方形的边长是 ． 【巩固练习7】（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点且与x轴正方向夹角为30°，如图所示依次作正方形、正方形、正方形、…、正方形，使得点、、…在直线l上，点、、…在y轴正半轴上，则的长度是 ． 【巩固练习8】正方形 ，，， 按如图所示的方式放置．点 ，，， 和点 ，，   分别在直线 和 轴上，已知点 ，，则点 的坐标是 ，点 的坐标是 ． 【题型5】动点的函数图像问题 【例题1】如图①，点从的顶点出发，沿方向匀速运动，到达点停止运动．点运动时，线段的长度与运动时间的函数关系如图②所示，其中为曲线部分的最低点，则的面积是________． 【例题2】如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为 ．      【例题3】如图1，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点的运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则长方形的周长是 ． 【例题4】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图①，在中，，点P 从点B 出发沿线段向点C 运动，线段的垂直平分线分别交于点M 、N，设，y与x 之间的函数图象如图②所示，则图②中a 的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【巩固练习1】如图（1），在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图（2）所示，则边的长是（    ） A． B． C． D．6 【巩固练习2】如图1，四边形中，，°，，动点从点出发，沿折线方向以m单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中， 的面积与运动时间（秒）的函数图象如图2所示，则四边形的面积是（       ） A．144 B．134 C．124 D．114 【巩固练习3】如图，在中，，D 为斜边的中点，动点P 从B 点出发，沿运动，如图 1所示，设 ，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图2 所示，则y 的最大值为（       ） A．2 B．3 C．6 D．7 【巩固练习4】如图1，点P从的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则的面积是 ． 【巩固练习5】如图①，四边形ABCD中，AB∥CD ，∠ADC=，P从A点出发，以每秒1单位长度的速度，按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，PAD的面积为S，S关于t的函数图象如图②所示，当点P运动到BC中点时，PAD的面积为 【巩固练习6】如图（1），长方形中，，点P从B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为，运动时间为，的面积为．y与t的函数图象如图（2），则下列结论正确的有（   ） ①；②；③当t=3时，为等腰三角形；④当时， A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【题型6】坐标系中构造三垂直模型 在坐标系中通过构造三垂直模型解决数学问题 【例题1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，将直线绕点逆时针旋转得到直线，过点作于点，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线，一等腰直角三角形的三个顶点A，B，C分别在，，上，，交于点D，已知与的距离为1，与的距离为3，则的值为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，为轴上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，，过点作线段轴，垂足为，直线与直线交于点，且，连接，直线与直线交于点，则点的坐标是 ． 【题型7】角，特殊三角形，面积存在性问题 一、角的存在性问题： 给定坐标系中的几个点，要求确定是否存在一个角满足特定条件（如大小、方向等）。 这通常涉及到几何构造和证明。 二、特殊三角形的存在性问题： 给定坐标系中的几个点，要求确定是否存在一个特殊三角形满足特定条件（如边长、角度等）。 这通常涉及到几何构造、方程求解和证明。 三、面积的存在性问题：给定坐标系中的几个点，要求确定是否存在一个多边形（如三角形、四边形等）满足特定面积条件。这通常涉及到几何构造、方程求解和不等式分析。 【例题1】（24-25八年级上·四川成都·期中）已知直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，该直线的表达式是 ． 【例题2】（八年级上·四川成都·期末）如图，平面直角坐标系中，点，直线与坐标轴交于点E、C，点P在x轴的正半轴上，点Q为射线上的一个动点，连接．当为等腰直角三角形时，点P的坐标为 ． 【例题3】（八年级上·四川成都·期末）已知平面直角坐标系内两点，，在x轴上找一点P，使得，则此时点P坐标为 ． 【巩固练习1】（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，直线与轴、轴分别相交于，．点的坐标为，点是直线上的一点．若的面积为，则点的坐标为 ．    【巩固练习2】（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，直线的解析式为，分别与x轴，y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且．若在x轴上方存在点D，使以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 ．    【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点是直线：上的一个动点，若，则点的坐标是 ． 【巩固练习4】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，，那么直线BC的表达式是 ． 【巩固练习5】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与轴交于点A，与轴交点，直线与轴交于点，与轴交点，连接，点在直线上，使得，则点的坐标为 ． 模块三 勾股定理 【题型1】最短路径 【类型1】蚂蚁绕圆柱侧面爬行 【方法技巧梳理】 可将圆柱的侧面展开成一个长方形，利用两点之间线段最短和勾股定理求出最短路程，需要注意的是展开后点的位置（起点、终点）：若终点在起点正上方，则圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽；若终点在起点斜上方，则圆柱体展开的底面周长的一半是长方形的长． 【类型2】蚂蚁绕长方体侧面爬行 【方法技巧梳理】 长方体中的最值问题一般是将长方体侧面展开，需要注意的不仅是展开后点的位置（起点、终点），而且一般展开有三种情况，对于每种情况，利用两点之间线段最短和勾股定理求出距离的最小值，最后再进行比较． 如果起点或终点不在长方体的顶点处，而在棱上或面上的某一位置，可将长方体多余部分截掉，这样计算不会出错． 如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，若a＞b＞c，则蚂蚁从A点沿长方体表面爬行到B点的最短路程是． B A a b c A B A B A B 展开 沿前面和上底面展开 沿前面和右面展开 沿左面和上底面展开 a b c b a c b c a 【类型3】丝带缠绕圈数问题 【方法技巧梳理】 仍然是将圆柱体或长方体的侧面展开成一个长方形，需要注意的是圆柱体或长方体的高就是长方形的宽，缠绕n圈，圆柱体或长方体的底面周长的n倍就是长方形的长（即长变为n倍，高不变），再利用勾股定理即可求出丝带的最小长度． 【例题1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（    ）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） A．17 B． C． D． 【例题2】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，长方体的长，宽，高为6，点B处有一只蚂蚁，点N处有一滴蜂蜜，如果蚂蚁要沿着长方体的表面从点B爬到点N，需要爬行的最短距离是 ． 【巩固练习1】如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ． 【巩固练习2】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是 cm． 【巩固练习3】如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯上沿的点处粘有一粒面包渣，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底与面包渣相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为 （杯壁厚度不计）． 【巩固练习4】如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为．如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，那么所用细线最短需要 cm． 【题型2】勾股弦图 勾股弦图的理解和应用，涉及勾股定理的几何证明 勾股弦图直观地展示了直角三角形三边之间的关系，即勾的平方加上股的平方等于弦的平方。 通过计算大正方形和内部小正方形的面积，可以推导出勾股定理。 【例题1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为 ． 【例题2】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为 ． 【巩固练习1】我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若，每个直角三角形的面积为15，则c的长为 ．    【巩固练习2】（22-23八年级上·四川成都·期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为．连接AC，交于点P，交于点Q，连接．则图中阴影部分的面积之和为 ． 【巩固练习3】四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH．已知AM为RtABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为 ． 【巩固练习4】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ．    【题型3】勾股定理中的规律探究 探究勾股定理在不同情况下的应用规律 【例题1】如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形……按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25八年级上·四川成都·期中）我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边． 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律： （1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ；（直接写出结果） （2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ． 【例题3】如图，，，且，，，观察规律，线段的长是（　　） A． B． C．6 D．32 【巩固练习1】我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 【巩固练习2】如图，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图由图的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，，按此规律，则图中所有正方形的面积和为（　） A．200 B．175 C．150 D．125 【巩固练习3】如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使．按照此规律，线段的长为（       ） A． B． C． D． 【巩固练习4】世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，其中是互质的奇数，则为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： ①，②，③，④，… 根据规律写出第⑩个等式为 ． 【巩固练习5】如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习6】如图，在正方形中，，与直线的夹角为，延长交直线于点，作正方形；延长交直线于点，作正方形；延长交直线于点，作正方形依此规律，则的长为 ． 【题型3】勾股定理与面积关系及计算 【例题1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）2024年9月27日晚，由南山区政府主办的“南山区标识体系发布暨国际文化交流共鸣之夜”在深圳人才公园举行，深圳南山全新城区形象标识正式发布．与此同时，南山国际文化交流市集在此汇集了几十个展位，其中两个相邻展位都是新月形．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是（   ） A．15 B．17 C．18 D．19 【例题2】下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（    ） A． B．C．   D． 【巩固练习1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，，以三角形各边为直径作半圆，其中两半圆交于点，阴影部分面积分别记作和，则，之间应满足的等式是 ． 【巩固练习2】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 【巩固练习3】（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，分别以、、为边向上作正方形、正方形、正方形，点在上，若则，，图中阴影的面积为 ．    【巩固练习4】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在边长为的正方形各边上分别截取，当时，则正方形的面积为 ． 【巩固练习5】（24-25八年级上·四川成都·期中）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、、均为正方形．若．，则正方形的面积为 ． 【题型4】利用勾股定理求值 【例题1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，于点，在上，连接，．若，，，则长为 ． 【例题2】数学活动课上，将底边12的等腰三角形按图1所示剪成三个直角三角形，这三个直角三角形按图2方式进行拼搭，其中点B，C，M，H四点处在同一直线上，且点C与点H重合，点A与点F重合，点D恰好在与交点处，则的长是 ． 【巩固练习1】已知等腰的底边，是腰上一点，且，，则的长为 ． 【巩固练习2】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，以为边分别作正方形和正方形，若图中阴影部分的面积为16，，则的长为________． 【巩固练习3】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，四边形中，，且，若，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 【题型5】折叠问题 1．翻折（也叫折叠）实质上是一种轴对称，折叠前后的两个图形关于折痕对称且全等，即对应边相等，对应角相等，对应点连线被对称轴（折痕）垂直平分．解决这类问题的关键是找出隐藏的条件（翻折前后的线段相等，角相等），因此，可以利用勾股定理列方程来解决． 2．利用对称的性质将分散的条件转化为某个直角三角形的三边，再利用勾股定理列方程解决． 【例题1】在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣x+6与x，y轴分别交于A，B两点，点C（0，n）是线段BO上一点，将△AOB沿直线AC折叠，点B刚好落在x轴负半轴上，则点C的坐标是（　　）      A．（0，3） B．（0，） C．（0，） D．（0，） 【例题2】（23-24八年级上·广东深圳·期末） 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　） A． B． C．4 D． 【例题3】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，为上一点，且，为边上一点，连接，将沿翻折，使点的对应点落在延长线上，交于点，若，则的长为 ． 【例题4】（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知，如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A、B两点，直线与坐标轴交于C、D两点，两直线交于点；点是轴上一动点，连接，将沿翻折，点对应点刚好落在轴负半轴上，则所在直线解析式为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E．若，，则的面积为 ．    【巩固练习2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，直线：与坐标轴交于A、B两点，点D为第一象限内一点，连接且轴，过点且平行于x轴的直线l交于点C，交于点F，连接，，将沿着直线翻折，得到，点E正好落在直线l上，若，则的长为 ． 【巩固练习3】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点，分别在，边上，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上，且，连接，若，，则 ． 【巩固练习4】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将沿着翻折得，若点落在第四象限，且，则点的坐标为 ． 【巩固练习5】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，点是边上一点（点不与点，重合），将沿翻折，点的对应点为点，交于点，若，则点到线段的距离为 ． 【巩固练习6】（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中，，，，点E为的中点，将平行四边形沿折痕翻折，使点D落在点E处，则线段的长为 ．    【题型6】作垂线构造直角三角形求值 【例题1】如图，，，若，，则点到的距离是（　　） A． B． C． D． 【例题2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，点在边上，与交于点，若，，记的面积为，的面积为，则 ． 【巩固练习1】已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为 ． 【巩固练习2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，点分别在边上，连接，已知，，都是等边三角形，点分别是的中点，连接，当时，的长度为（　　）    A． B．4 C． D． 【巩固练习3】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，点是外的一个点，连接，，且，，四边形的面积是，则的长为 ． 【巩固练习4】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，．点D为外一点，满足，，则的面积是 ． 【巩固练习5】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，中，，且，．以为边在外部作等边点，连接，则的长为 ． 【巩固练习6】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知，，，则的长为 ． 【巩固练习7】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，若，则的长为 ． 【题型7】构造全等再结合勾股求线段长 【例题1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，于点A，于点B，点E是的中点，连按，已知知，，，则 的长为 ． 【例题2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接交轴于点，连接，，则的面积为（    ） A．12 B．20 C．24 D．25 【例题3】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在等腰直角三角形中，，于点D，点E是内一点，连接、、，若，，，则的长为 ． 【例题4】如图，在中，是边上的中线，是中边上的中线，若，，，则 ． 【例题5】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点点Q在x轴的负半轴上分别以为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，则的值为 ．    【巩固练习1】如图，四边形中，，，连接，交于点，，若点为的中点，，则四边形的面积为 ． 【巩固练习2】（八年级上·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，连接，若，则 ． 【巩固练习3】如图，在四边形中，，，则的长为 ． 【巩固练习4】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，D为边上一点，，垂足为E，F在上，且，若，，则的长为 ． 【巩固练习5】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，垂直的平分线于点，连接．若点正好在线段的垂直平分线上，则的长为 ． 【巩固练习6】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，分别以的三边，，为边向外侧作正方形，正方形，正方形，连接，，，再过作于，延长交于点．①；②；③；④当，，时，．其中正确的结论共有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习7】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在等腰中，，点E为上一点，点H为上一点，连接和交于点F，．连接，若平分，则 ，在此条件下，延长到点D，连接，使，此时若，，则 ． 【题型8】几何多情况论讨论 【例题1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，在中，，且周长为，点P从点A开始沿边向B点以每秒的速度移动；点Q从点B沿边向点C以每秒的速度移动（Q运动到点C停止），如果同时出发，则过7秒时，点B到的距离为 ． 【例题2】如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则 【巩固练习1】如图所示，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，是轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为 ． 【巩固练习2】综上所述，当点A落在y轴上时，点C的坐标为或已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为 ． 【巩固练习3】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点始终落在边AC上，若△MC为直角三角形，则BM的长为 【巩固练习4】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形中，，，点E为上一点，，点F为长方形边上一动点，将沿直线EF翻折，当点A的对应点恰好落在边上时，折痕的长度为 ． 【巩固练习5】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，直线与坐标轴相交于点A，B，点，点P在线段上运动，连接．将沿翻折，使A点落在点处，若平行于坐标轴时，则 ． 【巩固练习6】（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于以为底边的等腰及外一点C，若，直线中，其中一条经过点O，另一条与的腰垂直，则称点C是的“关联点”．如图，已知点，，，则点就是的“关联点”．若点是的“关联点”，则线段的长是 ．    模块四 最值问题 【题型1】将军饮马 涉及距离最短的几何问题，通常通过构造对称点来求解 一、单动点问题 【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小 问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为AB 【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小 问题解决：作B关于l的对称点B'⇒PB＝PB'，则PA＋PB＝PA＋PB'，当A，P，B'共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA＋PB最小值为AB' 【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大 问题解决：连接AB，当A，B，P共线时取最大 原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB' 【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大 问题解决：作B关于直线l的对称点B'⇒PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'| 原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB' 【例题1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，直线过点，且与轴交于点，点是轴上的一个动点，则的周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为 ．    【巩固练习2】（24-25八年级上·四川成都·期中）构图法是解决数学问题的一种常见的方法．比如：在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．可以先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需求的高，借用网格就能计算出它的面积．试运用构图法求的最小值为 ． 【题型2】相对运动 解决相对运动中的最值问题，需要理解相对运动的概念 相对运动，平移型将军饮马 【问题4】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值 问题解决：相对运动或构造平行四边形 策略一：相对运动思想 过点A作MN的平行线，相对MN，点A在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题 策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9. 【例题1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，．将沿射线平移得到，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，在的平移过程中，的周长的最小值为 ． 【巩固练习1】如图，已知点P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC在x轴上滑动时，PA+PB的最小值是 。 【题型3】垂线段最短 利用垂线段最短的性质求解最值问题 【问题5】在直线，上分别求点A，B，使PB＋AB最小 问题解决：作关于的对称点，作于A，交于B，即所求 原理：点到直线，垂线段最短， 【例题1】如图，∠MON＝45°，OP平分∠MON，点A为射线OM上一点，OA＝4，点E，F别为射线OP，OM上的动点，连接AE，EF，则AE＋EF的最小值为_________． M F O A E N P 【例题2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段（端点除外）上一动点，点D与点C关于x轴对称，过点C作x轴的平行线交的延长线于点F，则线段的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习1】如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ．    【巩固练习2】如图，在中，，，，D为AB上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（    ） A． B．6 C． D．9 【题型4】瓜豆最值（轨迹类最值） 解决轨迹类最值问题，通常涉及动点的轨迹分析 初中阶段如遇求轨迹长度仅有2种类型：“直线型”和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返探究“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定轨迹类型进而求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释清楚 一、我们先来解释一下瓜豆原理：定角定比，主从联动 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同． 只要满足： 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。 1、两“动”，一“定” 2、两动点与定点的连线夹角是定角 3、两动点到定点的距离比值是定值 【例题】三种处理策略 如图，D、E是边长为4的等边三角形ABC上的中点，P为中线AD上的动点，把线段PC绕C点逆时针旋转60°，得到P’，EP’的最小值 【分析】 结合这个例题我们再来熟悉一下瓜豆模型 第一层：点P’运动的轨迹是直线吗？ 答：是直线，可以通过P在A，D时，即始末位置时P’对应的位置得到直线轨迹，对于选填题，可找出从动点的始末位置，从而快速定位轨迹，若要说理则需要构造手拉手证明. 第二层：点P’的运动长度和点P的运动长度相同吗？ 答：因为点P’与点P到定点C的距离相等，则有运动路径长度相等，若要说理则同样需要构造手拉手结构，通过全等证明. 第三层：手拉手模型怎么构造？ 答：以旋转中心C为顶点进行构造，其实只要再找一组对应的主从点即可，简单来说就是从P点的轨迹即线段AD中再找一个点进行与P点类似的的旋转，比如把线段AD中的点A绕C点逆时针旋转60°，即为点B，连接BP’即可得到一组手拉手模型，虽然前面说是任意点，但一般来说我们选择一个特殊位置的点进行旋转后的点位置也是比较容易确定的，比如说点D进行旋转也是比较方便． 第四层：分析∠CAP和∠CBP’ 答：由全等可知∠CAP＝∠CBP’，因为B为定点，所以得到P’轨迹为直线BP’ 第五层：点P和点P’轨迹的夹角和旋转角的关系 答：不难得出本题主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角，要注意的是如果旋转角是钝角，那么主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角的补角，这个在后面的例题中会出现. 大气层：前面提到，如果是选填题，可以通过找从动点的始末位置快速定位轨迹线段，或者通过构造手拉手，通过全等或相似得出相等角然后得出轨迹，这两种方法都是先找出从动点P’的轨迹，再作垂线段并求出垂线段的长得到最小值，那么还有其他方法吗？ 答：还可以对关键点进行旋转来构造手拉手模型，从而代换所求线段，构造如下． 将点EC绕点C顺时针旋转60°，构造手拉手模型(SAS全等型)，从而得到P’E＝PG，最小值即为点G到AD的距离． 要注意的是因为要代换P’E，所以E点的旋转方式应该是从P’P，所以是顺时针旋转，求轨迹时的旋转方式则是PP’，注意区分. 解析 策略一：找从动点轨迹 连接BP’， 由旋转可得，CP＝CP’，∠P’CP＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACB＝∠PCP’， ∴△ACP≌△BCP’(SAS)， ∴∠CBP’＝∠CAP， ∵边长为4的等边三角形ABC中，P是对称轴AD上的一个动点， ∴∠CAP＝30°，BD＝2， ∴∠CBP’＝30°， 即点P’的运动轨迹为直线BP’， ∴当D P’⊥B P’时，EP’最短， 此时，EP’＝+ED＝+2＝3 ∴EP’的最小值是3 策略二：反向旋转关键点构造手拉手代换所求线段 将点E绕C点顺时针旋转60°得到点G，连接PG，CG，EP’ 由旋转可得EC＝ CG， CP＝CP’，∠P’CP＝60°，∠ECG＝60°， ∴△ECG是等边三角形，EG＝2 ∵∠PCP’＝∠ECG ∴∠PCG＝∠EC P’ ∴△GCP≌△ECP’(SAS)， ∴EP’＝GP， 过点G作AD的垂线GH垂足为H，GH即为所求． ∵∠GEC＝∠ACD ∴HE∥DC ∵∠GHD＝∠ADC ∴HG∥DC 故G，E，H三点共线，则有HE∥DC 又E是AC中点，分线段成比例可知H是AD中点 ∴HE＝ ∴EP’的最小值是3 总共提到了3种处理方式： 1.找始末，定轨迹 2.在轨迹上找一点旋转，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹. 3.反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段，即逆向构造. 【例题1】（八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为(0，2)，点B为x轴上的动点，以AB为边作等边三角形ABC，当OC最小时点C的坐标为 ． 【例题2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点是轴上的一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，连接．则长度的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【巩固练习1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接，过点作．若轴上的一点，连接，当点在轴上移动时，的最小值为 ． 【巩固练习2】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图．直线经过第一象限内的定点，点是轴正半轴上的一个动点，连接．把线段绕点顺时针旋转至线段（且），连接、、，周长的最小值为 ． 【巩固练习3】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，是边长为6的等边的高，E为上的动点，以为边长在的右上方作等边，连接，则的周长的最小值是 ．    【巩固练习4】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，已知，点在射线上，平移线段至线段，连接，以为底边向右作等腰直角三角形，连接，则周长的最小值是 ．    【巩固练习5】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，， 点D、E分别是上动点，且， 连接， 则的最小值是 ． 【题型5】逆等线问题（拼接挪移） 通过拼接和挪移线段，求解最值问题 一、什么是逆等线段。 两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等,那么这两条始终相等的线段称为逆等线段。 二、解题步骤: 1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形。(图中本身就有的三角形，不要添加辅助线以后构成的三角形) 2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变。 3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长，与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角。 4.问题转化为将军饮马问题求最值。 【模型解读】 △ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线，就是怎么别扭怎么来。 一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。 观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。 这样解释很笼统很枯燥，我们以具体例题来描述 如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 分析思路： ① AD在△ADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个 也叫做一边一角造全等。 ② 即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等） ③ 构造出△ADC≌△CEF ( SAS),证出EF=CD ④ CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求 此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值 ⑤ 求BF 【例题1】在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值 ． 【例题2】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为 ，的最小值为 ． 【巩固练习1】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，E为线段上一动点（点E不与B，C重合），F为线段上一动点（点F不与A，C重合），且始终满足，则的最小值为 ． 【巩固练习2】（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为 ；的最大值为 ． 【巩固练习3】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立直角坐标系，分别为线段和线段上一动点，且．当的值最小时，点的坐标为 ． 【巩固练习4】（24-25八年级上·广东深圳·期中）在中，， 点D、 E在边上，且，则的最小值 ． 【巩固练习5】在中，，，，点，分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ． 【巩固练习6】（24-25八年级上·广东深圳·期中）在中，，，， 点N， M分别是边和上的动点， 始终保持， 连接，， 则的最小值为 ．    【巩固练习7】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，平分交边于点D，．在边上取一点E，连接，将线段平移后得到线段，连接，则线段的长的最小值是 ． 【题型6】胡不归问题 涉及时间最短或路径最短的几何问题，通常通过构造特殊角度的直角三角形来求解 胡不归模型讲解 如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． ，记，即求BC＋kAC的最小值． 构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC． 将问题转化为求BC＋CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC＋CH取到最小值，即BC＋kAC最小． 【例题1】（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，在长方形中，，，点在上，连接．当时，的长为 ；在点的运动过程中，的最小值为 ． 【巩固练习1】如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则 ． 【巩固练习2】如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ． 2 / 72 学科网（北京）股份有限公司 $$【期末重难点突破】2024-2025学年北师大版八年级上 专题01 八年级期末高分冲刺(选填篇) 总览 题型解读 模块一 根式与二元方程组 2 【题型1】无理数的整数部分与小数部分 2 【题型2】根式的相关计算 3 【题型3】二元方程组的应用 4 【题型4】无理数的在数轴上的表示 8 模块二 一次函数 13 【题型1】一次函数的应用 13 【题型2】一次函数与相遇、追及问题 18 【题型3】新定义问题 25 【题型4】找规律求点的坐标 32 【题型5】动点的函数图像问题 46 【题型6】坐标系中构造三垂直模型 55 【题型7】角，特殊三角形，面积存在性问题 60 模块三 勾股定理 70 【题型1】最短路径 70 【题型2】勾股弦图 77 【题型3】勾股定理中的规律探究 82 【题型3】勾股定理与面积关系及计算 90 【题型4】利用勾股定理求值 96 【题型5】折叠问题 99 【题型6】作垂线构造直角三角形求值 112 【题型7】构造全等再结合勾股求线段长 122 【题型8】几何多情况论讨论 137 模块四 最值问题 150 【题型1】将军饮马 150 【题型2】相对运动 155 【题型3】垂线段最短 159 【题型4】瓜豆最值（轨迹类最值） 163 【题型5】逆等线问题（拼接挪移） 179 【题型6】胡不归问题 194 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 根式与二元方程组 【题型1】无理数的整数部分与小数部分 这个题型涉及无理数的拆分，即将无理数分解为整数部分和小数部分，以进行进一步的数学运算。 【例题1】设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的估算，由于，所以可求出a，进而求出b，代入计算即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分为，小数部分为， ∴ 【巩固练习1】若a的整数部分为x，b的小数部分为y，求( x－y )( b－1 )的值． 【答案】a的整数部分为7，b的小数部分为4－，即x＝7，y＝4－ 【巩固练习2】若的整数部分为a，小数部分为b，求的值　　． 【解答】解：∵＜＜， ∴3＜＜4， 又∵的整数部分为a，小数部分为b， ∴a＝3，b＝﹣3， ∴＝9+﹣3﹣＝6， 【题型2】根式的相关计算 根式计算包括根式的加减乘除、化简以及与其他数学表达式的运算 【例题1】（23-24八年级上·四川成都·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值、二次根式运算、利用完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据题意解得，，再将整理为，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【例题2】已知x＝－1，则x 3＋x 2－3x＋2023的值为___________ 【答案】∵x＋y＝－12，xy＝9，∴x＜0，y＜0，∴原式＝＝＝4 【例题3】已知＝4，则＝___________． 【答案】∵x＝ ，∴2x＝－1，∴2x＋1＝，∴4x 2＋4x＋1＝5，∴x 2＋x＝1 ∴x 3＋x 2＝x，∴x 3＋2x 2＋5＝x＋x 2＋5＝6 【巩固练习1】若m＝1＋，n＝1－，且( m 2－2m－a )( 3n 2－6n－4 )＝6，则a＝___________． 【答案】－1 【详解】∵m＝1＋，n＝1－ ∴m 2－2m＝( m－1 )2－1＝2，3n 2－6n＝3( n－1 )2－3＝6 ∴( m 2－2m－a )( 3n 2－6n－4 )＝( 2－a )( 6－4 )＝4－2a ∵( m 2－2m－a )( 3n 2－6n－4 )＝6，∴4－2a＝6，∴a＝－1 【巩固练习2】若xy＝3，则＝___________． 【答案】提示：∵( x－y )2＝( x＋y )2－4xy＝6 2－4×4＝20，且x＞y，∴x－y＝2 ∴原式＝＝＝＝＝ 【巩固练习3】已知x＝ ，则x 3＋2x 2＋5的值为___________． 【答案】∵x＝ ，∴2x＝－1，∴2x＋1＝，∴4x 2＋4x＋1＝5，∴x 2＋x＝1 ∴x 3＋x 2＝x，∴x 3＋2x 2＋5＝x＋x 2＋5＝6 【巩固练习4】在实数范围内，等式成立，则　8　． 【解答】解：， ； ， ； ． 将代入，可得 ， 解得． ． 【题型3】含参二元方程组的求解 含参二元方程组的求解是一个常见的数学问题，其中“参”指的是方程中的一个或多个未知数，这些未知数在方程组中并不作为需要求解的主要变量，但它们的取值会影响方程组的解。以下是一个求解含参二元方程组的一般步骤和示例： 一般步骤 1.列出方程组：首先，明确方程组中的两个方程，以及其中的参数和需要求解的变量。 2.消元或代入： 选择适当的消元法或代入法来求解方程组。消元法通常是通过加减两个方程来消去一个变量，而代入法则是将一个方程中的变量用另一个方程中的表达式替换掉。 3.解出参数表达式： 在消元或代入后，可能会得到一个只包含参数和另一个变量的方程。解这个方程可以得到变量关于参数的表达式。 4.回代求解： 如果可能，将上一步得到的表达式回代到原方程组中的一个方程中，以求解出另一个变量关于参数的表达式。 5.讨论参数的取值： 根据题目的要求和实际情况，讨论参数的取值范围，以确保解是合理的。 示例 下含参二元方程组： ，其中是参数，和是需要求解的变量 选择消元法：这里我们选择消元法，将第一个方程乘以1，第二个方程乘以2，然后相加，以消去： 化简得：，解得： 回代求解：将代入第一个方程，解得：， 讨论参数的取值：在这个例子中，参数可以是任意实数，因为方程组的解对于所有的都是有效的。所以，原方程组的解为： 注意：在实际问题中，参数的取值可能会受到题目条件的限制，需要根据具体情况进行讨论 【例题1】关于x、y的方程组与有相同的解，则a+b的值为 ． 【答案】5 【分析】联立不含a与b的方程，组成方程组，求出x与y的值，进而确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】联立得：， ①×3+②得：11x＝11，解得：x＝1， 把x＝1代入①得：y＝﹣2， ∴方程组的解为， 把代入得：，即， ④×2﹣③得：9b＝27，解得：b＝3， 把b＝3代入④得：a＝2， ∴a+b＝3+2＝5 【例题2】若关于、的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】5 【分析】联立解出，，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵关于、的方程组的解满足， 联立，解得：， 将代入得， ，解得： 【巩固练习1】（23-24八年级上·四川成都·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的一个解，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元二次方程，方程的解，先算出的解，再将解代入中，即可得，掌握解一元二次方程，方程的解是解题的关键． 【详解】解：， ①×2，得， ③+②，得， ， 把代入②，得， ， ， ∴方程组的解为， ∵二元一次方程组的解也是二元一次方程的一个解， ∴， ， ， 【巩固练习2】（23-24八年级上·四川成都·期末）已知x、y、z满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法是解答本题的关键． 把两个方程相加，可得，据此可得；①3②4，可得，据此可得，进而得出答案． 【详解】解：， ①②，得， 即， ∴； ①3②4，得， 即， ∴， ∴ 【巩固练习3】甲、乙两人解方程组 时，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，试求m，n的值和方程组正确的解． 【详解】把代入方程②得：4m－2n＝5③，把代入方程①得：2m＋5n＝－8④ 由方程③④解得m＝ ，n＝－ ，代入原方程组，可解得 【巩固练习4】若关于x、y的二元一次方程组的解是一个周长为5的等腰三角形两边的长，则这个等腰三角形的腰长为___________． 【详解】解方程组得： 若x、y为腰，则3m－3＝3－m，解得m＝ ，则x＝y＝ ，底边长为2，符合题意 若x为腰，y为底，则2( 3m－3 )＋3－m＝5，解得m＝ ，则x＝ ，y＝ ，符合题意 若y为腰，x为底，则2( 3－m )＋3m－3＝5，解得m＝2，则x＝3，y＝1，不合题意，舍去 综上所述，这个等腰三角形的腰长为 或 【题型4】无理数的在数轴上的表示（结合勾股） 无理数在数轴上的表示是一个重要的数学概念，它帮助我们直观地理解无理数的位置和大小。结合勾股定理，我们可以利用直角三角形的边长来构造无理数，并在数轴上表示出来。 【例题1】如题图，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，先用勾股定理求出，再根据数轴上的点与实数的对应关系，即可求出点表示的数，熟练掌握相关知识点是关键． 【详解】解：由图可知两条直角边的长为2和1，根据勾股定理得： ， 点表示的数为 【例题2】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，已知，那么数轴上点C表示的数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴和勾股定理，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式．观察图形可知：，，，利用勾股定理定理求出，从而求出，，再根据点的位置，求出答案即可． 【详解】解：如图所示： 由题意得：，，， 由勾股定理得：， ， ， 点在原点左边， 点表示的数为 【例题3】如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形，将对角线绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，先计算的长，再求出，再确定M点表示的数． 【详解】根据题意得：， ∴ ∵将对角线绕点B逆时针转动， ∴， ∴， ∵M点在原点O的左侧， ∴点M表示的数是 【巩固练习1】如图，在数轴上点A表示的数是2，点C表示的数是，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理得，再由作图得，然后由点D在原点的左侧即可得出答案． 【详解】解：∵数轴上点A对应的数是2，点C对应的数是， ∴， ∵， 由勾股定理得：， ∵以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D， ∴， ∵点D在原点的左侧， ∴点D表示的数为： 【巩固练习2】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点表示．若以点为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，勾股定理求出的长，两点间的距离公式，求出点所表示的数即可． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∴， 由作图可知：， ∵点表示 ∴点所表示的数为 【巩固练习3】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，长方形的边长为3，长为1，在数轴上点A对应的数为，点B对应的数为2，以A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E,则E点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，数轴上表示数，两点间的距离，正确运用性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】∵长方形的边长为3，长为1，在数轴上点A对应的数为，点B对应的数为2， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 【巩固练习4】（24-25八年级上·广东深圳·期中）根据推理提示，回答下列问题：    即    的整数部分为1，小数部分为 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)如图所示，在数轴上点A 所表示的实数是 ． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，勾股定理，实数与数轴等知识． （1）根据所给的例子估计无理数的整数和小数部分即可． （2）先根据勾股定理求出圆的半径，再利用数轴上两点之间的距离即可得出A 所表示的实数． 【详解】（1）解：∵，即 ∴的整数部分是2，小数部分是． （2）解：根据题意圆的半径为：， ∴点A所表示的数为：． 【巩固练习5】如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．（可以用含根号的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式为：两点间的距离较大的数较小的数，是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长，即为的长，再根据两点间的距离公式便可求出的长，则可得出答案． 【详解】解：由勾股定理可得，， 则， 点表示的数是1， ， 点所表示的数为 模块二 一次函数 【题型1】一次函数的应用 一次函数，作为初中数学的重要部分，具有广泛的应用。以下是一次函数综合应用的一些实例： 1. 实际问题建模 在实际生活中，我们经常遇到与一次函数相关的问题。例如，当某商品的售价为元，成本为元，且销售量为时，其利润可以表示为，这是一个典型的一次函数。通过这个函数，我们可以轻松地计算出不同销售量下的利润。 2. 图形面积问题 一次函数也常用于解决与图形面积相关的问题。例如，给定一个矩形，其一边长为固定值，另一边长为变量，那么矩形的面积可以表示为，这也是一个一次函数。通过这个函数，我们可以分析面积随边长变化的情况。 3. 方案设计 在方案设计领域，一次函数同样发挥着重要作用。例如，某公司计划生产A、B两种配套产品，其中每天生产吨A产品，需生产吨B产品。已知生产A产品的成本与产量的关系为万元/吨，生产B产品的成本与产量的关系为万元/吨。那么，生产A、B两种配套产品的平均成本可以表示为（万元/吨）。通过这个函数，我们可以找到使平均成本最低的生产方案。 4. 方程与不等式问题 一次函数还可以与方程和不等式相结合，解决更复杂的问题。例如，已知直线与轴、轴的交点分别为A、B，若三角形AOB（O为坐标原点）的面积为4，求的值。这个问题可以通过设置方程来求解，其中表示三角形AOB的面积。 5. 最大值与最小值问题 在某些情况下，我们需要找到一次函数的最大值或最小值。这通常涉及到对函数性质的分析和判断。例如，在函数中，由于斜率，我们知道该函数是一个减函数。因此，在定义域内，当取最小值时，取最大值；反之亦然。 综上所述，一次函数具有广泛的应用领域和重要的实用价值。通过学习和掌握一次函数的性质和特点，我们可以更好地解决各种实际问题 【例题1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）根据深圳市出租车最新收费标准：起步价不超过2千米计费10元；若超过2千米，则超过2千米的部分按元/千米讨费（不满1千米按1千米计算）．小明在一次放学乘出租车回家的行程中付费元，设出租车行驶的里程为千米，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，先判断出里程超过2千米，当x恰好为正整数时，可列方程，解方程求出x的值，再根据不满1千米按1千米计算即可得到答案． 【详解】解：∵不超过2千米计费10元，而明在一次放学乘出租车回家的行程中付费元， ∴这次的里程超过2千米， 若x恰好为正整数时， 由题意得，， 解得， ∵不满1千米按1千米计算， ∴， 故答案为：． 【例题2】如图，直线与直线交于点，与轴交于点，点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】// 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，先利用求出直线解析式为：，再求出，根据点在线段上可得，再表示出，问题得解． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴将代入，有：， 解得：， 即直线解析式为：， 当时，，即， ∵点在线段上，点在直线上， ∴，，且， ∴， ∵， ∴当时，的值最小，且为 【巩固练习1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数与的自变量x与因变量，的部分对应数值如下表，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ） x … 0 1 2 … … 1 5 9 … … 1 5 … A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组及待定系数法求一次函数表达式，方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标．利用二元一次方程组的解，就是两个相应的一次函数图像的交点坐标解决问题． 【详解】解：把代入， 得， 解得， ， 把代入， 得， 解得， ， 与的图像是平行的， ∴一次函数与的图像无交点， ∴关于的二元一次方程组无解 【巩固练习2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图1，11月10日晚，“深爱万物”—2023深圳人才嘉年华活动正式启动，千余架无人机在深圳人才公园上空上演“天空之舞”，为人才喝彩、向人才致敬．如图2的平面直角坐标系中，线段分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点P，轴于点B，点A的横坐标为25．则在第 秒时1号和2号无人机在同一高度．          【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式以及一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．根据题意求出的坐标，从而求出的解析式，再将两个解析式联立，即可得到答案． 【详解】解：当时，代入， ， ， 轴于点B， ， 设， 将代入，解得， 故， 要使1号和2号无人机在同一高度，即， ， 解得． 故答案为：． 【巩固练习3】（24-25八年级上·广东深圳·期中）平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点、点，直线经过点，且恰好将平均分成面积相等的两个部分，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数解析式，利用等腰三角形的性质，找到恰好经过点是解题的关键．根据坐标得到点是线段的中点，过点作轴于点，有点坐标得出线段的长，再根据勾股定理求出的长，得出恰好经过点，再用待定系数法计算即可． 【详解】解：点，点O为坐标原点， 线段的中点坐标为，即， 点为线段的中点， 过点作轴于点， 点、点， ， ， ， ， 直线经过点， 将代入， 得， 解得， 的值为． ， 【题型2】一次函数与相遇、追及问题 利用一次函数解决相遇和追及问题，涉及速度、时间和路程的关系 【例题1】已知1号探测气球从海拔5米处出发， 以的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15米处出发，以的速度上升．两个气球都上升了．图像表示两个探测气球的海拔高度差y（单位：m）与上升时间t（单位：min）之间的函数图像．下列说法正确的有 （   ）个． ①A点纵坐标为10； ②B时刻，1号气球的海拔高度为25； ③当时，； ④C点纵坐标为20； A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图像，从函数图形中获取信息，然后逐个判断即可；熟练掌握数形结合思想是关键． 【详解】解：①，故正确； ②设经过分钟，两个探测气球相遇 故B时刻，1号气球的海拔高度为25；故正确； ③当时， 故错误； ④ 故正确； 故选：C． 【例题2】甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论： ①，两城相距千米； ②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时； ③乙车出发后小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距千米时，或． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开城的距离与时间的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为，可求得，可判断④，可得出答案． 【详解】解：由图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，故①②都正确； 设甲车离开城的距离与的关系式为， 把代入可求得， ∴， 设乙车离开城的距离与的关系式为， 把和代入可得 ， 解得， ∴， 令可得：， 解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③正确； 令，可得，即， 当时，可解得， 当时，可解得， 又当时，，此时乙还没出发， 当时，乙到达城，； 综上可知当的值为或或或时，两车相距千米，故④不正确； 综上可知正确的有①②③共三个 【例题3】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图1所示，在甲、乙两地之间有一车站丙（离乙地较近），一辆货车从甲地出发经丙站驶往乙地，一辆轿车从乙地出发经丙站驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，图2分别是货车、轿车行驶时离丙站的路程与行驶时间之间的函数图象．则下列说法错误的是（   ） A．货车的速度为 B． C．当时，两车相遇 D．当时，轿车刚好到达丙车站 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，有理数的除法运算．从图象中获取正确的信息是解题的关键． 由图可知，甲地与丙地相距，货车的速度为，可判断A的正误；从甲地到乙地的距离为，则乙地与丙地相距，即，可判断B的正误；轿车的速度为，则两车的相遇时间为，可判断C的正误；轿车刚好到达丙车站的时间为，可判断D的正确． 【详解】解：由图可知，甲地与丙地相距， 货车的速度为，A正确，故不符合要求； ∴从甲地到乙地的距离为， ∴乙地与丙地相距， ∴，B正确，故不符合要求； 轿车的速度为， 两车的相遇时间为，C错误，故符合要求； 轿车刚好到达丙车站的时间为，D正确，故不符合要求 【巩固练习1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则下列说法正确是（    ） A．甲步行的平均速度为32米/分． B．乙步行的平均速度为20米/分． C．当t时，乙到达终点． D．乙比甲提前分钟到达终点． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象，求出甲、乙的速度，再求出它们到达终点的时间即可求解，看懂函数的图象是解题的关键． 【详解】解：由图可得，甲的速度为米分，故选项A错误，不符合题意； 设乙的速度为米分， 由图可得，， 解得， ∴乙的速度为米分，故选项B说法错误，不符合题意； ∴甲到达终点的时间为分钟， 乙达到终点的时间为分钟， ∵甲先出发分钟，∴当t时，乙到达终点．故选项C错误； ∴乙先到终点原地休息了分钟，故选项D符合题意． 【巩固练习2】周末，自行车骑行爱好者甲、乙相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度骑行，乙比甲早出发分钟，乙骑行分钟后，甲以原速度的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．以下说法中错误的是（    ） A．点指甲从开始出发 B．甲的原速度为 C．甲与乙相遇时，甲出发了分钟 D．乙比甲晚分钟到达地 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象逐一排除即可，从图象中获取信息得到与问题相关的速度，时间，路程是解题的关键． 【详解】、根据图象可知：点指甲从开始出发，此选项正确，不符合题意； 、根据题意乙的速度为，设甲的原速度为， ∴，解得：，此选项正确，不符合题意； 、∵乙骑行分钟后，甲以原速度的继续骑行， ∴此时甲的速度为， ∴， 则甲与乙相遇时，甲出发了（分钟）， 此选项正确，不符合题意； 、当时，甲到达地，此时乙距离地还有（米）， 需要（分钟）， ∴乙比甲晚分钟到达地，此选项错误，符合题意 【巩固练习3】一辆货车从A地匀速驶往相距的B地，当货车行驶1小时经过途中的C地时，一辆快递车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当快递车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地．（货车到达B地，快递车到达A地后分别停止运动）行驶过程中两车与B地间的距离y（单位：）与货车从出发所用的时间x（单位：）间的函数关系如图所示．则货车到达B地后，快递车再行驶 到达A地． 【答案】 【分析】由题意货车的速度，设快递车的速度为，构建方程求出x，再求出相遇后两车分别到达目的地的时间即可解决问题； 【详解】解：由题意货车的速度，设快递车的速度为， 则有：， 解得， ∴两车相遇后，快递车需要小时到达A地，货车需要小时到达B地， ∴货车到达B地后，快递车再行驶h到达A地． 【巩固练习4】甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发1后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离（）与甲车行驶的时间（）的函数关系的图象，则（　　） A．甲车的速度是120/ B．, 两地的距离是360 C．乙车出发4.5时甲车到达地 D．甲车出发4.5最终与乙车相遇 【答案】C 【分析】分析两车之间的距离（）与甲车行驶的时间（）的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解． 【详解】点中可知，乙1小时行驶了60,可求乙的速度60 点中可知，1.5后，甲追上乙，可求甲的速度100 点中可知，甲到地，且甲乙相差80,可以算 点中可知，休息30分钟，可求， 点中可知，甲乙再次相遇， A，甲车的速度是120，错 B，已知甲3.5后到达B地，且甲速度为100，所以A,B两地为350，错 C，甲车3.5到达B地，乙车比甲车早出发1，所以是4.5，对 D，从上中和可知，甲出发1.5和与乙车相遇，错 【题型3】新定义问题 根据题目中给出的新定义进行求解，需要较强的理解和应用能力 【例题1】（23-24八年级上·四川成都·期末）定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“新生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“新生函数”图象上，则的值是 ；若点在这个一次函数的“新生函数”图象上，则的值是 ． 【答案】 1或/或1 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，找出一次函数 “新生函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n的值． 【详解】解：一次函数的“新生函数”为， ， 点在一次函数的“新生函数”图象上，， ， 点在一次函数的“新生函数”图象上， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 则n的值为1或 【例题2】（24-25八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系xOy中，，，，，，若点P关于某直线l的对称点落在长方形内（不包含边界），则称点P是长方形的“l封闭点”；已知点，若点P是长方形的“l封闭点”，则直线l可以是 （填序号）①x轴；②y轴；③一三象限角平分线；④长方形的对称轴；若点Q是长方形的“y轴封闭点”，则求点Q横坐标x的取值范围为 ． 【答案】 ②③④ 【分析】本题主要考查了新定义，坐标与图形变化−轴对称等知识点，画出图形，根据“封闭点”的定义判断即可；分情况画出图形，根据“封闭点”的定义解答即可，理解和掌握新定义是解本题的关键． 【详解】（1）如图， 分别作出点关于①x轴的对称点；关于②y轴的对称点；关于③一三象限角平分线的对称点；关于④长方形的对称轴的对称点和，可知②③④符合题意． 故答案为：②③④， （2）当点Q在y轴的左侧时，如图，过点Q作x轴的平行线，交y轴于点E，交于点F，则， ∵点Q是长方形的“y轴封闭点”， ∴， 当点Q在y轴的右侧时，如图，过点Q作x的平行线，交y轴于点E，交于点G，则， ∵点Q是长方形的“y轴封闭点”， ∴． 当点Q在y轴上时，点Q关于y轴的对称点是其本身，符合题意． 综上可知，若点Q是长方形的“y轴封闭点”，则点Q横坐标的取值范围是， 故答案为：点Q横坐标x的取值范围为 ． 【巩固练习1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）新定义：若点，点，如果，那么点与点就叫作“和等点”，，称为等和．例如：点，点，因，则点与点就是和等点，为等和．如图在长方形中，点，点，轴，轴，若长方形的边上存在不同的两个点、，这两个点为和等点，等和为，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征、矩形的性质，平面直角坐标系中两点间距离公式，设点，点，由题意可得，，，，可知点均在直线上，在坐标系中可作出直线，则直线与矩形的交点即为点，求出的坐标即可得出求解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：设点，点， 由题意可得，， ∴，， ∴点均在直线上， 在平面直角坐标系中可作出直线，则直线与矩形的交点即为点，    令时，，令时，， ∴，或，， ∴ 【巩固练习2】（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，坐标与图形，设，根据平移规则，得到，进而得到点在直线上，根据是等腰三角形，分，两种情况讨论，求出点坐标，进而求出点坐标，本题的难度较大，掌握数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 设，则：， ∴点在直线上， 当是等腰三角形，分两种情况： ①当时，过点作，则：， ∵， ∴两点重合， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，过点作，则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴    【巩固练习3】（23-24八年级上·四川成都·期末）定义：若实数a，b满足（k为常数），则称点为“k倍幸福点”，如点为“3倍幸福点”．在平面直角坐标系中，点，点B为直线l：上两点，其中点B为“k倍幸福点”，且的面积为，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，由点在直线上，可得直线的函数解析式为，又在直线上，从而可设，又为“倍幸福点”，，即，故或．又设直线与轴交于点，令，则，可得，然后分情形讨论计算可以得解． 【详解】解：∵点在直线上， 解得：， ∴直线的函数解析式为． 又在直线上， ∴可设． 又为“倍幸福点”， 即 ，即， 设直线与轴交于点， 令，则． ①若在上方， 又 ②若在下方，在C上方， 又 ③若在下方，在C下方， 又 不符合题意， 综上 【巩固练习4】（24-25八年级上·广东深圳·期中）定义：在平面直角坐标系中，如果直线上的点经过一次变换后得到点，那么称这次变换为“逆倍分变换”．直线与轴、轴分别相交于点，，点为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点使得和的面积相等，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数图象的平移问题，依据题意，和的面积相等，画出图象可得在过且平行于的直线上或在上方4个单位且平行于，故所在直线为或，进而可设为为或，则为或．再由在上，建立方程求出即可得解． 【详解】解：如图，和的面积相等， 在过且平行于的直线上或在上方平行于，且该直线到直线的距离等于直线到过点且平行于的直线的距离． 所在直线为或（根据平移到直线的方式与直线平移到直线的平移方式相同得到）． 故可设为或． 为或． 又∵在上， 或． 或． 或． 【题型4】找规律求点的坐标 方法：通过观察和分析数据，找出点的坐标变化的规律 【例题1】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，…，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照反弹角度依次画图，探索反弹规律，即可求出答案. 本题考查了点的坐标规律探究性问题，解题的关键在于寻找循环坐标，得出规律. 【详解】解：根据反射角等于入射角画图如下，    由图中可知，，，，，最后再反射到，由此可知，每6次循环一次， ， ∴点的坐标与相同， . 【例题2】（24-25八年级上·四川成都·期中）已知正方形的边长为，对角线相交于点O，以点O为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．分别过点作x轴、y轴的平行线，交于点、、、，得到正方形．分别过点、、、作、、、的平行线，交x轴、y轴于点、、、，．．．，按此规律继续作下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，正方形性质，探索数字变化的规律是解题关键．根据勾股定理求得正方形对角线的长度，然后结合正方形的性质求得正方形的边长，从而探索数字变化的规律，进而求解． 【详解】解：由题意得，正方形中， ， 在中， ， 则点； ∵点作x轴、y轴的平行线，交于点、、、， ∴点是正方形各边的中点， ∴正方形的边长为2， 则点； 根据题意得，则点； ∵点、、、是正方形各边的中点， ∴则点； 以此类推点的坐标为， 则点的坐标为，即 【例题3】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在第一三象限角平分线上，过点作轴的平行线，交第二四象限角平分线于点，以线段为边在右侧作正方形；所在的直线交第一三象限角平分线于点，交第二四象限角平分线于点，再以线段为边在右侧作正方形……．以此类推，按照图中的规律，则点的坐标为 ；第2024个正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．根据线段的和即可得出第一个正方形的边长为2，再根据正方形的性质及线段的和即可求出第二个正方形的边长为6，依次得出第三个正方形的边长为18，以此类推，可以得到，的坐标，再将代入，即可求得答案． 【详解】解：∵，轴， ∴的横坐标为1，， ∵第一象限角平分线为，第三象限角平分线为， ∴， ∴， ∴正方形的边长为：2； ∴， ∴， ∴的横坐标为3，则，， ∴，， ∴，， ∴， 即第三个正方形的边长为18， ∴，， 以此类推，，， ∴，， ∴ 【巩固练习1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，动点从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点，则第24秒时点所在位置的坐标是 ，第2024秒时点所在位置的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，分析点的运动路线及所处位置的坐标得出规律“动点第秒运动到”，进而得出答案即可．从所给的数据和图形中得出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意分析可得： 动点第秒运动到， 动点第秒运动到， 动点第秒运动到， 以此类推，动点第秒运动到， 又， 第2024秒时点所在位置的坐标是， 故答案为：，． 【巩固练习2】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……若点，，则点的横坐标为 ．    【答案】10126 【分析】本题主要考查坐标与图形的变换，在变换中找到规律，结合图形得出结论是解题的关键．根据图形和旋转规律得出点的坐标变换规律，结合三角形的周长得出结论即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 的周长为： ， 由题意及旋转的规律可知： 当n为偶数时，在最高点；当n为奇数时，在x轴上， 横坐标规律为： 当n为奇数时，横坐标为：； 当n为偶数时，横坐标为：， ∵2025是奇数， ∴点的横坐标为：. 【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：分别交y轴于点A，B．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点C作分别交直线与于点，；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点，；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足……按照此规律进行下去，则的面积为 ． 【答案】 【分析】先根据两条直线的解析式求出A、B两点坐标，然后求出AB长度，由可求出点C坐标，又因为始终经过点且与y轴平行，通过计算找出、变化的规律，然后用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵直线：与y轴交于点A，∴， 直线：与y轴交于点B，∴， ，， ∵BC⊥AB，∴， 又∵过点C作分别交直线与于点、， ， ， 又∵过点作分别交直线与于点，， ， ， 以此类推， ， ， … ， ， 则 【巩固练习4】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，按此方法作下去，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，，依题意得，，，进而得，则，由此可求出，再由△的面积公式求出，进而可求出，则，据此得点，根据直线，直线，得，，，则，，再由直线得，则，，进而可求出，再由三角形的面积公式求出，由此可求出，则，据此得点，同理可得：点，点，，以此类推，点的坐标为，据此规律即可得出点的坐标． 【详解】解：分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，，如图所示： 直线与轴的夹角为，点的坐标为， ，， 直线经过坐标原点，且与轴的夹角为， ， ， ， ， ， 直线， ， ， ， 在中，，，由勾股定理得：， 由三角形面积公式得：的面积， ， 在中，，，由勾股定理得：， ， 点的坐标为， 直线，直线， ，，， ， 由勾股定理得：， 直线， 在中，，则， ， 由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：的面积， ， 在中，，，由勾股定理得：， ， 点的坐标为，同理可得：点，点，，以此类推，点的坐标为， 当时，，， 点的坐标为 【巩固练习5】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，点是平面直角坐标系原点，射线与轴重合，已知，过点作交轴于，过点作交直线于点，过作交轴于点，过点作交直线于点，重复操作，依次得到点，则点的坐标为 ，点的坐标为 ．（用含的式子表示）（提示：含角的直角三角形，三边之比为） 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，含角的直角三角形，解题的关键是根据求出的数据得出规律．过点作轴于点，过点作轴于点，过点作 轴于点，根据含角的直角三角形，三边之比为，，可得，，从而求出点的坐标；根据题意可求出、、等的长度，进而求出，，，，可推出的纵坐标，再根据边的长度关系，可得到的横坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，过点作 轴于点， ， ， 由题意，， ，， ； ， ，， 又，， ， ， ，， 同理求出，，，， 可推出的纵坐标为， ，， 同理可得的横坐标为， 的坐标为 【巩固练习6】如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作 y 轴平行线，交直线 于点，以线段为边在右侧作第一个正方形 所在的直线交的图象于点，交 的图象于点 ，再以线段为边在右侧作第二个正方形…依此类推，按照图中反映的规律，第 3 个正方形的边长是 ；第 100 个正方形的边长是 ． 【答案】 18 【分析】根据题意求出点，，，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：∵点，轴， ∴点的横坐标为1， 当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∴正方形的边长为2， ∴， ∴点、的横坐标均为3， ∴， ∴， ∴正方形的边长为6， 同理：， ∴， ∴正方形的边长为18， ∴， ∴ ……， 由此发现，， ∴， ∴第100个正方形的边长为 【巩固练习7】（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点且与x轴正方向夹角为30°，如图所示依次作正方形、正方形、正方形、…、正方形，使得点、、…在直线l上，点、、…在y轴正半轴上，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题记直线l与轴交于点，设，利用30度所对直角边等于斜边的一半和勾股定理，求出，设直线l的解析式为，将点代入解析式，求出解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、的坐标，得出，同理可得出、、、、、的坐标和、、，根据点的坐标变化可找出变化规律，找出规律即可解题． 【详解】解：记直线l与轴交于点，设， 直线l与x轴正方向夹角为， ， ，即， 直线l与x轴交于点， ， ，即，解得（舍去），， ， 设直线l的解析式为， 将点代入解析式，有，解得， 直线l的解析式为， 点，且四边形为正方形， ，即， 当时，有，解得， ，又四边形为正方形，则，， 当时，有，解得， ，又四边形为正方形，则，， 当时，有，解得， ，又四边形为正方形，则，， ，，， ， 【巩固练习8】正方形 ，，， 按如图所示的方式放置．点 ，，， 和点 ，，   分别在直线 和 轴上，已知点 ，，则点 的坐标是 ，点 的坐标是 ． 【答案】 【分析】先根据点 ，，和正方形的性质，得到的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，进而求出，得到点的规律，即可得解． 【详解】解：∵的坐标为，点的坐标为， ∴正方形边长为1，正方形边长为2， ∴， 代入得：， 解得：， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为：3， 当时，， ∴， ∴正方形的边长为：， ∴的横坐标为：， ∴， ∵，，， 的横坐标为：，的横坐标为：，的横坐标为：， ∴的横坐标为：， 的纵坐标为：，的纵坐标为：，的纵坐标为：， ∴的纵坐标为：， ∴ 【题型5】动点的函数图像问题 【例题1】如图①，点从的顶点出发，沿方向匀速运动，到达点停止运动．点运动时，线段的长度与运动时间的函数关系如图②所示，其中为曲线部分的最低点，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查勾股定理及等腰三角形的性质，能够从图象上得出及边上的高是解题的关键． 根据图象可知，点P在上运动时，逐渐增大，而从B到C运动过程中，先变小后变大，从而可确定的长度以及边上的高，从而利用勾股定理即可求出的长度，最后利用三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：由图象可知，点P在上运动时，逐渐增大，运动到点B时最大，所以 ， 而点P从B到C运动过程中，先变小后变大，当时，最小，此时为边上的高，长度为4，然后继续向点C运动，到C点时最大，所以． 如图，当时， ∵，，， ∴ ． ∵，， ， 【例题2】如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为 ．      【答案】 【分析】过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，勾股定理求得，然后等面积法即可求解． 【详解】如图过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，    ∴， 在中， ∴ ∵， ∴, 【例题3】如图1，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点的运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则长方形的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出长方形的周长是本题的关键．根据函数的图象、结合图形求出、的值，根据长方形的周长公式得出长方形的周长． 【详解】解：动点从点出发，沿、、运动至点停止，而当点运动到点，之间时，的面积不变， 函数图象上横轴表示点运动的路程，时，不发生变化，说明，时，接着变化，说明， ，， 长方形的周长是： 【例题4】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图①，在中，，点P 从点B 出发沿线段向点C 运动，线段的垂直平分线分别交于点M 、N，设，y与x 之间的函数图象如图②所示，则图②中a 的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，先由线段垂直平分线的性质得到，再由勾股定理得到，由图②可知，当，则，进而得到，则当，即点M为的中点时，． 【详解】解：如图所示，连接， ∵线段的垂直平分线分别交于点M 、N， ∴， ∵， ∴， 由图②可知，当， ∴， ∴， ∴当，即点M为的中点时，， 故选：D． 【巩固练习1】如图（1），在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图（2）所示，则边的长是（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】由图象可知，，当时，，从而可得到的长度，再根据勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：由图象可知：， 如图： 当时，，此时， 在Rt中，， ， 在Rt 中， 【巩固练习2】如图1，四边形中，，°，，动点从点出发，沿折线方向以m单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中， 的面积与运动时间（秒）的函数图象如图2所示，则四边形的面积是（       ） A．144 B．134 C．124 D．114 【答案】A 【分析】从图2看，，，过点作交于点，在Rt中，，则，当点在点处时，，解得，则四边形的面积，即可求解． 【详解】解：从图2来看，， 过点作交于点， 则 在中，， 当点在点处时， 解得 则四边形的面积 【巩固练习3】如图，在中，，D 为斜边的中点，动点P 从B 点出发，沿运动，如图 1所示，设 ，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图2 所示，则y 的最大值为（       ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题．根据已知条件和图象可以得到、的长度，当时，点P与点C重合，此时，从而可以求出函数的最大值． 【详解】解：根据函数图象可得，当时，点P与点C重合，，， ∵，点D为的中点， ∴当时，， 此时函数有最大值，则y 的最大值为3 【巩固练习4】如图1，点P从的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则的面积是 ． 【答案】84 【分析】先分析出点P在和上运动时的大小变化，再结合函数图象得到相应线段长． 【详解】解：由图象分析可得：当点P在上运动时，不断增大，到达C点时，达到最大值，此时； 当P在上运动时，先减小再增大， 在此过程中，时，此位置记为，有最小值为，由勾股定理可得， P点到达C点时，可得，由勾股定理可得， ∴， ∴ 故答案为84． 【巩固练习5】如图①，四边形ABCD中，AB∥CD ，∠ADC=，P从A点出发，以每秒1单位长度的速度，按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，PAD的面积为S，S关于t的函数图象如图②所示，当点P运动到BC中点时，PAD的面积为 【答案】5 【分析】由函数图象上的点（6，8）、（10，0）的实际意义可知AB+BC、AB+BC+CD的长及△PAD的最大面积，从而求得AD、CD的长，再根据点P运动到点B时得S△ABD=2，从而求得AB的长，最后根据等腰三角形的中位线定理可求得当P运动到BC中点时，△PAD的面积． 【详解】解：由图象可知，AB+BC=6，AB+BC+CD=10， ∴CD=4， 根据题意可知，当P点运动到C点时，△PAD的面积最大，S△PAD=×AD×DC=8， ∴AD=4， 又∵S△ABD=×AB×AD=2， ∴AB=1， 当P点运动到BC中点时，BP=PC， 如图，作PQ⊥AD于点Q， ∴AB∥PQ∥CD， ∴PQ为梯形ABCD的中位线， 则PQ=（AB+CD）， ∴△PAD的面积=×（AB+CD）×AD=5 【巩固练习6】如图（1），长方形中，，点P从B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为，运动时间为，的面积为．y与t的函数图象如图（2），则下列结论正确的有（   ） ①；②；③当t=3时，为等腰三角形；④当时， A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟悉整个运动过程，找到关键点（一般是函数图象的折点），对应数据转化为图形中的线段长度． 先通过，计算出的长度，即可求得长度，根据长计算的值，的值等于整个运动路程除以速度，当时，找到点位置计算面积即可判断的值． 【详解】解：当点运动到点时，面积最大，结合函数图象可知当时，面积最大为， ． ， ． 则， 当点从点到点时，所用时间为：， ，故①正确； 点运动完整个过程需要时间为：，即，故②错误； 当时，， 又四边形是长方形， ∴， ， ， ， ， ， 是等腰三角形，故③正确； 当时，点运动的路程为：，此时， 面积为：，故④错误． 正确的结论有①③． 【题型6】坐标系中构造三垂直模型 在坐标系中通过构造三垂直模型解决数学问题 【例题1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，将直线绕点逆时针旋转得到直线，过点作于点，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的性质与判定，根据一次函数的解析式求得的坐标，过点作轴于点，过点作于点，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 直线分别与轴，轴交于，两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， 设，则， ∴ 解得：， ∴． 【巩固练习1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线，一等腰直角三角形的三个顶点A，B，C分别在，，上，，交于点D，已知与的距离为1，与的距离为3，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、平行线间的距离， 先根据平行线间的距离得到，，过B作于E，过A作于F，证明得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直线，与的距离为1，与的距离为3， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， 如图，过B作于E，过A作于F，则， ∴， ∴，又， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴ 【巩固练习2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，为轴上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，，过点作线段轴，垂足为，直线与直线交于点，且，连接，直线与直线交于点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，勾股定理，过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，求出，证，推出，，设，求出，得出，求出，得出的坐标，由两点坐标公式求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐标，设直线的解析式是，把代入求出直线的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，   ， ，， ， ， ，， 在和中， ， ，， ， 设，， ， ， 则， ，即． 直线， ， 点 ， 在中，由勾股定理得：， 则的坐标是， 设直线的解析式是， 把代入得：， 即直线的解析式是， 又∵过点，设直线解析式为，则 ∴直线的解析式为， 联立 解得：，点 【题型7】角，特殊三角形，面积存在性问题 在坐标系中，关于角、特殊三角形以及面积的存在性问题，我们可以从以下几个方面进行探究： 一、角的存在性问题： 给定坐标系中的几个点，要求确定是否存在一个角满足特定条件（如大小、方向等）。 这通常涉及到几何构造和证明。 二、特殊三角形的存在性问题： 给定坐标系中的几个点，要求确定是否存在一个特殊三角形满足特定条件（如边长、角度等）。 这通常涉及到几何构造、方程求解和证明。 三、面积的存在性问题：给定坐标系中的几个点，要求确定是否存在一个多边形（如三角形、四边形等）满足特定面积条件。这通常涉及到几何构造、方程求解和不等式分析。 【例题1】（24-25八年级上·四川成都·期中）已知直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，该直线的表达式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，由得，当时，，则与轴交点为，又与坐标轴所围成的三角形的面积为，则得出与轴的交点坐标为或，然后利用待定系数法即可求解，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由得， 当时，，则与轴交点为， ∵与坐标轴所围成的三角形的面积为， ∴直线与轴的交点坐标为或， ∴或， 解得：或， ∴直线的表达式是或 【例题2】（八年级上·四川成都·期末）如图，平面直角坐标系中，点，直线与坐标轴交于点E、C，点P在x轴的正半轴上，点Q为射线上的一个动点，连接．当为等腰直角三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据等腰直角三角形的性质，分、、三种情况，分别添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质列方程求解即可． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，∴有三种情况： 当时，如图，作轴于点M，于点N， ∴， ∵点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设P的坐标为， ∴， ∴， ∴，即， ∵点Q为射线上的一个动点， ∴， ∴， ∴． 当时，如图，过Q作轴于M，过B作交延长线于N， 则， ∴，又， ∴， ∴，， 设，， ∴，不成立，舍去； 当时，如图， 同理证明，则，， ∴，解得，则， 综上，符号条件的点P坐标为或 【例题3】（八年级上·四川成都·期末）已知平面直角坐标系内两点，，在x轴上找一点P，使得，则此时点P坐标为 ． 【答案】（，0）或（6，0） 【分析】如图所示，当点P在A点左侧，即点的位置时，过点A作AC⊥AB交延长线于C，过点C作CH⊥x轴于H，证明△AHC≌△BOA（，得到CH=OA=1，HA=OB=3，则点C的坐标为（-2，-1），求出直线BC的解析式为，令，则，解得，则点P的坐标为（，0）；同理当点P在A点右侧即点的位置是，可以求得P点坐标为（6，0）． 【详解】解：如图所示，当点P在A点左侧，即点的位置时，过点A作AC⊥AB交延长线于C，过点C作CH⊥x轴于H， ∵∠APC=45°，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴AC=BA， ∵∠HAC+∠HCA=90°，∠HAC+∠BAO=90°， ∴∠HCA=∠OAB， 又∵∠AHC=∠BOA=90°， ∴△AHC≌△BOA（AAS）， ∵，， ∴CH=OA=1，HA=OB=3， ∴点C的坐标为（-2，-1）， 设直线BC的解析式为， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为， 令，则，解得， ∴点P的坐标为（，0）； 同理当点P在A点右侧即点的位置是，可以求得P点坐标为（6，0）， 故答案为：（，0）或（6，0）． 【巩固练习1】（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，直线与轴、轴分别相交于，．点的坐标为，点是直线上的一点．若的面积为，则点的坐标为 ．    【答案】或/或 【分析】本题考查了一次函数综合题；把点代入，可得，设点的坐标为根据三角形的面积公式即可求得结果 【详解】解：直线经过点 ，解得：； 直线的解析式为， 设点的坐标为 化简得： 即： 解得：或 点的坐标为：或 故答案为：或． 【巩固练习2】（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，直线的解析式为，分别与x轴，y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且．若在x轴上方存在点D，使以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 ．    【答案】或 【分析】分两种情况：当平行x轴时，点A，B，D为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形，当不平行x轴时，分别求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 令，， ∴， ∵， 则， 即点； ①如图，当平行x轴时，点A，B，D为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形， 则，则点； ②当不平行x轴时， 则，则点D、到的距离相等，    则直线， 设直线的表达式为：， 将点D的坐标代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， 设点，A，B，D为顶点的三角形与全等， 则， 解得：或（舍去）， ∴点 【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点是直线：上的一个动点，若，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：当点P在y轴左侧时，由条件可判定AP∥BO，容易求得P点坐标；当点P在y轴右侧时，可设P点坐标为（a，−a＋4），过AP作直线交x轴于点C，可表示出直线AP的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC＝BC，可得到关于a的方程，可求得P点坐标． 【详解】解：当点P在y轴左侧时，如图1，连接AP， ∵∠PAB＝∠ABO， ∴AP∥OB， ∵A（0，8）， ∴P点纵坐标为8， 又P点在直线x＋y＝4上，把y＝8代入可求得x＝−4， ∴P点坐标为（−4，8）； 当点P在y轴右侧时，过A、P作直线交x轴于点C，如图2， 设P点坐标为（a，−a＋4），设直线AP的解析式为y＝kx＋b， 把A、P坐标代入可得， 解得， ∴直线AP的解析式为y＝x＋8， 令y＝0可得x＋8＝0，解得x＝， ∴C点坐标为（，0）， ∴AC2＝OC2＋OA2，即AC2＝（）2＋82， ∵B（−4，0）， ∴BC2＝（＋4）2＝（）2＋＋16， ∵∠PAB＝∠ABO， ∴AC＝BC， ∴AC2＝BC2，即（）2＋82＝（）2＋＋16， 解得a＝12，则−a＋4＝−8， ∴P点坐标为（12，−8）， 综上可知，P点坐标为（−4，8）或（12，−8）． 【巩固练习4】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，，那么直线BC的表达式是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件得到A（，0），B（0，-1），求得OA=，OB=1，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB=AF，根据全等三角形的性质得到AE=OB=1，EF=OA=，求得F的坐标，设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，解方程组即可得到结论． 【详解】解：∵一次函数y=2x-1的图象分别交x、y轴于点A、B， ∴令x=0，得y=-1，令y=0，则x=， ∴A（，0），B（0，-1）， ∴OA=，OB=1， 如图，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E， ∵∠ABC=45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AB=AF， ∵∠OAB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°， ∴∠ABO=∠EAF， ∴△ABO≌△FAE（AAS）， ∴AE=OB=1，EF=OA=， ∴F（，）， 设直线BC的函数表达式为：y=kx+b， ，解得：， ∴直线BC的函数表达式为： 【巩固练习5】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与轴交于点A，与轴交点，直线与轴交于点，与轴交点，连接，点在直线上，使得，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合、轴对称、全等三角形的判定与性质，熟练掌握求一次函数与坐标轴的交点，轴对称的性质，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．由得出，连接交直线于，在上截取，连接，利用轴对称的性质和全等三角形的性质推出、即为符合题意的两个点，利用A、B、C、D坐标求出直线与直线的解析式，联立可得的坐标，再根据对称性得出的横坐标等于的横坐标的相反数，代入直线即可完成求解． 【详解】解：对于， 令，则，即， 令，则，即， 对于， 令，则，即， 令，则，即， ， ； 连接交直线于，在上截取，连接， ， 和关于轴对称， 、在轴上， ， 为符合题意的一个点， ，， ， ， ，，， ， ， 为符合题意的另一个点； ，， 直线的解析式为， ，， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ， 由对称性得：的横坐标为， 代入，则， ， 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或 模块三 勾股定理 【题型1】最短路径 【类型1】蚂蚁绕圆柱侧面爬行 【方法技巧梳理】 可将圆柱的侧面展开成一个长方形，利用两点之间线段最短和勾股定理求出最短路程，需要注意的是展开后点的位置（起点、终点）：若终点在起点正上方，则圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽；若终点在起点斜上方，则圆柱体展开的底面周长的一半是长方形的长． 【类型2】蚂蚁绕长方体侧面爬行 【方法技巧梳理】 长方体中的最值问题一般是将长方体侧面展开，需要注意的不仅是展开后点的位置（起点、终点），而且一般展开有三种情况，对于每种情况，利用两点之间线段最短和勾股定理求出距离的最小值，最后再进行比较． 如果起点或终点不在长方体的顶点处，而在棱上或面上的某一位置，可将长方体多余部分截掉，这样计算不会出错． 如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，若a＞b＞c，则蚂蚁从A点沿长方体表面爬行到B点的最短路程是．B A a b c A B A B A B 展开 沿前面和上底面展开 沿前面和右面展开 沿左面和上底面展开 a b c b a c b c a 【类型3】丝带缠绕圈数问题 【方法技巧梳理】 仍然是将圆柱体或长方体的侧面展开成一个长方形，需要注意的是圆柱体或长方体的高就是长方形的宽，缠绕n圈，圆柱体或长方体的底面周长的n倍就是长方形的长（即长变为n倍，高不变），再利用勾股定理即可求出丝带的最小长度． 【例题1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（    ）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） A．17 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了学生对问题简单处理的能力；直接求是求不出的，所以要将半圆展开，利用已学的知识来解决这个问题．滑行的距离最短，即是沿着的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，、、三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，写出和的长，根据题意，写出勾股定理等式，代入数据即可得出的距离． 【详解】将半圆面展开可得： 米，米， 在中，米， 即滑行的最短距离为米 【例题2】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，长方体的长，宽，高为6，点B处有一只蚂蚁，点N处有一滴蜂蜜，如果蚂蚁要沿着长方体的表面从点B爬到点N，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开最短路径问题，勾股定理等知识点，蚁从B到N有三种爬法，要计算每一种爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段的长，进行比较即可，熟练掌握蚂蚁爬长方形的对角线长时，路径最短是解决此题的关键． 【详解】如图：，宽，高为6， 由已知，的长度即为所求， ∵中，，， ∴， 如图： ， 如图： ． ∵， ∴需要爬行的最短距离是 【巩固练习1】如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ． 【答案】20cm 【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可． 【详解】如图1， ∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm， ∴BM=18﹣6=12，BN=10+6=16， ∴MN==20； 如图2， ∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm， ∴PM=18﹣6+6=18，NP=10， ∴MN==2． ∵20＜2 ∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20． 故答案为20cm 【巩固练习2】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是 cm． 【答案】20 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线． 分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段的长度，再进行比较即可． 【详解】解：①如图1，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ②如图2，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ③如图3，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：． ∴蚂蚁爬行的最短路程是20cm． 【巩固练习3】如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯上沿的点处粘有一粒面包渣，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底与面包渣相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为 （杯壁厚度不计）． 【答案】25 【分析】将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图将杯子侧面展开，作关于的对称点， 则：， ∴当三点共线时，的值最小． 由题意，得：， ，， 连接，则即为最短距离， 【巩固练习4】如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为．如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，那么所用细线最短需要 cm． 【答案】 【分析】根据从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，则展开后，，由勾股定理计算出的长，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点， 展开后，， 由勾股定理得： 【题型2】勾股弦图 勾股弦图的理解和应用，涉及勾股定理的几何证明 勾股弦图直观地展示了直角三角形三边之间的关系，即勾的平方加上股的平方等于弦的平方。 通过计算大正方形和内部小正方形的面积，可以推导出勾股定理。 【例题1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再与已知条件联立，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为 【例题2】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．求得四个全等的直角三角形的斜边长为，设两条直角边分别为，利用图3的外轮廓周长为，求得，再利用图1中，列式计算即可求解． 【详解】解：如图，由题意得， ∴（负值已舍）， 如图，，设，，则， 由题意得， ∴，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 解得， 如图，，设点C到的距离为， ∴，即， ∴， ∴点C到的距离为 【巩固练习1】我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若，每个直角三角形的面积为15，则c的长为 ．    【答案】8 【分析】由直角三角形的面积可求出，再把两边平方得，再结合勾股定理可知，从而可求出结论． 【详解】解：∵每个直角三角形的面积为15， ∴， ∴， 又， ∴， 整理得，， 又， ∴， 解得，或（负值舍去） 【巩固练习2】（22-23八年级上·四川成都·期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为．连接AC，交于点P，交于点Q，连接．则图中阴影部分的面积之和为 ． 【答案】16 【分析】设，，根据正方形的面积公式和勾股定理可求得，再根据题意和三角形的面积公式可推导出，进而推出阴影部分的面积之和为梯形的面积，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积之和为 ， ∵正方形的面积为， ∴即， ∴， ∴阴影部分的面积之和为16． 【巩固练习3】四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH．已知AM为RtABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为 ． 【答案】36 【分析】设，，则正方形ABCD的面积，由题意可知，结合，由此即可解决问题． 【详解】解：设，，则正方形ABCD的面积为： 观察图形可得： ∵ ∴， ∵正方形的面积为，即 ∴则正方形ABCD的面积为： 【巩固练习4】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ．    【答案】 【分析】由八个直角三角形全等，四边形，，为正方形，得出，，再根据三个正方形的面积公式列式相加：，求出的值，从而可以计算结论即可． 【详解】解：∵八个直角三角形全等，四边形，，为正方形， ∴，， ∴ ， ， ∴， ∴，∴ 【题型3】勾股定理中的规律探究 探究勾股定理在不同情况下的应用规律 【例题1】如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形……按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，第1个正方形的边长为1，面积为1；第2个正方形的边长为，面积为2；第3个正方形的边长为，面积为4；第4个正方形的边长为，面积为8；……，可推导一般性规律为第个正方形的边长为，面积为；然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，第1个正方形的边长为1，面积为1； 第2个正方形的边长为，面积为2； 第3个正方形的边长为，面积为4； 第4个正方形的边长为，面积为8； ……， ∴可推导一般性规律为第个正方形的边长为，面积为； ∴第个正方形的边长为，面积为 【例题2】（24-25八年级上·四川成都·期中）我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边． 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律： （1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ；（直接写出结果） （2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ． 【答案】 60，61 【分析】本题主要考查了勾股数， 对于（1），通过计算，发现规律为：股是勾的平方减1的一半，弦是勾的平方加1的一半，从而写出结果； 对于（2），根据以上探索规律，偶数开头的各组数字，其股是勾的平方的四分之一减1，其弦是勾的平方的四分之一加1． 【详解】解：（1）勾是11时，股和弦的算式分别是； 故答案为：60，61； （2）6，8，10，可以写成； 8，15，17，可以写成， 根据规律，可知这些勾股数的股为：． 【例题3】如图，，，且，，，观察规律，线段的长是（　　） A． B． C．6 D．32 【答案】C 【分析】本题属于图形规律探索题，涉及勾股定理的知识．根据题意，利用勾股定理分别求出、、，找到规律，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴在中，有， ∵，，， ∴在中，有， ∵，，， ∴在中，有； ．．． 依次类推，可知， 即当时，有． 【巩固练习1】我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 【答案】 【分析】本题考查数字型规律探究、勾股数，能从数字等式中找到变化规律是解答的关键． 根据给出的3组数以及勾股数的定义即可得出答案． 【详解】解：上述四组勾股数组的规律是：， 即， ∴ 所以第5个勾股数组为 【巩固练习2】如图，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图由图的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，，按此规律，则图中所有正方形的面积和为（　） A．200 B．175 C．150 D．125 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据题意分别计算出图、图和图中正方形的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 图中所有正方形面积和为：， 图中所有正方形面积和，， 图中所有正方形面积和， ⋯ ∴第个图形中所有正方形的面积和为， ∴图中所有正方形的面积和为：，故正确 【巩固练习3】如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使．按照此规律，线段的长为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键．根据直角三角形的性质，先求出前几个水平线段的长，找出规律再求解． 【详解】解：，且，， ， ， 同理：， ， ， 同理：， ； ， 线段的长为： 【巩固练习4】世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，其中是互质的奇数，则为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据规律写出第⑩个等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一些常用的勾股数，通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑩个等式． 【详解】解：∵， ∴第一个数的底数是，指数是2， ∵， ∴第二个数的底数是，指数是2， ∵第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2， ∴第n个等式为， ∴第⑩个等式为 【巩固练习5】如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形类规律类、等腰直角三角形的性质、勾股定理．先根据题意求得前几个正方形的面积，继而可得第n个正方形的边长为，则，即可求解． 【详解】解：由题意得，第一个正方形的边长为2，则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴第二个正方形的边长为， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴第三个正方形的边长为， ∴， 同理可得，第四个正方形的边长为， ∴， ⋯， ∴第n个正方形的边长为， ∴， ∴ 【巩固练习6】如图，在正方形中，，与直线的夹角为，延长交直线于点，作正方形；延长交直线于点，作正方形；延长交直线于点，作正方形依此规律，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、图形类变化规律，由正方形的性质得出，，，从而得出，由含角的直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，推出，从而得出规律，即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴， …， ∴， ∴， 故答案为： 【题型3】勾股定理与面积关系及计算 【例题1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）2024年9月27日晚，由南山区政府主办的“南山区标识体系发布暨国际文化交流共鸣之夜”在深圳人才公园举行，深圳南山全新城区形象标识正式发布．与此同时，南山国际文化交流市集在此汇集了几十个展位，其中两个相邻展位都是新月形．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是（   ） A．15 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长 【例题2】下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（    ） A． B．C．   D． 【答案】D 【分析】对于选项的图形，可以用两种方法分别表示出大正方形的面积，然后由两种表示法的面积相等进行证明；对于选项的图形，可以用两种方法都表示中间正方形的面积，一种是直接表示正方形的面积，另一组是根据“中间正方形的面积大正方形的面积个全等的直角三角形的面积”进行表示，再由两种表示法的面积相等，结合整式的运算证明勾股定理；接下来按照同样的方法，表示出选项、中图形的面积，进而得出结论． 【详解】解：、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、三个直角三角形的面积和梯形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、不能证明勾股定理，故此选项符合题意 【巩固练习1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，，以三角形各边为直径作半圆，其中两半圆交于点，阴影部分面积分别记作和，则，之间应满足的等式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，再由即可求解． 【详解】解：中，， ， ， ，故答案为：． 【巩固练习2】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为 【巩固练习3】（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，分别以、、为边向上作正方形、正方形、正方形，点在上，若则，，图中阴影的面积为 ．    【答案】 【分析】根据条件证明，利用全等三角形的性质即可得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，      ∵，，， ∴， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴阴影面积 【巩固练习4】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在边长为的正方形各边上分别截取，当时，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作作辅助线构造直角三角形进行求解． 根据图形可得，即；由此即可解决问题． 【详解】解：分别延长，，，，交，，，的延长线于点，，，，可得，，，是四个全等的等腰直角三角形，如图， 若将上述四个等腰三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则新正方形的边长；这个新正方形与原正方形的面积相等； 通过上述的分析，可以发现． 【巩固练习5】（24-25八年级上·四川成都·期中）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、、均为正方形．若．，则正方形的面积为 ． 【答案】169 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：四边形、、均为正方形， ，，， ， ， ， 在中，， ， ， 正方形的面积为 【题型4】利用勾股定理求值 【例题1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，于点，在上，连接，．若，，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先求解，设，则，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， 设，则， ∴， 解得：， ∴ 【例题2】数学活动课上，将底边12的等腰三角形按图1所示剪成三个直角三角形，这三个直角三角形按图2方式进行拼搭，其中点B，C，M，H四点处在同一直线上，且点C与点H重合，点A与点F重合，点D恰好在与交点处，则的长是 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质求出， ，根据勾股定理求解即可； 【详解】由图1及等腰三角形的性质可知， ， 如图2，， ， ， ， ， 设，则， 在中， ， ， 【巩固练习1】已知等腰的底边，是腰上一点，且，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理得出，设，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】设， ，，， ∴， ，即， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即 【巩固练习2】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，以为边分别作正方形和正方形，若图中阴影部分的面积为16，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查利用完全平方公式求线段长，涉及直角三角形面积、正方形面积公式、完全平方和公式等知识，由题中直角三角形面积、正方形面积列式，最后结合完全平方和公式代值求解即可得到答案，熟练掌握完全平方和公式是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 图中阴影部分的面积为16， ， ，解得， 【巩固练习3】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，四边形中，，且，若，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理建立等式，结合，得到的值，利用，即可解题． 【详解】解：记交于点，如图所示： ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ， 即， ． 【题型5】折叠问题 1．翻折（也叫折叠）实质上是一种轴对称，折叠前后的两个图形关于折痕对称且全等，即对应边相等，对应角相等，对应点连线被对称轴（折痕）垂直平分．解决这类问题的关键是找出隐藏的条件（翻折前后的线段相等，角相等），因此，可以利用勾股定理列方程来解决． 2．利用对称的性质将分散的条件转化为某个直角三角形的三边，再利用勾股定理列方程解决． 【例题1】在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣x+6与x，y轴分别交于A，B两点，点C（0，n）是线段BO上一点，将△AOB沿直线AC折叠，点B刚好落在x轴负半轴上，则点C的坐标是（　　）      A．（0，3） B．（0，） C．（0，） D．（0，） 【答案】D 【分析】过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为A（8，0），B（0，6），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD=CO=n，DA=OA=8，则DB=10-8=2，BC=6-n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可． 【详解】过C作CD⊥AB于D，如图，    对于直线y=-x+6， 当x=0，得y=6；当y=0，x=8， ∴A（8，0），B（0，6），即OA=8，OB=6， ∴AB=10， 又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上， ∴AC平分∠OAB， ∴CD=CO=n，则BC=6-n， ∴DA=OA=8， ∴DB=10-8=2， 在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2， ∴n2+22=（6-n）2，解得n=， ∴点C的坐标为（0，）． 【例题2】（23-24八年级上·广东深圳·期末） 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可． 【详解】解：过点作， ∵长方形， ∴， ∵平分， ∴， 由翻折可得， 由勾股定理，得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴ 【例题3】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，为上一点，且，为边上一点，连接，将沿翻折，使点的对应点落在延长线上，交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理，折叠的性质，三角形内角和知识，解题的关键是掌握以上知识点． 先证明，利用勾股定理求出，利用面积法和勾股定理求出，，设，表示出，，在中，利用勾股定理即可求出，从而解决问题． 【详解】解：如图所示，将沿翻折，使点的对应点落在延长线上，连接， ∴，， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理可得， 即 解得： ∴的长为． 【例题4】（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知，如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A、B两点，直线与坐标轴交于C、D两点，两直线交于点；点是轴上一动点，连接，将沿翻折，点对应点刚好落在轴负半轴上，则所在直线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、坐标与图形、勾股定理，正确运用待定系数法求得函数解析式是解答的关键．先求得和直线的解析式为，过作轴于，求得，利用勾股定理求得， 设，则，，在Rt中，利用勾股定理列方程求解m得到，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：把代入得：，解得， ， 把代入得：， 解得， 直线的解析式为， 当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图： 在中，令，得， ， ， ，，， ， 设，则， ， 在Rt中，， ， 解得， ， 设直线解析式为，把代入得：， 解得，直线解析式为. 【巩固练习1】如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E．若，，则的面积为 ．    【答案】10 【分析】设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则， 则． 【巩固练习2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，直线：与坐标轴交于A、B两点，点D为第一象限内一点，连接且轴，过点且平行于x轴的直线l交于点C，交于点F，连接，，将沿着直线翻折，得到，点E正好落在直线l上，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了翻折的性质以及勾股定理的应用，连接，根据可求，进而得；结合即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得：， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， 解得： 故答案为： 【巩固练习3】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点，分别在，边上，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上，且，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】如图所示，设与交于点O，由折叠得到，然后结合得到，然后利用三角形内角和定理得到，然后利用勾股定理求出，，然后利用代数求解即可． 【详解】解：如图所示，设与交于点O ∴ ∵将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵，， ∴ 由折叠得， ∵， ∴ ∴ 解得（负值舍去） ∵ ∴ ∴． 【巩固练习4】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将沿着翻折得，若点落在第四象限，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与轴对称性质的综合应用，能够综合题中条件作出辅助线并巧妙的借助勾股定理建立方程是本题的关键． 先灵活运用直线方程求出与坐标轴的交点坐标，明确各点坐标．再利用翻折的性质得到，，从而建立起等量关系．最后巧妙借助勾股定理，求出长度表达式，利用，最终通过建立方程求解得出点的坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为点． 令，则， 解得：． ． 令，则． ． ，． 由勾股定理可得： ． 沿着翻折得． ． 设 ． 在中，，即． 在中，，即． ， 解得：． ． ． 设，则． 由勾股定理得：． 即． ， 解得：． ． 【巩固练习5】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，点是边上一点（点不与点，重合），将沿翻折，点的对应点为点，交于点，若，则点到线段的距离为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出，，由折叠的性质得：，，得出，证出，得出又由勾股定理得利用面积法构造一元一次方程，即可得出结果． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴，， 由折叠的性质得：，，， ∴ ∴ ∴ ∴ 设点到的距离为，则 即 解得： 【巩固练习6】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中，，，，点E为的中点，将平行四边形沿折痕翻折，使点D落在点E处，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】先过点作于点G，利用平行四边形的性质得到，进而利用勾股定理求出，，然后再利用勾股定理得到，即可得到，然后延长交的延长线于点H，过点A作于点P，过点N作于点，则，得到，，再根据等角对等边得到，进而计算，继而得到，然后根据勾股定求折痕的长度即可． 【详解】解：过点作于点G， ∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 又∵点E为的中点， ∴， ∴，， 设，则， ∵，即， 解得，即， ∴， 延长交的延长线于点H，过点A作于点P，过点N作于点， ∵， ，，， 又∵， ∴， ∴，， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【题型6】作垂线构造直角三角形求值 【例题1】如图，，，若，，则点到的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用等腰直角三角形的性质可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据的面积的面积的面积的面积进行计算即可解答． 【详解】 解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点， ，，， ， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， 的面积的面积的面积的面积， ， ， ， 点到的距离是， 故选：B． 【例题2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，点在边上，与交于点，若，，记的面积为，的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，过点作于，利用勾股定理先求出，再求出，即可求出，进而求出，根据即可求解，掌握等腰直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， ∵，， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ 【巩固练习1】已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：△ABC是锐角三角形，△ABC是钝角三角形，分别画出符合条件的图形，然后分别根据勾股定理计算AC和BC即可． 【详解】分两种情况： 当是锐角三角形，如图1， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∵CD=，AD=1， ∴AC=2， ∵AB=2AC， ∴AB=4， ∴BD=4-1=3， ∴BC； 当是钝角三角形，如图2， 同理得：AC=2，AB=4， ∴BC=； 综上所述，BC的长为或 【巩固练习2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，点分别在边上，连接，已知，，都是等边三角形，点分别是的中点，连接，当时，的长度为（　　）    A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，连接，先证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出的长，可得的长，根据中点的定义和等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ∵，都是等边三角形， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∵，点M是的中点， ∴， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴ 【巩固练习3】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，点是外的一个点，连接，，且，，四边形的面积是，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，过点作，交的延长线于点，证出，设，得出，，由四边形的面积求出，则可得出答案．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， 设， ，， ， 过点作于点， ，， ， ， 四边形的面积是， ， 解得，（舍去）， ， ． 【巩固练习4】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，．点D为外一点，满足，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】过点A作，交的延长线于点E，从而可得，在中，利用含的直角三角形的性质及勾股定理可得，然后利用证明，从而可得，，再利用三角形的外角性质可得，从而可得是等腰直角三角形，进而可得，最后利用线段的和差关系可得，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点E， ∴． ∵，，， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵是的一个外角， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【巩固练习5】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，中，，且，．以为边在外部作等边点，连接，则的长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．构建等边是解决问题的关键．将绕点顺时针旋转得到，如图，根据旋转的性质的，，，，则为等边三角形，所以，再计算出，过点作于点，如图，利用含30度角的直角三角形三边的关系求出，，然后在中利用勾股定理可计算出的长． 【详解】解：为等边三角形， ，， 将绕点顺时针旋转得到，如图， ，，，， 为等边三角形， ， ，， ， ， ， 过点作于点，如图， ， ， ， ， 在中，， ． 【巩固练习6】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，延长至点E，使，则，由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再由勾股定理得，然后证明，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至点E，使， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 【巩固练习7】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，构造全等三角形是解题的关键． 过D作交的延长线于E，证明，得出，，勾股定理即可求解． 【详解】解：过D作交的延长线于E， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ， ， 【题型7】构造全等再结合勾股求线段长 【例题1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，于点A，于点B，点E是的中点，连按，已知知，，，则 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明全等三角形是本题的关键． 延长交于F，由“”可证，可得 ，由勾股定理可求的长，即可求的长． 【详解】解：延长交于F，如图， ∵点E是的中点 ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴ 【例题2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接交轴于点，连接，，则的面积为（    ） A．12 B．20 C．24 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形．过点B作轴于点E，则，证明，可得，再由，可得，可证明，可得，再根据的面积，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作轴于点E，则， ∵点、的坐标分别为、，点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积 ． 【例题3】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在等腰直角三角形中，，于点D，点E是内一点，连接、、，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合等腰直角三角形的性质可知，点只能在内，如图，过点作，利用勾股定理求得，，则，过点作交于，交于，连接，，则，可知，均为等腰直角三角形，，，即也是等腰直角三角形，再证明，同理：，，得，，然后证明，同理，得，，由此可得点、点、点在同一直线上，可知，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在等腰直角三角形中，，于点D， ∴，，， 如图，当点在内或上时，，不符合题意， ∴点只能在内，如图，过点作， ∵，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 过点作交于，交于，连接，， 则， ∴，均为等腰直角三角形，则，，，， ∴，即也是等腰直角三角形， ∵，， ∴，同理：，， ∴，， ∴，同理， ∴，， ∵， ∴，则点、点、点在同一直线上， ∴， ∴ 【例题4】如图，在中，是边上的中线，是中边上的中线，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中线性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线．延长交于点，延长，使，连接，根据题意可得，，进而可求出，根据勾股定理求出，证明，得到，推出，得到，根据勾股定理求出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，延长，使，连接， ， ， ， ， ，是中边上的中线， ， ， 在中，由勾股定理得：， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得： 【例题5】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点点Q在x轴的负半轴上分别以为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，则的值为 ．    【答案】10 【分析】过作，交轴于，再，得出，然后根据点，求得，最后判定，得出，即可求得． 【详解】解：过作，交轴于，则，    ∵等腰、等腰， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， 即 在和中， 【巩固练习1】如图，四边形中，，，连接，交于点，，若点为的中点，，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】过点A作，可证得，得到线段和的数量关系，即可求出和的长度，然后根据三角形面积公式即可求得． 【详解】过点A作，如图所示， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在中， ， ， 解得：BC=(负值舍去)，BD=，AF=， ∴四边形ABCD的面积． 【巩固练习2】（八年级上·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，连接，若，则 ． 【答案】（补成弦图模型） 【分析】先过点D作于点E，求出，，然后根据“”证，得出，，最后再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 故答案为：． 【巩固练习3】如图，在四边形中，，，则的长为 ． 【答案】（构造手拉手） 【分析】本题考查的是三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键，延长到点E，使，连接，证明，得出，在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：延长到点E，使，连接， 在四边形中，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 【巩固练习4】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，D为边上一点，，垂足为E，F在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，利用勾股定理可得，最后根据线段和差求解即可得． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点， ∵， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 【巩固练习5】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，垂直的平分线于点，连接．若点正好在线段的垂直平分线上，则的长为 ． 【答案】 【分析】延长与相交于点E，证明，则，，得到，证明，得到，则，由勾股定理依次求出，，即可得到答案． 【详解】解：延长与相交于点E， ∵垂直的平分线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点正好在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【巩固练习6】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，分别以的三边，，为边向外侧作正方形，正方形，正方形，连接，，，再过作于，延长交于点．①；②；③；④当，，时，．其中正确的结论共有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，根据正方形面积公式可得只有满足时，，而不能得到，则不能得到，即不能得到，据此可判断①；如图所示，过点F作于Q，过点E作交延长线于Q，证明，得到，，同理可得，，则，进而证明，得到，，即可判断②；由，得到，即可判断③；由，得到，同理可得，则，同理可得，则，利用勾股定理求出，进而求出的面积即可判断④． 【详解】解：∵， ∴只有满足时，， 又∵并不能得到， ∴不能得到，即不能得到，故①错误； 如图所示，过点F作于Q，过点E作交延长线于Q， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴， ∵，，， ∴， ∴，故④错误； 故选B． 【巩固练习7】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在等腰中，，点E为上一点，点H为上一点，连接和交于点F，．连接，若平分，则 ，在此条件下，延长到点D，连接，使，此时若，，则 ． 【答案】 1 / 【分析】过点作于点，过点作于点，，交的延长线于点，根据角平分线的性质，得到，证明，推出，进而证明，得到，即可得到答案；过点作交于点，过点作交延长线于点，先证明，得到，，同理可证，得到，，再结合平行线的性质，推出，从而证明，得到，然后根据已知条件求出，，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，，交的延长线于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 如图，过点作交于点，过点作交延长线于点， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可证， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ，， ． 【题型8】几何多情况论讨论 【例题1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，在中，，且周长为，点P从点A开始沿边向B点以每秒的速度移动；点Q从点B沿边向点C以每秒的速度移动（Q运动到点C停止），如果同时出发，则过7秒时，点B到的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及等积法求线段的长．通过勾股定理逆定理得到是直角三角形，是解题的关键． 先求出的长，，利用勾股定理逆定理得到，根据题意，求出，的长，勾股定理求出的长，利用等积法进行求解即可． 【详解】解：设，则，， ∵周长为， ∴， 解得：， ∴，，， 过7秒时，，， ∴，Q运动到C点停止运动，即， 连接，过B作，交于点D， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴， ∵，， ∴=． 【例题2】如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①当点E在线段CD上时，三点共线，根据可求得，再由勾股定理可得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值；②当点E在射线CD上时，设，则，，由勾股定理可解得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值即可． 【详解】解：根据题意，四边形ABCD为长方形，，，将沿AE折叠得到，则，，， ①如图1，当点E在线段CD上时， ∵， ∴三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴在中，； ②如图2，当点E在射线CD上时， ∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∵，即， 解得， ∴， ∴在中，． 综上所述，AE的值为或． 【巩固练习1】如图所示，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，是轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换，勾股定理，根据勾股定理得到，如图1，当点A落在y轴的正半轴上时，如图2，当点A落在y轴的负半轴上时，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， 如图1，当点A落在y轴的正半轴上时， 设点C的坐标为， ∵将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 如图2，当点A落在y轴的负半轴上时， 设点C的坐标为， ∵将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为 【巩固练习2】综上所述，当点A落在y轴上时，点C的坐标为或已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：△ABC是锐角三角形，△ABC是钝角三角形，分别画出符合条件的图形，然后分别根据勾股定理计算AC和BC即可． 【详解】分两种情况： 当是锐角三角形，如图1， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∵CD=，AD=1， ∴AC=2， ∵AB=2AC， ∴AB=4， ∴BD=4-1=3， ∴BC； 当是钝角三角形，如图2， 同理得：AC=2，AB=4， ∴BC=； 综上所述，BC的长为或 【巩固练习3】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点始终落在边AC上，若△MC为直角三角形，则BM的长为 【答案】+或1 【分析】①如图1，当∠MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CM是等腰直角三角形，得到CM=M，列方程即可得到结论． 【详解】解：①如图1， 当∠MC=90°，与A重合，M是BC的中点， ∴BM=BC=+； ②如图2，当∠MC=90°， ∵∠A=90°，AB=AC， ∴∠C=45°， ∴△CM是等腰直角三角形， ∴CM=M， ∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点， ∴BM=M， ∴CM=BM， ∵BC=+1， ∴CM+BM=BM+BM=+1， ∴BM=1， 综上所述，若△MC为直角三角形，则BM的长为+或1， 故答案为：+或1．       【巩固练习4】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形中，，，点E为上一点，，点F为长方形边上一动点，将沿直线EF翻折，当点A的对应点恰好落在边上时，折痕的长度为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质等知识．当点在边上时，作，垂足为G．先证明，得到，根据勾股定理求出，再证明四边形为矩形，得到，进而得到，得到为线段的垂直平分线，即可求出．当点在边上时，求得，利用勾股定理和直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：当点在边上时，如图，作，垂足为G． ∵四边形为矩形， ∴，， ∵直线EF翻折得到，且点在边上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为线段的垂直平分线， ∴． 当点在边上时，如图，作，垂足为点，取的中点，连接， 此时，四边形是矩形， 由折叠的性质得，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 由折叠的性质得， ∴， 在中，，，即， 解得 【巩固练习5】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，直线与坐标轴相交于点A，B，点，点P在线段上运动，连接．将沿翻折，使A点落在点处，若平行于坐标轴时，则 ． 【答案】的长为或2或10 【分析】分三种情况：平行于y轴时，由平行线的性质及等腰三角形性质、对称性质即可求解；平行于x轴时，过点C作于N，设交y轴于点M；设，点， 则可得，M的坐标，从而求得，再由折叠性质得，可得；由求得a与m的关系；再由勾股定理得，从而可求得m及a的值；当P靠近A且平行于x轴时，延长交y轴于点M，求法与上面平行x轴的求法类似． 【详解】解：当平行于y轴时，如图， 则， 由折叠知：，， ∴， ∴， ∴； 对于，令，得；令，得； ∴， ∵， ∴， ∴； 平行于x轴时，如图，过点C作于N，设交y轴于点M； 设，点，则， 则，， ∴，； 由折叠性质知：， ∵，， ∴； ∵， ∴， 即； 另一方面，， 即， 因，故； 把代入中，得：， 解得：（舍去）， ∴， 即； 当P靠近A且平行于x轴时，延长交y轴于点M，此时M位于点C上方，如图， 设，点，则， 则，， ∴，； 由折叠性质知：，， ∴， 即， ∴， 即； 另一方面，， 即， 因，故； 把代入中，得：， 解得：（舍去）， ∴， 即； 综上，的长为或2或10． 【巩固练习6】（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于以为底边的等腰及外一点C，若，直线中，其中一条经过点O，另一条与的腰垂直，则称点C是的“关联点”．如图，已知点，，，则点就是的“关联点”．若点是的“关联点”，则线段的长是 ．    【答案】或 【分析】第一种情况：过点Q作轴于点A，利用勾股定理求出，利用面积法求出的长，勾股定理求出，得到，再根据勾股定理求出线段的长．第二种情况：过点作轴于点，结合图形，结合勾股定理，即可作答．此题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的性质，熟练运用勾股定理和等面积法求线段的长度是解题的关键． 【详解】解：如图，过点Q作轴于点A，    ∵是的“关联点”， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 过点作轴于点，如图：    ∵是的“关联点”， ，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为或． 模块四 最值问题 【题型1】将军饮马 涉及距离最短的几何问题，通常通过构造对称点来求解 一、单动点问题 【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小 问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为AB 【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小 问题解决：作B关于l的对称点B'⇒PB＝PB'，则PA＋PB＝PA＋PB'，当A，P，B'共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA＋PB最小值为AB' 【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大 问题解决：连接AB，当A，B，P共线时取最大 原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB' 【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大 问题解决：作B关于直线l的对称点B'⇒PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'| 原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB' 【例题1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，直线过点，且与轴交于点，点是轴上的一个动点，则的周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、勾股定理、最短路径问题，先求得该直线的解析式为，进而求得和，作点A关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，此时的周长取最小值，利用两点坐标距离公式求得即可． 【详解】解：将点代入直线， 可得，解得， 该直线的解析式为， 将点代入直线， 可得， ， ， 如图，作点A关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 则， 由轴对称的性质可得， 的周长， 此时的周长取最小值， ， ， 的周长取最小值为． 【巩固练习1】（24-25八年级上·四川成都·期中）构图法是解决数学问题的一种常见的方法．比如：在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．可以先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需求的高，借用网格就能计算出它的面积．试运用构图法求的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理和完全平方公式的应用，以及三角形三边关系的应用，根据完全平方公式可见已知化简为，进一步构造两直角边为和1的和两直角边为和5的，且点P在线段上，利用勾股定理和三角形三边关系找到最小值计算即可． 【详解】解： 则可构造两直角边为和1的和两直角边为和5的，且点P在线段上，如图， 则，， 连接，则， 即的最小值为线段的长， 过点B作，交的延长线于点E，则四边形是长方形，，， 在中，， 由勾股定理，得 那么，的最小值为 【巩固练习2】（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称，最短问题，垂线段最短，直角三角形角的性质，勾股定理，利用轴对称性，找到正确的的位置是解答本题的关键． 作直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，点是点关于直线的对称点，作，作，此时最小，即，在中，利用勾股定理得到答案． 【详解】如图，直线与轴关于直线对称， 直线与直线关于轴对称，    点是点关于直线的对称点， 作，垂足为，交轴于点，交直线于点， 作， ，， ， 此时最小， 在中， ，，， ， ， 的最小值为 【题型2】相对运动 解决相对运动中的最值问题，需要理解相对运动的概念 相对运动，平移型将军饮马 【问题4】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值 问题解决：相对运动或构造平行四边形 策略一：相对运动思想 过点A作MN的平行线，相对MN，点A在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题 策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9. 【例题1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，．将沿射线平移得到，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，在的平移过程中，的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，过点作于点，证明得出，设，根据平移的性质可得，，勾股定理表示出，即到点和的距离和的最值，进而根据轴对称的性质求得最值，即可求解． 【详解】解：如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 过点作于点， ∵在中，，，．将绕着点逆时针旋转得到线段， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ 设，则，， ∴ 即到点和的距离和的最值， 如图所示，，取，则的最小值为的长， 即 ∴的周长的最小值为 【巩固练习1】如图，已知点P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC在x轴上滑动时，PA+PB的最小值是 。 【答案】 【解答】如图所示，过P作x轴的平行线l，作点A关于l的对称点A'，连接A'P，则AP＝A'P， ∴当A'，P，B在同一直线上时，AP+BP的最小值等于线段BA'的长， 过A作AD⊥BC于D， ∴AD∥y轴， ∵A′A∥y轴， ∴A′、A、D三点共线， ∵等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2， ∴AD＝BD＝1，P（0，3）， ∴A'D＝AA'+AD＝2×（3﹣1）+1＝5， ∴Rt△BA'D中，BA'＝＝＝， ∴PA+PB的最小值是． 【题型3】垂线段最短 利用垂线段最短的性质求解最值问题 【问题5】在直线，上分别求点A，B，使PB＋AB最小 问题解决：作关于的对称点，作于A，交于B，即所求 原理：点到直线，垂线段最短， 【例题1】如图，∠MON＝45°，OP平分∠MON，点A为射线OM上一点，OA＝4，点E，F别为射线OP，OM上的动点，连接AE，EF，则AE＋EF的最小值为_________． M F O A E N P 【答案】 【解析】在ON上截取OG＝OF，连接EG，过点A作AH⊥ON于点H． M F O A E G N P H ∵OG＝OF，∠EOG＝∠EOF，OE＝OE， ∴△OEG≌△OEF，∴EG＝EF， ∴AE＋EF＝AE＋EG≥AH． ∵∠MON＝45°，OA＝4，∴AH＝＝． 【例题2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段（端点除外）上一动点，点D与点C关于x轴对称，过点C作x轴的平行线交的延长线于点F，则线段的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据两个三角形全等证明，再说明当最小时最小，然后根据三角形的面积相等求出即可． 【详解】如图所示，连接交x轴于点G，作轴，交x轴于点E． 根据题意可知，． ∵，， ∴≌， ∴， ∴． 当时，最小，即最小． 当时，；当时，， ∴点，点， ∴，， 根据勾股定理，得． ∴， 即， 解得， 则， ∴线段的最小值是． 故选：B．    【巩固练习1】如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，作，    平分， ， ， ∴， ， ， ∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ， ， 即的最小值为 【巩固练习2】如图，在中，，，，D为AB上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】连接，，设交于点，先判定为线段的垂直平分线，再判定，然后由全等三角形的性质可得答案． 【详解】：如图，连接，，设交于点， ，为的中点， ， 点在线段的垂直平分线上， 为等边三角形， ， 点在线段的垂直平分线上， 为线段的垂直平分线， ，， 点在射线上，当时，的值最小，如图所示，设点为垂足， ，， ，， 则在和中， ， ． ， ∵，，， ∴，， ∴， 解得：， ∴ 【题型4】瓜豆最值（轨迹类最值） 解决轨迹类最值问题，通常涉及动点的轨迹分析 初中阶段如遇求轨迹长度仅有2种类型：“直线型”和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返探究“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定轨迹类型进而求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释清楚 一、我们先来解释一下瓜豆原理：定角定比，主从联动 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同． 只要满足： 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。 1、两“动”，一“定” 2、两动点与定点的连线夹角是定角 3、两动点到定点的距离比值是定值 【例题1】三种处理策略 如图，D、E是边长为4的等边三角形ABC上的中点，P为中线AD上的动点，把线段PC绕C点逆时针旋转60°，得到P’，EP’的最小值 【分析】 结合这个例题我们再来熟悉一下瓜豆模型 第一层：点P’运动的轨迹是直线吗？ 答：是直线，可以通过P在A，D时，即始末位置时P’对应的位置得到直线轨迹，对于选填题，可找出从动点的始末位置，从而快速定位轨迹，若要说理则需要构造手拉手证明. 第二层：点P’的运动长度和点P的运动长度相同吗？ 答：因为点P’与点P到定点C的距离相等，则有运动路径长度相等，若要说理则同样需要构造手拉手结构，通过全等证明. 第三层：手拉手模型怎么构造？ 答：以旋转中心C为顶点进行构造，其实只要再找一组对应的主从点即可，简单来说就是从P点的轨迹即线段AD中再找一个点进行与P点类似的的旋转，比如把线段AD中的点A绕C点逆时针旋转60°，即为点B，连接BP’即可得到一组手拉手模型，虽然前面说是任意点，但一般来说我们选择一个特殊位置的点进行旋转后的点位置也是比较容易确定的，比如说点D进行旋转也是比较方便． 第四层：分析∠CAP和∠CBP’ 答：由全等可知∠CAP＝∠CBP’，因为B为定点，所以得到P’轨迹为直线BP’ 第五层：点P和点P’轨迹的夹角和旋转角的关系 答：不难得出本题主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角，要注意的是如果旋转角是钝角，那么主动点与从动点轨迹的夹角等于旋转角的补角，这个在后面的例题中会出现. 大气层：前面提到，如果是选填题，可以通过找从动点的始末位置快速定位轨迹线段，或者通过构造手拉手，通过全等或相似得出相等角然后得出轨迹，这两种方法都是先找出从动点P’的轨迹，再作垂线段并求出垂线段的长得到最小值，那么还有其他方法吗？ 答：还可以对关键点进行旋转来构造手拉手模型，从而代换所求线段，构造如下． 将点EC绕点C顺时针旋转60°，构造手拉手模型(SAS全等型)，从而得到P’E＝PG，最小值即为点G到AD的距离． 要注意的是因为要代换P’E，所以E点的旋转方式应该是从P’P，所以是顺时针旋转，求轨迹时的旋转方式则是PP’，注意区分. 解析 策略一：找从动点轨迹 连接BP’， 由旋转可得，CP＝CP’，∠P’CP＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACB＝∠PCP’， ∴△ACP≌△BCP’(SAS)， ∴∠CBP’＝∠CAP， ∵边长为4的等边三角形ABC中，P是对称轴AD上的一个动点， ∴∠CAP＝30°，BD＝2， ∴∠CBP’＝30°， 即点P’的运动轨迹为直线BP’， ∴当D P’⊥B P’时，EP’最短， 此时，EP’＝+ED＝+2＝3 ∴EP’的最小值是3 策略二：反向旋转关键点构造手拉手代换所求线段 将点E绕C点顺时针旋转60°得到点G，连接PG，CG，EP’ 由旋转可得EC＝ CG， CP＝CP’，∠P’CP＝60°，∠ECG＝60°， ∴△ECG是等边三角形，EG＝2 ∵∠PCP’＝∠ECG ∴∠PCG＝∠EC P’ ∴△GCP≌△ECP’(SAS)， ∴EP’＝GP， 过点G作AD的垂线GH垂足为H，GH即为所求． ∵∠GEC＝∠ACD ∴HE∥DC ∵∠GHD＝∠ADC ∴HG∥DC 故G，E，H三点共线，则有HE∥DC 又E是AC中点，分线段成比例可知H是AD中点 ∴HE＝ ∴EP’的最小值是3 总共提到了3种处理方式： 1.找始末，定轨迹 2.在轨迹上找一点旋转，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹. 3.反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段，即逆向构造. 【例题1】（八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为(0，2)，点B为x轴上的动点，以AB为边作等边三角形ABC，当OC最小时点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意，先求得点位于轴上的点的坐标，再求得在轴上的坐标，进而求得点所在的直线解析式，根据点到直线的距离垂线段最短求得的值，进而确定点的位置，设点的坐标，根据勾股定理即可确定的坐标． 【详解】如图，当点运动到如下位置时，点位于轴上， 是等边三角形 点A坐标为(0，2)， 此时 如图，当点运动到如下位置时，点位于轴上， 是等边三角形， 此时 设直线的解析式为 则 解得 直线的解析式为 当取得最小值时， 设直线交轴于点 点在直线上，设 则 即 解得 当时， 【例题2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点是轴上的一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，连接．则长度的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】作轴且，连接，延长交轴于，求出点坐标为，点坐标为，得出，得出点，设点，则，证明得出，，得出，，三点共线，从而得到，得出，再由勾股定理表示出，即可得出答案． 【详解】解：如图，作轴且，连接，作轴于， ， 直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则，解得，令，， 点坐标为，点坐标为， ， 轴， ，， 点坐标为， 设点，则， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，，三点横坐标相同，都为， ，，三点共线， ， ， 点是线段的中点， ， ， ， 当即时，最小，为， 的最小值为 【巩固练习1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接，过点作．若轴上的一点，连接，当点在轴上移动时，的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判断与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质得出点C的运动轨迹是解本题的关键．本题过点作轴于点D，根据“”证明，从而得到，进而得出点在平行于x轴与x轴距离为8的直线上运动，则当垂直于这条直线时，最短，求解即可． 【详解】解：过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 点在平行于轴与轴距离为8的直线上运动， 如图：当垂直于这条直线时，最短，此时， 【巩固练习2】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图．直线经过第一象限内的定点，点是轴正半轴上的一个动点，连接．把线段绕点顺时针旋转至线段（且），连接、、，周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的图象及性质，三角形的全等的判定和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质等，证明， 求出点的坐标，则点在直线上，作关于直线的对称点， 当点、 、三点共线时， 周长最小， 即可求解，熟练掌握一次函数的图象及性质，利用三角形全等推导边与角的关系是解题的关键． 【详解】如图， 设点，点，而点，过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点， ∵， ∴ 而, ∴，而， ∴ ∴， 即，， 解得：，， 则， 即点在直线上， 如图，设直线交轴交于点， 作点作直线的对称点，当点、、 三点共线时，最小，即周长最小， 由直线 的表达式知，该直线与轴的夹角为 ，则为等腰直角三角形，则，故点， ∴，， 则周长的最小值为 【巩固练习3】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，是边长为6的等边的高，E为上的动点，以为边长在的右上方作等边，连接，则的周长的最小值是 ．    【答案】 【分析】如图：连接,证明，得，可知点F在外，使的射线上，根据将军饮马型，求得的最小值即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，是高， ∴， 过C点作，交的延长线于点G，延长到H，使得，连接，与交于点I，连接，则， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，的值最小为：， ∴的周长的最小值为． 故答案为：．    【巩固练习4】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，已知，点在射线上，平移线段至线段，连接，以为底边向右作等腰直角三角形，连接，则周长的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】过点F作的平行线，交射线于点G，交并延长与点H，作点B关于的对称点，得到，，根据是等腰直角三角形，得到，为定值，当点D，F，三点共线时，周长有最小值为，证明，得到，再证明四边形是矩形，得到，，进而得到，利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点F作的平行线，交射线于点G，交并延长与点H，作点B关于的对称点，则，，    是等腰直角三角形， ， 为定值， 当点D，F，三点共线时，周长有最小值为， ， ，， ， ， ， 由题意得：， 四边形是矩形， ，， ， ，即， ， 在中 ， 周长的最小值为 【巩固练习5】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，， 点D、E分别是上动点，且， 连接， 则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、勾股定理等知识，作，使点F与点在直线的异侧，且，连接，可证明，由，，求得，由，且，，得，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作，使点F与点在直线的异侧，且，连接， ∴， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵，且，， ∴， ∴的最小值为 【题型5】逆等线问题（拼接挪移） 通过拼接和挪移线段，求解最值问题 一、什么是逆等线段。 两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等,那么这两条始终相等的线段称为逆等线段。 二、解题步骤: 1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形。(图中本身就有的三角形，不要添加辅助线以后构成的三角形) 2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变。 3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长，与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角。 4.问题转化为将军饮马问题求最值。 【模型解读】 △ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线，就是怎么别扭怎么来。 一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。 观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。 这样解释很笼统很枯燥，我们以具体例题来描述 如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 分析思路： ① AD在△ADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个 也叫做一边一角造全等。 ② 即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等） ③ 构造出△ADC≌△CEF ( SAS),证出EF=CD ④ CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求 此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值 ⑤ 求BF 【例题1】在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查两点之间线段最短、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键． 如图作，使得．作交的延长线于．首先证明，可得，推出的最小值为的长． 【详解】解：如图作，使得．作交的延长线于，连接． ， ， ，， ， ， ， 的最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中， ，， ，， ∴， 在中，． 【例题2】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为 ，的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件求得各边数据，然后根据已知一边一角，构造全等三角形，当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点，进而勾股定理即可求解；对于，构造等边三角形，进而即可求解． 【详解】如图所示，过作交的于， ∵，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴ 如图所示，作且，连接，， ∵ ∴ ∴ ∴， 当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ 在中，， ∴ ∴，即的最小值为； 如图所示，作关于的对称点，连接,则 ∵则 ∴， ∵对称， ∴ ∴都是等边三角形， 连接， ∵， ∴，则， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴当在上时，， 如图所示 此时取得最小值，最小值 【巩固练习1】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，E为线段上一动点（点E不与B，C重合），F为线段上一动点（点F不与A，C重合），且始终满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．作，过点D作，且使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，当三点共线时，有最小值，过点B作，交的延长线于点N，则四边形是正方形，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：作，过点D作，且使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值， 过点B作，交的延长线于点N，则四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ 【巩固练习2】（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为 ；的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理；过点作，使得，过点作于点，连接，证明得出，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长，延长至使得，连接，则进而勾股定理，即可求解； 【详解】解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接， 在中， ， ∴， ∴， ∴，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 如图所示，延长至使得，连接，则， ， ∴ 【巩固练习3】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立直角坐标系，分别为线段和线段上一动点，且．当的值最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最短路线问题，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题，过点作，使，连接，可证明，得到，即得，可知当三点共线时，的值最小，此时，点为线段与线段的交点，再利用待定系数法分别求出线段的函数解析式，联立两函数解析式得到方程组，解方程组即可得到点的坐标，确定出点的位置是解题的关键． 【详解】解：过点作，使，连接，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 此时，点为线段与线段的交点， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设线段的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴线段的函数解析式为， 设线段的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴线段的函数解析式为， 联立函数式得，， 解得， ∴点的坐标为 【巩固练习4】（24-25八年级上·广东深圳·期中）在中，， 点D、 E在边上，且，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 如图，作，使得．作交的延长线于G．证明，则，，的最小值为的长，由，可得，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作，使得．作交的延长线于G． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为的长， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，． 【巩固练习5】在中，，，，点，分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，最短路径问题． 过点B作，使得，连接，，先证明，得到，则，当点A、Q、M三点共线时，，利用勾股定理求出的长度，即可得到答案． 【详解】如图，过点B作，使得，连接，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点A、Q、M三点共线时，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为． 【巩固练习6】（24-25八年级上·广东深圳·期中）在中，，，， 点N， M分别是边和上的动点， 始终保持， 连接，， 则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关定理得出当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键，过点C作，使，连接，根据勾股定理求出，，证明，得，所以，当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∴的最小值为 【巩固练习7】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，平分交边于点D，．在边上取一点E，连接，将线段平移后得到线段，连接，则线段的长的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，过点D作于点M，于点N，过点A作于点G，过点F作于点T，连接，求出的值，可得结论． 【详解】如图，过点D作于点M，于点N，过点A作于点G，过点F作于点T，连接， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴的最小值为 【题型6】胡不归问题 涉及时间最短或路径最短的几何问题，通常通过构造特殊角度的直角三角形来求解 胡不归模型讲解 如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． ，记，即求BC＋kAC的最小值． 构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC． 将问题转化为求BC＋CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC＋CH取到最小值，即BC＋kAC最小． 【例题1】（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，在长方形中，，，点在上，连接．当时，的长为 ；在点的运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 / / 【分析】当时在中，由勾股定理列出的方程便可求得； 在线段下方作，过点E作于点F，连接，求出此时的的长度便可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 当时，则， ∵， ∴， ∴； 在线段下方作，过点E作于点F，连接， ∴， ∴， 当D、E、F三点共线时，的值最小， 此时， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为：， ∴的最小值为． 故答案为：；． 【巩固练习1】如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则 ． 【答案】 【详解】解：作，过M作交于一点即为点P， ∵， ∴， ∴， ∴当时的值最小， ∴在中，, 故答案为； 【巩固练习2】如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．证明BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，再根据B′H≥B′F，求出B′F即可解决问题． 【详解】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H． 与x轴交于点C，与y轴变于点A， 令x=0，y=，令y=0,得x= ∴A（0，），C（，0）， ∴OA＝，OC＝， ∴AC==2OA， ∴∠ACO＝30°， ∵EH⊥OC， ∴EH＝EC， ∵BB′＝DE，BB′∥DE， ∴四边形DBB′E是平行四边形， ∴BD＝B′E， ∵BM∥AC， ∴∠BMC＝∠ACO＝30°， ∵∠BCM＝90°，BC＝， ∴BM＝2BC＝3， ∴B′M＝1＋3， ∵∠MFB′＝90°， ∴B′F＝MB′＝， ∵BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F， ∴BD＋EC≥， ∴BD＋EC的最小值为 2 / 198 学科网（北京）股份有限公司 $$