精品解析：北京市陈经纶中学嘉铭分校2024—2025学年上学期12月月考九年级数学试卷

初三数学12月月练习 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. 4. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（　　） A. 30° B. 45° C. 90° D. 135° 5. 如图，是的直径，C，D两点在上，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为； ②若点在这个二次函数图象上，则；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为； ④当时，，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 7. 如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ） A. ﹣ B. ﹣ C. π﹣ D. π﹣ 8. 下面的四个问题中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. 汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程与行驶时间 B. 当电压一定时，通过某用电器的电流与该用电器的电阻 C. 圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积与底面圆的半径 D. 用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积与一边长 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，如果 AB=8，OC=3，那么⊙O的半径等于_________． 10. 某厂家2022年1~5月份的某种产品产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程______． 11. 请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是____________． 12. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留） 13. 如图，点P是等边三角形内一点，将绕点C逆时针旋转得到，连接，若，下列结论：①；②；③，其中一定成立的是______（填序号）． 14. 某游乐园的摩天轮（如图1）有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心O顺时针方向转动，转一圈为18分钟．从小刚由登舱点P进入摩天轮开始计时，到第6分钟时，他乘坐的座舱到达图2中的点______处（填A，B，C或D），此点距地面的高度为______． 15. 十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 可以估计出针与直线相交的概率为________（精确到），由此估计的近似值为________（精确到）． 16. 我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形，中心为O，在矩形外有一点P，，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为__________． 三、解答题（共10题，17题4分，18-23题每题5分，24-26题每题6分．） 17. 解方程：． 18. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （2）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果方程有一个根为正数，求的取值范围． 20. 下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：点A在上． 求作：的切线． 作法： ①作射线； ②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D； ③分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B； ④作直线． 则直线即为所求作的的切线. 根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：连接，． 由作图可知， ， ． ∴ ． ∵ 点A在上， ∴直线是的切线( ) (填写推理依据) ． 21. 在一次试验中，每个电子元件的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等．用列表或画树状图的方法，求图中A，B之间电流能够通过的概率． 22. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手到陆的过程中，它的直高度y（单位：m）与水距x（单位：m）近似满足函数关系． 小明进行了两次掷实心球训练． （1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 根据上述数据， ①实心球竖直高度的最大的值是________m； ②求出函数解析式________； （2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的陆点的水平距离为，则________（填“”，“”或“”） 23. 如图，是的直径，，是弦，过点作交于点，过点作的切线与的延长线交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）如果，，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求的值； （2）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （3）点，，在抛物线上，若，求的取值范围． 25. 如图，，点A在上，过点A作的平行线，与的平分线交于点B，点C在上（不与点O，B重合），连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）直接写出线段与之间的数量关系，并证明； （2）连接并延长，分别交，于点E，F．若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将图形M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形． 已知点． （1）若点P的坐标是，直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标________； （2）若点A 关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）； （3）已知的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在上且不与点A重合． 若线段，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，求此时 P点坐标及点B的纵坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学12月月练习 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：选项A、B、C的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 2. 不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分享】直接由概率公式求解即可． 【详解】解：∵袋子中装有1个红球，3个绿球，每个球被摸到的概率相同， ∴从不透明的袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键． 3. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程是解题的关键． 4. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（　　） A. 30° B. 45° C. 90° D. 135° 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理求解． 【详解】解：设小方格的边长为1，得， OC=，AO=，AC=4， ∵OC2+AO2==16，AC2=42=16， ∴△AOC是直角三角形， ∴∠AOC=90°． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，正确掌握勾股定理逆定理的计算方法是解题的关键． 5. 如图，是的直径，C，D两点在上，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理．由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得的度数．由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角求得的度数，进而即可求得的度数． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为； ②若点在这个二次函数图象上，则；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为； ④当时，，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据待定系数法，可判断①，根据二次函数的图像的对称性可判断②③，根据二次函数的图像，可直接判断④． 【详解】解：由二次函数图像可知：，把（0，8）代入得：， 解得：，即：，故①错误； ∵点A(6，m)，在这个二次函数图象上， 又∵抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为：直线x=2，且2-(-1)＜6-2， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为：直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(8，0)， ∴该二次函数图象与x轴的另一个交点为，故③正确； 由二次函数的图像可知：当时，，故④错误． ∴正确结论的序号是：②③， 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，是解题的关键． 7. 如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ） A. ﹣ B. ﹣ C. π﹣ D. π﹣ 【答案】B 【解析】 【详解】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBFD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可． 解： 连接BD， ∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°， ∴∠ADC=120°， ∴∠1=∠2=60°， ∴△DAB是等边三角形，∠3+∠5=60° ∵AB=2， ∴△ABD的高为， ∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°， ∴∠4+∠5=60°， ∴∠3=∠4， 设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H， 在△ABG和△DBH中， ∴△ABG≌△DBH（ASA）， ∴四边形GBFD的面积等于△ABD的面积， ∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD=﹣×2×=． 故选B． 8. 下面的四个问题中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. 汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程与行驶时间 B. 当电压一定时，通过某用电器的电流与该用电器的电阻 C. 圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积与底面圆的半径 D. 用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积与一边长 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象和函数关系式，理解题意是解题的关键．根据每个选项的意义，找出它们之间的函数关系，逐一判断． 【详解】解：A．汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程是行驶时间的一次函数，图象应该是线段，故A不符合题意； B．当电压一定时，通过某用电器的电流与该用电器的电阻成反比例关系，图象应该是双曲线的一支，故B不符合题意； C．圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积与底面圆的半径成二次函数关系，开口向上，故C不符合题意； D．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积与一边长成二次函数关系，开口向下，故D符合题意； 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，如果 AB=8，OC=3，那么⊙O的半径等于_________． 【答案】5 【解析】 【详解】解：连接OA， ∵OC⊥AB，CO过圆心O， ∴AC=BC=AB=4， 在Rt△OAC中， ∵ OC=3，AC=4， ∴AO=5， 故答案为：5． 【点睛】考点：1．垂径定理；2．勾股定理． 10. 某厂家2022年1~5月份的某种产品产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，观察函数图象，找出该厂家2月及4月的口罩产量，再利用该厂家4月份的口罩产量该厂家2月份的口罩产量（增长率），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：， 故答案为：． 11. 请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是____________． 【答案】0，（答案不唯一，即可）． 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c的取值范围即可得到答案． 【详解】解：因为方程有两个不相等的实数根， 所以 解得 故答案为：0，（答案不唯一，即可） 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 12. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案． 【详解】连接OC、OD， ∵分别与相切于点C，D， ∴， ∵，， ∴， ∴的长=（cm）， 故答案为：． 【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键． 13. 如图，点P是等边三角形内一点，将绕点C逆时针旋转得到，连接，若，下列结论：①；②；③，其中一定成立的是______（填序号）． 【答案】①② 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据“SAS”可证，则①正确，根据三角形内角和定理可判断②． 【详解】∵是等边三角形 ∴， ∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 故①正确 ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ 故②正确 ∵的度数不确定， ∴的度数不确定，即的度数不确定． 故③错误 故答案为①② 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 14. 某游乐园的摩天轮（如图1）有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心O顺时针方向转动，转一圈为18分钟．从小刚由登舱点P进入摩天轮开始计时，到第6分钟时，他乘坐的座舱到达图2中的点______处（填A，B，C或D），此点距地面的高度为______． 【答案】 ①. B ②. 78 【解析】 【分析】本题考查了圆的半径相等，勾股定理，旋转的性质，连接，由图2知，，而，故到第6分钟时，他乘坐的座舱到达图2中的点B处，过B作于F，过O作于E，则四边形是矩形，于是得到，，再由，得到，最后根据底座到底面的高度可得点C距地面的高度为． 【详解】解：连接， 由图2知，，而，故到第6分钟时，他乘坐的座舱到达图2中的点B处， 过B作于F，过O作于E， 则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵底座到底面的高度， ∴点C距地面的高度为， 故答案为：B，78． 15. 十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 可以估计出针与直线相交的概率为________（精确到），由此估计的近似值为________（精确到）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率及近似数的计算，理解题意是解题关键．根据频率估计概率即可；然后将其代入公式计算即可． 【详解】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，相交频率接近于0.318， 相交的概率为0.318； ， ， ， 解得：， 故答案为：0.318；3.14 16. 我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形，中心为O，在矩形外有一点P，，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分别求出当过的中点E时，此时点P与矩形上所有点的连线中，；当过顶点A时，此时点P与矩形上所有点的连线中，；当过顶点边中点F时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，即可求解． 【详解】解：如图，当过的中点E时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，， ∴； 如图，当过顶点A时，此时点P与矩形上所有点的连线中，， 矩形，中心为O， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当过顶点边中点F时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，， ∴； 综上所述，点P到矩形的距离d的取值范围为． 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，根据题意得出临界点时点d的值是解题的关键． 三、解答题（共10题，17题4分，18-23题每题5分，24-26题每题6分．） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【详解】解：方法一、， 移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 方程的解为：，； 方法二、 其中，，， ， ，即， 方程的解为：，； 方法三、， 因式分解得：， 或， 方程的解为：． 18. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （2）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1） 画出函数图象，如下图： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）先确定抛物线的顶点坐标，再求出抛物线与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象； （2）直接观察图象，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，， 解得：． 【小问2详解】 解：观察函数图象得：当时，的取值范围为． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果方程有一个根为正数，求的取值范围． 【答案】（1）证明： 无论m取何值，， ∴方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式及完全平方式的非负性，即可证得结论； （2）首先解一元二次方程，再根据根的情况，利用不等式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由原方程得：， 解得，， ∵方程有一个根为正数，， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根据根的情况求参数，完全平方式的非负性，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解方程的方法是解决本题的关键． 20. 下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：点A在上． 求作：的切线． 作法： ①作射线； ②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D； ③分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B； ④作直线． 则直线即为所求作的的切线. 根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：连接，． 由作图可知， ， ． ∴ ． ∵ 点A在上， ∴直线是的切线( ) (填写推理依据) ． 【答案】（1） 补全图形如图所示， （2）；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【解析】 【分析】（1）依据题意，按步骤正确尺规作图即可； （2）结合作图，完成证明过程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：连接，． 由作图可知， ，． ∴， ∵ 点A在上， ∴直线是的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线， 故答案为：；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【点睛】本题考查了尺规作图能力和切线的证明；能够按要求规范作图是解题的关键． 21. 在一次试验中，每个电子元件的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等．用列表或画树状图的方法，求图中A，B之间电流能够通过的概率． 【答案】． 【解析】 【分析】此题考查了树状图法或列表法求概率．正确画出树状图或列表是解题的关键，注意概率等于所求情况数与总情况数之比．通过列表得出共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：用表列出所有可能出现的结果： 元件2 元件1 通电 断开 通电 （通电，通电） （通电，断开） 断开 （断开，通电） （断开，断开） 由表可以看出，所有可能出现的结果共有4种，每种结果出现的可能性相等，其中电流能够通过的有1种， 所以（电流能够通过）． 22. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手到陆的过程中，它的直高度y（单位：m）与水距x（单位：m）近似满足函数关系． 小明进行了两次掷实心球训练． （1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 根据上述数据， ①实心球竖直高度的最大的值是________m； ②求出函数解析式________； （2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的陆点的水平距离为，则________（填“”，“”或“”） 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，读懂题意是解题的关键． （1）①根据表中的数据找出顶点坐标即可； ②用待定系数法求函数解析式； （2）分别将代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用表示出和进行比较即可． 【小问1详解】 解：①根据表格中的数据可得竖直高度的最大值是， 故答案为：； ②由①可知，顶点坐标为， 故函数关系为， 把代入得， ， ， 故函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知函数解析式为， 当时，（负值舍去）， ， 在中， 令得， 解得（负值舍去）， ， ， ． 23. 如图，是的直径，，是弦，过点作交于点，过点作的切线与的延长线交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接OC， ∵是的切线， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵点C在⊙O上， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可证明是的垂直平分线，从而得出，进而证明，可得到，进一步得出结果； （2）可证明，进而得出，在中求出，进而得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∴． 【点晴】本题考查了圆周角定理及其推论，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求的值； （2）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （3）点，，在抛物线上，若，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． （1）将点代入抛物线解析式计算即可； （2）结合（1）中的结果，将抛物线解析式化为顶点式即可求解； （3）分两种情况讨论：①当时，可知点，，从左至右分布，根据可得，根据可得，即可求解；②当时，即，即有，可得，与题意不符，舍去. 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）得抛物线的表达式为， 即， ∴抛物线的对称轴为； 【小问3详解】 ①当时， 可知点，，从左至右分布，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 根据可得， ∴， 根据可得， ∴， ∴； ②当时，即， ∵， ∴，不符合题意. 综上，m的取值范围为． 25. 如图，，点A在上，过点A作的平行线，与的平分线交于点B，点C在上（不与点O，B重合），连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）直接写出线段与之间的数量关系，并证明； （2）连接并延长，分别交，于点E，F．若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 线段与的数量关系为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 证明：由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） ，证明如下： 如图，在上截取使，连接， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 如图，作于点K， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由平分，可得，由，可得，则，进而可得；由旋转的性质可得，，由，可得，则，，证明，则，进而结论得证； （2）如图，在上截取使，连接，由，可得，证明，则，，由，可得，则，即，，，由，可得，如图，作于点K，由，可得，，则即，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，旋转，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，余弦等知识．解题的关键在于熟练掌握知识并灵活运用． 26. 在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将图形M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形． 已知点． （1）若点P的坐标是，直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标________； （2）若点A 关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）； （3）已知的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在上且不与点A重合． 若线段，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，求此时 P点坐标及点B的纵坐标的取值范围． 【答案】（1） （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点D，可证得，从而得到，即可求解； （2）根据题意得：点P位于x轴的下方，设点P的纵坐标为m，过点P作轴于点E，过点作轴交延长线于点F，坐标为m，表达点的坐标，可得出结论； （3）由（2）可知，点的坐标，由A关于点P的二次关联图形在上且不与点A重合可得出点的坐标，由线段，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，找到临界点，可得出的坐标，进而可得出点B的坐标，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 如图1，根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点D， ∴ 由旋转可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点和关于直线对称， ∴点， 即点A关于点P的二次关联图形的坐标为； 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意得：点P位于x轴的下方， 设点P的纵坐标为m， 如图，过点P作轴于点E，过点作轴交延长线于点F， 由（1）得： ， ∴， ∴， 根据题意得：点A和点关于直线对称， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 【小问3详解】 解：设点P的纵坐标为n， 由（2）得：， ∴， ∵在上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点P的坐标为， ∵，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在及其内部， 此时点是一个临界点，连接，如图， ∵， ∴是等边三角形， 过点作轴于点M，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 由对称性得：另一个点的坐标为， ∴的取值范围为． 【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，圆的定义等相关知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $