四川省达州市2024-2025学年高三上学期第一次诊断性测试数学试卷

达州市普通高中2025届第一次诊断性测试 数学参考答案 一、单项选择题 1.C 2.A3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 二、多项选择题 9.AB 10.AC 11.BCD 三、填空题 12.-2 13.90 14.23 216 四、解答题 15.解：(1)当n=1时，S,=4=2, 当n≥2时，S1=0n-1)2+-1)=n2-n, a =S,-S=2n, 当n=1时，a=2=2×1, ∴.a=2n 科学研究所 12=364 设等比数列的公比为q,由题得 4=8 解得b=2,q=2, ∴.bn=2m. (2)由(1)知c4 2 2(n+1n n(n+1)nn+1 T=c+c2+c3++C 7=1-1+1111 11 22334 nn+l 11 n+1 ∴.Tn=1- n+1n+1 16.解：(1)在△ABC中由正弦定理得a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C, 代入已知化简得，sin AcosC+cos Asin C=sin Bsin(A-C), .sin(A+C)=sin Bsin(A-C). 又：在△ABC中有A+C=元-B, .'sin(A+C)=sin(-B)=sin B, 即sinB=sin Bsin(A-C). 又，在△ABC中有sinB>0,-π<A-C<π， in(4-C)=l,A-C=元 ·A=C+ 2 第1页共4页 (2)由正弦定理得snC=C=2=5 2W5255 由(1)知0<C<7,cosC= 2W5 ，inA=sm(5+C9=coC= W5 又'8imA=a=25 255,a=4. 又：iB=in(4+9=in+29）=cos2C=1-2sm2C- 5 2acsim B= ·△ABC的面积S=1a *4x2×312 科学研究所 55 17.解：(1)如图，连接AC交BD于点O,∴.AC⊥BD 连接PO,根据正四棱锥的性质知PO⊥平面ABCD, 即PO为正四棱锥的高，∴.PO=√2， 又：r=×AB×P0=×4B×2=4 3 3 解得AB=2. 易知OA,OB,OP互相垂直， ,∴建立如图所示的空间直角坐标系O一 P(0,0,V2),A(N2,0,0),D0,-V2,0) 设平面PAD的法向量m=(x,y,): m·PA=0,「x-2=0, m.DA=0x+y=0 令x=1,则y=-1,2=1, ∴平面PAD的一个法向量=(L,-1,1). 又，OA⊥BD,OA⊥PO,BD∩PO=O, ∴.OA⊥平面PBD. ∴.平面PBD的一个法向量n=(1,0,0), ,c0s<m,>= m·n】V5 1mn√33 六平面PAD与平面PBD的夹角的余弦值为 3 (2)由(1)知PA=2,AB=AD=2,AC=2√2 由题知2秒后该蚂蚁等可能在点A,B,，C,D,记2秒后该蚂蚁与点A的距离为X, 则d的所有可能取值为0,2,2√2， “PX=0)= 1.11 P(X=2)=二+ 4 47,PX=22)= 442 4 ∴.X的分布列为： 0 2 22 4 2 4 第2页共4页 a0=0+2x+25<}149 18.解：(1)f(m=(x-1)2+2(x+10x-1)=(x-103x+1), 令国>0，解得<兮成 “f)在(0，宁上单调递增，在（行）上单洞速减，在0+)上单调递增， :通数网的限大值为水的 ,极小值为f0=0 a今约=f树-g6的=f-ahx,到=3生a>0.x>9 又x>0,0<a≤3e, 六国在Q学上单阔莲减，在（写，回）上单调递啦 ≥学到号号0-h学 3 :0<a≤3e,∴0< ≤e,0<ng≤1， 3 3 ÷号0-h学≥0.即当0<a≤时，之0恒成 当0<a≤3e时，f()≥g(). (3)设F(6)=g(w+1=alnx-x2-x+2,F'(w)=-2x-1 ①当a≤0时，F'(x)<0在(0，+n)上恒成立，F(x)在(0，+o)上单调递减 即对任意x∈(0,1)的都有F(x)>FI)=0与F(x)≤0矛盾， ∴a≤0不满足题意. ②当a>0时，F'(G)=a-2x-x= -2x2-x+a 设d(x)=-2x2-x+a,A=1+8a>0, 关于x的方程d0有两根，飞=1+8<0，飞=-1++80>0， 4 4 得>0前解为0<x<5,即F)在Q)上单调递棉，在怎，回上单调道边 ·F()≤F(x)=anx-x2-x+2. d(x)=-2x2-x2+a=0, a=2x2+x,F(x)=(2x2+x)血x2-x22-x+2. F'(x)=(4x+)nx>0的解为x>1,即F(x)在(0，)上单调递减，在Q,+)上单调 递增， F(x)≥F0)=0, 只有当飞，=1时，即-1++8=1,4=3时才满足题查 4 实数a的值为3 第3页共4页 x= 19.解：()设曲线M'上任意点(x,),由 X=3x,得 3 y'=2y 2 又+y=l,六+=1，即M的方程为 +=1 94 94 回：r+ x=1x, :京+示1a>b>0),点Hx),1通过变换m: a 得到 = r+=1,H停2.1 曲线r':x2+y2=1在点H'(点，)处的切线为1. a'b 当1的斜率存在时，k= 线去翔为-=-(-)，又xa 研究所 b ayo a 即y-业=-血心玉)，+=+ bb avo aa a a 切线方程为1：空+=10， a B2 当1的斜率不存在时， 业=0,1：x=名也满足方程①， b 1的方程为： r+%y=1 a B2 y=x, 3)由x2y2 P 2i 由(2)知曲线E在点P处的切线1：6+=1， 6i 3 即1：x+2y=√6i 由+2=a. 得3x2-2W6ix+2i-4=0,△=4√5 x2+2y2=2i+0 设l与E1的交点分别为M(,),,(c2y) 26i .:+x2= 99 25 3 第4页共4页达州市普通高中2025届第一次诊断性测试 数学试题 (本试卷满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号用05毫米的黑色签宇笔填写在答题 卡上，并检查条形码粘贴是否正确。 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色 签字笔书写在答题卡的对应题框内，超出答题区城书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答 题无效。 3考试结束以后，将答题卡收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合M={x|-1<x<3},若PUM=M,则集合P可以为 A.3} B.[-11] C.(0,3) D.[-1,3] 2.以双曲线-上=1的右焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程为 3 A.(x-2)+y2=4 B.(x+2)2+y2=4 C.(x+2)2+y2=2 D.(x-2)2+y2=2 3.已知a为直线y=2x-1的倾斜角，则cos2a= B.-4 c. 4 D. 5 4.已知三个不同的平面a,B,y,且a⊥B,则y⊥B是a/1y的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知可导函数f(x)的部分图象如图所示，f(2)=0,f'(x)为函数f(x)的导函数，下 列结论不一定成立的是 A.f(1)<f(1) B.f'(2)=f(2) C.f'(4)<f(4) 12345 D.f'(3)<f'(4)<f'(5) 一诊数学试卷第1页（共4页） 猴国扫调全能王 6.如图，在正方体ABCD-AB,CD中，点P,Q,M,N,T分别为所在棱的中点，则 A.QN⊥BB B.QN/I平面BCC,B C.直线QW与PT为异面直线 D.、B,D⊥平面PMT 7.如图1，圆锥的母线长为3，底面圆直径BC=2,点D为底面BC的中点，则在该圆锥 的侧面展开图（图2）中DB.DC= A.-9 B.-9√5 2 c.9-95 D. 27-18V5 2 图1 图2 [-xe*-(x+a)2,x≤0， 8.已知函数f(x)= 的图象关于原点对称，则下列叙述错误的是 bxe*+cx,x>0 A.a+b+c=0 B.f(x)既有最小值也有最大值 C.f(x)有3个零点 D.f(x)有2个极值点 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.国家统计局7月15日发布数据显示，2024年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源 产业依靠持续的技术创新实现较快增长.某企业根据市场调研得到研发投入x(亿元)与 产品收益y(亿元)的数据统计如下，则下列叙述正确的是 x1234567 y2357889 8 6 4 A.元=4，y=6 B,由散点图知变量x和y正相关 01234567x C.用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为)=1.5x+0.5 D.收益y的方差为6 一诊数学试卷第2页（共4页） 欲猴百扫墙全能王 净订事水可内因名 10.(x)为函数f(x)的导函数，记为(x)=[f(x)订，依次类推(x)=[(x)],…, f(x)=[fn(x)](n≥2，n∈N),已知f(x)=sinx,an=f(x),数列{an}的前项 和为S,则 A.d2025=COSx B.S2025=sinx C存在长eN,使得S在[-之0]上单调递增 D.-1≤Sn≤1 11.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦 点.已知抛物线2=4x的焦点为F,O为坐标原点，从点P(x)(4x,>。2>0)发 出平行于x轴的光线经过抛物线上的点N反射后再经过抛物线上另一点M,则 A.存在点P使得点P,N,O,M都在以F为圆心的圆上 B.存在点P使得点F是△POM的垂心 C.存在点P使得点F是△POM的重心 D.点M到直线PN的最短距离为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若复数z=1-i是方程x2+ax+2=0(aeR)的一个根，则a= 13.二项式0-3x)"=a+a,x+…+anx,若|a+|4|+…+|an上1024，则a2=一 14.掷一枚质地均匀的骰子3次，将每次骰子正面朝上的数字依次记为x,y,z,则不等式 |x+y-z|+|x-y+z+|-x+y+zkK8成立的概率是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记数列{a}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n.数列}是等比数列，且3b=S,b=a4 (1)求数列{an},也}的通项公式： (2)记C.= ,求数列{cn}的前n项和Tn· a l0g2b 16.(15分)》 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a cos C+ccosA=bsin(A-C) 1)证明：A=C+: (2)若△ABC的外接圆半径为√5，且c=2,求△ABC的面积. 一诊数学试卷第3页（共4页） 猴田扫清全能王 17.(15分) 如图，已知正四棱锥P一ABCD的体积为 ,离为2 4v2 (1)求平面PAD与平面PBD的夹角的余弦值： (2)现有一蚂蚁从P点处等可能地沿各条棱向底面匀速移 动，已知该蚂蚁每秒移动1个单位，求2秒后该蚂蚁与点A的距 离X的分布列及期望： 18.(17分) 已知函数f(x)=(x+1)(x-1)2,g(x)=a1nx-x2-x+1,a∈R (1)求f(x)的极值： (2)证明：当0<a≤3e时，f(x)≥g(x): (3)若g(x)≤-1，求a的值. 19.(17分) 已知点P(y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换p: [x=2x,(2>0,的作用下， y'=y,(4>0) 点P(xy)对应到点P'(x,y),称p为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.如：y=si山x在 变换0： x=2乙的作用下得到y=2sin2x, y'=2y 0已知线M:F+y=1在p:纳作用下餐到雀线M心，来M的方程 x-Ix 已知踵圆工：+三=1（之b>0)换2：/ (2) 下保持位置关系不变性， 即点H在曲线厂上，在变换p下H'也在曲线'上；直线I与厂相切，在变换p下直线'与 也相切.已知点H为)是工：。+，=1(Q>b>0上一动点，直线/是T在H处的切 用上述结论求I的方程； 3)已知直线y=x与曲线E:+y=10=1,23,,n+)在第一象限的交点法 B,E,在P处的切线被E,所载得的弦长记为4，求∑a 一诊数学试卷第4页（共4页）】 欲猴巴扫清全能王