专题04 椭圆（11大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（黑龙江专用）

专题04:圆锥曲线之椭圆 经典基础题 题型01:根据已知条件求解椭圆的方程 1．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，B是圆（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 . 2．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型02:简单的焦点三角形问题 4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，点B为短轴的一个端点，则的周长为 ． 5．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 6．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，F是左焦点，则（      ）    A．16 B．18 C．20 D．22 题型03:简单的求解参数问题 7．（23-24高二上·黑龙江绥化·期末）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 8．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）已知椭圆的焦点为，点在椭圆上且，则点到 轴的距离为 ． 题型04:椭圆的离心率问题 9．（23-24·高二上·黑龙江佳木斯·期末）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为 . 11．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆（如图所示），若“切面”所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型05:简单的椭圆小综合 12．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为4 精选提升题 题型06:较复杂的焦点三角形问题 13．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率之积为，点是与的一个公共点，则（    ） A．双曲线的方程为 B． C．为等腰三角形 D．上存在一点，使得 14．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别是，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 ． 题型07:轨迹问题——椭圆 16．（23-24高二上·黑龙江·期末）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线，则方程表示的圆锥曲线为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 15．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知圆，圆，圆，圆，直线，则（    ） A．与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支 B．与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆 C．过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线 D．与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线 题型08:复杂的椭圆综合 17．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知椭圆，离心率，点为的左顶点，点为的右焦点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线（不与轴重合）与椭圆交于、两点，直线、分别交直线于，两点，线段中点为，的面积分别为，求的值． 18．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为．    (1)求椭圆C的方程； (2)过B作x轴的垂线交椭圆于点D． ①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． ②求面积的最大值． 19．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成面积为的三角形，且点在上. (1)求椭圆的方程； (2)如图，设是椭圆的左､右焦点，椭圆的一个内接平行四边形的一组对边分别过点和，求这个平行四边形的面积的取值范围. 题型09:椭圆的定值定点问题 20．（23-24高二上·黑龙江佳木斯·期末）如下图，已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点互不重合． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线，的斜率之和为定值． 21．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知椭圆的离心率为，点在上，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于点， (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率记为，求的值； (3)若，直线与在第一象限的交点为，点在线段上，且，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由. 题型10:椭圆的最值问题 22．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知动点在椭圆上，过点P作圆的切线，切点为M，则的最小值是 ． 23．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）椭圆与双曲线有相同的焦点，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，设为直线上不同于点的任意一点，连接线段交椭圆于点，连接线段并延长交椭圆于点. （i）证明：点B在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 题型11:复杂的求解参数问题 25．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，上顶点为，椭圆的焦距等于椭圆的短轴长，且的面积为1. (1)求椭圆的方程； (2)若动直线：交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标和面积的最大值；若不存在，说明理由. 所以当且仅当，时，面积取到最大值. 26．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是离心率为的椭圆：（）上任意一点，是椭圆的右焦点，且的最小值是1. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于，两点，若，求直线的方程. 27．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点A，B分别为椭圆E：（）的左、右顶点，点，直线BP交E于点Q，，且是等腰直角三角形． (1)求椭圆E的方程； (2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围． 28．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知椭圆的离心率为，点在上，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于点， (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率记为，求的值； (3)若，直线与在第一象限的交点为，点在线段上，且，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04:圆锥曲线之椭圆 经典基础题 题型01:根据已知条件求解椭圆的方程 1．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，B是圆（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 . 【答案】． 【知识点】利用椭圆定义求方程 【分析】根据椭圆的定义求轨迹方程． 【详解】由题意，在线段的垂直平分线上，则， 所以，又， 所以在以为焦点，长轴长为2的椭圆上， ，，，则， 所以轨迹方程为． 故答案为：． 2．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 【答案】(1)1 (2) (3)． 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆定义及辨析 【分析】（1）由焦点坐标求，由椭圆定义得即可求，从而得方程； （2）结合图形，已知点是长短轴的顶点，则可得； （3）设椭圆方程的简化形式，待定系数解方程组可得. 【详解】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且， 则， ∴椭圆方程为1； （2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和， 则，则椭圆的标准方程为； （3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点， 设其方程为， 则有，解可得， 则所求椭圆的方程为． 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面解析几何、根据离心率求椭圆的标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】设出椭圆方程，由题意可得，结合离心率以及的关系，可得出答案. 【详解】设椭圆的标准方程为，焦距为， 依题意有，解得，，∴椭圆的标准方程为， 故选：C． 题型02:简单的焦点三角形问题 4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，点B为短轴的一个端点，则的周长为 ． 【答案】18 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据给定条件，求出椭圆的长半轴长及半焦距即可得解. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距， 因此， 所以的周长为. 故答案为：18 5．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得是的中位线， ，可得Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项. 【详解】因为P是焦点为，的椭圆上的一点，为的外角平分线，，设的延长线交的延长线于点M，所以， ， 所以由题意得是的中位线，所以， 所以Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q与y轴重合时， Q与短轴端点取最近距离 故选：A.    6．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，F是左焦点，则（      ）    A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【知识点】椭圆的对称性、椭圆定义及辨析 【分析】设椭圆的右焦点为，且，根据椭圆的定义和椭圆的对称性，即可求解. 【详解】因为把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，， 设椭圆的右焦点为，且，可得， 由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得， 所以. 故选：B. 题型03:简单的求解参数问题 7．（23-24高二上·黑龙江绥化·期末）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据椭圆的定义且焦点在轴，列出相应方程组，从而可求解. 【详解】由题知表示焦点在y轴上的椭圆， 则有：，解得或，故D正确. 故选：D. 8．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）已知椭圆的焦点为，点在椭圆上且，则点到 轴的距离为 ． 【答案】 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c 【分析】设，根据题意，得到，联立方程组，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，所以，所以， 设，因为，可得， 又因为点在椭圆上，可得， 联立方程组，解得，即， 所以点到轴的距离为. 故答案为：． 题型04:椭圆的离心率问题 9．（23-24·高二上·黑龙江佳木斯·期末）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆方程求，，，再求离心率. 【详解】由椭圆方程可知，，所以， 椭圆的离心率. 故选：C 10．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】利用点差法整理中点坐标与斜率的关系，根据重心的定义，结合斜率公式以及离心率的定义，可得答案. 【详解】设的中点 则, 且,两式相减可得, 整理可得，则, 由题意可知共线则, 即，所以,解得, 椭圆C的焦距为，则离心率,解得. 故答案为：. 11．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆（如图所示），若“切面”所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】取过椭圆长轴与圆柱的轴在的截面，设圆柱的底面半径为，计算出椭圆的长轴长和短轴长，可取得的值，由此可求得椭圆的离心率. 【详解】取过椭圆长轴与圆柱的轴在的截面，如下图所示，设圆柱的底面半径为， 可知，截面为直角梯形，不妨设、为直角腰， 过点作，垂足为点，由题意可知，椭圆的短轴长为，则， “切面”所在平面与底面所成的角等于， 所以，，则，， 因此，该椭圆的离心率为. 故选：A. 题型05:简单的椭圆小综合 12．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为4 【答案】ACD 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】利用余弦定理可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用椭圆的定义可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项． 【详解】在椭圆中，，且， 对于A选项，当时，则为椭圆的上下顶点，故， 由余弦定理可得， 因为，所以，，A对； 对于B选项，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大， 所以，△面积的最大值为，B错误； 对于C选项，因为，即， 所以，C对； 对于D选项，由椭圆定义可知， 所以，当且仅当时取等号． 故选：ACD． 精选提升题 题型06:较复杂的焦点三角形问题 13．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率之积为，点是与的一个公共点，则（    ） A．双曲线的方程为 B． C．为等腰三角形 D．上存在一点，使得 【答案】ACD 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据a、b、c求双曲线的标准方程、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】先根据题目条件列出方程组求出双曲线方程，即可判断选项A；再利用椭圆和双曲线的定义判断选项B、C；先假设存在求出点满足条件，求出点的轨迹方程，联立方程组有解即可判断选项D. 【详解】 设，椭圆的半长轴为，半短轴为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为. 由椭圆可知：. 则， 所以，， 因为椭圆和双曲线的离心率之积为 所以双曲线的离心率为2， 则，解得， 所以双曲线的方程为，故选项A正确； 因为 则由双曲线定义可知：，故选项B错误； 根据对称性，不妨设在第一象限， 由椭圆和双曲线的定义可得：，解得，即， 所以为等腰三角形，故选项正确； 假设上存在一点，使得， 则点在以为直径的圆上， 联立方程，方程组有解， 所以上存在一点，使得，故选项D正确. 故选：ACD 14．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用、椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】设关于平分线的对称点为Q，结合角平分线的性质可得是正三角形，再运用椭圆定义求得，，根据三角形面积公式求的面积即可. 【详解】设椭圆的长半轴为，则 设关于平分线的对称点为Q， 由椭圆对称性及角平分线性质可知P，，Q三点共线且 又因为，所以是正三角形， 设， 由椭圆定义可得，， 又， 所以， 所以，即，， 所以的面积. 故选：C. 15．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别是，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由双曲线的离心率求参数的取值范围、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据椭圆和双曲线的定义、椭圆和双曲线的离心率公式，结合等腰三角形的性质，从而可得，进而可得到关于的表达式，构造函数，再根据函数在上的单调情况即可解得的取值范围． 【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为，，，， 由于是以为底边的等腰三角形， 由，即有，， 由椭圆的定义可得，由双曲线定义可得， 则，，相减可得， 即，得， 所以，， 显然在上单调递增， 所以， 所以的取值范围是． 故答案为：． 题型07:轨迹问题——椭圆 16．（23-24高二上·黑龙江·期末）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线，则方程表示的圆锥曲线为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、椭圆定义及辨析、轨迹问题——椭圆、平面解析几何 【分析】根据椭圆的定义及距离公式得出结果. 【详解】方程， 即为方程表示：动点到定点的距离与到定直线的距离的比为且小于1， 所以根据椭圆的定义得出其轨迹为椭圆. 故选：A 15．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知圆，圆，圆，圆，直线，则（    ） A．与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支 B．与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆 C．过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线 D．与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线 【答案】ABC 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、求双曲线的轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】根据几何关系确定，A正确，，B正确，根据抛物线定义知C正确，确定，得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：设圆心为，半径为，则，，故， 圆心轨迹是双曲线的一支，正确； 对选项B：设圆心为，半径为，则，，故， 圆心轨迹是椭圆，正确； 对选项C：设圆心为，半径为，故到定点和定直线的距离相等为， 圆心轨迹是抛物线，正确； 对选项D：设圆心为，半径为，则，，故， 在两圆外，圆心轨迹是两条射线，错误； 故选：ABC. 题型08:复杂的椭圆综合 17．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知椭圆，离心率，点为的左顶点，点为的右焦点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线（不与轴重合）与椭圆交于、两点，直线、分别交直线于，两点，线段中点为，的面积分别为，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）依题意可得，即可求出、，从而求出，即可得解； （2）当直线的斜率不存在直接求出，，当直线的斜率存在且不为，设直线为 ，，，联立直线与椭圆方程，可得根于系数的关系式，表示出、的坐标，计算，从而得到的坐标，求得，进而表示出，，计算的结果， 再求得的表达式，即可求得与之间的关系，即可得出结论. 【详解】（1）依题意，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）可得，， 若直线的斜率不存在，则直线为，此时、， 则为，令，可得，则，， 所以，， 所以，即， 若直线的斜率存在且不为，所以设直线为 ，，， 联立，得，显然， 则，， 直线的方程为， 令，得，所以， 同理，． 又 ，所以， 所以，所以，即， ， 又， 所以． 又为线段中点， 故 ， 所以，即， 综上可得.    18．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为．    (1)求椭圆C的方程； (2)过B作x轴的垂线交椭圆于点D． ①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． ②求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)①恒过定点；②. 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】（1）根据已知焦点三角形周长，由椭圆定义及其离心率求椭圆参数即可得方程； （2）①设直线AD为且，，，，联立椭圆方程，应用韦达定理并结合A，B，共线有，整理化简求参数m，即可确定定点；②由直线AD所过定点，结合并将韦达公式代入化简，应用基本不等式求面积最大值，注意取值条件. 【详解】（1）由题的周长，可得， 又，则，，故椭圆的方程为． （2）①由题，设直线AD为且，，，， 联立方程可得：，化简可得： ， 所以，， 因为A，B，共线，则有，化简可得， 即，化简可得恒成立． ∴，即直线AD的方程为恒过定点． ②设直线AD恒过定点记为， 由上，可得， 所以，· ， 令，则， 当且仅当，即时，取等号． ∴面积的最大值为． 19．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成面积为的三角形，且点在上. (1)求椭圆的方程； (2)如图，设是椭圆的左､右焦点，椭圆的一个内接平行四边形的一组对边分别过点和，求这个平行四边形的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由题意列出方程租，解方程组即可得出答案； （2）可设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理表示出的面积，椭圆的内接平行四边形的面积，再由基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意可知，解得 椭圆的方程为. （2）易知直线的斜率不为0.由（1）得，故可设直线的方程为， 联立消去并整理，得， 显然恒成立，. ， 连接， ， 椭圆的内接平行四边形的面积. 令，则. 设，易知在上单调递增， ，故平行四边形的面积取值范围是. 题型09:椭圆的定值定点问题 20．（23-24高二上·黑龙江佳木斯·期末）如下图，已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点互不重合． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线，的斜率之和为定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题 【详解】试题分析：（1）根据离心率为可得，把代入方程可得，又，解方程组即可求得方程；（2）设直线的方程为，整理方程组，求得，及参数的范围，由斜率公式表示出，结合直线方程和韦达定理整理即可得到定值. 试题解析：（1）由题意，可得，代入得，又，解得， ， 所以椭圆的方程为． （2）证明：设直线的方程为，又，，三点不重合，∴， 设，， 由得， 所以，解得， ，① ，② 设直线，的斜率分别为，， 则 （）， 分别将①②式代入（）， 得， 所以，即直线，的斜率之和为定值． 考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系. 【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查了方程的思想和考试与运算能力，属于中档题.求椭圆方程通常用待定系数法，注意隐含条件；研究圆锥曲线中的定值问题，通常根据交点与方程组解得对应性，设而不解，表示出待求定值的表达式，利用韦达定理代入整理，消去参数即可得到定值. 21．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知椭圆的离心率为，点在上，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于点， (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率记为，求的值； (3)若，直线与在第一象限的交点为，点在线段上，且，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由. 题型10:椭圆的最值问题 22．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知动点在椭圆上，过点P作圆的切线，切点为M，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、切线长 【分析】结合图形得，即求焦半径的最小值. 【详解】圆的圆心， 椭圆的焦点为，， 因为， 即求焦半径的最小值. 先证焦半径公式： 设是椭圆上任一点， 是椭圆的两焦点， 则 因为，所以，. 由焦半径公式知，则当时， 取得最小值， 则 . 故答案为：    23．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、基本不等式求和的最小值 【分析】设P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义结合勾股定理化简得到，再利用柯西不等式即可得解. 【详解】依题意，不妨设P为第一象限的交点，，则，    因为在中，，所以，即， 则，即， 所以，即， 由柯西不等式得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 此时满足，所以的最大值为. 故选：D. 24．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）椭圆与双曲线有相同的焦点，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，设为直线上不同于点的任意一点，连接线段交椭圆于点，连接线段并延长交椭圆于点. （i）证明：点B在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）6 【知识点】求椭圆中的最值问题、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据椭圆过的点求标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】 （1）根据双曲线方程的焦点可确定椭圆的焦点，再结合在椭圆上，利用待定系数法，即可求得椭圆方程； （2）（i）由椭圆对称性可知，不妨设，由此利用直线的方程联立椭圆方程，求得坐标，由此表示出的坐标，利用数量积的计算推出为钝角，即可证明结论； （ii）结合（i）求出四边形面积的表达式，利用换元法，结合构造函数，利用函数的单调性，即可求得答案. 【详解】（1） 由题知双曲线即，其焦点坐标为， 故椭圆的焦点为，，（c为椭圆焦半距）， 故可设椭圆的方程为，将点代入可得， 解得， 所以椭圆的方程为. （2） （i）由题意知，由椭圆对称性可知，不妨设，； 根据题意可知直线斜率均存在，且，； 所以直线的方程为，的方程为； 联立直线和椭圆方程得，消去可得， ，，解得， 则； 联立直线和椭圆方程得，消去可得； ，，解得，则； 则， ； 所以； 即可知为钝角，所以点B在以为直径的圆内； （ii）四边形的面积为 ， 设，则，当且仅当时等号成立； 又在上单调递增，所以， 可得， 所以时，四边形的面积最大为6，此时点的坐标为， 由对称性可知，即当点的坐标为或时， 四边形的面积最大，最大值为6. 题型11:复杂的求解参数问题 25．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，上顶点为，椭圆的焦距等于椭圆的短轴长，且的面积为1. (1)求椭圆的方程； (2)若动直线：交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标和面积的最大值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，，面积最大值为 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）根据椭圆中a、b、c几何意义与关系，结合的面积为1，列方程就可以求出a、b、c的值，得到椭圆的方程. （2）设点，，，将直线与椭圆方程联立得到方程根与系数的关系，结合得到与之间的关系，用换元法对关系式进行化简可求出的值得到点P的坐标，利用弦长公式和点到直线的距离公式分别求出弦长和点到直线的距离d关于的表达式，进一步求出面积关于的表达式，用换元法构造函数，利用函数的单调性求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意得，，① 由的面积为1，得，② 解得. 又，得， 所以椭圆的方程为. （2）存在，理由如下： 因为动直线：过定点在椭圆内，所以动直线与椭圆必相交， 设：，，， 联立方程， 消去得， 则，， 因为，， 若，则 整理得， 可得， 令，即， 所以， 所以对任意都成立， 则，解得， 即，可得，所以， 又因为， 点到直线：的距离， 则面积， 令，则， 可得， 易证在上单调递增，且时，，则， 可得，则， 所以当且仅当，时，面积取到最大值. 26．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是离心率为的椭圆：（）上任意一点，是椭圆的右焦点，且的最小值是1. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于，两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据弦长求参数、根据离心率求椭圆的标准方程、根据椭圆的有界性求范围或最值、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）先由离心率得到，，设，，表达出，结合最小值得到方程，求出，得到椭圆方程； （2）当过点的直线的斜率为0时不合要求，当过点的直线的斜率不为0时，设出方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式列出方程，求出直线方程. 【详解】（1）由题意得，，故， 又，故， 设，，则，即， ， 故当时，取得最小值，最小值为， 故， 则，椭圆方程为； （2）当过点的直线的斜率为0时，，不合要求， 当过点的直线的斜率不为0时，设为，    联立得， 恒成立， 设，则， 故， 故，解得， 故直线的方程为. 27．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点A，B分别为椭圆E：（）的左、右顶点，点，直线BP交E于点Q，，且是等腰直角三角形． (1)求椭圆E的方程； (2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围． 【答案】(1)； (2)或. 【知识点】根据韦达定理求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程、点与圆的位置关系求参数、数量积的坐标表示 【分析】（1）首先根据是等腰直角三角形和得到，，根据得到，再将代入椭圆方程即可得到答案. （2）设直线为，联立直线与椭圆得到，根据得到，根据原点位于以为直径的圆外，得到，再利用根系关系即可得到答案. 【详解】（1）因为是等腰直角三角形，，则， 设，由，得， 则，解得，即， 将代入椭圆方程得， 所以椭圆E的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，方程设为， 由消去y并整理得， 因直线与有两个交点，则，解得， 设，，， 由坐标原点位于以为直径的圆外，得，即， 又由 ，解得， 综上：，解得或， 所以直线l斜率的取值范围是或. 28．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知椭圆的离心率为，点在上，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于点， (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率记为，求的值； (3)若，直线与在第一象限的交点为，点在线段上，且，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)过定点，定点为 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由函数的离心率求得，得出椭圆的方程； （2）因为直线和直线都与圆相切,得出是方程的两根，根据根与系数关系得出结果； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立消去，得到关于的方程，是方程的根. 方程与直线方程联立，求出，由，求出为定值，得出结果. 【详解】（1）因为椭圆离心率所以，解得 所以椭圆方程为 （2）因为直线和直线都与圆相切 所以，即是的两根， 将两边平方，可得 所以. 又因为点在上， 所以点，即， 所以. （3）设直线的方程为，联立， 整理可得， 因为点在直线上，所以且， 所以 整理得：① 联立，可得所以， 又因为所以， 因为点在上所以，代入上式继续化简得， 所以. 由①可知，， 所以解得所以（此时点在第三象限，不合题意，舍去）， 所以直线过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $$