专题03直线和圆（10大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（黑龙江专用）

专题03:直线和圆 直线的经典基础题 题型01:用合适的形式求解直线方程 1．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）经过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）过点且与已知直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线：，则（    ） A．不过原点 B．的横截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 4．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知 (1)过点A作直线，交直线和直线于两点，A为线段的中点．求直线的方程； (2)若圆的圆心在直线上，圆经过点．求圆的方程． 题型02:求解直线的斜率和倾斜角 5．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，，则直线的倾斜角为（    ） A．30 B．60 C．120 D．150 6．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为（    ） A． B．2 C．3 D．2 7．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线过、两点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，，直线：（其中），若直线与线段有公共点，则直线的斜率的值可能是（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 10．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线l的倾斜角是 B．点到直线的距离是2 C．若直线，则 D．过与直线平行的直线方程是 题型03:求点到直线/直线到直线的距离 11．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A．1 B． C．3 D．4 12．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）下列结论错误的是（    ） A．过点，的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是6 13．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为，求直线的方程． 题型04:利用直线的位置关系求解参数 14．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知经过点和点的直线的方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 15．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线，其中，则（　 ） A．当时，直线与直线垂直 B．若直线与直线平行，则 C．直线过定点 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 16．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知直线与直线平行，则实数 ． 17．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线l经过点，且与直线平行． (1)求直线l的方程； (2)已知圆C与y轴相切，直线l被圆C截得的弦长为，圆心在直线上，求圆C的方程． 故圆C的方程为 圆的经典基础题 题型05:对圆的方程的形式的理解 18．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若 圆被直线平分，则圆的半径为 . 题型06:由圆的位置求解参数 20．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知圆与圆，若与有且仅有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型07:圆的弦长和中点弦 21．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）经过第一、二、三象限的直线：与圆：相交于，两点，若，则的最大值是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 22．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若直线与圆相交于A，B两点，则长度可能等于（    ） A．2 B． C． D．5 23．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）直线，圆，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆必有两个交点 C．直线与圆的相交弦长的最大值为 D．当时，圆上存在3个点到直线距离等于1 24．（10-11高一下·广东河源·开学考试）圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． (1)当时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 题型08:圆的最值和轨迹问题 25．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知直线交圆于两点，则的最小值为（    ） A．9 B．16 C．27 D．30 26．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知、、，且动点满足，则的最小值是 . 27．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点. (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程. 题型09:公共弦问题和切线问题 28．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知圆与圆，则两圆的公共弦所在的直线方程为 . 29．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若圆：与圆：相交于两点，则公共弦的长为 ． 33．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知的圆心为，且过点． (1)求的标准方程； (2)若直线与相切于点，求的方程． 30．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线和圆． (1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 直线和圆的综合 题型10:直线和圆的小综合 31．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知圆直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点．则下列说法正确的是（   ） A．四边形的面积最小值为 B．最短时，弦AB长为 C．最短时，弦AB直线方程为 D．直线AB过定点 32．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 33．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，直线：与：的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 B．已知点，，直线过且与线段相交，则其倾斜角的范围是 C．圆：与：恰有四条公切线，则 D．圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03:直线和圆 直线的经典基础题 题型01:用合适的形式求解直线方程 1．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）经过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】直接利用直线方程的两点式公式求解即可 【详解】由已知得直线的两点式方程为，即． 故选：D 2．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）过点且与已知直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】由垂直关系得到直线斜率，由点斜式写出方程即可. 【详解】∵直线的斜率，∴所求直线斜率， 故直线方程为，即. 故选：B． 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线：，则（    ） A．不过原点 B．的横截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 【答案】AC 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】根据直线方程的确定点是否再直线上可判断A，由横截距、斜率的概念可判断B，C，由横纵截距求解与坐标轴围成的三角形的面积可判断D. 【详解】已知直线：， 对于A，原点不满足直线方程，故不过原点，故A正确； 对于B，当时，，故的横截距为，故B不正确； 对于C，直线的方程可化为，则的斜率为，故C正确； 对于D，当时，，则与坐标轴围成的三角形的面积为，故D不正确. 故选：AC. 4．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知 (1)过点A作直线，交直线和直线于两点，A为线段的中点．求直线的方程； (2)若圆的圆心在直线上，圆经过点．求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知直线垂直求参数、直线两点式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）设，，结合中点坐标公式求，进而可求直线方程； （2）先求线段的垂直平分线方程，进而结合圆的性质求圆心和半径，即可圆的方程. 【详解】（1）设直线与直线交点，直线与直线交点， 由题意可得：，解得， 即， 所以直线的方程为，即. （2）由题意可知：直线的斜率，线段的中点为， 可知线段的垂直平分线方程为，即， 联立方程，解得， 可得圆的圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 题型02:求解直线的斜率和倾斜角 5．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，，则直线的倾斜角为（    ） A．30 B．60 C．120 D．150 【答案】B 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、已知两点求斜率 【分析】求出直线的斜率即得解. 【详解】解：由题得直线的斜率， 设直线的倾斜角为， 所以. 故选：B 6．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为（    ） A． B．2 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离 【分析】当直线2x－y＋3＝0的平行线与曲线相切时，切点到直线的距离即为所求. 【详解】将直线2x－y＋3＝0平移至与曲线y＝ln(2x－1)相切时， 切点到直线2x－y＋3＝0的距离为最短距离， 设与直线2x－y＋3＝0平行的直线方程为， 设切点为，， 解得到直线2x－y＋3＝0的距离为， 所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为. 故选：A. 7．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线过、两点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知两点求斜率 【分析】由两点间连线的斜率公式可求得直线的斜率. 【详解】由题意可知，直线的斜率为. 故选：D. 8．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线的倾斜角 【分析】直线倾斜角和斜率的关键即可得解. 【详解】由题意直线，可得斜率为， 设直线的倾斜角为，其中， 可得，所以，即直线的倾斜角为. 故选：A. 9．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，，直线：（其中），若直线与线段有公共点，则直线的斜率的值可能是（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】BC 【知识点】已知两点求斜率、直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】由题意可得直线恒过定点，所以要直线与线段有公共点，必须满足，从而可求出斜率的取值范围，进而可得答案 【详解】由，得， 因为 所以，解得，所以直线恒过定点， 因为点，，直线与线段有公共点， 所以直线的斜率满足：，即， 得， 故选：BC 10．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线l的倾斜角是 B．点到直线的距离是2 C．若直线，则 D．过与直线平行的直线方程是 【答案】BD 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、由斜率判断两条直线垂直、由两条直线平行求方程、求点到直线的距离 【分析】将直线方程的一般式化为斜截式可判断A；利用点线距离公式可判断B；利用两直线的位置关系可判断C；利用待定系数法，结合平行直线的性质可判断D. 【详解】对于A，直线，即， 则其斜率，则其倾斜角是，故A错误； 对于B，点到直线的距离为，故B正确； 对于C，直线，即，其斜率， 而，故直线m与直线l不垂直，故C错误； 对于D，依题意，设所求直线的方程为， 将代入，得，故， 则所求直线为，故D正确. 故选：BD. 题型03:求点到直线/直线到直线的距离 11．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】B 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】先求得m的值，再去求两平行直线间的距离即可. 【详解】由直线与直线平行， 可得，解之得 则直线与直线间的距离为 故选：B 12．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）下列结论错误的是（    ） A．过点，的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是6 【答案】AD 【知识点】将军饮马问题求最值、求平行线间的距离、已知直线垂直求参数、直线的倾斜角 【分析】A选项，求出直线的斜率，进而判断出倾斜角的大小；B选项，利用两直线垂直关系得到方程，求出a；C选项，利用两平行线间距离公式求出平行线间距离；D选，作出辅助线，利用对称思想求出最小值. 【详解】对于A，直线的斜率，设其倾斜角为，则， 由于在上单调递增，故， 故倾斜角小于，A错误； 对于B，由直线与直线垂直，得， 解得，B正确； 对于C，直线化为， 因此两平行直线的距离，C正确； 对于D，点关于x轴的对称点为， 连接交x轴于点，点是x轴上任意一点， 连接， 于是， 当且仅当点与重合时取等号， 因此，D错误. 故选：AD 13．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】由两条直线平行求方程、求直线交点坐标、已知点到直线距离求参数 【分析】（1）由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出的方程． （2）分类讨论直线的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线的方程． 【详解】（1）解：由，解得， 所以两直线和的交点为． 当直线与直线平行，设的方程为， 把点代入求得， 可得的方程为． （2）解：斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为5． 当的斜率存在时，设直限的方程为，即， 则点到直线的距离为，求得， 故的方程为，即． 综上，直线的方程为或 题型04:利用直线的位置关系求解参数 14．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知经过点和点的直线的方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】直线方向向量的概念及辨析 【分析】根据已知条件、结合向量共线列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由题过点和点的直线的方向向量为， 所以. 故选：D 15．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线，其中，则（　 ） A．当时，直线与直线垂直 B．若直线与直线平行，则 C．直线过定点 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【知识点】已知直线平行求参数、直线截距式方程及辨析、由一般式方程判断直线的垂直、直线过定点问题 【分析】计算直线斜率判断A；由平行求出参数值判断B；求出直线过的定点判断C；求出直线的截距判断D. 【详解】对于A，当时，直线的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为， 因此当时，直线与直线垂直，A正确； 对于B，若直线与直线平行，则，解得或，B错误； 对于C，当时，，与无关，则直线过定点，C正确； 对于D，当时，直线的方程为，在两坐标轴上的截距分别是，1，不相等，D错误. 故选：AC 16．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知直线与直线平行，则实数 ． 【答案】/ 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】由两直线平行的条件，列方程求实数的值并检验. 【详解】直线与直线平行， 则有，即，解得或. 经检验：当时，两直线重合，舍去，符合题意， 所以. 故答案为：. 17．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线l经过点，且与直线平行． (1)求直线l的方程； (2)已知圆C与y轴相切，直线l被圆C截得的弦长为，圆心在直线上，求圆C的方程． 【答案】(1) (2)． 【知识点】已知直线平行求参数、直线的点斜式方程及辨析、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）由两直线平行可求得斜率为，再利用直线的点斜式方程即可求得结果； （2）设出圆C的标准方程，由弦长即圆心位置等即可解出圆的标准方程为. 【详解】（1）因为直线l与直线平行，所以直线l的斜率为， 则直线l的方程为， 化简可得． 即直线l的方程为 （2）设圆C的方程为，则， 因为圆C与y轴相切，所以， 又圆心C到l的距离，所以， 即， 解得，． 故圆C的方程为 圆的经典基础题 题型05:对圆的方程的形式的理解 18．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可. 【详解】由，得， 解得. 故选：B 19．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若 圆被直线平分，则圆的半径为 . 【答案】 【知识点】圆的对称性的应用、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】 首先根据条件确定圆心在直线上，代入求后，即可求圆的半径. 【详解】若圆被直线平分，则直线过圆心， 圆的圆心为，即， 解得：， 则圆，则圆的半径为. 故答案为： 题型06:由圆的位置求解参数 20．（23-24·高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知圆与圆，若与有且仅有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求平面两点间的距离、由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，再求出结果即可. 【详解】圆可化为，圆心，半径； 圆可化为，圆心，半径； 因为与有且仅有一条公切线，所以两圆内切， 所以，即，解得. 故选：D 题型07:圆的弦长和中点弦 21．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）经过第一、二、三象限的直线：与圆：相交于，两点，若，则的最大值是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】基本不等式求积的最大值、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】根据题意，由条件可得直线经过圆心，则可得，再由基本不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为圆：，即， 圆心为，半径为3，且， 则直线经过圆心，即，所以， 又直线经过第一、二、三象限，则，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是4. 故选：B 22．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若直线与圆相交于A，B两点，则长度可能等于（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】CD 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】根据题意，求得圆心，半径，以及直线过定点，求得，结合圆的性质，求得弦长的取值范围为，结合选项，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 又由直线恒过定点，且点在圆的内部，可得， 设圆心到直线的距离为，则， 当直线时，此时直线与圆相交，此时最大，则截得的弦长最短， 此时， 当直线过圆心时，此时截得的弦长最长，此时， 所以弦长的取值范围为，结合选项，选项C、D符合题意. 故选： CD. 23．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）直线，圆，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆必有两个交点 C．直线与圆的相交弦长的最大值为 D．当时，圆上存在3个点到直线距离等于1 【答案】ABD 【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【分析】利用直线过定点的求解方法求出定点即可判断A；判断定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系；利用相交弦最长的是直径即可判断C；利用圆心到直线的距离为1，再结合图形即可判断D. 【详解】将直线的方程化为，令，解得，所以直线恒过定点，选项A正确； 圆的方程化为，圆心，半径2， 直线恒过定点到圆心的距离为， 所以定点在圆C内，故而直线与圆必有两个交点，所以选项B正确； 直线与圆的相交，相交弦最长的是直径，故而相交弦长的最大值为4，所以选项C错误； 当时，直线，圆心到直线的距离为1，如图所示， x轴与圆的两个交点O、B到直线的距离为1；又因为圆半径为2， 所以直线与圆的交点A到直线的距离为1，故而圆上存在3个点到直线距离等于1，选项D正确. 故选：ABD 24．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． (1)当时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）根据倾斜角以及求解出直线的方程，再根据半径、圆心到直线的距离、半弦长构成的直角三角形求解出； （2）根据条件判断出，结合和点坐标可求直线的方程. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 因为，所以直线的斜率， 所以，即， 所以圆心到的距离， 所以； （2）因为弦被平分，所以， 又因为，所以， 所以，即. 题型08:圆的最值和轨迹问题 25．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知直线交圆于两点，则的最小值为（    ） A．9 B．16 C．27 D．30 【答案】D 【知识点】求点到直线的距离、求平面轨迹方程、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据题中条件，先求得弦的中点的轨迹方程，则的几何意义为两点到直线的距离之和，即点到直线距离的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题设直线与轴的交点为，设弦的中点为， 连接，则，即，所以， 即， 所以点的轨迹方程为， 即的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 设直线为，则到的最小距离为， 过分别作直线的垂线，垂足分别为， 则四边形是直角梯形，且是的中点， 则是直角梯形的中位线，所以，即， 即， 所以的最小值为30. 故选：D. 26．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知、、，且动点满足，则的最小值是 . 【答案】/ 【知识点】轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求出点P的轨迹方程，将化为，即可确定P在线段AC上时，最小，结合图形的几何性质，即可求得答案. 【详解】由题意知、、，且动点满足， 设，则， 整理得，即P点在圆上运动，A点在圆内，C在该圆外； 由于， 则当三点共线，即P在线段AC上时，最小， 最小值为， 故答案为： 27．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点. (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程、求平面轨迹方程 【分析】（1）求出圆心的坐标和圆的半径，即得解； （2）设点，，由得，代入圆的方程即得解. 【详解】（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为， 它与轴的交点为圆心，又半径，所以圆的方程为； （2）设，，由，得， 所以，又点在圆上，故， 所以，化简得的轨迹方程为 题型09:公共弦问题和切线问题 28．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知圆与圆，则两圆的公共弦所在的直线方程为 . 【答案】 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程 【分析】判断两圆位置关系，再将两圆方程相减即得. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 于是，即圆相交， 由消去二次项得，即， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为. 故答案为： 29．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若圆：与圆：相交于两点，则公共弦的长为 ． 【答案】 【知识点】两圆的公共弦长 【分析】 求得交点的坐标，进而求得公共弦长. 【详解】由解得或， 不妨设，所以. 故答案为： 33．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知的圆心为，且过点． (1)求的标准方程； (2)若直线与相切于点，求的方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】（1）利用圆心坐标和圆上的一个点的坐标求圆的标准方程； （2）利用直线与圆的位置关系求解. 【详解】（1）由题可知，的半径为, 所以的标准方程为. （2）因为直线与相切于点，且, 所以，所以， 由点斜式得，，整理得，. 30．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线和圆． (1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1)相交，截得的弦长为2. (2)或. 【知识点】判断直线与圆的位置关系、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解； （2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解. 【详解】（1）由圆可得，圆心,半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交， 直线被圆截得的弦长为. （2）若过点的直线斜率不出在，则方程为， 此时圆心到直线的距离为，满足题意； 若过点且与圆相切的直线斜率存在， 则设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以切线方程为，即， 综上，过点且与圆相切的直线方程为或. 直线和圆的综合 题型10:直线和圆的小综合 31．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知圆直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点．则下列说法正确的是（   ） A．四边形的面积最小值为 B．最短时，弦AB长为 C．最短时，弦AB直线方程为 D．直线AB过定点 【答案】B 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】A选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，又因切线长定理可知，当最短时，面积最小；B选项，由圆的弦长公式结合锐角三角函数即可求解；C选项，两垂直直线的斜率相乘等于，两平行直线斜率相等；D选项，由向量积公式求定点坐标． 【详解】对于A，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和， 即， 最短时，面积最小，故当时，最短， 即， ，故A错误； 由上述可知，时，最短，故最小， 且最小值为， 所以，故B正确； 当最短时，则，又，所以，， ， 可设的直线方程为， 圆心到直线的距离， 解得或， 由于直线在圆心的右侧，且在直线的左侧， 所以， 所以， 即直线的方程为，故C错误； 设圆上一点，，， ，，， 易知， 由于， 所以， 同理， ， ， ，即， 令，解得， 所以直线过定点为，故D错误． 故选：B． 32．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【答案】C 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得. 【详解】由圆心为，半径为， 即， 则， 解得或. 故选：C. 33．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，直线：与：的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线过定点问题、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据两条直线的位置关系和所过的定点，结合圆与圆的位置关系进行求解即可. 【详解】，所以直线恒过点， ，所以直线恒过点， 由两条直线的方程可以判断直线与直线互相垂直， 因此点在以为直径的圆上，线段中点为， 半径为， 圆的圆心为，半径为， 由已知条件可知点在圆：上， 所以圆与圆相交或相切，， 因此有， 解得：，所以则的最大值是， 故选：A 34．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 B．已知点，，直线过且与线段相交，则其倾斜角的范围是 C．圆：与：恰有四条公切线，则 D．圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于 【答案】BC 【知识点】已知直线平行求参数、判断直线与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】根据直线平行、冲要条件、直线与线段的交点、圆与圆的位置关系、圆和直线的位置关系对选项进行分析可得结果. 【详解】选项A：由，得， 当时，两直线，两直线平行， 当时，两直线，即，两直线平行， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充分不必要条件，故A错误. 选项B：因为，所以直线的倾斜角为， 因为，所以直线的倾斜角为， 所以直线倾斜角的范围是，故B正确； 选项C：圆：，即，圆心，半径， ：，即， 要表示圆则，此时圆心，半径， 两圆有四条公切线，所以两圆外离，即，所以， 解得，故C正确； 选项D：圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以圆上有且仅有个3点到直线的距离都等于， 故D错误， 故选：BC. 学科网（北京）股份有限公司 $$