专题02 一元二次方程（9大题型）-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（北师大版）

专题02 一元二次方程 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 一元二次方程的相关概念 题型二 一元二次方程的解 题型三 一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法） 题型四 一元二次方程的解法（换元法） 题型五 利用配方法求代数式的最值 题型六 判别式的相关运用 题型七 利用韦达定理求代数式求值 题型八 利用韦达定理求参数 题型九 一元二次方程的实际应用 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 一元二次方程的相关概念 ⭐技巧积累与运用 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）。 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键； 根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A． ，是分式方程，故该选项不符合题意； B． ，去括号，移项，合并同类项得，是一元一次方程，故该选项不符合题意； C． ，去括号，移项，合并同类项得，是一元二次方程，故该选项符合题意； D． ，是二元二次方程，故该选项不符合题意；故选：C． 3．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）若方程是关于的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义可得，，然后求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴，∴∴a的值为．故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）将一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键．通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式．故答案为：． 4．（24-25九年级上·江西南昌·期中）将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为，把原方程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式即可得到答案． 【详解】解：；；；， ∴将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为，故选B． 一元二次方程的解（根） ⭐技巧积累与运用 能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，称为一元二次方程的根（解）。 一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 1．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若m是方程的一个根，则的值为（   ） A．3 B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由题意得出，再将式子变形为，代入计算即可得解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，∴，∴，故选：D． 2．（24-25九年级上·福建三明·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，是一元二次方程的解． 把代入方程得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得，解得，故答案为： ． 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，熟练掌握式子的值在0附近时的x值，是解决此题的关键．利用表中的对应值得到时，；时，，从而得到x在之间取一数值时，，于是得到一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围． 【详解】解：∵时，；时，， ∴当x在之间取一数值时，， ∴一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为．故选：C． 一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法） ⭐技巧积累与运用 一元二次方程的解法：①直接开方法；②配方法；③公式法；④因式分解法。 一元二次方程的求根公式是 (=b2－4ac≥0)。 注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式； ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法（提公因式、十字相乘）→公式法（或配方法）。 1．（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）解方程： (1)（公式法）；(2)（因式分解法）；(3)（配方法）． 【答案】(1)，；(2)，；(3)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据公式法进行计算即可；（2）根据因式分解进行计算即可；（3）根据配方法进行配方计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故，； （2）解：， ， ， ，； （3）解：， ， ， ， ，． 2．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）用适当方法解下列方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)，(2)，(3)，(4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法求解即可；（2）利用直接开平方法求解即可； （3）利用配方法求解即可；（4）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解： 或 ， （2）解： ， （3）解： ， （4）解： ， ， 3．（24-25九年级上·海南·期中）解下列方程： (1)；(2)(3)；(4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）用因式分解法解一元二次方程即可； （3）用直接开平方法，解一元二次方程即可；（4）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：，，，， ，∴， ∴； （2）解：， 因式分解得：，∴或， 解得：； （3）解：， 移项得：，开平方得：， 解得：； （4）解：， 因式分解得：，∴，， 解得：． 一元二次方程的解法（换元法） ⭐技巧积累与运用 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，通常把未知数或变数称为元。所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的“元”去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，从而解决问题。换元的实质是转化，关键是构造元和设元；理论依据是等量代换。 1．（24-25九年级上·河南南阳·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，① 解得：． 当时，，∴，∴， 当时，，∴，∴， ∴原方程的解为 解答问题：(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了的目的，体现了的数学思想； (2)利用上述材料中的方法解方程：． 【答案】(1)换元，降次，转化； (2) 【分析】本题考查用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法． （1）题目中的方法用的是换元法，体现了整体与划归的数学思想； （2）令，得，用因式分解法解方程求出y的值，再求出的值． 【详解】（1）解：将设为，利用的是换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想， 故答案是：换元，降次，转化； （2）解：令，则， ，或．解得：， 当时，，即，解得：， 当时，，即， ，∴此方程实数根； 综上：方程的解是． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，一元一次方程是各类方程的重要基础．解二元一次方程组时，通过“消元”转化为一元一次方程：解一元二次方程时，通过“降次”转化为一元一次方程；解分式方程时，通过“去分母”转化为整式方程．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：方程的解法如下： 解：原方程变形为 设，得方程 解这个方程得， 当时，，∴ 当时，无意义． 检验：把代入原方程，等式成立． ∴原方程的解为 仔细阅读该方程解法过程，尝试解下列新方程：(1)；(2)． 【答案】(1)或；(2)，． 【分析】本题考查解高次方程和分式方程，解题的关键是读懂阅读材料，把未知转化为已知，注意解分式方程必须检验．（1）设，得方程，利用阅读材料中的方法求解即可；（2）方程整理得，设，得方程，用阅读材料中的方法求解即可． 【详解】（1）解：设，得方程，解这个方程得，， 当时，，解得，经检验，，是原方程的解； 当时，，解得，经检验，，是原方程的解； ∴原方程的解为或； （2）解：原方程变形为， 设，得方程，整理得，解这个方程得，， 当时，，即，解得，； 当时，，即，， 方程没实数解，舍去， ∴原方程的解为，． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如，①换元法求解四次方程： 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，∴；当时，即，∴； ∴原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程： 将其变形为；∴，∴， ∴，∴，∴或， ∴原方程有三个根：，， (1)仿照以上方法解方程：①；②； (2)已知：，且，则的值为________． 【答案】(1)①，．②，， (2) 【分析】本题考查了解高次方程化一元二次方程，换元法解一元二次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键．（1）①仿照题中所给方法，换元法求解四次方程即可．②仿照题中所给方法，因式分解法求解三次方程即可．（2）先公式法求解，根据题意对所给代数式进行“降次”，再将代入原式化简，得，再代入即可求解． 【详解】（1）解：①设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，∴；当时，即，∴方程无解； ∴综上可得原方程有两个根：，． ②将变形为，∴， ∴，∴， ∴，∴或， ∴原方程有三个根：，，． （2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴， 又∵，，，， 将代入上式可得，故答案为：． 利用配方法求代数式的最值 ⭐技巧积累与运用 代数式的最值问题是数学中常见的问题之一，解决这类问题的方法之一就是利用配方法。配方法是一种将代数式转化为完全平方或完全立方的方法，通过配方可以使得求最值问题变得更加简单。 1．（24-25九年级上·广西河池·期中）阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方： ； 请根据阅读材料解决下列问题：(1)【直接应用】，将代数式配方：______； (2)【类比应用】已知，求的值； (3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)(2)(3)16 【分析】本题考查配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题关键．（1）依题意，得，即可作答．（2）先整理原式为，再结合非负性，得出，，然后代入计算，即可作答．（3）先整理原式为，因为，所以当，时，取得最小值，最小值为16，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，故答案为：； （2）解：∵， ∴配方得：， 即，，，故． （3）解：依题意，， ，，时，即当，时，则， 即取得最小值，最小值为16． 2．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）已知代数式用配方法说明：不论x为何值，代数式的值总是负数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了配方，根据配方法的步骤把代数式进行配方，即可得出答案． 【详解】解： ∵，∴∴， ∴不论x为何值，代数式的值总是负数． 3．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题 例题：求代数式的最小值 解： ∵        ∴不代数式的最小值为4． (1)代数式的最小值为 (2)已知实数a，b满足，求代数式的最小值． 【答案】(1)2(2)5 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法．（1）先将原式变形，进行配方后即可得答案；（2）由可得，再代入后，进行配方，利用配方法即可得答案． 【详解】（1）， ，，的最小值是2，故答案为：2； （2），， ，，代数式的最小值是5． 判别式的相关运用 ⭐技巧积累与运用 1．一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)根的判别式: ⑴当时,方程有两个不相等的实数根；(2)当时,方程有两个相等的实数根； ⑶当时,方程没有实数根。 以上三点反之亦成立。 2．一元二次方程有实数根 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列关于的方程说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有实数根 C．有两个相等的实数根 D．（其中是实数）一定有实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．关于的一元二次方程，其根的判别式为．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.对于方程，整理可得， 因为，所以该方程有两个不相等的实数根，本选项不符合题意； B.对于方程，因为，所以该方程无实数根，本选项不符合题意； C. 对于方程，因为，所以该方程无实数根，本选项不符合题意； D.对于方程，因为， 又因为是实数，所以，所以，即， 所以该方程一定有实数根，本选项符合题意．故选：D． 2．（2024九年级上·成都·专题练习）对于任意实数，关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据根的判别式进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根；故选C． 3．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】一元二次方程根的情况与判别式的关系，根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且，解得，且，故选：B． 4．（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由；②若是等腰三角形，求等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)①是直角三角形，见解析；②或． 【分析】本题考查了于一元二次方程的判别式、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的定义等知识点，熟记相关结论是解题关键.（1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解．（2）①时，方程为，解得， ，即可判断；②根据，得出，、中有一个数为5，可求得，， 分类讨论即可求解； 【详解】（1）证明：∵ ∴方程有两个不相等的实数根 （2）解：①时，方程为；解得， ∴，， ∵，；∴ ∴是直角三角形； ②∵，∴，∴、中有一个数为5， 当时，原方程为，即，解得，， 当时，原方程为，解得，，等腰三角形的周长为14； 当时，原方程为，解得，，等腰三角形的周长为16． 利用韦达定理求代数式求值 ⭐技巧积累与运用 1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：当满足①、②时，才能用韦达定理。 设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则， 常用结论：①②③。 2.常见题型：1）直接运用韦达定理：这是最基础也最直接的方法，通过一元二次方程的根与系数关系，轻松求出代数式的值。2）降幂思想求值：利用降幂公式，将复杂问题简化，轻松搞定。 1．（24-25九年级上·山东德州·期中）已知，是方程的两根，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两根，∴，， ∴，故答案为：6． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】将代入原方程，再结合根与系数的关系即可解决问题．本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，，∴， 则，故答案为：． 3．（2024·四川成都·模拟预测）已知满足，，且，则的值为 ． 【答案】65 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据题中两个方程得到是方程的两个根，根据根与系数的关系得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵满足，， ∴是方程的两个根，∴， ∴故答案为：65． 利用韦达定理求参数 ⭐技巧积累与运用 1．设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根 则：时，有; 时，有 时，有 2.常见题型：1）构造方程思想：通过构造方程，找到问题的突破口，解题思路瞬间清晰！ 2）根的取值范围问题：这类问题需要你灵活运用韦达定理，结合函数性质，找出根的取值范围。 1．（2024·山东聊城·模拟预测）关于x的一元二次方程的两个根为，且，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，根据一元二次方程的根与系数的关系求出两根及m值，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵的两根为，∴．， ∵，∴，，∴，∴． ∴．故选：B． 2．（2024·江西抚州·模拟预测）已知是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据题意可知，即，然后根据根与系数的关系代入求值即可；熟知一元二次方程根与系数的关系是关键． 【详解】解∶∵是关于x的方程的两个实数根，∴，， ∵，即，∴，∴，故答案为∶． 3．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）已知关于的方程． (1)取什么值时，方程有两个实数根．(2)如果方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系和根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数关系和根的判别式是解题的关键．（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数关系和根的判别式，即可求解． 【详解】（1）解：方程有两个实数根， ，解得：； （2）解：∵方程有两个实数根，，且， ，，， ，即， 平方得：，整理得：，解得： 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程．(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】(1)(2) 【分析】此题考查一元二次方程的判别式，根与系数的关系，（1）一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，根据根的判别式得到关于m的不等式是解题的关键；（2）根据根与系数的关系得到，又求出，后代入求解即可． 【详解】（1）方程有实数根，，，即； （2）为该方程的两个实数根，， 又，∴∴∴， 将代入得，∴． 一元二次方程的实际应用 ⭐技巧积累与运用 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x；③依据等量关系式和未知数x建立方程；④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 2.常见一元二次方程实际应用题：⑴“几何”问题（面积问题：注意平移思想）；⑵“碰面(传播)”问题；⑶“复利率”问题及平均增长率的问题：,其中：为基数，为增长率，表示连续增长的次数， 表示增长后的数量；⑷商品销售问题。 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考． 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述： （甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同 （乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同 对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（   ） A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用以及根的判别式，假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得，根据根的判别式即可判断，假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得，解出的值，从而求解，找准等量关系，正确列出一元二次方程或一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺， 根据题意得：整理得： ， ∵，∴原方程没有实数根，∴假设不成立，即甲叙述错误； 假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺， 根据题意得：，解得：， ∴当女性的身高为公尺时，使用算法与算法算出的理想体重会相同， ∴假设成立，即乙叙述正确；故选：． 2．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【答案】的值为6 【分析】本题考查一元二次方程的运用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键． 小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，全班43名同学恰好都会做，由此数量关系列式即可求解． 【详解】解：由题意得，解得（不符合题意，舍去）， 答：的值为6． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为元，月销售量为．①直接写出关于的函数关系式；②为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)(2)①，②60元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为m，利用该品牌头盔6月份的销售量该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率，可列出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值； （2）①利用月销售量（该品牌头盔的售价），即可找出y关于x的函数关系式； ②利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为m， 依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：①依题意，得：； ②依题意，得：，解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠，∴． 答：该品牌头盔的实际售价应定为60元． 4．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）自今年4月底以来，惠水县好花红乡村旅游区的桔香花海山体公园成为了网红打卡点．现在公园管理者要修建一个面积为的长方形精品花售卖区（如图）．为了节省材料，售卖区的一边利用原有的一道墙，另三边用总长为的栅栏围成，边留有宽的门． (1)若售卖区垂直于墙的边的长为，则边的长为 ．(2)若墙足够长，则售卖区的长和宽各为多少米？(3)当围成的售卖区只有一种围法时，求墙长a的取值范围． 【答案】(1)(2)售卖区的长为，宽为或长为，宽为．(3)． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为，可得平行于墙的边长为，整理即可； （2）根据矩形的面积公式结合养鸡场的面积为，列出一元二次方程，解之即可得出结论； （3）根据（1）的结论可分、及三种情况，找出题目解的个数，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵售卖区垂直于墙的边的长为， ∴边的长为． （2）解：依题意，得，整理，得，解得，． 当时，；当时，． 答：售卖区的长为，宽为或长为，宽为． （3）解：结合（2）可得：当时，不能围成售卖区，题目无解； 当时，围成的售卖区只有一种围法，题目只有一个解； 当时，围成的售卖区有两种围法，题目有两个解． 综上所述，当时，围成的售卖区只有一种围法，即的取值范围是． 1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）在估算一元二次方程的根时，嘉淇列表如下：                                    则表示方程的一个根的点落在（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法． 结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：由表可知，当时，，当时，， ∴方程的一个根的范围是．故选：C． 2．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期中）用配方法解方程时，配方后得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查用配方法解一元二次方程的步骤，掌握配方法是解题的关键．先将原方程进行移项，再通过配方得到完全平方公式，即可得到答案． 【详解】解： 故选：D． 3．（24-25九年级上·河南南阳·期中）下列方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．关于的方程中， ，∴方程有实数根，故该选项不符合题意； B．关于的方程中， ∴方程有实数根，故该选项不符合题意； C．关于的方程中， ，∴方程有两个实数根，故该选项不符合题意； D．关于的方程中， ，∴原方程没有实数根，故该选项符合题意．故选：D． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知等腰三角形的边长分别是、、1，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、三角形的三边关系，根据，结合“等腰三角形的边长分别是、、1”，根据三角形的三边关系进行分类讨论，求出、，即可作答． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两根，∴ ∵等腰三角形的边长分别是、、1∴当时，则，，解得；， 此时等腰三角形的边长分别是，不满足三边关系，故舍去； 当时，同理可得，不能满足三边关系，故舍去； 当时，则解得； 此时等腰三角形的边长分别是，满足三边关系，符合题意；故选：B 5．（24-25九年级上·云南昭通·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0，根据一元二次方程的定义得到且，求得m的值即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，得且，解得，故答案为： 6．（24-25九年级上·福建厦门·期中）有四组一元二次方程：①和；②和；③和；④和． 这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“关系方程”． 请写出一个有两个不相等实数根但没有“关系方程”的一元二次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程的概念和一元二次方程判别式，掌握相关知识并理解题中定义的“关系方程”是解题的关键．根据题中“关系方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“关系方程”，从而得解． 【详解】解：根据题中“关系方程”的特征可知：形如和这样的一元二次方程互为“关系方程”，没有常数项的一元二次方程一定没有“关系方程”，再根据条件“有两个不相等实数根”可知，是满足条件的一元二次方程．故答案为：（答案不唯一） 7．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）当 时，一元二次方程无实数根．（写出一个即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题主要考查根的判别式及根的情况，掌握当一元二次方程无实数根时，是解决问题的关键． 由于原方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式得出，解不等式即可． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根，∴，解得， 故答案为：3（答案不唯一）． 8．（24-25九年级上·四川德阳·期中）已知是方程的两根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，因为是方程的两根，所以，，，再整理计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，，，即 ∴，故答案为：． 9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）兔热病是一种传播速度很快的人兽共患传染病，又称土拉菌病或鹿蝇热，一轮传染时间为一天．某养兔场某天发现一例，两天后发现共有169只兔子患有这种病，若每例病兔子传染健康兔子的只数均为x，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系(经过两天感染患病的兔一定)列出方程求解．设每只病兔传染健康兔只，则第一天有只兔被传染，第二天有只兔被传染，所以经过两天的传染后感染患病的兔共有：只，根据经过两天的传染后使兔场感染患病的兔，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可． 【详解】解：设每只病兔传染健康兔只，则第一天有只兔被传染，第二天有只兔被传染， 根据题意：，整理得：， 解得：（舍去）或，故答案为：12． 10．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）解下列方程 (1)；(2)．(3)．(4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题考查了解一元二次方程；（1）根据公式法解一元二次方程，即可求解． （2）直接开平方法解一元二次方程，即可求解．（3）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．（4）根据因式分解法得，进而可得两个一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∵，， ∴ 解得： （2）解： ∴ ∴或 解得： （3）解： ∴ ∴ ∴或 解得： （4）解： ∴， ∴或 解得： 11．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论实数取何值，方程总有两个实数根；(2)若方程两个根均为正整数，求负整数的值． 【答案】(1)见解析(2)或 【分析】本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握根的判别式与根据公式法解一元二次方程．（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可证出：无论实数m取什么值，方程总有两个不相等的实数根；（2）利用公式法解原方程，可得，，在根据已知条件即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴无论实数取何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴，解得：，，∴，， ∵是负整数，∴或． 12．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)试说明：无论k为何值，方程总有实数根；(2)若是该方程的两个根，且，求k的值． 【答案】(1)见解析(2)或 【分析】本题主要考查根的判别式以及根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．（1）根据根的判别式进行计算即可；（2）根据根与系数的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故无论k为何值，方程总有实数根； （2）解：由题意可得：，， ，，， ，解得，． 13．（24-25九年级上·山东临沂·期中）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7人(2)第三轮感染后，患流感的共有1024人 【分析】题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有128人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 由题意得：，解得：，（不合题意舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）解：第三轮感染的人数（人）， 第三轮感染后，患流感的总人数为：（人）， 答：第三轮感染后，患流感的共有1024人． 14．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤． 结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果经销商决定降价销售． (1)若每公斤售价降价5元，则每天的销售利润为____元； (2)水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能否达到800元？如果能，请求出葡萄的销售单价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)葡萄的销售单价为16元时，水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润达到800元，理由见详解 【分析】本题主要考查一元二次方程与销售利润问题的综合运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法，正确列式求解是解题的关键．（1）每公斤售价降价5元，则每天的销售量增加50公斤，降价后每公斤的利润为（元），降价后的销售量为（公斤），由此即可求解；（2）设降价元，则销售量为公斤，得到一元二次方程，因式分解解一元二次方程，结合尽快减少库存，即可求解． 【详解】（1）解：∵售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤， ∴每公斤售价降价5元，则每天的销售量增加50公斤， ∴降价后的销售价格为（元），降价后每公斤的利润为（元），降价后的销售量为：（公斤），∴每天的销售利润为：（元），故答案为：； （2）解：能达到800元，理由如下，设降价元，则销售量为公斤， ∴，整理得，，∴，解得，， 当降价2元时，销售量为（公斤），当降价4元时，销售量为（公斤），∵减少库存，，∴降价4元，此时的销售单价为（元）， ∴葡萄的销售单价为16元时，水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润达到800元 1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）关于的一元二次方程有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若是一元二次方程的根，则． 其中表述正确的序号是（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此逐一判断即可． 在中，令，可判断①；当，，时，得出，可判断②；若方程有两个不相等的实根，可得，可判断③；若是一元二次方程的根，可得，可判断④． 【详解】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ②，，又，，， ∴方程一定有实数根，故说法②正确； ③若方程有两个不相等的实根，则，即， ，∴方程必有两个不相等的实根，故说法③正确； ④若是一元二次方程的根，则， ，，，， ∴，故说法④正确；∴正确的有②③④．故选：C． 2．（2024·重庆·模拟预测）设一元二次方程的两个根分别为，，则方程可写成，即．容易发现：，．设一元三次方程的三个非零实根分别为，，，则以下正确命题的序号是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，仿照题意所给的方法，将原方程变形为，由此求解即可． 【详解】解：设一元三次方程的三个非零实根分别为，，， 则方程可写成，即． 对比可得，，，， 可得，，，， 综上可知，①②④正确，③错误，故选B． 3．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）对于一元二次方程，有下列说法： ①若方程有两实数根为1，，则分解因式得； ②若，则方程有两个不相等的实数根；③若，则方程一定有一个根为； ④若方程有两个不等于0的实数根，则方程一定有两实数根．其中正确的有（　　）， A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系，根据方程的根和十字相乘法因式分解，判断①，根的判别式判断②，方程的解判断③，根与系数的关系，判断④． 【详解】解：若方程有两实数根为1，，则分解因式得，故①错误； 若，则：，则方程有两个不相等的实数根；故②正确； 当时，， ∴若，则方程一定有一个根为；故③正确； ∵方程有两个不等于0的实数根，∴， ∴，∴方程为一元二次方程， ∵，∴， ∴方程一定有两实数根．故④正确；故选C． 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知为实数，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程、根的判别式等知识点，运用根的判别式验证x的存在性是解此题的关键． 设，则原方程化为，解方程求出a的值，再根据根的判别式判定即可解答． 【详解】解：设，则原方程化为，解得：或1， 当时，，即，∴，此方程无解； 当时，，即，∴，此方程有实数解； 综上，．故答案为：1． 5．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．据根的情况可得，根据根与系数的关系可得，即可求出m的取值范围． 【详解】解：根据题意，，解得， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴， 又∵，∴解得，∴实数m的取值范围是：．故答案为：． 6．（24-25九年级上·广东深圳·期中）“数形结合”是数学中的一种基本思想方法，我国著名数学家华罗庚对此曾有生动的描述：“数以形而直观，形以数而入微”，下面我们分别以我国三国时期的数学家赵爽（公元世纪）和公元世纪的阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解一元二次方程即时的做法为例加以说明． 【学习研究】数学家赵爽的做法是，用四个边长分别为，且面积为的矩形构造成图形状的大正方形，然后用两种方式表示出大正方形的面积，得到．从而得到一个正数解．阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和个边长分别为，的矩形构造出图的形状（面积为）并把它补成一个大正方形，然后也是用两种方式表示出大正方形的面积，得到，从而得到一个整数解． （1）图中，小正方形的边长为____，将图中补充完整（补充的部分用阴影表示）； 【类比迁移】（2）小明想通过以上述构造图形的方法来解一元二次方程． 请分别构造以上两种图形，并在图中标注出相关线的长：（注：第一种方法中已经画好了一个矩形，第二种方法中已经画好了一个正方形，请在已经画好的图形上进行补充） 请分别根据所画图形，求出方程的一个正数解． （注：需要写出必要的推算过程） 【拓展应用】（3）一般地，形如的一元二次方程可以构造类似以上图形来求解，请选择其中的一种方法，进行图形构造，且在图中标注出相关线段的长，并直接写出该方程的正数解与负数解． 【答案】（1）2，作图见解析；（2）①作图见解析；②5（3） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，（1）根据边长之间的关系可得小正方形的边长，再根据题意补充完整即可；（2）画出图形，根据面积相等列出方程，再求出解即可； （3）根据题意画出图形，标注长度，再根据面积相等列出方程，求出解即可. 【详解】图1小正方形的边长为：；故答案为：2； 补充完整，如图所示； （2）①如图所示， ②用四个边长分别为，且面积为的矩形构造大正方形，用来那个中方式表示出大正方形的面积，得到整理，得， 解得；，即，解得； （3），如图所示，用四个边长分别为，且面积为的矩形构造大正方形，用两种方式表示出大正方形的面积，得到可知，解得． 7．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）阅读理解并解答： 【方法呈现】（1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用． 例如：，∵． 则这个代数式的最小值为_______，这时相应的x的值是________． 【尝试应用】（2）求代数式的最小或最大值． 【拓展提高】（3）已知a、b、c是的三边长，满足，求c的取值范围． 【答案】（1）2，（2）；（3） 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的三边关系，解题的关键是掌握完全平方公式的应用． （1）利用非负数的性质确定代数式的最值；（2）利用完全平方公式变形，最后确定最值； （3）变形等式，利用非负数的性质，求出、的值，再利用三角形的三边关系确定边长的取值范围． 【详解】解：（1）∵代数式 ∴代数式的最小值是，这时相应的的值是； （2） ∵∴，∴代数式有最小值； （3）∵a，，是的三边长，满足， ∴，∴， ∴，∴，，∴，，∵，∴． 8．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为，解得，． 当时，，．当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； (2)利用换元法解方程：． 【答案】(1)；， (2)，，， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，换元法解方程， 对于（1），根据换元法思想，令，把原方程转化为一元二次方程，解方程后的解，代入到原方程中，从而得到原方程的解；对于（2），利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程后，再得到原方程的解． 【详解】（1）解：， 设，∴原方程变为：，解得， 当时，，解得； 当时，，可知，无解. 所以原方程的解是； （2），设，则∴原方程可变形为：， 即，解得， 当时，，解得； 当时，，解得，经检验，所有解均是方程的根， ∴，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 一元二次方程的相关概念 题型二 一元二次方程的解 题型三 一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法） 题型四 一元二次方程的解法（换元法） 题型五 利用配方法求代数式的最值 题型六 判别式的相关运用 题型七 利用韦达定理求代数式求值 题型八 利用韦达定理求参数 题型九 一元二次方程的实际应用 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 一元二次方程的相关概念 ⭐技巧积累与运用 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）。 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）若方程是关于的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）将一元二次方程化成一般形式为 ． 4．（24-25九年级上·江西南昌·期中）将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（    ） A． B． C． D． 一元二次方程的解（根） ⭐技巧积累与运用 能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，称为一元二次方程的根（解）。 一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 1．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若m是方程的一个根，则的值为（   ） A．3 B．0 C．2 D． 2．（24-25九年级上·福建三明·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则 ． 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法） ⭐技巧积累与运用 一元二次方程的解法：①直接开方法；②配方法；③公式法；④因式分解法。 一元二次方程的求根公式是 (=b2－4ac≥0)。 注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式； ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法（提公因式、十字相乘）→公式法（或配方法）。 1．（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）解方程： (1)（公式法）；(2)（因式分解法）；(3)（配方法）． 2．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）用适当方法解下列方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 3．（24-25九年级上·海南·期中）解下列方程： (1)；(2)(3)；(4) 一元二次方程的解法（换元法） ⭐技巧积累与运用 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，通常把未知数或变数称为元。所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的“元”去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，从而解决问题。换元的实质是转化，关键是构造元和设元；理论依据是等量代换。 1．（24-25九年级上·河南南阳·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，① 解得：． 当时，，∴，∴， 当时，，∴，∴， ∴原方程的解为 解答问题：(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了的目的，体现了的数学思想； (2)利用上述材料中的方法解方程：． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，一元一次方程是各类方程的重要基础．解二元一次方程组时，通过“消元”转化为一元一次方程：解一元二次方程时，通过“降次”转化为一元一次方程；解分式方程时，通过“去分母”转化为整式方程．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：方程的解法如下： 解：原方程变形为 设，得方程 解这个方程得， 当时，，∴ 当时，无意义． 检验：把代入原方程，等式成立． ∴原方程的解为 仔细阅读该方程解法过程，尝试解下列新方程：(1)；(2)． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如，①换元法求解四次方程： 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，∴；当时，即，∴； ∴原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程： 将其变形为；∴，∴， ∴，∴，∴或， ∴原方程有三个根：，， (1)仿照以上方法解方程：①；②； (2)已知：，且，则的值为________． 利用配方法求代数式的最值 ⭐技巧积累与运用 代数式的最值问题是数学中常见的问题之一，解决这类问题的方法之一就是利用配方法。配方法是一种将代数式转化为完全平方或完全立方的方法，通过配方可以使得求最值问题变得更加简单。 1．（24-25九年级上·广西河池·期中）阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方： ； 请根据阅读材料解决下列问题：(1)【直接应用】，将代数式配方：______； (2)【类比应用】已知，求的值； (3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 2．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）已知代数式用配方法说明：不论x为何值，代数式的值总是负数． 3．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题 例题：求代数式的最小值 解： ∵        ∴不代数式的最小值为4． (1)代数式的最小值为 (2)已知实数a，b满足，求代数式的最小值． 判别式的相关运用 ⭐技巧积累与运用 1．一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)根的判别式: ⑴当时,方程有两个不相等的实数根；(2)当时,方程有两个相等的实数根； ⑶当时,方程没有实数根。 以上三点反之亦成立。 2．一元二次方程有实数根 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列关于的方程说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有实数根 C．有两个相等的实数根 D．（其中是实数）一定有实数根 2．（2024九年级上·成都·专题练习）对于任意实数，关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 3．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B．且 C．且 D． 4．（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由；②若是等腰三角形，求等腰三角形的周长． 利用韦达定理求代数式求值 ⭐技巧积累与运用 1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：当满足①、②时，才能用韦达定理。 设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则， 常用结论：①②③。 2.常见题型：1）直接运用韦达定理：这是最基础也最直接的方法，通过一元二次方程的根与系数关系，轻松求出代数式的值。2）降幂思想求值：利用降幂公式，将复杂问题简化，轻松搞定。 1．（24-25九年级上·山东德州·期中）已知，是方程的两根，则的值为 ． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 3．（2024·四川成都·模拟预测）已知满足，，且，则的值为 ． 利用韦达定理求参数 ⭐技巧积累与运用 1．设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根 则：时，有; 时，有 时，有 2.常见题型：1）构造方程思想：通过构造方程，找到问题的突破口，解题思路瞬间清晰！ 2）根的取值范围问题：这类问题需要你灵活运用韦达定理，结合函数性质，找出根的取值范围。 1．（2024·山东聊城·模拟预测）关于x的一元二次方程的两个根为，且，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 2．（2024·江西抚州·模拟预测）已知是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ． 3．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）已知关于的方程． (1)取什么值时，方程有两个实数根．(2)如果方程有两个实数根，，且，求的值． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程．(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 一元二次方程的实际应用 ⭐技巧积累与运用 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x；③依据等量关系式和未知数x建立方程；④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 2.常见一元二次方程实际应用题：⑴“几何”问题（面积问题：注意平移思想）；⑵“碰面(传播)”问题；⑶“复利率”问题及平均增长率的问题：,其中：为基数，为增长率，表示连续增长的次数， 表示增长后的数量；⑷商品销售问题。 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考． 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述： （甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同 （乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同 对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（   ） A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 2．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为元，月销售量为．①直接写出关于的函数关系式；②为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 4．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）自今年4月底以来，惠水县好花红乡村旅游区的桔香花海山体公园成为了网红打卡点．现在公园管理者要修建一个面积为的长方形精品花售卖区（如图）．为了节省材料，售卖区的一边利用原有的一道墙，另三边用总长为的栅栏围成，边留有宽的门． (1)若售卖区垂直于墙的边的长为，则边的长为 ．(2)若墙足够长，则售卖区的长和宽各为多少米？(3)当围成的售卖区只有一种围法时，求墙长a的取值范围． 1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）在估算一元二次方程的根时，嘉淇列表如下：                                    则表示方程的一个根的点落在（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 2．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期中）用配方法解方程时，配方后得到的方程是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南南阳·期中）下列方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知等腰三角形的边长分别是、、1，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 5．（24-25九年级上·云南昭通·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则 ． 6．（24-25九年级上·福建厦门·期中）有四组一元二次方程：①和；②和；③和；④和． 这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“关系方程”． 请写出一个有两个不相等实数根但没有“关系方程”的一元二次方程： ． 7．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）当 时，一元二次方程无实数根．（写出一个即可）． 8．（24-25九年级上·四川德阳·期中）已知是方程的两根，则代数式的值是 ． 9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）兔热病是一种传播速度很快的人兽共患传染病，又称土拉菌病或鹿蝇热，一轮传染时间为一天．某养兔场某天发现一例，两天后发现共有169只兔子患有这种病，若每例病兔子传染健康兔子的只数均为x，则 ． 10．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）解下列方程 (1)；(2)．(3)．(4) 11．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论实数取何值，方程总有两个实数根；(2)若方程两个根均为正整数，求负整数的值． 12．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)试说明：无论k为何值，方程总有实数根；(2)若是该方程的两个根，且，求k的值． 13．（24-25九年级上·山东临沂·期中）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 14．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤． 结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果经销商决定降价销售． (1)若每公斤售价降价5元，则每天的销售利润为____元； (2)水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能否达到800元？如果能，请求出葡萄的销售单价；如果不能，请说明理由． 1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）关于的一元二次方程有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若是一元二次方程的根，则． 其中表述正确的序号是（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④ 2．（2024·重庆·模拟预测）设一元二次方程的两个根分别为，，则方程可写成，即．容易发现：，．设一元三次方程的三个非零实根分别为，，，则以下正确命题的序号是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 3．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）对于一元二次方程，有下列说法： ①若方程有两实数根为1，，则分解因式得； ②若，则方程有两个不相等的实数根；③若，则方程一定有一个根为； ④若方程有两个不等于0的实数根，则方程一定有两实数根．其中正确的有（　　）， A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知为实数，若，则 ． 5．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且满足，则的取值范围是 ． 6．（24-25九年级上·广东深圳·期中）“数形结合”是数学中的一种基本思想方法，我国著名数学家华罗庚对此曾有生动的描述：“数以形而直观，形以数而入微”，下面我们分别以我国三国时期的数学家赵爽（公元世纪）和公元世纪的阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解一元二次方程即时的做法为例加以说明． 【学习研究】数学家赵爽的做法是，用四个边长分别为，且面积为的矩形构造成图形状的大正方形，然后用两种方式表示出大正方形的面积，得到．从而得到一个正数解．阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和个边长分别为，的矩形构造出图的形状（面积为）并把它补成一个大正方形，然后也是用两种方式表示出大正方形的面积，得到，从而得到一个整数解． （1）图中，小正方形的边长为____，将图中补充完整（补充的部分用阴影表示）； 【类比迁移】（2）小明想通过以上述构造图形的方法来解一元二次方程． 请分别构造以上两种图形，并在图中标注出相关线的长：（注：第一种方法中已经画好了一个矩形，第二种方法中已经画好了一个正方形，请在已经画好的图形上进行补充） 请分别根据所画图形，求出方程的一个正数解． （注：需要写出必要的推算过程） 【拓展应用】（3）一般地，形如的一元二次方程可以构造类似以上图形来求解，请选择其中的一种方法，进行图形构造，且在图中标注出相关线段的长，并直接写出该方程的正数解与负数解． 7．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）阅读理解并解答： 【方法呈现】（1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用． 例如：，∵． 则这个代数式的最小值为_______，这时相应的x的值是________． 【尝试应用】（2）求代数式的最小或最大值． 【拓展提高】（3）已知a、b、c是的三边长，满足，求c的取值范围． 8．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为，解得，． 当时，，．当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； (2)利用换元法解方程：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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