第5章 一元一次方程（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

第5章 一元一次方程（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 知识点二、等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 知识点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点四、一元一次方程的应用 一元一次方程应用题解题一般步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点五、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 考点1：一元一次方程及方程的解 【例题1】（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．以上结果均不正确 【变式1】（23-24七年级上·贵州遵义·期中）下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知是方程的解，则 ． 【变式3】（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，求的值． 考点2：等式的基本性质 【例题2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式2】（2024七年级上·浙江·专题练习）写出下列等式变形的依据． （1）由，得， ； （2）由，得， ； （3）由，得， ． 【变式3】（2024七年级上·浙江·专题练习）在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因． 考点3：一元一次方程的解法 【例题3】（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程： (1) (2)． 【变式1】（24-25七年级上·山东德州·期中）解下列方程： (1) (2)． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程： (1) (2) 【变式3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程： (1) (2) (3) 考点4：一元一次方程的应用 【例题4】（2024七年级上·全国·专题练习）甲、乙、丙三辆卡车所运货物的吨数之比是，已知甲车比丙车多运货物12吨，则三辆卡车共运货（　　） A．120吨 B．130吨 C．140吨 D．150吨 【变式1】（24-25七年级上·江西南昌·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这个数的和不可能的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 考点5：三种思想 思想1：转化思想 【例题5】（2024七年级上·浙江·专题练习）定义新运算： ，例如：，那么当时，的值是(  ) A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于2的关联数；若与是关于3的关联数，则的值是（   ） A． B．-1 C．3 D．6 【变式2】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则x的值为 ． 【变式3】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）定义新运算，如； 若，则称a与b互为“望一”数； 若，则称a与b互为“望外”数； (1)计算： ． (2)下列互为“望一”数的是 ．互为“望外”数的是 ． ①；②；③；④；⑤； (3)若，则x可以取哪些整数？ 思想2：分类讨论思想 【例题6】（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】．（24-25七年级上·湖南永州·期中）数轴上点A、B分别表示数字a、b，且若动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，当运动时间为（    ）秒时，P、Q相距3个单位长度． A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）根据绝对值的定义我们知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．若，则x的值为 ． 【变式3】（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）先阅读，后解题： 因为，，所以当时，可得或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程： (1)； (2)． 思想3：整体思想 【例题7】（23-24七年级上·全国·课后作业）在解方程时，可先将，分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用这种方法解方程： (1)； (2)． 【变式1】（21-22七年级上·云南昆明·期中）在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程时，把看作一个整体． 令，得：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程： 【变式2】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）【阅读材料】如何化简整式呢？数学教材第76页提示，可以把看成一个整体，进而．“看成一个整体”在数学中称为“整体思想”，它往往能把复杂问题简单化，在数学问题的解决中应用广泛．请参考阅读材料，解决以下问题： 【尝试应用】 （1）填空：已知，，则______； 【拓展探究】 （2）若关于的一元一次方程的解是，求关于的方程的解是多少； 【迁移提升】 【变式3】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，利用整体思想，求关于的一元一次方程的解． 一、单选题 1．（2023·海南·中考真题）若代数式的值为7，则x等于（    ） A．9 B． C．5 D． 2．（2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2023·四川南充·中考真题）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2021·湖南张家界·中考真题）已知方程，则 ． 6．（2021·山东枣庄·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为 ． 三、解答题 7．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． (2)写出你的解答过程． 8．（2023·河北·中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．    (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值． 9．（2023·北京·中考真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）    一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）与是互为相反数，（   ） A． B．3 C． D．1 2．（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式中，是一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 4．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列四个式子中，是方程的是（  ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把方程去分母后，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，下列不相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 7．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，则的值是（   ） A． B．1 C． D． 8．（23-24七年级上·河南周口·期末）是关于x的一元一次方程的解，则m的值是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母22个或螺栓16个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若关于x的多项式中不含有x的一次项，则 ． 12．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若和互为相反数，则 ． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）在 ①，②，③，④中，方程有 （填序号）． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如果方程是关于x的一元一次方程，那么 ． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若关于的单项式与的差仍为单项式，则的值为 ． 16．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则整数m的值为 ． 17．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知、、三点在同一直线上，某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是8千米/小时，水流速度是2千米/小时，若、两地距离为2千米，则、两地之间的距离是 ． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）某学校需要购买一批电脑，有两种方案．方案1：到商家直接购买，每台需要7000元；方案2：学校买零部件组装，每台需要6000元，另外需要支付安装费等其他费用合计3000元，学校添置 台电脑时，两种方案的费用相同． 三、解答题 19．（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程： (1)； (2)． 20．（2024七年级上·山东·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程是一元一次方程，求的值． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）已知与是同类项，试判断是不是方程的解． 23．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果方程的解与方程的解相同，求字母a的值． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）多项式是五次四项式，且单项式与该多项式的次数相同，求m，n的值． 25．（2024七年级上·浙江·专题练习）小刚和小强从环形公路的A地出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线反向匀速而行．出发后两人相遇．相遇时小刚比小强多行进，相遇后小刚回到A地． (1)两人的行进速度分别是多少？ (2)相遇后经过多少时间小强到达A地？ 26．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数是10．现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒． (1)两点之间的距离为______； (2)当时，P、B两点之间的距离为______； (3)在运动过程中，线段、、中是否会有两条线段相等？若有，请求出此时t的值；若没有，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 一元一次方程（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 知识点二、等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 知识点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点四、一元一次方程的应用 一元一次方程应用题解题一般步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点五、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 考点1：一元一次方程及方程的解 【例题1】（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．以上结果均不正确 【答案】B 【分析】本题考查根据一元一次方程的定义求出参数，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，且， ∴； 故选B． 【变式1】（23-24七年级上·贵州遵义·期中）下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元一次方程要分为两步：（1）判断是否是整式方程；（2）对整式方程化简，化简后判断是否只含有一个未知数，并且未知数的指数是1只含有一个未知数． 【详解】解：A．符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故正确，符合题意； B．含有两个未知数，是二元一次方程，故错误，不符合题意； C．未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故错误，不符合题意； D．分母含有未知数，是分式方程，故错误，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知是方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了方程解的定义，使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解． 将代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值． 【详解】解：将代入原方程得， 解得：， ∴a的值为2． 故答案为：2． 【变式3】（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义、代数式求值、有理数的乘方，根据一元一次方程的定义可得，即，再代入求值即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， 把代入得，． 考点2：等式的基本性质 【例题2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意； 故选：B 【变式1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题主要考出来等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质，是解题的关键．根据等式的基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，两边都乘以2，得，故本选项错误，不符合题意. B、，当时，，故本选项错误，不符合题意； C、，等号两边都减y加3，得，故本选项正确，符合题意； D、，当时，，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（2024七年级上·浙江·专题练习）写出下列等式变形的依据． （1）由，得， ； （2）由，得， ； （3）由，得， ． 【答案】 等式的性质1 等式的性质2 等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．分析题意，回忆等式的性质；根据等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，对（1）进行分析；根据等式的性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0），结果仍相等，对（2）（3）进行分析． 【详解】解：（1）由，得，依据是等式的性质1； （2）由，得，依据是等式的性质2； （3）由，得，依据是等式的性质2． 故答案为：等式的性质1；等式的性质2；等式的性质2 【变式3】（2024七年级上·浙江·专题练习）在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因． 【答案】(1)第一步的依据是：等式的性质1 (2)小明第二步的结论不正确，理由见解析 【分析】此题考查了等式性质的应用能力． （1）运用等式的性质1进行求解； （2）根据等式的性质2进行解答． 【详解】（1）解：∵， ∴根据等式的性质1，两边都加上， 得， ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）解：小明第二步的结论不正确，理由如下： ∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的两个数，等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以x，等式不成立， ∴小明第二步的结论不正确． 考点3：一元一次方程的解法 【例题3】（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法是解决问题的关键． （1）先去分母，再括号，移项，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （2）先去分母，再括号，移项，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，． 【变式1】（24-25七年级上·山东德州·期中）解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1成为解题的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得∶， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得，， 合并同类项，得， 系数化为1，得 ． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把y系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项合并得：， 解得：； （2）解： 去分母得：， 移项合并得：， 解得：． 【变式3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． （1）先移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （2）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （3）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 考点4：一元一次方程的应用 【例题4】（2024七年级上·全国·专题练习）甲、乙、丙三辆卡车所运货物的吨数之比是，已知甲车比丙车多运货物12吨，则三辆卡车共运货（　　） A．120吨 B．130吨 C．140吨 D．150吨 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．根据“甲车比丙车多运货物12吨”列方程求解． 【详解】解：设甲卡车运货吨，则乙卡车运货吨，丙卡车运货吨， 由题意得：， 解得：， 三辆卡车共运货（吨）． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·江西南昌·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这个数的和不可能的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这个数中最小的数为，则这个数的和为，分别代入各选项中的数，解之可得出的值，结合为整数，即可得出结论． 【详解】解：设这个数中最小的数为，则另外个数分别为，，，，，， 这个数的和为． A．根据题意得：， 解得：， 在第四列，符合题意， 这个数的和可以是，选项A不符合题意； B．根据题意得：， 解得：， 在第五列，符合题意， 这个数的和可以是，选项B不符合题意； C．根据题意得：， 解得：， 不是整数，不符合题意， 这个数的和不可能是，选项C符合题意； D．根据题意得：， 解得：， 在第一列，符合题意， 这个数的和可以是，选项D不符合题意． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，根据甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍列方程即可． 【详解】解：设调配到甲煤厂x吨，则调配到乙煤厂吨， 依题意，得， 故答案为： 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 【答案】小和尚有人，大和尚有人． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设小和尚有人，则大和尚有人，根据个馒头列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小和尚有人，则大和尚有人， 由题意得，， 解得， （人）， 答：小和尚有人，大和尚有人 考点5：三种思想 思想1：转化思想 【例题5】（2024七年级上·浙江·专题练习）定义新运算： ，例如：，那么当时，的值是(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程．根据定义的新运算，表示出的式子，再与成立方程，求出解即可． 【详解】解： ， ∴， 解得， 故选：A． 【变式1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）定义：若，则称与是关于的关联数．例如：若，则称与是关于2的关联数；若与是关于3的关联数，则的值是（   ） A． B．-1 C．3 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了解一元一次方程，根据题意列出方程求解即可． 【详解】根据题意可得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得，． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则x的值为 ． 【答案】 【分析】已知等式利用题中新定义化简，整理即可求出x的值． 本题考查新定义运算及解一元一次方程算，解题关键是弄清题中的新定义． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）定义新运算，如； 若，则称a与b互为“望一”数； 若，则称a与b互为“望外”数； (1)计算： ． (2)下列互为“望一”数的是 ．互为“望外”数的是 ． ①；②；③；④；⑤； (3)若，则x可以取哪些整数？ 【答案】(1)4； (2)①④；③⑤； (3)或0或1． 【分析】本题考查了新定义运算、绝对值的化简、解一元一次方程等知识点，根据新定义将所给等式转化为带有绝对值的式子是解答本题的关键． （1）根据新定义的运算代入数值计算即可； （2）根据新定义的运算代入数值计算，再根据“望一”数和“望外”数的定义逐个进行判断即可； （3）根据新定义的运算化简后，通过分类讨论的取值范围把含有绝对值的方程转化为一元一次方程，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：4． （2）①， 是互为“望一”数； ②， 既不是互为“望一”数，也不是互为“望外”数； ③， 是互为“望外数”； ④， 是互为“望一数”； ⑤， 是互为“望外数”； 综上所述：互为“望一”数的是①④，互为“望外”数的是③⑤． 故答案为：①④；③⑤． （3）， ， ∴， 当时，， 解得， 当时，恒成立， 则满足的任意实数都满足题意， 当时，， 解得， 的取值范围为， 又为整数， 或0或1． 思想2：分类讨论思想 【例题6】（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据可得，，由已知条件可得表示的数是，表示的数是，而、两点相距个单位长度，故可列方程，解之即可得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， 表示的数是，表示的数是， 根据题意可得： ， 即：， 解得：或， 故选：． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，解一元一次方程，列代数式，整式的加减运算，绝对值方程等知识点，用含的代数式表示、表示的数并列方程解决问题是解题的关键． 【变式1】．（24-25七年级上·湖南永州·期中）数轴上点A、B分别表示数字a、b，且若动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，当运动时间为（    ）秒时，P、Q相距3个单位长度． A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，解一元一次方程，列代数式，整式的加减运算，绝对值方程等知识点，用含的代数式表示、表示的数并列方程解决问题是解题的关键．根据可得，，由已知条件可得表示的数是，表示的数是，而、两点相距3个单位长度，故可列方程，解之即可得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， 动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，设运动时间为秒， 表示的数是，表示的数是， 根据题意可得： ， 即：， 解得：或3， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）根据绝对值的定义我们知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．若，则x的值为 ． 【答案】或4 【分析】本题考查的是绝对值的含义，一元一次方程的应用，分三种情况：当时，当时，当时，再化简绝对值，建立一元一次方程求解即可． 【详解】解：当时，， ∴， 解得：， 当时， ， 当时， ∴， 解得：， 综上：或； 故答案为：或4 【变式3】（23-24七年级上·陕西汉中·阶段练习）先阅读，后解题： 因为，，所以当时，可得或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据材料提示，绝对值的性质，解一元一次方程的方法即可求解； （2）根据材料提示，绝对值的性质，解一元一次方程的方法即可求解； 【详解】（1）解：， ∴当时，；当时，； ∴的解为或． （2）解：， ∴当时，；当时，； ∴的解为或． 【点睛】本题主要考查绝对值的化简求值，解一元一次方程的方程，理解材料提示，掌握绝对值的性质，解方程的方法是解题的关键． 思想3：整体思想 【例题7】（23-24七年级上·全国·课后作业）在解方程时，可先将，分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用这种方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可． （2）将、分别看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可． 【详解】（1）移项，得， 整体合并，得， 即，解得. （2）. 移项、合并同类项得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得. 【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，解决本题的关键是要注意用了整体代入思想 【变式1】（21-22七年级上·云南昆明·期中）在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程时，把看作一个整体． 令，得：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程： 【答案】x= 【分析】把x+2看作一个整体，再按照解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：令a=x+2，则2a=2x+4， 原方程得：， 去括号，得：4a-20=1， 移项，得：4a=21， 系数化为1，得：a=． 故x+2=， 解得x=． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）【阅读材料】如何化简整式呢？数学教材第76页提示，可以把看成一个整体，进而．“看成一个整体”在数学中称为“整体思想”，它往往能把复杂问题简单化，在数学问题的解决中应用广泛．请参考阅读材料，解决以下问题： 【尝试应用】 （1）填空：已知，，则______； 【拓展探究】 （2）若关于的一元一次方程的解是，求关于的方程的解是多少； 【迁移提升】 【答案】（）；（） 【分析】（）首先由得，然后将，，代入之中进行计算即可得出答案； （）首先设则方程可转化为 ，进而得，然后结合已知可得出，进而得 ，由此解出即可； 【详解】（）∵， ∴，即， 又∵， ∴ ， 故答案为：； （）设， 则方程可转化为：， 即， ∵关于的一元一次方程的解是， ∴关于的一元一次方程的解是， ∴， 即， ∴， 即关于的方程的解是； 【变式3】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，利用整体思想，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解； （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于的方程，再求解； （3）求出关于的一元一次方程的解，然后利用整体思想解决问题； 利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， 关于的方程与方程是“美好方程”， ， ； （2） “美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为， 另一个方程的解为：， 两个解的差为8， 或， 或； （3）， ， 关于的一元一次方程和是“美好方程”， 关于的一元一次方程的解为：， 关于的一元一次方程中，； 关于的一元一次方程的解为； 一、单选题 1．（2023·海南·中考真题）若代数式的值为7，则x等于（    ） A．9 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据题意得出，然后解方程即可． 【详解】解：∵代数式的值为7， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得出． 2．（2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质分析得出答案． 【详解】解：A、若ac=bc，当c≠0，则a=b，故此选项错误； B、若，则，故此选项错误； C、若，则，故此选项正确； D、若，则，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键． 3．（2023·四川南充·中考真题）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设长木长为x尺，则绳子长为尺，根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺”，可列出方程． 【详解】设长木长为x尺，则绳子长为尺，根据题意，得 故选：A 【点睛】本题考查一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系列出方程是解题的关键． 4．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式，，然后化简代入即可解题． 【详解】解：设“▲”的质量为a， 由甲图可得，即， 由乙图可得，即， ∴， 故选C． 二、填空题 5．（2021·湖南张家界·中考真题）已知方程，则 ． 【答案】 【分析】直接移项求解一元一次方程的解． 【详解】解：， ， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程的解，解题的关键是：掌握解一元一次方程的一般步骤． 6．（2021·山东枣庄·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为 ． 【答案】1 【分析】如图（见解析），先根据“每一横行、两条斜对角线上的数字之和都是15”求出图中①和②表示的数，再根据“每一竖行上的数字之和都是15”建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，由题意，图中①表示的数是， 图中②表示的数是， 则， 解得， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确求出图中①和②所表示的数是解题关键． 三、解答题 7．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解 （1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断； （2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解． 【详解】（1） （2）解：， 去分母，得，， 移项，得：， 合并同类页，得：， 解得：． 8．（2023·河北·中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．    (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值． 【答案】(1)珍珍第一局的得分为6分； (2)． 【分析】（1）根据题意列式计算即可求解； （2）根据题意列一元一次方程即可求解. 【详解】（1）解：由题意得(分)， 答：珍珍第一局的得分为6分； （2）解：由题意得， 解得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 9．（2023·北京·中考真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）    【答案】边的宽为，天头长为 【分析】设天头长为，则地头长为，边的宽为，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可． 【详解】解：设天头长为， 由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为， 边的宽为， 装裱后的长为， 装裱后的宽为， 由题意可得： 解得， ∴， 答：边的宽为，天头长为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系． 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）与是互为相反数，（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程、代数式求值．利用互为相反数两数之和为0列出一元一次方程，求出一元一次方程的解即可解答． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∴， 则， 故选：D． 2．（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】A．当时，，此时和不一定相等，故该选项错误，不符合题意； B．如果，那么，故该选项错误，不符合题意； C．如果，那么，故该选项错误，不符合题意； D．如果，那么，正确，符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各式中，是一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义；根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程，进行判断即可． 【详解】解：A，中含有2个未知数，不是一元一次方程，不合题意； B，中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不合题意； C，是一元一次方程，符合题意； D，不是整式方程，不是一元一次方程，不合题意； 故选C． 4．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列四个式子中，是方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题主要考查的是方程的定义，解题的关键是理解方程的定义． 依据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数），逐个判断即可． 【分析】解：A、不含未知数，不是方程，故此选项不符合题意； B、是方程，故此选项符合题意； C、不是等式，故此选项不符合题意； D、不是等式，故此选项不符合题意． 故选：B． 5．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把方程去分母后，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤为∶去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1，方程两边同乘以8去分母得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程去分母，得， 故选：B． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，下列不相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．根据等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．若，则，所以A选项不符合题意； B．若，则，所以B选项不符合题意； C．若，则，所以C选项不符合题意； D．若，则，所以D选项符合题意． 故选：D． 7．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，则的值是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，本题属于基础题型． 根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程叫一元一次方程，即可求出答案． 【详解】解：根据一元一次方程的定义得到且， 由解得， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8．（23-24七年级上·河南周口·期末）是关于x的一元一次方程的解，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程计算即可求出m的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：A． 9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母22个或螺栓16个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题抽象一元一次方程，要保证配套，则生产的螺母的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍螺母数量． 设分配名工人生产螺栓，则名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按配套，可得出方程． 【详解】解：设分配名工人生产螺栓，则名生产螺母， ∵一个螺栓配套两个螺母，每人每天生产螺母22个或螺栓16个， ∴可得． 故选：A． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可． 【详解】解：由题知， 因为每3人乘一车，最终剩余2辆车， 所以总人数可表示为：， 因为每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘， 所以总人数可表示为：， 则可建立方程：． 故选：B． 二、填空题 11．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若关于x的多项式中不含有x的一次项，则 ． 【答案】 【分析】先合并同类项，再令x的系数为0，列式解答即可． 本题考查了整式中的不含项计算，解方程，熟练掌握计算是解题的关键． 【详解】解：， 由不含有x的一次项， 故， 解得． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若和互为相反数，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查相反数的性质，掌握互为相反数的两个数和为0是解决问题的关键．根据相反数的性质列方程，直接求解方程即可得到答案． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， 解得：， 故答案为：7． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）在 ①，②，③，④中，方程有 （填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了方程，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 根据含有未知数的等式叫方程，可得答案． 【详解】解：∵①，是等式但不含未知数，故不是方程； ∵②③，含有未知数的等式，故是方程； ④，含有未知数但不是等式，故不是方程， 故答案为：②③． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如果方程是关于x的一元一次方程，那么 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元一次方程，熟记一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， 解得：． 故答案为：0． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若关于的单项式与的差仍为单项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同类项的判断，合并同类项，代数式求值．掌握同类项的定义是解答本题的关键． 由题意可得单项式与是同类项，即可得出，解出、的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵单项式与的差仍为单项式， ∴单项式与是同类项， ， 解得：， ， 故答案为：． 16．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则整数m的值为 ． 【答案】3或4或6 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解是正整数得出关于m的方程是解题关键． 根据方程的解是正整数，可得4的约数，根据4的约数，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由，得， 因为关于x的方程的解是正整数， 得，或． 解得，或． 故答案为：3或4或6． 17．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知、、三点在同一直线上，某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是8千米/小时，水流速度是2千米/小时，若、两地距离为2千米，则、两地之间的距离是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出数量关系，列出方程是解答关键． 设、两地之间的距离是千米，分两种情况：当在线段上时，当在线段的反向延长线上时，根据顺流速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度列出方程求解． 【详解】解：设、两地之间的距离是千米， 当在线段上时， 则， 解得． 当在线段的反向延长线上时， ， 解得， 即、两地之间的距离是或． 故答案为：或． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）某学校需要购买一批电脑，有两种方案．方案1：到商家直接购买，每台需要7000元；方案2：学校买零部件组装，每台需要6000元，另外需要支付安装费等其他费用合计3000元，学校添置 台电脑时，两种方案的费用相同． 【答案】3 【分析】该题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式． 设学校添置x台电脑，根据“两种方案的费用相同”列出方程并解答． 【详解】解：设学校添置x台电脑， 由题意，得， 解得：， 答：当学校添置3台电脑时，两种方案的费用相同； 故答案为：3． 三、解答题 19．（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等． （1）通过合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值； （2）通过移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值． 【详解】（1）解：， ， ； （2）， ， ， ． 20．（2024七年级上·山东·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （4）先证明原方程，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化1得，； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得； （3）解：， 去小括号，得， 整理，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得； （4）解： 整理，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化成1，得：． 21．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程是一元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，列出方程与不等式，求解即可． 【详解】解：由题意，得，且， 所以，且， 所以． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）已知与是同类项，试判断是不是方程的解． 【答案】是 【分析】本题考查了同类项和方程的解，方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点． 根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，求出m和n值，再代入从而求出x的值．把x的值代入方程进行检验即可判断． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 解得， ∴， 把代入方程， 左边， 右边， 左边＝右边． ∴是方程的解． 23．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果方程的解与方程的解相同，求字母a的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 先解方程求出，然后把求出的方程的解代入，再解关于的方程求出即可． 【详解】解：对方程， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得； 把代入，得， 解得：． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）多项式是五次四项式，且单项式与该多项式的次数相同，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式次数及项数，解一元一次方程等．根据题意列式可得，继而列式可得． 【详解】解：∵多项式是五次四项式， ∴， ∴， ∵单项式与该多项式的次数相同， ∴， ∴． 25．（2024七年级上·浙江·专题练习）小刚和小强从环形公路的A地出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线反向匀速而行．出发后两人相遇．相遇时小刚比小强多行进，相遇后小刚回到A地． (1)两人的行进速度分别是多少？ (2)相遇后经过多少时间小强到达A地？ 【答案】(1)两人的行进速度分别是， (2)相遇后经过小强到达A地 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系列出方程； （1）可根据相遇时两人所用时间相等，且两人所行路程之和为环形公路的距离，从而列出方程求出解； （2）利用路程÷速度=时间即可解答； 【详解】（1）解：设小刚的速度为，则相遇时小刚走了，小强走了， 由题意得，， 解得：， 则小强的速度为：， 答：两人的行进速度分别是，； （2）． 答：相遇后经过小强到达A地． 26．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数是10．现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒． (1)两点之间的距离为______； (2)当时，P、B两点之间的距离为______； (3)在运动过程中，线段、、中是否会有两条线段相等？若有，请求出此时t的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)12 (2)9 (3)是；当或3或或4或6时，线段、、中存在两条线段相等 【分析】（1）直接由数轴上两点间距离计算方法即可完成； （2）分别求出此时两点表示的数，由数轴上两点间距离计算方法即可完成； （3）分5种情况考虑，利用距离相等建立一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点A对应的数是，点B对应的数是10， ∴A、B两点之间的距离为：； （2）解：当时，点P表示的数为：， 点Q表示的数为：， ∴P、Q两点之间的距离为：； （3）解：在运动过程中，线段、、中存在两条线段相等，理由如下： 依题意得：，， 有以下几种情况： ①当且P与Q不重合时，如图所示 则有：， 解得：； ②当P与B重合时，即，如图所示． 则有：， 解得：； ③当时，如图所示． 则有：， 解得：； ④当P与Q重合时，即， 则有：， 解得：； ⑤当时，如图所示： 则有：， 解得：； 综上所述，当或3或或4或6时，线段、、中存在两条线段相等． 【点睛】本题考查了数轴上两点间距离，动点问题，有理数的运算，一元一次方程等知识，解题的关键是利用分类讨论思想． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$