专题27.12 相似三角形经典模型——A字模型与8字模型（2大模型6类题型）（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题27.12 相似三角形经典模型——A字模型与8字模型（2大模型6类题型）（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【模型一】“A字模型”与“8字模型” 【模型二】“反A字模型”与“反8字模型” 题型目录 【题型1】A字模型......................................................2 【题型2】8字模型......................................................5 【题型3】反A字模型...................................................11 【题型4】反8字模型...................................................14 【题型5】特殊反A字模型（母子模型）...................................16 【题型6】A字模型和8字模型综合.......................................19 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】A字模型 【例1】（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，在中，是上一点，连接，，是的中点，连接并延长交于点，则的值为 ． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题关键．作，交于点，得到，，问题得解． 解：作，交于点， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的点处，并且，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判定四边形是菱形，再证明，即可求解． 解：在中， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是菱形； ∴ ∴ ∴ 设， ∴， ∴； 又； 解得． 故选：A． 【点拨】本题考查了折叠问题，菱形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定；熟练掌握以上知识是解题的关键 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，直线与反比例函数交于点，与轴和轴分别交于点和点，于点，若点是线段的中点，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，相似三角形的判定与性质．由点是线段的中点，可得，证明，得到，根据，求出，得到点的坐标，利用待定系数法可得结论． 解：点是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数上， ， 故答案为：． 【题型2】8字模型 【例2】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，抛物线与x轴交于点O和点A，将抛物线沿x轴向右平移3个单位长度，得到抛物线．   (1)抛物线表达式为；_______； (2)点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．设点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q． ①若，求的值； ②试判断是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)①；②为定值，这个定值为6． 【分析】（1）根据平移的性质，求出抛物线的解析式即可； （2）①求出点坐标，再求出直线的表达式，求出点坐标即可求解； ②过点P作轴，过点Q作轴于点Q，证明，得出，根据，，，，得出，求出． 解：（1）∵， ∴将抛物线沿x轴向右平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为： ； （2）把代入得，， 点， 令， 解得：， ∴点， 设直线的表达式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去），， 则； ②是定值；过点P作轴，过点Q作轴于点Q，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴， ∵点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q， ∴点P的纵坐标为，点Q的纵坐标为， ∴，，，， ∴， ∴， 整理得：， ∴． 【点拨】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，相似三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，已知四边形是平行四边形，点E在上，，相交于点F，若，且，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定和性质是解题的关键． 利用平行四边形的性质可得出且，再证，得，结合可得出，再利用相似三角形的性质，代入求出，即可得出答案． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（2024·上海黄浦·三模）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形重心的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，旋转的性质，先根据旋转的性质得到，，，根据三角形重心的性质得到为边上的中线，，则，根据斜边上的中线性质得到，所以，接着证明得到，所以，然后利用相似比得到的值，从而得到的值，熟练掌握三角形重心的性质和三角形相似的判定理与性质定理是解题的关键． 解：∵绕点旋转得到， ∴，，， ∵点为的重心， ∴为边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，点是图像上任一点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的平行线交的图像于点，连接交于点，若点是的中点，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，过点B作于点E，根据反比例函数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 解：连接，过点B作于点E， ∵点是图像上任一点，过点作轴的垂线，垂足为点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵点B是反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， 故选：B． ． 【题型3】反A字模型 【例3】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，点，分别是，边上的两点，且，，，，， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】本题考查了三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）直接根据两边对应成比例且夹角相等判定即可； （2）利用相似三角形的性质即可求解． 解：（1）证明：，， ． 又， ． （2）解：， ， ． ． 【变式1】（24-25九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，、是的直径，且，连接，点在弧上，连接与交于点，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查圆周角定理和相似三角形的判定与性质，连接，由勾股定理得，求出，再证明得，从而可得结论． 解：连接， ∵ ∴ 在中， ∴， ∴， ∴，， ∵是的直径， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式2】（24-25九年级上·山东济南·期中）在Rt中，，，，现有动点从点出发，沿方向向点运动，动点从点出发，沿方向向点运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点，就停止运动，设运动时间为秒，求： (1)当为多少时，四边形的面积是面积的2倍？ (2)当为多少时，中有一个内角与相等？ 【答案】(1)为4秒时，四边形的面积是面积的2倍. (2)当为或2时，中有一个内角与相等. 【分析】本题是三角形的综合题，考查了三角形面积的计算，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题关键． （1）根据面积列出一元二次方程，求值即可. （2）分两种情况讨论：或，再根据相似三角形的判定和性质即可求得答案. 解：（1）∵动点从点出发，沿方向向点运动，点的速度是， ， ∵动点从点出发，沿线段方向向点运动，点的速度是， ， ． 四边形的面积是面积的2倍，，， ， ， 即：，解得：． 为4秒时，四边形的面积是面积的2倍. （2）， ①当时，， ， ， 解得：； ②当时，， ， 解得：． 综上所述，当为或2时，中有一个内角与相等． 【题型4】反8字模型 【例4】（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，已知线段与交于点O，，，，，求证：． 【分析】本题考查相似三角形的判定，找准对应边的比，正确计算是本题的解题关键． 根据题意求得，，进而判定三角形相似． 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，，相交于点，点，，，都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，延长到到F点使，与格线交于点G，连接，利用网格特征得到 再证明 然后根据相似三角形的性质求解. 解：延长到F点使，与格线交于点G，连接、， 则，， ， ∴，， ∽， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·湖南永州·期中）如图，，，，，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，利用两组对应角相等的两个三角形相似得到，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 解：，， ， ，即， 解得，， 故答案为：． 【题型5】特殊反A字模型（母子模型） 【例5】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，D是边上一点，且， (1)求证：； (2)若，，的面积为9，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)27 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质． （1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定即可证明，即得出； （2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解． （1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：，， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴的面积． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，点在上，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，难点在于找对应边． 首先证明出，得到，然后代数求出，进而求解即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）探究： (1)如图一，若，求证：； (2)如图二，若，，求的长； (3)如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意 一点，且，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)5 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形． （1）证明，即可得出结论； （2）作平分，证明，推出，等积法证明，进行求解即可； （3）在上截取，连接，证明，得到，进而得到，勾股定理求出的值即可得出结果． 解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴； （2）作平分，则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点到距离相等，设点到距离均为， ∴， 又∵（同高三角形的面积比等于底边比）， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； （3）在上截取，连接，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为5． 【题型6】A字模型和8字模型综合 【例6】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，点，点分别在菱形的边，上，且，交于点，延长交的延长线于，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定、菱形的性质、比例的选择等知识，解题的关键是得到，学会设参数，属于中考常考题型． 设，则，，由，得，求出，再由，得，求出，再通过计算即可得结论． 解：四边形是菱形， ， ， 设，则，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，点在边上，点在线段上，交于点，交于点，若，则的长为（    ） A．2 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，过点作，证，得，同理可得，进而，，再证，利用相似三角形的性质即可得解． 解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·四川内江·期中）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F．点D是上任意一点．连结交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，且、恰好将三等分．求的值； （3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定及性质． （1）根据，可得，从而得到，同理，进而得到，即可； （2）利用条件证明，，由（1）知，，设，则，，由得，，（负值舍去），； （3）利用相似转化线段之间的关系，设，根据，得，，由，得到，，最后代入． 解：（1）， ， ， 同理， ， ； （2）解：∵恰好将三等分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， 设则， 由得，， ∴（负值舍去）， ∴； （3）解：过G点作的平行线，分别交于E、F， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）中结论知，， 设， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题27.12 相似三角形经典模型——A字模型与8字模型（2大模型6类题型）（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【模型一】“A字模型”与“8字模型” 【模型二】“反A字模型”与“反8字模型” 题型目录 【题型1】A字模型.......................................................2 【题型2】8字模型.......................................................3 【题型3】反A字模型....................................................4 【题型4】反8字模型....................................................5 【题型5】特殊反A字模型（母子模型）....................................6 【题型6】A字模型和8字模型综合.........................................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】A字模型 【例1】（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，在中，是上一点，连接，，是的中点，连接并延长交于点，则的值为 ． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的点处，并且，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，直线与反比例函数交于点，与轴和轴分别交于点和点，于点，若点是线段的中点，，，则的值为 ． 【题型2】8字模型 【例2】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，抛物线与x轴交于点O和点A，将抛物线沿x轴向右平移3个单位长度，得到抛物线．   (1)抛物线表达式为；_______； (2)点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．设点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q． ①若，求的值； ②试判断是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，已知四边形是平行四边形，点E在上，，相交于点F，若，且，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式2】（2024·上海黄浦·三模）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，点是图像上任一点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的平行线交的图像于点，连接交于点，若点是的中点，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型3】反A字模型 【例3】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，点，分别是，边上的两点，且，，，，， (1)求证：； (2)求的长． 【变式1】（24-25九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，、是的直径，且，连接，点在弧上，连接与交于点，若，则 ． 【变式2】（24-25九年级上·山东济南·期中）在Rt中，，，，现有动点从点出发，沿方向向点运动，动点从点出发，沿方向向点运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点，就停止运动，设运动时间为秒，求： (1)当为多少时，四边形的面积是面积的2倍？ (2)当为多少时，中有一个内角与相等？ 【题型4】反8字模型 【例4】（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，已知线段与交于点O，，，，，求证：． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，，相交于点，点，，，都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·湖南永州·期中）如图，，，，，则＝ ． 【题型5】特殊反A字模型（母子模型） 【例5】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，D是边上一点，且， (1)求证：； (2)若，，的面积为9，求的面积． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，点在上，，，，则 ． 【变式2】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）探究： (1)如图一，若，求证：； (2)如图二，若，，求的长； (3)如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意 一点，且，求的最小值． 【题型6】A字模型和8字模型综合 【例6】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，点，点分别在菱形的边，上，且，交于点，延长交的延长线于，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，点在边上，点在线段上，交于点，交于点，若，则的长为（    ） A．2 B． C． D．无法确定 【变式2】（24-25九年级上·四川内江·期中）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F．点D是上任意一点．连结交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，且、恰好将三等分．求的值； （3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$