专题03 线段与角计算中的动态探究问题（两种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

专题03线段与角计算中的动态探究问题（两种技巧精讲精练+过关检测） 题型01线段中的动点问题 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A． B． C． D． 【例1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知线段，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒的速度沿向左运动，设运动时间为t秒．在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段的长 ． 【例1-3】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，    (1)_______，_______； (2)若点是线段上一点，且满足，求的长； (3)若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，，两点停止运动． ①当为何值时，； ②当点经过点时，动点从点出发，以的速度也向右运动．当点追上点后立即返回，以的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以的速度向点运动，如此往返，直到点，停止时，点也停止运动．在此过程中，点行驶的总路程是多少？ 【变式演练】 【变式1-1】（21-22七年级上·河南周口·期末）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），， 下列结论 ①， ②当点与点重合时，； ③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的是（    ） A．① B．①④ C．①②③④ D．①③④ 【变式1-2】（22-23七年级上·广东深圳·期末）如图，点C是线段上一点，，动点M从A出发以的速度沿直线向终点运动，同时动点N从C出发以速度沿直线向终点B运动，当有一点到达终点后，两点均停止运动，在运动过程中，总有，则 ． 【变式1-3】（24-25七年级上·新疆伊犁·期中）如图，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)________，________，________． (2)点P为数轴上一动点，则的最小值为________，此时点P表示的数为________． (3)若点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则________，________．（用含t的代数式表示） (4)的值是否随着t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 题型02角中的旋转问题 【典例分析】 【例2-1】（21-22七年级上·北京海淀·期末）如图，三角尺的顶点在直线上，．现将三角尺绕点旋转，若旋转过程中顶点始终在直线的上方，设，则下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．与一定互余 C．与有可能互补 D．若增大，则一定减小 【例2-2】（23-24七年级上·湖南常德·期末）如图，是内部的一条射线，，分别是和的平分线，当绕点O转动时，的大小 （填“会”或“不会”）改变． 【例2-3】（24-25七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方任意作射线，一直角三角板的直角顶点放在点O处，且三角板可以围绕点O旋转． 【操作探究】如图1，将三角板的一边与射线重合时． （1）若，______°； （2）若，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，如图2，当恰好是的平分线时，求旋转角是多少度； 【归纳总结】设，在旋转的过程中当边恰好是的平分线时，通过观察和测量猜想和有怎样的数量关系，试着说明理由． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，将两块三角板的直角与的顶点重合在一起，绕点转动三角板，使两块三角板仍有部分重叠，且，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分，，将三角板绕点旋转（旋转过程中与均指大于且小于的角）将三角板绕点旋转一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 【变式2-3】（21-22七年级上·安徽安庆·期末）如图，点是直线上的一点． (1)如图，，，求的度数： (2)在中，绕着点顺时针转动（与重合即停止）如图，、分别平分、，则在转动过程中，的大小是否变化？若不变，求出的大小；若改变，请说明理由； (3)在中，线段、绕着点顺时针转动，速度分别为每秒和每秒当与重合时停止转动，、分别平分、，设转动的时间为秒，则当等于多少时？ 一、单选题 1．（23-24七年级上·全国·期末）如图，点是线段上一动点，且不与点，重合，点，分别是线段，的中点，若，则线段的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，将一副三角尺角和角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，在旋转过程中三角板的边始终在的内部，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 二、填空题 3．（22-23七年级上·天津和平·期末）如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示． （1）若点C、D运动时，总有，直接填空： ； （2）在（1）的条件下，N是直线上一点，且，则 ． 4．（22-23七年级上·陕西西安·期末）用一副三角尺，按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，在旋转过程中，若平分时，则三角尺运动的时间是 ． 5．（23-24七年级上·河南焦作·期末）如图，将三角板的直角顶点放在直线上，平分，绕点转动三角板，若，则 °．    6．（23-24七年级上·辽宁辽阳·期末）一般地，从一个角的顶点引出的两条射线，把这个角分成三个相等的角，这两条射线称为这个角的三等分线．如图，直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使，将三角板绕点在直线上方转动，若转动到是的三等分线时，的度数为 ． 三、解答题 7．（2024七年级上·全国·专题练习）已知一副直角三角尺和，，，，． (1)将两个直角三角尺按如图1摆放，点在边上，则 ； (2)将直角三角尺从图1位置绕点逆时针方向转到图2位置，使恰好平分，求的度数； (3)如图3，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，若三角尺在内部绕点任意转动（均在内部），试判断的度数是否会发生变化？通过计算说明理由． 8．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）（1）已知：如图1，是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．当点在斜边上移动时，　　； （2）把直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上： ①点和点在直线的上方（如图），此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点旋转到点在直线的下方、点仍然在直线的上方时（如图），与的数量关系是　　； ③当把这把直角三角板绕顶点旋转到点和点都在直线的下方时（如图），与的数量关系是　　． 9．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧）， (1)________，________； (2)①当点与点重合时，________； ②当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，探索、、之间的数量关系； (3)在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度是定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 10．（21-22七年级上·云南楚雄·期末）乐乐对几何中线段的中点与角平分线等兴趣浓厚，请你和乐乐一起探究下面的问题吧．如图1，线段，，线段在线段上运动，E、F分别是的中点． (1)若，请求出的长； (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请直接写出的长度；如果有变化，请说明理由； (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，在内部转动，、分别平分和．若，，求的度数． 11．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长． (2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03线段与角计算中的动态探究问题（两种技巧精讲精练+过关检测） 题型01线段中的动点问题 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，根据两点间距离进行计算即可判断；利用路程除以速度即可判断；分两种情况，点在点的右边，点在点的左边，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可判断；分两种情况，点在点的右边，点在点的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断；根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 【详解】解：∵已知(在的左侧)是数轴上的两点，点对应的数为，且， ∴对应的数为，故正确； ∵， ∴点到达点时，，故是正确的； 当点在点右边时， ∵， ∴， ∴； 当点在点左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故错误； 在点的运动过程中，当点在点右边时， ； 在点的运动过程中，当点在点左边时， ； ∴在点的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故错误； ∴正确结论有， 故选：． 【例1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知线段，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒的速度沿向左运动，设运动时间为t秒．在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段的长 ． 【答案】或 【分析】本题考查两点间的距离，t秒后点P的路程是，点Q的路程是，再根据两点运动的方向和的长可得答案． 【详解】解：∵t秒后点P的路程是，点Q的路程是，， ∴在P与Q相遇前，； 在P与Q相遇后，． 故答案为：或． 【例1-3】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，    (1)_______，_______； (2)若点是线段上一点，且满足，求的长； (3)若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，，两点停止运动． ①当为何值时，； ②当点经过点时，动点从点出发，以的速度也向右运动．当点追上点后立即返回，以的速度向点运动，遇到点后再立即返回，以的速度向点运动，如此往返，直到点，停止时，点也停止运动．在此过程中，点行驶的总路程是多少？ 【答案】(1)8，4 (2) (3)①或② 【分析】本题考查线段的和与差，一元一次方程的应用，两点间的距离： （1）由于，点O是线段上的一点，，则，依此即可求解； （2）根据图形可知，点C是线段上的一点，可设的长是，根据，列出方程求解即可； （3）①分在线段上和在线段的延长线上时，两种情况讨论求解即可；②求出点P经过点O到点P，Q停止时的时间，再根据路程速度时间即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8，4； （2）设的长是， 当点在线段上时，如图：    则：，解得：； 当点在线段上时，如图：    则：，解得：（舍去）； 故的长是； （3）①由题意，得：，，则：， 当在线段上时，，由题意，得：， 解得：， 当在线段的延长线上时，，由题意，得：，解得：； 综上：或； ②∵， ∴点运动到点时，，此时两点的间的距离为：， 当点与点重合时，所需时间为：秒， ∴点行驶的总路程是． 【变式演练】 【变式1-1】（21-22七年级上·河南周口·期末）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），， 下列结论 ①， ②当点与点重合时，； ③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的是（    ） A．① B．①④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出，，即可判断①结论；根据点与点重合时，得到点表示的数为2，即可判断②结论；设点对应的数是，根据数轴上两点之间距离公式得出，，，即可判断③结论；先根据数轴上两点之间距离公式得到，再利用线段中点得到，即可判断④结论． 【详解】解：， ，， ，，①结论正确； 点所对应的数是， 点所对应的数是4， ， ， 当点与点重合时，且点在点的左侧， 点表示的数为2， ，②结论错误； 当点与点重合时，点对应的数是4，点对应的数是2， 设点对应的数是， 则，，， ，③结论正确； ，， ， 为线段的中点，为线段的中点， ， ，④结论正确， 结论正确的是①③④， 故选D． 【点睛】本题考查了数轴的性质，解题关键是掌握数轴上两点之间的距离公式，线段中点的含义 【变式1-2】（22-23七年级上·广东深圳·期末）如图，点C是线段上一点，，动点M从A出发以的速度沿直线向终点运动，同时动点N从C出发以速度沿直线向终点B运动，当有一点到达终点后，两点均停止运动，在运动过程中，总有，则 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题主要考查线段的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握线段的和差关系及一元一次方程的应用是解题的关键．设运动时间为秒，，将图中线段用和的代数式表示出来，再根据求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，，则， 依题意得，，，， 根据在运动过程中，总有得：， 解得：， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级上·新疆伊犁·期中）如图，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)________，________，________． (2)点P为数轴上一动点，则的最小值为________，此时点P表示的数为________． (3)若点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则________，________．（用含t的代数式表示） (4)的值是否随着t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)；； (2)8； (3)； (4)的值不变，且 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的非负性，有理数的分类： （1）最多的负整数为，则，再由绝对值的非负性得到，则； （2）设点P表示的数为x，由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；，则，根据表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，得到当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为，再由当点P与点B重合时，有最小值，则当时，和能同时取得最小值，故当时，有最小值，最小值为； （3）由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （4）根据（3）所求计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；；； （2）解：设点P表示的数为x， 由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；， ∴， ∴， ∵表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和， ∴当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为， 又∵当点P与点B重合时，有最小值， ∴当时，有最小值， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：8；； （3）解：由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：；； （4）∵，， ∴ ， ∴的值不变，且． 题型02角中的旋转问题 【典例分析】 【例2-1】（21-22七年级上·北京海淀·期末）如图，三角尺的顶点在直线上，．现将三角尺绕点旋转，若旋转过程中顶点始终在直线的上方，设，则下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．与一定互余 C．与有可能互补 D．若增大，则一定减小 【答案】C 【分析】先画图形，再根据补角的定义得出即可． 【详解】解：①如图，当在直线同侧时， 和互余， 即和互余． ②如图，当点在的下方时， 当，时， ∴， ∴即与有可能互补． 综上，和互余或者与有可能互补， 故选． 【点睛】本题考查了补角与余角，能熟记补角的定义是解题的关键 【例2-2】（23-24七年级上·湖南常德·期末）如图，是内部的一条射线，，分别是和的平分线，当绕点O转动时，的大小 （填“会”或“不会”）改变． 【答案】不会 【分析】本题考查角度变化问题，涉及角平分线性质、角的和差倍分关系及变化，由角平分线定义，利用角的和差倍分关系表示出，再由绕点O转动时，始终保持大小不变即可得到答案，数形结合，准确表示出是解决问题的关键． 【详解】解：，分别是和的平分线， ， ， 是内部的一条射线， 当绕点O转动时，始终保持大小不变， 的大小不会改变， 故答案为：不会． 【例2-3】（24-25七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方任意作射线，一直角三角板的直角顶点放在点O处，且三角板可以围绕点O旋转． 【操作探究】如图1，将三角板的一边与射线重合时． （1）若，______°； （2）若，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，如图2，当恰好是的平分线时，求旋转角是多少度； 【归纳总结】设，在旋转的过程中当边恰好是的平分线时，通过观察和测量猜想和有怎样的数量关系，试着说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】（1）由邻补角和余角的定义求出，即可得出结论； （2）由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解； （3）用分别求出和，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为； （2）因为恰好是的平分线，， 所以， 因为 所以； 所以旋转角是50度； （3） 理由：因为恰好是的平分线 因为， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，将两块三角板的直角与的顶点重合在一起，绕点转动三角板，使两块三角板仍有部分重叠，且，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和与差．根据题意可得，，再由，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：B 【变式2-2】（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分，，将三角板绕点旋转（旋转过程中与均指大于且小于的角）将三角板绕点旋转一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，分在上方和下方两种情况解答：先求出，再根据角平分线的定义求出，结合三角板的度数计算即可求解，根据题意，运用分类讨论思想进行解答是解题的关键． 【详解】解：当在上方时，如图， ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 当在下方时，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； ∴的度数为或， 故答案为：或． 【变式2-3】（21-22七年级上·安徽安庆·期末）如图，点是直线上的一点． (1)如图，，，求的度数： (2)在中，绕着点顺时针转动（与重合即停止）如图，、分别平分、，则在转动过程中，的大小是否变化？若不变，求出的大小；若改变，请说明理由； (3)在中，线段、绕着点顺时针转动，速度分别为每秒和每秒当与重合时停止转动，、分别平分、，设转动的时间为秒，则当等于多少时？ 【答案】(1) (2)不变； (3)秒 【分析】本题考查直角的定义，互余角的关系，角平分线的定义，解题关键是结合图形找出各个角之间的倍数关系； （1）根据直角的定义求出，再根据可得的度数，又因为与互余，即可解答； （2）根据（1）求出的度数，从而求得的值， 再利用角平分线定义求出，最后根据即可解答； (3) 设秒时，；用含的式子表示出、，从而列出方程求解； 【详解】（1）解：是直角， ， ， ， ； （2）不会变化，理由如下： 、分别平分、， ，， ， ， ； （3）如图， 设运动时间为秒， 则，， ，， ， 解得， 所以秒时． 一、单选题 1．（23-24七年级上·全国·期末）如图，点是线段上一动点，且不与点，重合，点，分别是线段，的中点，若，则线段的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了两点间的距离的计算及线段的和差关系，在解答此题时，采用了数形结合的数学思想．根据线段的和差关系得出与，的数量关系，然后将已知数值代入解答即可． 【详解】解：∵点，分别是线段，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，将一副三角尺角和角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，在旋转过程中三角板的边始终在的内部，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角板中角度的计算．根据题意可得，从而得到，，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴，， ∴． 故选：A 二、填空题 3．（22-23七年级上·天津和平·期末）如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示． （1）若点C、D运动时，总有，直接填空： ； （2）在（1）的条件下，N是直线上一点，且，则 ． 【答案】 或1 【分析】（1）根据图形，将和的长度表示出来，即可进行解答； （2）分两种情况讨论，①当点N在线段上时，②当点N在线段的延长线上时，然后根据数量关系即可求解． 【详解】解：（1）设时间为t， ，， ∵， ∴，整理得：， ∴，则， 故答案为：． （2）当点N在线段上时，如下图， ∵， ， ∴， ∴， 即． 当点N在线段的延长线上时，如下图 ∵， ， ∴，即． 综上所述或1． 故答案为：或1． 【点睛】本题考查了线段的和差倍分运算，解题的关键是注意数形结合与分类讨论． 4．（22-23七年级上·陕西西安·期末）用一副三角尺，按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，在旋转过程中，若平分时，则三角尺运动的时间是 ． 【答案】秒 【分析】本题考查了角平分线有关的计算、三角板中角度的计算，由题意得：，，当在外，在内时，平分，则，由此可得旋转角度为，即可得到答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，，当在外，在内时，平分， ， 此时三角尺旋转的角度为：， 三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转， 三角尺运动的时间是（秒）， 故答案为：秒． 5．（23-24七年级上·河南焦作·期末）如图，将三角板的直角顶点放在直线上，平分，绕点转动三角板，若，则 °．    【答案】35 【分析】本题主要考查补角，角平分线的定义，由题意可得，由补角的定义可求解，再由角平分线的定义即可求的度数． 【详解】解：由题意得：， ， ， 平分， ． 故答案为：35． 6．（23-24七年级上·辽宁辽阳·期末）一般地，从一个角的顶点引出的两条射线，把这个角分成三个相等的角，这两条射线称为这个角的三等分线．如图，直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使，将三角板绕点在直线上方转动，若转动到是的三等分线时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角三等分线的定义，根据题意分当靠近时在外部，当靠近时在外部，当靠近时在外部，当靠近时在外部，四种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当靠近时，则， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当靠近时，则， ∴， ∵， ∴； 当靠近时，则或 ∴或，此时均不符合题意； 综上所述，或， 故答案为：或． 三、解答题 7．（2024七年级上·全国·专题练习）已知一副直角三角尺和，，，，． (1)将两个直角三角尺按如图1摆放，点在边上，则 ； (2)将直角三角尺从图1位置绕点逆时针方向转到图2位置，使恰好平分，求的度数； (3)如图3，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，若三角尺在内部绕点任意转动（均在内部），试判断的度数是否会发生变化？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的度数不发生变化，始终等于，理由见解析 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）根据即可得出答案； （2）根据角平分线性质得，再根据可得出答案； （3）先求出，再根据角平分线定义得，由此可得得度数． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，恰好平分， ∴， ∴； （3）解：的度数不发生变化，始终等于，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 8．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）（1）已知：如图1，是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．当点在斜边上移动时，　　； （2）把直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上： ①点和点在直线的上方（如图），此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点旋转到点在直线的下方、点仍然在直线的上方时（如图），与的数量关系是　　； ③当把这把直角三角板绕顶点旋转到点和点都在直线的下方时（如图），与的数量关系是　　． 【答案】（1）；（2）①；②；③ 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的计算： （1）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可； （2）①根据平角的定义，即可得出结论； ②根据角的和差关系进行求解即可； ③根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：（1）如图1，的大小不会发生变化，理由如下： 、分别是和的平分线， ，， ； （2）①当点和点在直线的上方时（如图，； ②当点在直线的下方，点仍然在直线的上方时（如图， ，， ； ③当点和点都在直线的下方时（如图， ，， ． 故答案为：45；，，． 9．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧）， (1)________，________； (2)①当点与点重合时，________； ②当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，探索、、之间的数量关系； (3)在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度是定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)6，3； (2)①3；②； (3)线段的长度是定值， ． 【分析】此题主要考查非负数的性质，数轴上两点间的距离，线段的中点，理解非负数的性质，线段中点的定义，熟练掌握数轴上两点间的距离，线段的计算是解决问题的关键． （1）根据非负数的性质得，据此可得a，b的值； （2）①依题意得点A所对应的数是6，，得点C所对应的数为3，可求；②当点与点重合时，点B所对应的数为3，设在数轴上点P所对应的数为，得，进而可得； （3）由(2)可知点A所对应的数是6，，设点B所对应的数为t，则点C所对应的数为，再根据点为线段的中点，为线段的中点，得点所对应的数为，点N所对应的数为∶ ，据此可的长． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：6，3； （2）解：①，点所对应的数是， ，点所对应的数是6， 点在点的左侧， 点C所对应的数为3， ， 故答案为：3； ②当点与点重合时， ， 点B所对应的数为3， 点是线段延长线上的点， 设在数轴上点P所对应的数为， ， ，即， 、、之间的数量关系满足； （3）解：线段的长度是定值，； 理由如下：由(2)可知∶点A所对应的数为6， 设在数轴上点B所对应的数为t， 点B在点C的左侧，， 点C所对应的数为， 为线段的中点，为线段的中点， 点所对应的数为，点N所对应的数为∶ ， ． 10．（21-22七年级上·云南楚雄·期末）乐乐对几何中线段的中点与角平分线等兴趣浓厚，请你和乐乐一起探究下面的问题吧．如图1，线段，，线段在线段上运动，E、F分别是的中点． (1)若，请求出的长； (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请直接写出的长度；如果有变化，请说明理由； (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，在内部转动，、分别平分和．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查线段中点的相关计算、角度的计算： （1）根据线段的和差关系及中点的定义求解； （2）根据线段的和差关系及中点的定义求解； （3）仿照（2）中思路，根据角平分线的定义及角的和差关系求解． 【详解】（1）解：，，， ， E、F分别是的中点， ，， ， 即的长为； （2）解：的长度为，理由如下：． ． （3）解：、分别平分和， ，， ， ，， ． 11．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长． (2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3)能重合， (4) 【分析】（1）根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到 ；当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到即． （2）设点P、Q出发t秒钟后，点B是线段的中点．根据题意得到等量关系：列式计算即可； （3）假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则，列式计算即可； （4）需要分类讨论：当点P在点Q左侧和右侧两种情况下的t的值． 【详解】（1）解：根据题意，点P的速度为每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵， ∴， ∴； 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，， ∴即． （2）解：根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为， 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵， ∴， ∴； ∵点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动． ∴秒过后，点Q运动的路程为， ∵点B是线段的中点． ∴， ∴， 解得， 即点P、Q出发秒钟后，点B是线段的中点． （3）解：假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则， ∴． 解得：； 故点P、Q出发秒钟后，点P和点Q重合． （4）解：当点P在点Q左侧时，线段与线段的长度不可能相等． 当点P在点Q右侧时，设点P、Q出发t秒钟后，线段与线段的长度相等，根据题意，得， 解得：． 当时，线段与线段的长度相等． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，线段的中点，线段的和差，数轴，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$