2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册综合测试

人教A版（2019）选择性必修第一册综合测试 满分：150分 考试时间：120分钟 1. 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（ ） A. B. C. D. 4. 直线是双曲线的一条渐近线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 16 5. 已知抛物线的准线为，则与直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在长方体中，可以构成空间的一个基底 B. 已知三点不共线，对平面外的任一点，若点满足，则在平面内 C. 若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 D. 已知是从点出发的三条线段，每两条线段夹角均为，若满足，则 10. 已知点在直线上，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若圆关于直线对称，则直线的方程为 B. 若点是圆上任意一点，则的最大值为 C 若直线与圆相切于点，则 D. 若直线与圆相切，则直线的方程为或 11. 已知椭圆的焦点分别为，设直线与椭圆交于两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点使得 C. 直线的方程为 D. 的周长为 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两平行直线：与：之间的距离是__________． 13. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为__________． 14. 已知长方体中，，点为平面内任一点，且点到点的距离与到面的距离相等，点分别为的中点，则三棱锥的体积的最小值为__________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程. 16. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面平面. （1）求证：； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知椭圆C：，离心率，且点在椭圆上. （1）求该椭圆的方程； （2）直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，且，求的面积. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，面为棱上的动点． （1）若为棱中点，证明：面； （2）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）分别在棱上，，求三棱锥的体积的最大值． 19. 已知双曲线C上的所有点构成集合，若坐标平面内一点，则称直线为双曲线C关于点N的“关联直线”． （1）试证明为定值（O为原点，直线，l斜率均存在）； （2）判断双曲线C关于点N的“关联直线”与双曲线C的公共点个数，并说明理由； （3）若双曲线C的左、右焦点分别为，，离心率为，关联直线l与坐标轴不平行，分别过点，作关联直线l的垂线，垂足分别为H，Q，求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版（2019）选择性必修第一册综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A C A D C A D BCD ACD BCD 1. 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 因为直线可化为， 则其斜率为，设其倾斜角为， 则，所以. 2. 已知，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【解析】A设向量与的夹角为， 因为，，且， 所以，得， 所以， 所以， 因为，所以. 3. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（ ） A. B. C. D. 【解析】C 由题设，结合，得. 4. 直线是双曲线的一条渐近线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 16 【解析】A直线是双曲线的一条渐近线，由直线的斜率为2，得，所以． 5. 已知抛物线的准线为，则与直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【解析】D 对于抛物线，，可得，所以，其准线方程为， 联立，解得， 因此，与直线的交点坐标为. 6. 如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【解析】C 分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 所以 设向量与的夹角为， 则， 所以直线和夹角的余弦值为. 7. 已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【解析】A 由已知直线的方程为，即， 设， 由得， 则即， 则，， 线段的中点是，则，， 整理得，即. 8. 从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【解析】D 设，椭圆方程：，椭圆方程：， 则有①， 由极线的定义得直线的方程为，即， 原点到直线的距离，化简得②， 对比①②式得出，， 则有， 因为椭圆的离心率在内，所以， 所以， 当且仅当，即时取等，此时， 所以的最大值为. 2. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在长方体中，可以构成空间的一个基底 B. 已知三点不共线，对平面外的任一点，若点满足，则在平面内 C. 若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 D. 已知是从点出发的三条线段，每两条线段夹角均为，若满足，则 【解析】BCD 对于A，在长方体中，共面， 则不能构成空间的一个基底，A错误； 对于B，，而， 则四点共面，从而在平面内，B正确； 对于C，依题意，，设， 即，则，解得， 因此向量在基底下的坐标为，C正确； 对于D，，， 则， ， ， ，D正确. 10. 已知点在直线上，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若圆关于直线对称，则直线的方程为 B. 若点是圆上任意一点，则的最大值为 C 若直线与圆相切于点，则 D. 若直线与圆相切，则直线的方程为或 【解析】ACD 对于A中，由圆，得圆心，半径， 若圆关于直线对称，则直线经过圆心，所以直线的斜率为， 此时直线方程为，即，所以A正确； 对于B中，由，的最大值为，所以B错误； 对于C中，若直线与圆相切于点， 则，，所以C正确； 对于D中，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，满足要求； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即，若直线与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为， 综上所述，若直线与圆相切，则直线的方程为或，所以D正确. 11. 已知椭圆的焦点分别为，设直线与椭圆交于两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点使得 C. 直线的方程为 D. 的周长为 【解析】BCD A.由条件可知，，解得：，所以椭圆， 所以，椭圆的离心率，故A错误； B.由椭圆方程可知，，，以为直径的圆与椭圆由4个交点，所以椭圆上存在点使得，故B正确； C.设，，代入椭圆方程，， 两式相减得，由题意可知，，， 所以，，所以，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理为，故C正确； D.因为直线过椭圆的焦点，所以的周长为，故D正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两平行直线：与：之间的距离是_____． 【解析】. 13. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为______. 【解析】 对于椭圆，其中，，根据蒙日圆方程， 可得蒙日圆方程为，其圆心坐标为，半径. 圆，其圆心坐标为，半径. 因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆内切或外切. 当两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距，由，即， 两边平方得，解得，所以. 当两圆内切时，两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值. 由，即，两边平方得，（无解）.   所以的值为. 14. 已知长方体中，，点为平面内任一点，且点到点的距离与到面的距离相等，点分别为的中点，则三棱锥的体积的最小值为__________． 【解析】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 设，∵平面平面， ∴点到面的距离为点到直线的距离 ∴由抛物线的定义可知：， 易知， ∴，, 设是平面的其中一个法向量，则， 令，得， 平面的法向量为， 又，则到平面的距离， 所以的最小值为， ∵点分别为的中点且，， ∴， 所以三棱锥的体积的最小值：． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程. 【解析】（1）由已知，， 则其中点为，， 所以中垂线的斜率， 则中垂线为，所以点在上， 又点在直线， 联立，解得，即， 半径， 所以圆的方程为； （2）由（1）得，， 当过点的切线斜率不存在时，直线为，与圆相切； 当过点的斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到切线的距离， 解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，切线方程为或. 16. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面平面. （1）求证：； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）由题意知平面平面， 又平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）取中点为，连结.取中点为，连结. 因为，点是中点，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为点、分别是、的中点，所以，则. 则，. 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，. 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 所以是平面的一个法向量. 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 17. 已知椭圆C：，离心率，且点在椭圆上. （1）求该椭圆的方程； （2）直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，且，求的面积. 【解析】（1）由题意得 解得， 故椭圆C： （2）设直线的倾斜角为，由，， 得，，， 即AP：，AQ：， 联立，解得或（舍），故， 联立，解得或（舍），故， 又， ，， 故. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，面为棱上的动点． （1）若为棱中点，证明：面； （2）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）分别在棱上，，求三棱锥的体积的最大值． 【解析】（1）连接交于，则为三角形中位线，易知， 又因为上，面，所以面； （2）以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得， 由为棱上一点，设， ． 设平面的法向量为， 由可得 令，则，则． 取平面的法向量为， 则二面角的平面角满足： ， 化简得：，解得：或（舍去）， 故存在满足条件的点，此时． （3）因为， 可知三棱锥体积最大时，即最大，在中，由余弦定理有： 可得， 设，则， 由题可知：该方程有实根，则，解得， 同理可得． 设点到平面的距离为，则由等体积法得到：， ，解得：． 当最大时三棱锥体积最大，即三棱锥体积最大， 最大体积为：． 19. 已知双曲线C上的所有点构成集合，若坐标平面内一点，则称直线为双曲线C关于点N的“关联直线”． （1）试证明为定值（O为原点，直线，l斜率均存在）； （2）判断双曲线C关于点N的“关联直线”与双曲线C的公共点个数，并说明理由； （3）若双曲线C的左、右焦点分别为，，离心率为，关联直线l与坐标轴不平行，分别过点，作关联直线l的垂线，垂足分别为H，Q，求面积的最大值． 【解析】（1）由题意：，，则. （2）当时，关联直线为或，此时直线斜率不存在， 与双曲线相切于点或者，与双曲线只有一个公共点. 当时，假设关联直线与双曲线还有另外一个交点， 将和分别代入双曲线并做差得：， 当时，化简得到，得到， 结合小问1的结论，即，可得. 当时，与矛盾，此情况不成立； 当时，，斜率不存在，， 直线不满足题目中关联直线的条件. 综上，题目中给出的关联直线和双曲线只能有一个交点，证明完成. （3）由已知可得双曲线，，可做出示意图 双曲线方程为，设点，关联直线方程为， 所在直线方程为：，所在直线方程为：， 两直线均与垂直，可知的长度即为两平行直线和的距离，则， 三角形的高为原点到的距离：， 三角形面积：， 点在双曲线上，， ，当且仅当时，取得最大值. 即面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$