专题12 直线与圆（九大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高三数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题12 直线与圆 直线的倾斜角与斜率 1．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题意首项得，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解. 【详解】由题意两直线均有斜率，所以， 若取，则有，但； 若，又， 所以，而， 综上所述，“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 2．（22-23高三上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当，变化时，直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点代入直线方程中得出点为圆上的动点， 结合图像分析即可求出直线的斜率的取值范围. 【详解】因为点在直线上， 所以， 即， 则表示圆心为，半径为1的圆上的点， 如图：       由图可知当直线与圆相切时，直线的斜率得到最值， 设， 由圆与直线相切，故有圆心到直线的距离为半径1， 即， 解得：， 由图分析得：直线的斜率的取值范围是. 故选：B. 3．（21-22高三上·北京·期末）已知、、三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用可得出关于的等式，由此可求得实数的值. 【详解】由于、、三点共线，则，即，解得. 故选：C. 4．（21-22高三上·北京顺义·期末）将直线绕着点按逆时针方向旋转，得到直线.则的倾斜角为 ，的方程是 . 【答案】 / 【分析】先求出直线的倾斜角为45°，从而求出直线的倾斜角为，斜率为，故求出直线的方程. 【详解】直线的倾斜角为45°，所以直线的倾斜角为，斜率为，所以直线方程为，即 故答案为：， 直线方程 5．（22-23高三·北京顺义·期末）已知圆，点A、B在圆M上，且为的中点，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据垂径定理得到，根据两直线垂直时斜率的关系得到， 然后利用斜截式写直线方程，最后整理为一般式即可. 【详解】可整理为， 所以圆心为，根据垂径定理可得，， 所以，直线AB的方程为整理得. 故答案为: 6．（21-22高三上·北京·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，则直线的方程是 . 【答案】 【解析】首先求以线段为直径的圆和交点，再求直线的方程. 【详解】线段的中点是，， 则以线段为直径的圆是， 联立，解得： 或，则, ,则直线的方程是， 整理为：. 故答案为： 两条直线的位置关系 7．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知直线，直线，且，则（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由直线平行的充要条件列方程求解即可. 【详解】由题意直线，直线，且，所以，解得. 故选：B. 8．（14-15高三上·北京东城·期末）设，则“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：若直线与直线平行，则且，解得， 所以推得出直线与直线平行，即充分性成立； 由直线与直线平行推不出，即必要性不成立； 故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A 9．（12-13高三上·北京海淀·期末）已知直线与直线，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】解：当时，，而当时，， 所以“”是“”的充分必要条件， 故选：C 10．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知直线，点和点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】求出直线的斜率，根据直线平行的斜率关系得出实数的值. 【详解】，由于，则直线的斜率为 即， 故选：B 11．（21-22高三上·北京丰台·期末）若关于，的方程组，无解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】可知方程组无解等价于直线平行，即可建立关系求出. 【详解】可得方程组无解，等价于直线和直线平行， 则，解得. 故选：C. 12．（22-23高三上·北京石景山·期末）已知直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据互相垂直两直线斜率之间的关系、圆的几何性质进行求解即可. 【详解】由，圆心坐标为， 由，所以直线的斜率为， 因此直线的垂直垂直平分线的斜率为， 所以直线的垂直垂直平分线方程为：， 故选：A 两条直线的距离问题 13．（21-22高三上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知直线（）与曲线从左至右依次交于，，三点．若直线：（）上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据直线与曲线都关于原点对称，得到，关于点B对称，则，即为，然后将问题转化为点B到直线的距离不大于1求解. 【详解】因为直线与曲线都关于原点对称，且都过原点， 所以为原点，，关于点B对称， 因为直线：（）上存在点满足， 所以， 则点B到直线的距离不大于1， 即，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：D 直线与圆的位置关系判断 14．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知直线与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得圆心到的距离等于半径1，即可解得的值． 【详解】直线即， 由已知直线与圆相切可得， 圆的圆心到的距离等于半径1， 即，解得， 故选：B． 15．（21-22高三上·北京东城·期末）与圆相切于点的直线的斜率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由题意可知为切点所求的直线为切线，则可知圆心与切点的连线与切线垂直，再根据直线与直线的垂直斜率乘积为-1，则可求出切线斜率. 【详解】可设圆心与切点的连线斜率为，切线斜率为，由可知圆心为点，切点为点，则，根据题可知圆心与切点的连线和切线垂直， 所以，则. 所以切线斜率为-2. 故选：A 16．（23-24高三上·北京房山·期末）已知直线与圆相切，则实数（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求得实数的值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆相切，则，即，解得或. 故选：D. 17．（22-23高三上·北京大兴·期末）“”是“直线与圆相切”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系求出a的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义解出. 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为1， 设圆心到直线的距离为 则，解得：或. 由此可知，“”是“或”的充分不必要条件， 故选：A. 18．（21-22高三上·北京房山·期末）“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系，求得的范围，从集合的角度即可判断充分性和必要性. 【详解】若“直线与圆相交”， 则可得，解得， 又 故“”是“直线与圆相交”的必要不充分条件. 故选：. 19．（21-22高三上·北京·期末）直线与圆的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】B 【解析】利用点到直线的距离公式求出直线和圆的距离，即可作出判断. 【详解】圆C：的圆心坐标为：， 则圆心到直线的距离， 所以圆心在直线l上， 故直线与圆相交． 故选：B． 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关直线与圆的位置关系的判断，解题方法如下： （1）根据题中所给的圆的方程，判断出圆心坐标和半径的大小； （2）利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离； （3）将距离与半径的大小进行比较，大于半径为相离，等于半径为相切，小于半径为相交. 直线与圆的弦长问题 23．（23-24高三上·北京石景山·期末）直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系、充分不必要条件等知识确定正确答案. 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径为， 若直线与圆有两个不同交点， 则，， 符合题意的只有. 故选：A 24．（21-22高三上·北京·期末）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线：.给出以下命题： ①当时，若直线 截黑色阴影区域所得两部分面积记为，（），则； ②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点； ③当时，直线与黑色阴影区域有2个公共点. 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】由题知根据直线：横过点 ，为直线的斜率 根据直线和圆的位置关系作图，数形结合逐项分析判断即可得解 【详解】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1， 所以大圆的面积为，小圆的面积为． 对于①，当时，直线的方程为． 此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分， ，， 所以，故①正确． 对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为 当时，直线的方程为， 即，小圆圆心到直线的距离， 所以直线与该半圆弧相切，如图2所示， 所以直线与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确． 对于③，当时，如图3所示， 当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点，故③错误． 综上所述，①②正确． 故选：A． 25．（21-22高三上·北京·期末）直线与圆相交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理可求出结果. 【详解】圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离， 所以. 故选：B 26．（21-22高三上·北京密云·期末）已知直线过定点，圆，若直线与圆相切于点，则的值为 ；使得直线与圆相交的的取值可以是 （写出一个即可）． 【答案】 16 4（答案不唯一） 【分析】利用数量积的定义及圆的性质可得，然后利用切线长公式即得. 【详解】由直线，可知定点， 圆，得，圆心，半径为1， ∴，又直线与圆相切于点， 则AP⊥CP,, ∴， 当在直线上时，直线与圆相交，此时，即， 故答案为：16；4（答案不唯一）. 27．（21-22高三上·北京朝阳·期末）已知圆：，直线：，则使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“ ”． 【答案】3 【分析】先分析圆C上恰有3个点到直线l的距离都是1，再利用充分条件的定义即可求解. 【详解】若圆C与直线相切，或相离都不可能有3个点到直线的距离为1， 故圆C与直线相交，即圆心C到直线的距离， 要使圆C上恰有3个点到直线l的距离是1，需，即 圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1，则 根据充分条件的定义知使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“” 故答案为：3 28．（21-22高三上·北京昌平·期末）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）． （1）求和的普通方程； （2）将向左平移后，得到直线，若圆上只有一个点到的距离为1，求． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）消去参数，可得直线的普通方程，消去参数，可得的普通方程； （2）由题得，由题可得到的距离为3，然后利用点到直线的距离公式列方程可求出的值 【详解】解：（1）由题意可得， 消去参数，得的普通方程为， 消去参数，得的普通方程为 （2）由题得 因为圆上只有一个点到的距离为1，圆的半径为2， 所以到的距离为3， 即，解得（舍去） 直线与圆的交点问题 23．（23-24高三上·北京石景山·期末）直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系、充分不必要条件等知识确定正确答案. 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径为， 若直线与圆有两个不同交点， 则，， 符合题意的只有. 故选：A 24．（21-22高三上·北京·期末）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线：.给出以下命题： ①当时，若直线 截黑色阴影区域所得两部分面积记为，（），则； ②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点； ③当时，直线与黑色阴影区域有2个公共点. 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】由题知根据直线：横过点 ，为直线的斜率 根据直线和圆的位置关系作图，数形结合逐项分析判断即可得解 【详解】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1， 所以大圆的面积为，小圆的面积为． 对于①，当时，直线的方程为． 此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分， ，， 所以，故①正确． 对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为 当时，直线的方程为， 即，小圆圆心到直线的距离， 所以直线与该半圆弧相切，如图2所示， 所以直线与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确． 对于③，当时，如图3所示， 当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点，故③错误． 综上所述，①②正确． 故选：A． 25．（21-22高三上·北京·期末）直线与圆相交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理可求出结果. 【详解】圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离， 所以. 故选：B 26．（21-22高三上·北京密云·期末）已知直线过定点，圆，若直线与圆相切于点，则的值为 ；使得直线与圆相交的的取值可以是 （写出一个即可）． 【答案】 16 4（答案不唯一） 【分析】利用数量积的定义及圆的性质可得，然后利用切线长公式即得. 【详解】由直线，可知定点， 圆，得，圆心，半径为1， ∴，又直线与圆相切于点， 则AP⊥CP,, ∴， 当在直线上时，直线与圆相交，此时，即， 故答案为：16；4（答案不唯一）. 27．（21-22高三上·北京朝阳·期末）已知圆：，直线：，则使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“ ”． 【答案】3 【分析】先分析圆C上恰有3个点到直线l的距离都是1，再利用充分条件的定义即可求解. 【详解】若圆C与直线相切，或相离都不可能有3个点到直线的距离为1， 故圆C与直线相交，即圆心C到直线的距离， 要使圆C上恰有3个点到直线l的距离是1，需，即 圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1，则 根据充分条件的定义知使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“” 故答案为：3 28．（21-22高三上·北京昌平·期末）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）． （1）求和的普通方程； （2）将向左平移后，得到直线，若圆上只有一个点到的距离为1，求． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）消去参数，可得直线的普通方程，消去参数，可得的普通方程； （2）由题得，由题可得到的距离为3，然后利用点到直线的距离公式列方程可求出的值 【详解】解：（1）由题意可得， 消去参数，得的普通方程为， 消去参数，得的普通方程为 （2）由题得 因为圆上只有一个点到的距离为1，圆的半径为2， 所以到的距离为3， 即，解得（舍去） 圆的最值问题 29．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用平面向量数量积的坐标运算结合直线与圆的位置关系可得结果. 【详解】设，因点的坐标为，所以， 则， 设，即， 依题意，求t的范围即求直线与圆有公共点时在y轴上截距的范围， 即圆心到的距离，解得， 所以的取值范围为， 故选：D. 30．（21-22高三上·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到直线距离，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】设点到直线的距离为， ， ， 即， 所以的最大值为：， 故选：D 31．（21-22高二上·北京房山·期末）已知半径为1的动圆经过坐标原点，则圆心到直线的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用圆上的点到直线的距离的最值可求解. 【详解】由题设，半径为1的动圆经过坐标原点， 可知圆心的轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，即 则该圆上的点到直线的距离的最大值为 又，，，即 故距离的最大值为3 故选：C 32．（22-23高三上·北京朝阳·期末）过直线上任意一点，总存在直线与圆相切，则k的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意，设为直线上任意一点，判断点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，即可求得的最大值. 【详解】设为直线上任意一点 因为过直线上任意一点，总存在直线与圆相切 所以点在圆外或圆上， 即直线与圆相离或相切， 则，即，解得， 故的最大值为. 故选：A. 33．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知圆过点，，则圆心到原点距离的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由题意可知圆心在线段的垂直平分线上，将所求的最值转化为原点到该直线的距离，即可得解. 【详解】由圆过点，，可知圆心在线段的垂直平分线上 又，则 又的中点为，则直线的方程为 圆心到原点距离的最小值即为原点到直线的距离为 故选：B 34．（21-22高三上·北京·期末）已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆心坐标得到圆的圆心的轨迹方程，再利用点到线的距离公式求解. 【详解】半径为2的圆经过点，设圆心坐标为，则圆的方程为 所以该圆的圆心的轨迹是以为圆心，2为半径的圆 故圆心到直线的距离的最小值为点到直线的距离减半径，即 故选：B 【点睛】结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，求圆上点到直线的距离最值， 当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，圆上点到直线距离的， 35．（23-24高三上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，再利用圆上点到定点距离的最值求法可得结果. 【详解】设，易知， 由可得，整理得， 即动点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 又，可得的最大值为到圆心的距离再加上半径， 即. 故选：D 36．（23-24高三上·北京西城·期末）已知点，点满足.若点，其中，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据直线和圆的位置关系求得正确答案. 【详解】由于，所以是单位圆上的点， 由于，其中，所以是直线上的点， 画出图象如下图所示，由图可知，的最小值为. 故选：C    37．（22-23高三上·北京通州·期末）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求得圆心的轨迹方程，然后结合点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】由于半径为1的圆（设为圆）经过点， 所以圆的圆心的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 到直线距离为， 所以圆的圆心到直线距离的最大值为. 故选：C 38．（22-23高三上·北京·期末）在平面直角坐标系中，是直线上的两点，且.若对于任意点，存在使成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可得P是圆上任意一点，且需存在，，使点P又在以为直径的圆上，故只需满足圆上点到直线的最远距离小于等于5即可求出. 【详解】设，则，满足， 则点P在圆上， 又存在，使成立，则点P又在以为直径的圆上， P是圆上任意一点，，是直线上的两点， 则应满足圆上点到直线的最远距离小于等于5， 原点到直线的距离为， 则只需满足，解得. 故选：B. 39．（21-22高三上·北京通州·期末）经过点的直线与圆交于，两点，则面积的最大值为（    ） A． B． C．10 D． 【答案】C 【分析】根据弦长公式，三角形面积公式，二次函数的性质以及圆的几何性质即可求出． 【详解】设点到直线的距离为，所以，而面积，而，即，所以当时，． 故选：C． 40．（21-22高三下·北京西城·开学考试）过点的直线与圆相交于A，两点，则的最小值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据题意，设，圆的圆心为，分析圆的圆心以及半径，求出到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得当最大时，弦长最小，而的最大值为，据此计算可得答案． 【详解】根据题意，设，圆C：的圆心为， 圆C：，即，圆心为，半径， 圆心到直线的距离为，则， 当最大时，弦长最小， ∵M在圆C内部，故的最大值为， 则的最小值为， 故选：B． 41．（21-22高三上·北京东城·期末）已知直线，为圆上一动点，设到直线距离的最大值为，当最大时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得出直线过定点，再求出圆心坐标，由圆的对称性以及斜率公式得出的值. 【详解】因为，所以直线过定点，圆可化为，则圆心，，由圆的对称性可知，当时，到直线距离的最大，则，. 故选：A 42．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知直线与圆相交于两点，且，那么实数k的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】利用弦长公式，建立关于的不等式，直接求解. 【详解】圆化简为标准方程为，圆心到直线的距离，， 解得：. 故选：D 43．（22-23高三上·北京昌平·期末）若直线与圆有公共点，则的最小值为 . 【答案】5 【分析】求出直线所过的定点，当点在圆上或圆内时，直线与圆总有公共点,列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知,直线过定点， 当点在圆上或圆内时，直线与圆总有公共点, 即， 即的最小值为5， 故答案为：5 44．（22-23高三上·北京丰台·期末）已知集合，，若为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】集合表示直线上的点，集合表示圆上的点，根据直线和圆相交计算得到范围. 【详解】集合表示直线上的点， 集合表示圆上的点，圆心为，半径， 为2个元素组成的集合，故直线和圆相交，即， 解得. 故答案为： 综合问题 45．（23-24高三上·北京通州·期末）现有12个圆，圆心在同一条直线上，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，从左到右它们的半径的长依次构成首项为16，公比为的等比数列，前3个圆如图所示.若点分别为第3个圆和第10个圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，的最大值为这8个圆的直径之和，然后利用等比数列求和公式可求得结果 【详解】由题意可知，这12个圆的半径的长依次构成首项为16，公比为的等比数列， 所以， 的最大值为这8个圆的直径之和， 由等比数列前项和公式可得，的最大值为. 故选：B. 46．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点， 给出下列四个结论： ①的最小值是4； ②点的轨迹是一个圆； ③若点，点，则存在点，使得； ④△面积的最大值是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】①可以通过设出圆的参数方程，进行求解；②设出，找到等量关系，建立方程，求出点的轨迹方程，即可说明；③转化为两圆是否有交点，说明是否存在点；④当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△面积最大，求出最大值. 【详解】点在圆上，设，则，当时，取得最小值，最小值为4，①正确； 设点，则由题意得：，则，整理得：，所以点的轨迹是一个圆，②正确； 为以为直径的圆，圆心为，半径为1，方程为：，下面判断此圆与点的轨迹方程是否有交点，由于，两圆相离，故不存在点，使得，③错误； 当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△为等腰直角三角形，面积最大，此时，，④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】轨迹方程问题，一般处理思路，直接法，定义法，相关点法以及交轨法，要能结合题目特征选择合适的方法进行求解. 47．（22-23高三·北京顺义·期末）已知点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可设，，然后根据向量数量积的坐标表示及三角函数的性质即得. 【详解】因为点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点， 则，设，， 所以， 所以， 即的最小值为 故选：D. 【点睛】方法点睛：向量数量积问题常用方法 一是利用基底法，结合平面向量基本定理及数量积的定义求解； 二是利用坐标法，结合图形建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积. 48．（21-22高三上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，，是直线上的两点，且．若对于任意点，存在，使成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】可得P是圆上任意一点，且需存在，，使点P又在以为直径的圆上，故只需满足圆上点到直线的最远距离小于等于5即可求出. 【详解】设，则，满足， 则点P在圆上， 又存在，使成立，则点P又在以为直径的圆上， P是圆上任意一点，，是直线上的两点， 则应满足圆上点到直线的最远距离小于等于5， 原点到直线的距离为， 则只需满足，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是得出圆上点到直线的最远距离小于等于5. 49．（21-22高三上·北京石景山·期末）数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为（点为轴正半轴上的点），滚动过程中点形成的轨迹记为星形线.有如下结论： ① 曲线上任意两点间距离的最大值为； ② 曲线的周长大于曲线的周长； ③ 曲线与圆有且仅有个公共点. 其中正确的序号为 . 【答案】①③ 【分析】由题意知星形线任意点满足，为参数，其中，即，，从而可判断①；分析曲线的图像，与星形线图像对比可知②；求出星形线与直线的交点，知曲线与圆相切，可判断③； 【详解】由已知可知小圆与大圆是内切的关系，设小圆的圆心为， 则小圆的圆心轨迹为以为圆心，半径为3的圆，即 设星形线任意点，则，为参数，其中 可知星形线任意点，满足， 对于①，星形线上左右两个端点，或上下两个端点，的距离最远，等于8，故①正确； 对于②，曲线为过点，，，的正方形， 而星形线与坐标轴的交点也是这四个点，由两点之间线段最短，可知曲线的周长小于曲线的周长，故②错误； 对于③，星形线与直线的交点为，即 它们到原点的距离为与圆的半径相等， 所以曲线与圆相切，即有且仅有个公共点，故③正确； 故答案为：①③ 【点睛】关键点点睛：本题考查两个圆的内切关系求轨迹，解题的关键是理解星形线的定义，求出对应点满足的条件，再分析选项，考查学生的分析审题能力，属于难题. 50．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知圆，直线，点，点.给出下列4个结论： ①当时，直线与圆相离； ②若直线是圆的一条对称轴，则； ③若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为； ④为圆上的一动点，若，则的最大值为. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】对于①：，，圆心，半径，直线与圆相离；对于②：若直线圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，即可得到；对于③：由垂径定理，，设.得到，但两处等号无法同时取到，矛盾；对于④：为圆上的一个动点.若，设，利用参数方程解决即可. 【详解】对于①：当时，直线，圆心，半径，直线与圆相离，故表述①正确； 对于②：若直线圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，故，故表述②正确； 本题的难点主要聚焦于③、④，如图所示：    设的中点为，以为直径作圆，连接．则 对于③：由垂径定理，，设. 一方面，若，则. 当且仅当，且三点共线时，等号成立，此时直线的斜率为. 另一方面，当时，直线. 故点到直线的距离.此时. 当且仅当为点在直线上的射影时等号成立，此时直线的斜率为. 对比发现，，但两处等号无法同时取到，矛盾.故表述③错误. 对于④：为圆上的一个动点.若，设， 则. 注意到， 故 当且仅当且点在点正上方时，等号成立.故表述④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系变形，以及圆更深层次的定义，难度较大，能够正确画出示意图是解决问题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 直线与圆 直线的倾斜角与斜率 1．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（22-23高三上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当，变化时，直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高三上·北京·期末）已知、、三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高三上·北京顺义·期末）将直线绕着点按逆时针方向旋转，得到直线.则的倾斜角为 ，的方程是 . 直线方程 5．（22-23高三·北京顺义·期末）已知圆，点A、B在圆M上，且为的中点，则直线的方程为 ． 6．（21-22高三上·北京·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，则直线的方程是 . 两条直线的位置关系 7．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知直线，直线，且，则（    ） A．1 B． C．4 D． 8．（14-15高三上·北京东城·期末）设，则“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（12-13高三上·北京海淀·期末）已知直线与直线，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知直线，点和点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 11．（21-22高三上·北京丰台·期末）若关于，的方程组，无解，则（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高三上·北京石景山·期末）已知直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 两条直线的距离问题 13．（21-22高三上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知直线（）与曲线从左至右依次交于，，三点．若直线：（）上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 直线与圆的位置关系判断 14．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知直线与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 15．（21-22高三上·北京东城·期末）与圆相切于点的直线的斜率为（    ） A． B． C． D．2 16．（23-24高三上·北京房山·期末）已知直线与圆相切，则实数（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 17．（22-23高三上·北京大兴·期末）“”是“直线与圆相切”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（21-22高三上·北京房山·期末）“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（21-22高三上·北京·期末）直线与圆的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 直线与圆的弦长问题 23．（23-24高三上·北京石景山·期末）直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 24．（21-22高三上·北京·期末）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线：.给出以下命题： ①当时，若直线 截黑色阴影区域所得两部分面积记为，（），则； ②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点； ③当时，直线与黑色阴影区域有2个公共点. 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 25．（21-22高三上·北京·期末）直线与圆相交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C． D．4 26．（21-22高三上·北京密云·期末）已知直线过定点，圆，若直线与圆相切于点，则的值为 ；使得直线与圆相交的的取值可以是 （写出一个即可）． 27．（21-22高三上·北京朝阳·期末）已知圆：，直线：，则使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“ ”． 28．（21-22高三上·北京昌平·期末）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）． （1）求和的普通方程； （2）将向左平移后，得到直线，若圆上只有一个点到的距离为1，求． 直线与圆的交点问题 23．（23-24高三上·北京石景山·期末）直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 24．（21-22高三上·北京·期末）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线：.给出以下命题： ①当时，若直线 截黑色阴影区域所得两部分面积记为，（），则； ②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点； ③当时，直线与黑色阴影区域有2个公共点. 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 25．（21-22高三上·北京·期末）直线与圆相交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C． D．4 26．（21-22高三上·北京密云·期末）已知直线过定点，圆，若直线与圆相切于点，则的值为 ；使得直线与圆相交的的取值可以是 （写出一个即可）． 27．（21-22高三上·北京朝阳·期末）已知圆：，直线：，则使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“ ”． 28．（21-22高三上·北京昌平·期末）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）． （1）求和的普通方程； （2）将向左平移后，得到直线，若圆上只有一个点到的距离为1，求． 圆的最值问题 29．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（21-22高三上·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 31．（21-22高二上·北京房山·期末）已知半径为1的动圆经过坐标原点，则圆心到直线的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（22-23高三上·北京朝阳·期末）过直线上任意一点，总存在直线与圆相切，则k的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 33．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知圆过点，，则圆心到原点距离的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 34．（21-22高三上·北京·期末）已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高三上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高三上·北京西城·期末）已知点，点满足.若点，其中，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 37．（22-23高三上·北京通州·期末）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．（22-23高三上·北京·期末）在平面直角坐标系中，是直线上的两点，且.若对于任意点，存在使成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 39．（21-22高三上·北京通州·期末）经过点的直线与圆交于，两点，则面积的最大值为（    ） A． B． C．10 D． 40．（21-22高三下·北京西城·开学考试）过点的直线与圆相交于A，两点，则的最小值是（    ） A． B． C． D．4 41．（21-22高三上·北京东城·期末）已知直线，为圆上一动点，设到直线距离的最大值为，当最大时，的值为（    ） A． B． C． D． 42．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知直线与圆相交于两点，且，那么实数k的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 43．（22-23高三上·北京昌平·期末）若直线与圆有公共点，则的最小值为 . 44．（22-23高三上·北京丰台·期末）已知集合，，若为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是 ． 综合问题 45．（23-24高三上·北京通州·期末）现有12个圆，圆心在同一条直线上，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，从左到右它们的半径的长依次构成首项为16，公比为的等比数列，前3个圆如图所示.若点分别为第3个圆和第10个圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 46．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点， 给出下列四个结论： ①的最小值是4； ②点的轨迹是一个圆； ③若点，点，则存在点，使得； ④△面积的最大值是． 其中所有正确结论的序号是 ． 47．（22-23高三·北京顺义·期末）已知点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 48．（21-22高三上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，，是直线上的两点，且．若对于任意点，存在，使成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 49．（21-22高三上·北京石景山·期末）数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为（点为轴正半轴上的点），滚动过程中点形成的轨迹记为星形线.有如下结论： ① 曲线上任意两点间距离的最大值为； ② 曲线的周长大于曲线的周长； ③ 曲线与圆有且仅有个公共点. 其中正确的序号为 . 50．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知圆，直线，点，点.给出下列4个结论： ①当时，直线与圆相离； ②若直线是圆的一条对称轴，则； ③若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为； ④为圆上的一动点，若，则的最大值为. 其中所有正确结论的序号是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$