专题02 有理数的运算（考点清单，11个考点梳理+9个题型解读+提升训练）（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材北京版

专题02 有理数的运算（11个考点梳理+9个题型解读+提升训练） 【清单1】倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若ab=1 a、b互为倒数； 若ab=-1 a、b互为负倒数. 等于本身的数汇总： 相反数等于本身的数：0 倒数等于本身的数：1，-1 绝对值等于本身的数：正数和0 平方等于本身的数：0,1 立方等于本身的数：0,1，-1. 【清单2】有理数加法的运算律： 【清单3】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 【清单4】有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与零相乘都得零； （3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。 【清单5】有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .（简便运算） 【清单6】有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，. 【清单7】有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 【清单8】乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； （3）a2是重要的非负数，即a2 ≥0；若a2+|b|=0 a=0,b=0； （4）正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 【清单9】混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减； 注意：不省过程，不跳步骤。 【清单10】科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数即1≤a<10，这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1, 整数位数=10的指数+1 【清单11】近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位. 【考点题型一】有理数加法 【例1】黑板上写着7个数，分别为：，a，1，13，b，0，，它们的和为，若每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数为所擦除的两个数的和加上1），这样操作若干次，直至黑板上只剩下一个数，则所剩的这个数是 ． 【答案】 【分析】操作一次，黑板上的数字个数减少1个，数字总和增加1．经过次操作，剩下的一个数是，据此解答即可． 【详解】解：∵每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数为所擦除的两个数的和加1）， ∴操作一次，黑板上的数字个数减少1个，数字总和增加1， （次）， ∴剩下的这个数是． 答：剩下的这个数是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法，理解“黑板上的数字个数减少1个，数字总和增加1”是解题的关键． 【变式1 -1】从正整数中，选出组数，满足以下三个条件： ①每组2个数不相等； ②任意两组都不含有相同的数； ③每组2个数的和互不相同且不超过15． 根据以上条件，回答下列问题： （1）若，请写出一种选取方案：第1组： ，第2组： ； （2）的最大值为 ． 【答案】 1和2， 3和4 5 【分析】（1）根据题意，写出2种组合，满足条件即可； （2）根据题意，每组2个数的和互不相同且不超过15，从和为15开始选取，列举法即可求解． 【详解】（1）根据题意，若，满足题意的一种选取方案为：第1组：1和2，第2组：3和4； 故答案为：1和2，3和4（答案不唯一） （2）根据③，15与其他数的和会超过15，则不能选15， 第1组，和为15，1和14； 第2组，和为14，可以选2与12， 第3组，和为13，可以选3与10， 第4组，和为12，可以选4与8， 第5组，和为11，可以选5与6， 还剩下7，9，11，13，无论怎么组合都超过15， ∴最多有5组，即， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了有理数的加法，列举试验可能，列举出符合题意的可能组合是解题的关键． 【变式1 -2】2023年国庆节，全国从10月1日到10月7日放假七天．某著名景点在9月30日的游客人数为1.1万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） 则这七天假期里，游客人数最多的是10月 日，达到 万人． 【答案】 4 6 【分析】本题主要考查有理数的加减运算的应用．分别计算每天的游客数量即可求解． 【详解】解：10月1日游客人数为：（万人）； 10月2日游客人数为：（万人）； 10月3日游客人数为：（万人）； 10月4日游客人数为：（万人）； 10月5日游客人数为：（万人）； 10月6日游客人数为：（万人）； 10月7日游客人数为：（万人）； 故七天假期里，游客人数最多的是10月4日，达到6万人． 故答案为：4；6． 【变式1 -3】某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（，a，b，c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和，该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则 ，a的值为 ． 【答案】 8 5 【分析】根据五个比赛项目设定前三名的记分总和最后参加比赛的所有班级总成绩的和，得出的值，再结合，、、均为正整数的条件，列举出可能的值，再根据各班级的总成绩排除不符合题意的值． 【详解】解：设本次“体育节”五个比赛项目的记分总和为，则， 四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4， ． ， ． ，、、均为正整数， 当时，，则； 当时，，则，此时，第一名的班级五个比赛项目都是第一，总得分为分，不符合题意舍去； 当时，，则，不满足，舍去； 当时，，则，不满足，舍去． 综上所得：，，． 故答案为：8，5． 【点睛】本题考查有理数的运算，从整体上考虑这次“体育节”设定的记分总和四个班总成绩的和，是解决本题的关键． 【变式1 -4】 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的加法， 熟练掌握运算法则是解本题的关键．先将原式进行交换结合，再利用加法运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式． 【变式1 -5】计算：． 【答案】1 【分析】先将代数式化成省略括号的和的形式，再进行有理数的加减法运算． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，正确运用有理数的加减法法则是解题的关键． 【考点题型二】有理数减法 【例2】以河岸边步行道的平面为基准，河面高，河岸上地面高，则地面比河面高（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数减法的应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解：， 即地面比河面高, 故选：C． 【变式2 -1】如图是北京市房山区十渡风景区12月的一周的最低和最高气温（单位：℃），观察此图，下列说法正确的是（    ） A．在这一周中，最高气温为5℃，最低气温为 B．在9号至11号的气温中，每天温差都是9℃ C．这周的温差最大的日期是12月7日，最大温差是6℃ D．每天的最高气温与最低气温都是具有相反意义的量 【答案】A 【分析】观察一周的气温图即可完成判断． 【详解】解：A．观察气温图知说法正确； B．11号的温差是℃，故说法错误； C．这周的温差最大的日期是12月7日，最大温差℃，而不是6℃，故说法错误； D．零上温度与零下温度才是具有相反意义的量，故说法错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了与有理数相关的概念及运算，根据相关知识并结合图片是解题的关键． 【变式2 -2】计算： ． 【答案】/0.5 【分析】根据有理数的减法法则、加法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的减法法则、加法法则，掌握有理数的减法法则是解题的关键． 【变式2 -3】计算： ． 【答案】 【分析】根据有理数的减法进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了有理数的减法，根据有理数减法法则转化为加法计算是解题的关键． 【变式2 -4】如图中给出了某城市连续5天中，每一天的最高气温和最低气温（单位：），那么最大温差是 ． 【答案】15 【分析】通过表格即可求得最高和最低气温，12月3日的温差最大，最大温差为10-（-5）=15℃； 【详解】解：12月1日的温差： 12月2日的温差： 12月3日的温差： 12月4日的温差： 12月5日的温差： ， 最大温差是15， 故答案为：15． 【点睛】此题考查了正数与负数以及有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2 -5】如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为 ． 【答案】22 【分析】直接用冷藏室的温度减去冷冻室的温度即可得到答案． 【详解】解：（℃）， ∴变温室与冷冻室的温差为， 故答案为：22． 【点睛】本题主要考查了有理数减法的实际应用，正确计算是解题的关键． 【变式2 -6】小明的妈妈2021年在某商场消费一年共得532积分，该商场每年一月份进行积分换购活动，全商场都参与此活动．规则：一积分可充当一元钱进行消费，消费款优先从积分扣除，若积分不足则不足部分以现金结算．今年1月份，小明的妈妈在此商场超市消费238元，又准备在女鞋部购买一双售价330元的皮鞋，请回答她应如何支付： ． 【答案】再付36元现金 【分析】用532积分分别减去两次的消费，根据积分结果判断即可． 【详解】 ∴积分不够，还需要再支付现金36元， 故答案为：再付36元现金． 【点睛】本题考查有理数减法的实际应用，先用积分付款，最后结果是负数则需要现金，是正数不需要付现金． 【变式2 -7】小东对有理数定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同， 用“乘减法”计算：______． 小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明不成立． 【答案】(1)正，负，把绝对值相减 (2)；答案不唯一 【分析】（1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）根据（1）中的“乘减法”进行计算即可；设，，代入式子进行计算，看结果是否相同即可． 【详解】（1）解：，，，，，，，，，， 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并把绝对值相减；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值； 故答案为：正，负，把绝对值相减； （2）解： ， 故答案为：； 答案不唯一， 设，，， 左边， 右边， ， 所以结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键． 【考点题型三】有理数加减混合运算 【例3】计算＝ ． 【答案】1 【详解】解：原式＝ ＝1． 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 【变式3 -1】计算：= ． 【答案】-36 【分析】根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】原式 =-36， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键． 【变式3 -2】2023年10月，某校在北京园博园开展“创建绿色城市家园”的学生实践活动.活动线路从永定塔到锦绣谷，共分为9个赛段路程，平均每个赛段路程为300米，以300米为基准，其中实际路程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为“里程波动值”.下表记录了9个赛段的部分“里程波动值” 赛段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 里程波动值 10 26 ？ ？ 13 （1）第7个赛段的实际路程为 米； （2）如果第6个赛段的“里程波动值”比第5个赛段的“里程波动值”的2倍少6米，那么第6个赛段实际路程为 米. 【答案】 270 318 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）先求得5，6两个赛段的里程波动值之和，然后设第5个赛段的“里程波动值”为米，列得方程求得的值后列式计算即可． 【详解】解：（1）（米， 即第7个赛段的实际路程为270米， 故答案为：270； （2） （米， 即5，6两个赛段的里程波动值之和为30米， 设第5个赛段的“里程波动值”为米， 则， 解得：， 那么（米， 即第6个赛段实际路程为318米， 故答案为：318． 【变式3 -3】甲，乙，丙三人参与学生会主席选举，共发出1000张选票，得票最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内．学校共设有三个投票箱，目前第一、第二投票箱已经统计了所有选票，剩下第三投票箱尚未统计，结果如下表所示： 投票箱 候选人 废票 合计 甲 乙 丙 一 123 150 100 12 385 二 135 55 260 15 465 三 那么一定没有机会当选学生会主席的是 （填“甲”，“乙”或“丙”）． 【答案】乙 【分析】先算出甲、乙、丙已经得到选票数，再算出剩余选票数，进而即可求解． 【详解】解：甲已得选票：123+135=258， 乙已得选票：150+55=205， 丙已得选票：100+260=360， 剩余选票：1000-385-465=150， ∵205+150＜360， ∴一定没有机会当选学生会主席的是乙， 故答案是：乙． 【点睛】本题主要考查有理数的运算实际应用，从表格中提取有用信息，列出算式，是解题的关键． 【变式3 -4】现把2021个连续整数1，2，3，……，2021的每个数的前面任意填上“＋”号或者“－”号，然后将它们相加，则所得的结果绝对值的最小值为 ． 【答案】1 【分析】根据有理数和绝对值的意义，得出绝对值是最小值时的符号规律，进而求出答案． 【详解】， ， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查绝对值及有理数的运算，掌握有理数的运算法则是关键． 【变式3 -5】计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，按照有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解： 【变式3 -6】有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：    回答下列问题： (1)这8筐白菜中，最接近25千克的那筐白菜为 千克； (2)以每筐25千克为标准，这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价26元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1) (2)这8筐白菜总计不足千克． (3)出售这8筐白菜可卖元． 【分析】（1）本题考查绝对值的意义，绝对值越小，离标准越接近，计算题干中数据的绝对值，进行比较即可解题． （2）本题考查正负数的意义和有理数的加减运算，根据题意列式求解即可． （3）本题根据销售额售价数量，列式求解即可． 【详解】（1）解：由题知，最小，最接近标准，最接近25千克的那筐白菜为（千克）， 故答案为：． （2）解：（千克）， 答：以每筐25千克为标准，这8筐白菜总计不足千克． （3）解：（元）， 答：出售这8筐白菜可卖元． 【变式3 -7】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数加法和减法运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3 -8】的底数是 ，指数是 ，写成积的形式是 ． 【答案】 【分析】利用乘方的意义得结论． 【详解】解：的底数是，指数是，写成积的形式是． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，掌握乘方的定义是解决本题的关键． 【变式3 -9】计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，先化为省略加号的和的形式，再计算即可． 【详解】解： ． 【变式3 -10】计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，把互为相反数的两个数，分母相同的两个数先加，再计算即可，掌握加法的运算律是解本题的关键． 【详解】解： ； 【考点题型四】有理数乘法 【例4】已知：，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质和有理数的加法判断出a的值况，然后相乘即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，绝对值的性质和有理数的加法，熟记运算法则是解题的关键． 【变式4 -1】规定：符号“&amp;”为选择两数中负数进行运算，“◎”为选择两数中非负数进行运算，则（﹣4◎3）×（2&amp;﹣5）的结果为 ． 【答案】-15 【分析】规定：符号“&amp;”为选择两数中负数进行运算，“◎”为选择两数中非负数进行运算，得出原式＝3×（-5），再根据有理数乘法求出即可． 【详解】解：因为符号“&amp;”为选择两数中负数的运算，“◎”为选择两数中非负数的运算， 即（-4◎3）×（2&amp;-5）＝3×（-5）＝-15． 故答案为：-15． 【点睛】本题考查理解新运算符号的意义，有理数乘法运算，掌握新运算符号的意义解决题目即可． 【变式4 -2】设有理数a，b，c满足，，则a，b，c中正数的个数为 ． 【答案】2 【分析】根据题意，利用有理数的乘法法则判断即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴a，b，c中有一个负数或三个负数， ∵， ∴a，b，c中负数只有一个，即正数的个数为2个， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了有理数的乘法，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式4 -3】如图，在数轴上有一点A，将点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为 ． 【答案】/-0.5 【分析】根据数轴、结合题意设的值为，分情况列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的值为，则的值为，的值为， 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，符合题意， 故答案是：． 【点睛】本题考查的是有理数的乘法、一元一次方程、数轴，解题的关键是掌握有理数的乘法法则、灵活运用分类讨论思想解决． 【变式4 -4】计算 ． 【答案】 【分析】根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序． 【变式4 -5】计算： ． 【答案】 【分析】根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝ =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了乘法分配律，熟练掌握有理数的运算律可以使计算变得简便． 【变式4 -6】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律． 【详解】解： ． 【变式4 -7】计算：． 【答案】 【分析】根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握乘法分配律是解题的关键． 【变式4 -8】某学校在七年级开展种植类的劳动课程．现需要购买仿生阳光房若干个．经调查发现，同一款式的仿生阳光房在甲、乙两家商店的标价均是100元． 新年将至，两家商店开展促销活动，优惠方式如下： 甲商店：每个仿生阳光房按9折（标价的90%）出售； 乙商店：购买的仿生阳光房的个数不超过10时，按标价出售；购买的仿生阳光房的个数超过10时，超过部分按8折（标价的80%）出售． (1)若在甲商店购买10个该款式的仿生阳光房，则花费______元； (2)若在乙商店购买m（）个该款式的仿生阳光房，则花费______元（用含m的代数式表示）； (3)购买该款式的仿生阳光房的个数为多少时，在甲、乙两家商店的花费相同？ 【答案】(1) (2) (3)购买该款式的仿生阳光房的个数为20时，在甲、乙两家商店的花费相同 【分析】（1）根据花费=标价×数量进行求解即可； （2）根据乙商店所给的收费标准列出对应的式子即可； （3）设购买该款式的仿生阳光房的个数为x时，在甲、乙两家商店的花费相同，根据两个商店的收费标准，分别求出两个商店的花费，由此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，在甲商店购买10个该款式的仿生阳光房，则花费元， 故答案为；； （2）解：由题意得，在乙商店购买m（）个该款式的仿生阳光房，则花费元， 故答案为： （3）解：设购买该款式的仿生阳光房的个数为x时，在甲、乙两家商店的花费相同． 依题意可知，列方程，得． 解得． 答：购买该款式的仿生阳光房的个数为20时，在甲、乙两家商店的花费相同． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，列代数式，一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键． 【考点题型五】有理数除法 【例5】 ． 【答案】 【分析】根据有理数的除法法则运算即可求得答案. 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键. 【变式5 -1】的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握互为倒数的两数积为1是解题关键．根据互为倒数的两数积为1，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故答案为：． 【变式5 -2】要通过举反例说明“如果大于，那么的倒数小于的倒数”是错误的，请写出一组，的值： ， ． 【答案】 2 （答案不唯一） 【分析】乘积等于1的两个数互为倒数．根据倒数的定义分析求解即可． 【详解】解：取，，， 根据倒数的定义，可知的倒数为，的倒数为， 因为， 所以“如果大于，那么的倒数小于的倒数”是错误的． 故答案为：2，．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了倒数的知识，理解并掌握倒数的定义是解题关键． 【变式5 -3】小明在学习“倒数”一节的相关知识时发现：若5＞2，则＜．于是，他归纳出关于倒数的一个结论：对于任意两个非零有理数a，b，若a＞b，则＜．同学们，你们认为小明发现的结论 （填“正确”或“错误”），理由是： ． 【答案】 错误 当两个非零有理数异号时，若，则 【分析】讨论两个非零有理数异号时，与的大小关系即可得出结论． 【详解】解：小明发现的结论错误， 理由是：当两个非零有理数异号时，不妨设， 的倒数为，的倒数为， 则有， 故答案为：错误；当两个非零有理数异号时，若，则． 【点睛】本题考查了倒数、有理数的大小比较，熟练掌握倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数）是解题关键． 【变式5 -4】点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b，对于以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】此题主要考查了数轴与绝对值，理解有理数与数轴的关系，根据数轴判断出，再进行化简计算即可判断． 【详解】解：由题图可知，， ∴， ∴正确的是①③． 故选：C． 【变式5 -5】如图，将一刻度尺放在数轴上． ①若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为1和4，则对应数轴上的点表示的数是2； ②若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为1和10，则对应数轴上的点表示的数是4； ③若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和2，则对应数轴上的点表示的数是0； ④若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0.5，则对应数轴上的点表示的数是 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，以及有理数的混合运算，解题的关键是正确算出每一厘米表示的单位长度．先计算出两点间的距离为几个单位长度，再除以刻度尺的长度，即可知每表示的单位长度． 【详解】解：①∵和对应数轴上的点表示的数分别为1和4， ∴单位长度为， ∴对应数轴上的点表示的数是，故①正确； ②∵和对应数轴上的点表示的数分别为1和10， ∴单位长度为， ∴对应数轴上的点表示的数是，故②正确； ③∵和对应数轴上的点表示的数分别为和2， ∴单位长度为， ∴对应数轴上的点表示的数是，故③正确； ④∵和对应数轴上的点表示的数分别为和0.5， ∴单位长度为， ∴对应数轴上的点表示的数，故④正确， 故选：D． 【考点题型六】有理数的乘方 【例6】下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数的判断，有理数乘方的运算，绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求出每个选项中两个数的值即可得到答案． 【详解】解：A、与相等，不互为相反数，不符合题意； B、与相等，不互为相反数，不符合题意； C、与既不相等，也不互为相反数，不符合题意； D、与互为相反数，符合题意； 故选：D． 【变式6 -1】计算结果正确的是（    ） A．2022 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据的偶数次方等于1可直接得出答案． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是掌握的偶数次方等于1，奇数次方等于． 【变式6 -2】定义：如果（，且），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的序号有（    ） ①；②；③若，则；④ A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据定义公式分别计算再判断． 【详解】∵6=6，∴，故①错误； ∵，∴，故②正确； ∵， ∴，解得a=50，故③正确； ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 【点睛】此题考查新定义计算，有理数的乘方计算，正确理解题中计算公式是解题的关键． 【变式6 -3】比较大小： 填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方，绝对值及有理数的大小比较，将两数计算后比较大小即可． 【详解】解：，， 则， 故答案为：． 【变式6 -4】计算： ． 【答案】 【分析】根据有理数乘方的意义可求解． 【详解】解：． 故答案为 【点睛】此题考查有理数乘方的简单运算，乘方的运算可以利用乘法的运算法则来进行． 【变式6 -5】已知，则 ． 【答案】-1 【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，代入即可求解． 【详解】解：由题意得a-2=0，b+3=0， 所以a=2，b=-3， 所以． 故答案为：-1 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，乘方的性质，乘方运算，根据题题求出a、b的值是解题关键． 【变式6 -6】已知a表示的相反数，b表示的立方，c表示的系数，d表示的倒数． (1)直接写出各字母所表示的数； (2)计算a，b，c，d中所有负数的乘积，并判断结果是否为正整数． 【答案】(1)，，， (2)，是正整数 【分析】本题考查了相反数、立方、倒数以及单项式； （1）根据相反数、立方、倒数以及单项式即可求解； （2）根据有理数的乘法计算，可得答案． 【详解】（1）∵a表示的相反数， ∴， ∵b表示的立方， ∴ ∵c表示的系数， ∴ ∵d表示的倒数， ∴； （2）a，b，c，d中负数有，，它们的乘积为，结果是正整数． 【考点题型七】有理数混合运算 【例7】定义运算“@”的运算法则为．如，那么的运算结果是（    ） A．4 B． C． D．4或8 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是明确有理数的混合运算的计算方法．根据题目中的新定义运算公式可以求出所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选C． 【变式7 -1】规定一种新运算：，例如：． （1）请计算： ． （2）若，则x的值为 ． 【答案】 4 1 【分析】本题考查有理数的混合运算、新运算及解一元一次方程，解答本题的关键是明确新运算的计算方法，求出所求式子的值． （1）根据题目中的新运算，可以计算出所求式子的值； （2）先根据题目中的新运算得一个关于x的方程，再解方程即可解答本题． 【详解】解：（1） （2） 【变式7 -2】利用公式计算： （1） ；（直接写答案） （2）1 ．（直接写答案） 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果． 【详解】解：（1） ； （2）1 ； 故答案为：（1）；（2） 【变式7 -3】11011 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果 【详解】原式 +( ) ． 故答案为： 【变式7 -4】定义一种新运算：，如，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了新定义，有理数混合运算，先根据新定义计算出，然后再根据新定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴，． 故． 故答案为：0． 【变式7 -5】 ． 【答案】0 【分析】先算乘方，后算加法即可. 【详解】解：-1+1=0， 故答案为：0 【点睛】此题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解答此题的关键. 【变式7 -6】对于任意有理数a，b，我们规定：，例如：． （1）计算： ； （2）若，则x的值为 ． 【答案】 -2 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义整理成关于x的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：（1）根据题意得：（-2）⊗3=（-2）2-2×3=-2； 故答案为：-2； （2）根据题意得：2⊗x=22-2x=3+x， 整理得：4-2x=3+x， 解得：x=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式7 -7】计算： ． 【答案】0 【分析】利用含乘方的混合计算先计算乘方，再计算除法，最后加法即可得到结果． 【详解】解：． 故答案是：0． 【点睛】本题考查了含有理数的乘方混合运算，熟悉相关运算法则是解题的关键． 【变式7 -8】计算： (1)； (2)； (3)（结果化成度、分、秒的形式）； (4)（结果化成度、分、秒的形式）． 【答案】(1)9 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，含乘方的有理数的四则混合运算，角度的计算等知识．熟练掌握有理数的加减混合运算，含乘方的有理数的四则混合运算，角度的计算是解题的关键． （1）利用加法结合律计算分数、小数的加法运算，然后进行加减运算即可； （2）先计算乘方，然后进行乘除运算，最后进行加减运算即可； （3）根据，计算求解即可； （4）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式7 -9】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键． （1）先通分计算括号内的，将结果乘以即可得到本题答案； （2）先计算括号内的再计算中括号内的，再计算乘法最后计算减法． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ． 【变式7 -10】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)42 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可得到答案； （2）先计算乘方、再计算乘法、最后计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式7 -11】计算： 【答案】9 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算，先算括号里面的，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】解： 【变式7 -12】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．先算乘方，再算括号，后算乘法，最后算加法． 【详解】解：原式 【变式7 -13】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查含乘方的有理数混合运算，掌握运算法则即可解题． （1）先把减法化为加法，再运用有理数的加法法则进行计算，即可解题． （2）先算乘方和化简绝对值，再根据有理数的加减法法则进行计算，即可解题． （3）先算乘方，再算乘法，根据有理数的加法法则进行计算，即可解题． （4）利用乘法分配律解题更简便． （5）先算乘方，再算乘法，根据有理数的加法法则进行计算，即可解题． （6）先算乘方和化简绝对值，再根据有理数的加减法法则进行计算，即可解题． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 【变式7 -14】学习了有理数的运算后，下面是小明同学的第①步运算过程： ．…………………………………………① (1)小明同学的第①步运算有几处错误？在第①步的算式中用“○”圈出来错误的地方； (2)请你完整地写出本题的正确运算过程． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数混合运算的法则判断即可； （2）根据有理数混合运算的法则计算即可． 【详解】（1）解：小明同学的第①步运算有2处错误； 在第①步的算式中，应该是； 用乘法分配律计算应该是； （2）解： ． 【变式7 -15】观察下列各式： … … 尝试计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)45.9 (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果； （3）原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【变式7 -16】在学习完“有理数”后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的运算律经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程（利用举例法）． 【答案】(1)2 (2)24 (3)不具备交换律，理由见详解 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及新定义的运用． （1）将，代入计算可得； （2）根据法则，先计算，再计算可得； （3）计算和即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ； （3）解：不具有交换律， 例如：； ， ∴， 不具有交换律． 【变式7 -17】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值： (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程． （1）根据题目中的定义可以解答本题； （2）根据题意可以将题目中的式子转化为关于a的方程，从而可以求得a的值． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 解得，； 【考点题型八】科学记数法 【例8】我国的长城始建于西周时期，被国务院确定为全国重点文物保护单位，并于1987年12月被列入世界文化遗产．长城总长约米，用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， 故选：D 【变式8 -1】“上有天堂，下有苏杭”，凭借独特的自然风光，杭州一直都是旅游热门目的地．尤其是2023年亚运会的到来，让这座城市更加热门．相关数据显示，“十一”黄金周期间杭州市接待游客约1300万人次．将13000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：将13000000用科学记数法表示为， 故选：A． 【变式8 -2】元旦假期前，北京天文馆预告了两项值得关注的天象，其中一项便是年月日地球过近日点．地球绕太阳公转的轨道是一个近似的椭圆，在这个公转轨道上离太阳最近的一点称作近日点，近日点和太阳的距离约为，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】把表示为：的形式，即可． 【详解】∵ 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的形式：，其中，确定的值和的值是解题的重点． 【变式8 -3】国家速滑馆（“冰丝带”）是2022年北京冬奥会北京主赛区标志性场馆．“冰丝带”的设计理念来自一个冰和速度结合的创意，22条丝带就像运动员滑过的痕迹，象征速度和激情．“冰丝带”以约12000平方米的冰面成为亚洲之最，可接待超过2000人同时开展冰球、速度滑冰、花样滑冰、冰壶等所有冰上运动，其中12000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】将一个数表示成a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫科学记数法，由定义表示即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法，确定n和a的取值是解题的关键． 【变式8 -4】在我国南海某海域探明可燃冰储量约有亿立方米，数字用科学记数法表示正确的是 ． 【答案】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 【变式8 -5】我国坚持山水林田湖草沙系统性治理，加强生态系统保护修复，推进大规模国土绿化行动，十年来，全国累计完成造林10.2亿亩，人工林面积稳居世界第一．将10.2亿用科学记数法表示为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．． 将一个数表示成的形式，其中为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：， 故选：C． 【变式8 -6】2023年8月，新一代人造太阳“中国环流三号”首次实现100万安培等离子体电流下的高约束模式运行，标志着我国磁约束核聚变装置运行水平迈入国际前列．将1000000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：， 故选A 【考点题型九】近似数 【例9】有理数2.345精确到十分位的近似数是（    ） A．2.34 B．2.35 C．2.3 D．2.4 【答案】C 【分析】把百分位上的数字4进行四舍五入即可． 【详解】解：2.345≈2.3（精确到十分位）． 故选：C． 【点睛】本题考查了近似数：近似数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位的说法． 【变式9 -1】用四舍五入法把精确到，所得到的近似数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的近似数，精确到百分位，只需要对千分位上的数字进行四舍五入即可，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 【详解】解：精确到的结果为， 故答案为：． 【变式9 -2】圆周率是数学美的象征，它的无限不循环小数形式引发了人们对数学的好奇和探索．圆周率，用四舍五入法把精确到百分位，得到的近似值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数和有效数字，根据题意，将千分位的数字四舍五入即可得出答案，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【详解】解：用四舍五入法把精确到百分位，得到的近似值是， 故答案为：． 【变式9 -3】有一个数学常数叫“黄金分割比”，它的值约为，将它用四舍五入法精确到的近似数是 ． 【答案】 【分析】根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，找出位上的数字，再通过四舍五入即可得出答案． 【详解】解：精确到的近似数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字，用到的知识点是四舍五入法取近似值，解题的关键是找出末位数字． 【变式9 -4】用四舍五入法把3.1415926精确到0.01，所得到的近似数为 ． 【答案】3.14 【分析】要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【详解】解：， 故答案为：3.14． 【点睛】本题主要考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．经过四舍五入得到的数为近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示． 【变式9 -5】用四舍五入法把4.0692精确到0.01，所得到的近似数为 ． 【答案】4.07 【分析】根据四舍五入的法则进行计算即可． 【详解】解:根据题目要求4.06924.07 故答案为：4.07． 【点睛】本题考查的是近似数，熟练掌握四舍五入并且审清题目要求是解题的关键． 【变式9 -6】用四舍五入法将0.0674精确到千分位，所得到的近似数为 ． 【答案】0.067 【分析】只需要对万分位上的数字4进行四舍五入即可得到答案． 【详解】解：用四舍五入法将0.0674精确到千分位，所得到的近似数为0.067， 故答案为：0.067． 【点睛】本题主要考查了求一个数的近似数，熟知精确到哪一位即对该位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司41 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数的运算（11个考点梳理+9个题型解读+提升训练） 【清单1】倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若ab=1 a、b互为倒数； 若ab=-1 a、b互为负倒数. 等于本身的数汇总： 相反数等于本身的数：0 倒数等于本身的数：1，-1 绝对值等于本身的数：正数和0 平方等于本身的数：0,1 立方等于本身的数：0,1，-1. 【清单2】有理数加法的运算律： a+b=b+a a+b+c=a+(b+c) 【清单3】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 【清单4】有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与零相乘都得零； （3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。 【清单5】有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .（简便运算） 【清单6】有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，. 【清单7】有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 【清单8】乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； （3）a2是重要的非负数，即a2 ≥0；若a2+|b|=0 a=0,b=0； （4）正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 【清单9】混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减； 注意：不省过程，不跳步骤。 【清单10】科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数即1≤a<10，这种记数法叫科学记数法.10的指数=整数位数-1, 整数位数=10的指数+1 【清单11】近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位. 【考点题型一】有理数加法 【例1】黑板上写着7个数，分别为：，a，1，13，b，0，，它们的和为，若每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数为所擦除的两个数的和加上1），这样操作若干次，直至黑板上只剩下一个数，则所剩的这个数是 ． 【变式1 -1】从正整数中，选出组数，满足以下三个条件： ①每组2个数不相等； ②任意两组都不含有相同的数； ③每组2个数的和互不相同且不超过15． 根据以上条件，回答下列问题： （1）若，请写出一种选取方案：第1组： ，第2组： ； （2）的最大值为 ． 【变式1 -2】2023年国庆节，全国从10月1日到10月7日放假七天．某著名景点在9月30日的游客人数为1.1万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） 则这七天假期里，游客人数最多的是10月 日，达到 万人． 【变式1 -3】某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（，a，b，c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和，该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则 ，a的值为 ． 【变式1 -4】 【变式1 -5】计算：． 【考点题型二】有理数减法 【例2】以河岸边步行道的平面为基准，河面高，河岸上地面高，则地面比河面高（    ） A． B． C． D． 【变式2 -1】如图是北京市房山区十渡风景区12月的一周的最低和最高气温（单位：℃），观察此图，下列说法正确的是（    ） A．在这一周中，最高气温为5℃，最低气温为 B．在9号至11号的气温中，每天温差都是9℃ C．这周的温差最大的日期是12月7日，最大温差是6℃ D．每天的最高气温与最低气温都是具有相反意义的量 【变式2 -2】计算： ． 【变式2 -3】计算： ． 【变式2 -4】如图中给出了某城市连续5天中，每一天的最高气温和最低气温（单位：），那么最大温差是 ． 【变式2 -5】如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为 ． 【变式2 -6】小明的妈妈2021年在某商场消费一年共得532积分，该商场每年一月份进行积分换购活动，全商场都参与此活动．规则：一积分可充当一元钱进行消费，消费款优先从积分扣除，若积分不足则不足部分以现金结算．今年1月份，小明的妈妈在此商场超市消费238元，又准备在女鞋部购买一双售价330元的皮鞋，请回答她应如何支付： ． 【变式2 -7】小东对有理数定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同， 用“乘减法”计算：______． 小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明不成立． 【考点题型三】有理数加减混合运算 【例3】计算＝ ． 【变式3 -1】计算：= ． 【变式3 -2】2023年10月，某校在北京园博园开展“创建绿色城市家园”的学生实践活动.活动线路从永定塔到锦绣谷，共分为9个赛段路程，平均每个赛段路程为300米，以300米为基准，其中实际路程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为“里程波动值”.下表记录了9个赛段的部分“里程波动值” 赛段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 里程波动值 10 26 ？ ？ 13 （1）第7个赛段的实际路程为 米； （2）如果第6个赛段的“里程波动值”比第5个赛段的“里程波动值”的2倍少6米，那么第6个赛段实际路程为 米. 【变式3 -3】甲，乙，丙三人参与学生会主席选举，共发出1000张选票，得票最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内．学校共设有三个投票箱，目前第一、第二投票箱已经统计了所有选票，剩下第三投票箱尚未统计，结果如下表所示： 投票箱 候选人 废票 合计 甲 乙 丙 一 123 150 100 12 385 二 135 55 260 15 465 三 那么一定没有机会当选学生会主席的是 （填“甲”，“乙”或“丙”）． 【变式3 -4】现把2021个连续整数1，2，3，……，2021的每个数的前面任意填上“＋”号或者“－”号，然后将它们相加，则所得的结果绝对值的最小值为 ． 【变式3 -5】计算：． 【变式3 -6】有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：    回答下列问题： (1)这8筐白菜中，最接近25千克的那筐白菜为 千克； (2)以每筐25千克为标准，这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价26元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 【变式3 -7】计算：． 【变式3 -8】的底数是 ，指数是 ，写成积的形式是 ． 【变式3 -9】计算：． 【变式3 -10】计算：． 【考点题型四】有理数乘法 【例4】已知：，，且，则 ． 【变式4 -1】规定：符号“&amp;”为选择两数中负数进行运算，“◎”为选择两数中非负数进行运算，则（﹣4◎3）×（2&amp;﹣5）的结果为 ． 【变式4 -2】设有理数a，b，c满足，，则a，b，c中正数的个数为 ． 【变式4 -3】如图，在数轴上有一点A，将点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为 ． 【变式4 -4】计算 ． 【变式4 -5】计算： ． 【变式4 -6】计算：． 【变式4 -7】计算：． 【变式4 -8】某学校在七年级开展种植类的劳动课程．现需要购买仿生阳光房若干个．经调查发现，同一款式的仿生阳光房在甲、乙两家商店的标价均是100元． 新年将至，两家商店开展促销活动，优惠方式如下： 甲商店：每个仿生阳光房按9折（标价的90%）出售； 乙商店：购买的仿生阳光房的个数不超过10时，按标价出售；购买的仿生阳光房的个数超过10时，超过部分按8折（标价的80%）出售． (1)若在甲商店购买10个该款式的仿生阳光房，则花费______元； (2)若在乙商店购买m（）个该款式的仿生阳光房，则花费______元（用含m的代数式表示）； (3)购买该款式的仿生阳光房的个数为多少时，在甲、乙两家商店的花费相同？ 【考点题型五】有理数除法 【例5】 ． 【变式5 -1】的倒数是 ． 【变式5 -2】要通过举反例说明“如果大于，那么的倒数小于的倒数”是错误的，请写出一组，的值： ， ． 【变式5 -3】小明在学习“倒数”一节的相关知识时发现：若5＞2，则＜．于是，他归纳出关于倒数的一个结论：对于任意两个非零有理数a，b，若a＞b，则＜．同学们，你们认为小明发现的结论 （填“正确”或“错误”），理由是： ． 【变式5 -4】点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b，对于以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【变式5 -5】如图，将一刻度尺放在数轴上． ①若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为1和4，则对应数轴上的点表示的数是2； ②若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为1和10，则对应数轴上的点表示的数是4； ③若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和2，则对应数轴上的点表示的数是0； ④若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0.5，则对应数轴上的点表示的数是 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【考点题型六】有理数的乘方 【例6】下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式6 -1】计算结果正确的是（    ） A．2022 B． C．1 D． 【变式6 -2】定义：如果（，且），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的序号有（    ） ①；②；③若，则；④ A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④ 【变式6 -3】比较大小： 填“＞”“＜”或“＝”）． 【变式6 -4】计算： ． 【变式6 -5】已知，则 ． 【变式6 -6】已知a表示的相反数，b表示的立方，c表示的系数，d表示的倒数． (1)直接写出各字母所表示的数； (2)计算a，b，c，d中所有负数的乘积，并判断结果是否为正整数． 【考点题型七】有理数混合运算 【例7】定义运算“@”的运算法则为．如，那么的运算结果是（    ） A．4 B． C． D．4或8 【变式7 -1】规定一种新运算：，例如：． （1）请计算： ． （2）若，则x的值为 ． 【变式7 -2】利用公式计算： （1） ；（直接写答案） （2）1 ．（直接写答案） 【变式7 -3】11011 ． 【变式7 -4】定义一种新运算：，如，则 ． 【变式7 -5】 ． 【变式7 -6】对于任意有理数a，b，我们规定：，例如：． （1）计算： ； （2）若，则x的值为 ． 【变式7 -7】计算： ． 【变式7 -8】计算： (1)； (2)； (3)（结果化成度、分、秒的形式）； (4)（结果化成度、分、秒的形式）． 【变式7 -9】计算： (1)； (2)． 【变式7 -10】计算： (1)； (2)． 【变式7 -11】计算： 【变式7 -12】计算：． 【变式7 -13】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式7 -14】学习了有理数的运算后，下面是小明同学的第①步运算过程： ．…………………………………………① (1)小明同学的第①步运算有几处错误？在第①步的算式中用“○”圈出来错误的地方； (2)请你完整地写出本题的正确运算过程． 【变式7 -15】观察下列各式： … … 尝试计算： (1)； (2)； (3)． 【变式7 -16】在学习完“有理数”后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的运算律经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程（利用举例法）． 【变式7 -17】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值： (2)若，求a的值． 【考点题型八】科学记数法 【例8】我国的长城始建于西周时期，被国务院确定为全国重点文物保护单位，并于1987年12月被列入世界文化遗产．长城总长约米，用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式8 -1】“上有天堂，下有苏杭”，凭借独特的自然风光，杭州一直都是旅游热门目的地．尤其是2023年亚运会的到来，让这座城市更加热门．相关数据显示，“十一”黄金周期间杭州市接待游客约1300万人次．将13000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式8 -2】元旦假期前，北京天文馆预告了两项值得关注的天象，其中一项便是年月日地球过近日点．地球绕太阳公转的轨道是一个近似的椭圆，在这个公转轨道上离太阳最近的一点称作近日点，近日点和太阳的距离约为，用科学记数法表示为 ． 【变式8 -3】国家速滑馆（“冰丝带”）是2022年北京冬奥会北京主赛区标志性场馆．“冰丝带”的设计理念来自一个冰和速度结合的创意，22条丝带就像运动员滑过的痕迹，象征速度和激情．“冰丝带”以约12000平方米的冰面成为亚洲之最，可接待超过2000人同时开展冰球、速度滑冰、花样滑冰、冰壶等所有冰上运动，其中12000用科学记数法表示为 ． 【变式8 -4】在我国南海某海域探明可燃冰储量约有亿立方米，数字用科学记数法表示正确的是 ． 【变式8 -5】我国坚持山水林田湖草沙系统性治理，加强生态系统保护修复，推进大规模国土绿化行动，十年来，全国累计完成造林10.2亿亩，人工林面积稳居世界第一．将10.2亿用科学记数法表示为（） A． B． C． D． 【变式8 -6】2023年8月，新一代人造太阳“中国环流三号”首次实现100万安培等离子体电流下的高约束模式运行，标志着我国磁约束核聚变装置运行水平迈入国际前列．将1000000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】近似数 【例9】有理数2.345精确到十分位的近似数是（    ） A．2.34 B．2.35 C．2.3 D．2.4 【变式9 -1】用四舍五入法把精确到，所得到的近似数为 ． 【变式9 -2】圆周率是数学美的象征，它的无限不循环小数形式引发了人们对数学的好奇和探索．圆周率，用四舍五入法把精确到百分位，得到的近似值是 ． 【变式9 -3】有一个数学常数叫“黄金分割比”，它的值约为，将它用四舍五入法精确到的近似数是 ． 【变式9 -4】用四舍五入法把3.1415926精确到0.01，所得到的近似数为 ． 【变式9 -5】用四舍五入法把4.0692精确到0.01，所得到的近似数为 ． 【变式9 -6】用四舍五入法将0.0674精确到千分位，所得到的近似数为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$