第03讲 解直角三角形（5个知识点+5种题型+分层练习） -2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第03讲 解直角三角形（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点3．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点4．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点5．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 题型强化 题型一．解直角三角形 1．（2024•余姚市校级四模）如图所示，格点三角形放置在的正方形网格中，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】过点作，垂足为，先利用勾股定理求出，再利用直角三角形的边角关系得结论． 【解答】解：过点作，垂足为． ，， ． ． 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 2．（2024•宁波模拟）如图，在△中，已知，．若，则　　． 【分析】过点作于，则，设，，则，由可得，，利用勾股定理求出、，根据正弦的定义即可求解． 【解答】解：过点作于，则， ， 设，， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角函数，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 3．（2024•海宁市校级模拟）在中，，分别是，的中点，于点，于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当，，时，求的长． 【分析】（1）先证，再证和全等得，由此可得出结论； （2）过点作于点，证为的中位线得，，再证为等腰直角三角形得，则，再由得，进而可得，则，然后在中由勾股定理即可求出的长． 【解答】（1）证明：于点，于点， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， 点，分别是，的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）过点作于点，如图所示： 于点， ， 又点为的中点， 为的中位线，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等，理解平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活锐角三角函数和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 题型二．解直角三角形的应用 4．（2024•鹿城区校级三模）使用可调节双层鞋托架能大大提高鞋柜空间利用率，一种可调节双层鞋托架示意图如图所示，当打开最大时，，，，则此时点到的距离为　　 A． B． C． D． 【分析】过点作于点，过点作于点，在中，根据三角函数求出，根据，即可作答． 【解答】解：过点作于点，过点作于点， 四边形为矩形， ， ， ， 在中， ， ， 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形． 5．（2024•鄞州区模拟）如图，一把梯子斜靠在墙上，端点离地面的高度长为时，，当梯子底端点水平向左移动到点，端点沿墙竖直向上移动到点，设，则的长可以表示为 　　． 【分析】根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而可得，再在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：，， 在中，，， ， ， 在△中，， ， ， 的长可以表示为， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．（2024•绍兴一模）图1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图2是该螺旋式千斤顶的平面示意图，已知四条支撑杆，，，的长度均为，螺杆与水平地面平行． （1）当时，求千斤顶顶部到水平地面的距离的长． （2）当由变为时，千斤顶顶部到水平地面的距离的长将增加多少？ （结果精确到．参考数据：，，， 【分析】（1）连接，易证四边形为菱形，，为等边三角形，，进而作答即可； （2）连接交于点，根据菱形，为直角三角形，且，根据三角函数作答即可． 【解答】解：（1）连接，如图， ， 四边形为菱形， ， 又， 为等边三角形， ， 当时，的长为； （2）连接交于点，如图， ， 四边形为菱形， ，为菱形的对角线， 为直角三角形，， 在中，， ， ， ， 当由变为时，千斤顶顶部到水平地面的距离的长将增加． 【点评】本题考查菱形的性质和解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线． 题型三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 7．（2024•浙江模拟）如图，一根长的木头斜靠在垂直于地面的墙上，当端点离地面的高度为时，木头的倾斜角的余弦的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意可以求得的长度，从而可得的值． 【解答】解：由题意可知，在△中，，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是将题目中的条件进行转化，得到所求问题需要的条件即的长． 8．（2024•西湖区校级三模）如图，一座水库大坝的横断面为梯形，斜坡，现将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡．则新坡面　　．（结果保留根号） 【分析】根据的坡度为，，可得的长，再根据改为坡度为可以求出的长，根据勾股定理即可求出新坡面． 【解答】解：的坡度为，， 设，则， ，故， 在中，坡度为， ，故． 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点． 9．（2024•仙居县二模）如图，斜面上的小正方体木块的重力大小和方向可以用从点到点的有向线段的表示，由于斜边的支撑，重力会分解成平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力（叫做木块对斜面的正压力），分别用从到的有向线段和从到的有向线段表示．线段的长表示正方体的重力大小，线段和的长分别表示两个分力的大小．根据科学原理，四边形是平行四边形．如果斜面的坡角，小正方体木块的重力为10牛．求：该正方体木块对斜面的正压力（垂直于斜面的分力）的大小． （温馨提示：，，，结果精确到0.1牛） 【分析】根据题意求出，再根据余弦的定义计算，得到答案． 【解答】解：，， ， 在中，，牛， ， （牛， 答：该正方体木块对斜面的正压力约为9.4牛． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 题型四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 10．（2024•拱墅区二模）如图，某数学实践小组测量操场的旗杆的高度，操作如下： （1）在点处放置测角仪，量得测角仪的高度为； （2）测得仰角； （3）量得测角仪到旗杆的水平距离为． 则旗杆的高度可表示为　　 A． B． C． D． 【分析】过点作于点，在直角三角形中用表示出，再利用线段的和求出旗杆的高度即可． 【解答】解：过点作于点，如图 由题意，知四边形是矩形， ，， 在中， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，构造直角三角形，合理利用三角函数定义是解题的关键． 11．（2024•海宁市三模）某防空部队进行射击训练时，在地面，两个观察点测得空中固定目标的仰角为和，测得，，，则目标距离地面的高度为 　　． 【分析】过作于，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过作于， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 答：目标距离地面的高度为． 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 12．（2024春•瑞安市月考）如图，测得两幢楼之间的距离为，从楼顶观测点的俯视角为，点的俯视角为，求这两幢楼的高度．（精确到，参考数据：，， 【分析】过点作于点，根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用三角函数进行计算，进而可求出答案． 【解答】解：过点作于点， 在△中，， ， 在△中，，， ， ． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 题型五．解直角三角形的应用-方向角问题 13．（2021春•永嘉县校级期中）如图，从渔船处测得灯塔在北偏东方向上，这艘渔船以的速度向正东方向航行，半小时后到达处，在处测得灯塔在北偏东方向上，此时灯塔与渔船的距离是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意证明是等腰三角形，即可得此时灯塔与渔船的距离． 【解答】解：根据题意可知： ， ， ， ， ． 所以此时灯塔与渔船的距离是． 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义． 14．（2022•丽水二模）如图，从点测得村在北偏东方向，小明从点沿北偏东方向步行800米达到处，测得村位于点的北偏西方向，若在上找点，使得最短，的长是 　　米． 【分析】过点作于点，依据题意可得，，，，进而可得，则，设，在中，可得，即可求出的值，进而可得出答案． 【解答】解：如图，过点作于点， 依据题意，可得，，，米， ， 则， 设，则， 在中， ， 解得， 米． 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握解直角三角形的知识是解答本题的关键．注意数形结合思想与方程思想的应用 15．（2023•仙桃校级一模）如图，海岸线上有两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正东方向，与灯塔相距．海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔的北偏东方向，与灯塔相距的处；乙船位于灯塔的北偏东方向，与灯塔相距的处．求： （1）甲船与灯塔之间的距离； （2）两艘货船之间的距离． 【分析】（1）连接，由图可得，是等边三角形，进而可得的长度； （2）过作于，根据角的余弦求出，再根据勾股定理可得答案． 【解答】解：（1）连接， ，， 是等边三角形， ， 答：甲船与灯塔之间的距离是； （2）过作于， 由（1）得，，，， 中，， ， ， ， 答：两艘货船之间的距离是． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义． 分层练习 一、单选题 1．已知一菱形的边长为1，锐角为α，则菱形的面积为（　　） A．sinα B．cosα C．tanα D．2sinα 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】利用三角函数求出菱形的高即可解决问题. 【详解】如图，作AH⊥BC于H． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=1， 在Rt△ABH中，AH=AB•sinα， ∴S菱形ABCD=BC•AH=sinα， 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，记住菱形的两个面积公式． 2．若一个正九边形的边长为，则这个正九边形的半径是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解直角三角形的相关计算、正多边形和圆的综合 【分析】先根据题意画出图形，经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C．接OA，则在直角△OAC中，∠AOB=．OC是边心距，OA即半径．根据三角函数即可求解． 【详解】解答：如图所示，过O作OC⊥AB于C，则OC即为正九边形的边心距，连接OA， ∵此多边形是正九边形，∴∠AOB==40°，OA=OB， ∴∠AOC=∠AOB=×40°=20°， ∵AB=a，∴AC=a， ∴OA===． 故选D． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，关键是构造直角三角形，利用圆内接正多边形的性质及直角三角形中三角函数的定义解答． 3．在中，，为边上的高，，，则的长为（    ） A．5 B．7 C．5或7 D． 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算、与三角形的高有关的计算问题 【分析】在中，根据，，求得，然后分情况讨论即可求得的长． 【详解】解：在中，， 如图，当点C在点D右边时 如图，当点C在点D左边时 故的长为5或7 故选：C 【点睛】本题考查解直角三角形以及分类讨论，解题关键是正确画出分类讨论的三角形图形求解． 4．水库堤坝的横断面是梯形（如图）．测得斜坡长为米，斜坡的坡比为，则此堤坝横断面的高为（      ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】根据坡比为1:2，设BE=x米，AE=2x米，在Rt△ABE中，利用勾股求出x的值即可． 【详解】 解：过点B作BE⊥AC于点E. ∵坡比为1：2， ∴设BE=x米，AE=2x米， ∵斜坡AB长为60米， ∴x2+（2x）2=602， ∴x=12 ． 故选C 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度、坡角问题，解题关键是熟悉坡度、坡角的定义及勾股定理． 5．如图，正六边形内接于，交于点G，若，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合、求弧长、解直角三角形的相关计算 【分析】连接，由圆及正多边形的轴对称性知，经过圆心O，得．可求，运用勾股定理，中，，，求得，运用弧长公式进一步求解． 【详解】解：连接，由圆及正多边形的轴对称性知，经过圆心O， ∴． ， ． ∴ 中，， 中，， ∴． ∴的长．    【点睛】本题考查正多边形性质，圆的性质，圆周角定理，解直角三角形；由正多边形性质求解角度是解题的关键． 6．已知：如图，，分别是半圆和半圆的直径，半圆的弦交半圆于．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】利用直径的性质可得△ABM、△BCN均为直角三角形，然后利用三角函数计算即可 【详解】解：∵，分别是半圆和半圆的直径， ∴∠AMC=∠BNC=90°， ∴，， ∴ ∴， 即． ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了直径的性质以及解直角三角形，解题的关键是能够利用三角函数表示相关线段长从而得结果． 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，，点， 分别是边，上的点．将沿折叠，使点的对应点落在边上，若，则点F的坐标为（　　） A． B． C． D．， 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、折叠问题、利用菱形的性质求线段长、坐标与图形 【分析】过作于，作于，根据四边形是菱形，，可得，，，，又，故，由将沿折叠，使点的对应点落在边上，有，从而，，即知，可得，． 【详解】解：过作于，作于，如图： 四边形是菱形，， ， ， ，， ，， ，， ， ，， ，即， ， ， ， 将沿折叠，使点的对应点落在边上， ， ， ， 解得， ， ，，轴， ∴点F的横坐标为， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查菱形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用含角的直角三角形三边的关系． 8．如图，在中，，，，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于D，E两点，作直线交于M，交于N，连接．G为上一动点，过G作，垂足为F，连接，则的最小值为（　　）    A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、垂线段最短 【分析】过G作于H，先求出，由作图得垂直平分，进而证明平分，从而得到，根据两点之间线段最短和垂线段最短得线段是的最小值，在中，根据， ，即可求出，问题得解． 【详解】解：过G作于H，    ∵，， ∴， 由作图得垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∴当点B、G、H在同一直线上时，根据两点之间线段最短和垂线段最短得线段是的最小值， 在中，， ， 即的最小值为． 故选：B 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，角平分线的性质，垂线段最短，两点之间线段最短，解直角三角形等知识，理解题意，熟知相关知识，正确添加辅助线是解题关键． 9．如图，第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，，则k的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F．由反比例函数的比例系数的几何意义得△OAF的面积，再证明△OAF∽△BOE，由相似三角形的性质得△BOE的面积，进而得k的值； 【详解】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F． ∵OA⊥OB， ∴∠BOE+∠AOF＝90°． 又∠BOE+∠OBE＝90°， ∴∠AOF＝∠OBE， ∴△OAF∽△BOE． ∴， ∵， 设OB=，AB=, OA=， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴S△AOF＝， ∴S△BOE＝， 又点B在反比例函数y＝的图象上，且点B在第二象限， ∴k＝﹣； 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数中|k|的几何意义以及相似三角形的判定与性质，解题关键是通过相似比求出面积比，利用几何意义求解． 10．如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点，点的对应点为点，连接、、与交于点，与交于点，若点为中点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、矩形与折叠问题 【分析】连接DF、FG，过点H作HJ⊥BC于J，根据锐角三角函数设AG=3x，则EG=5x，利用，即可求出x的值，从而求出，然后设CF=y，根据折叠的性质可得FD=FG，利用勾股定理列出方程即可求出y，从而求出，利用锐角三角函数和勾股定理求出HJ和FJ，即可求出BJ，最后利用勾股定理即可求出结论． 【详解】解：连接DF、FG，过点H作HJ⊥BC于J，如下图所示 ∵四边形ABCD为矩形 ∴∠A=90° ∴ 设AG=3x，则EG=5x，AE= ∵点为中点， ∴GB=AG=3x，AB=2AG=6x 由折叠的性质可得DE=EG=5x，EF⊥GD ∴AD=AE＋DE=9x， ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得：（不符合实际情况，舍去） ∴ 设CF=y，则BF=BC－CF=18－y 由折叠的性质可得FD=FG ∴ 解得：y=6 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴BJ=BF－FJ= ∴ 故选A． 【点睛】此题考查的是矩形与折叠问题和解直角三角形，掌握矩形的性质、折叠的性质、利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形是解题关键． 二、填空题 11．在中，，，，则的面积是 . 【答案】 【知识点】解直角三角形的应用 【分析】根据题意画出图形，根据解直角三角形的知识依次求出AD,BC的长度，再根据三角形的面积计算公式即可得到结果。 【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥BC, 在Rt△ACD中， AD=AC =5=3. CD==4 ∵ ∴∠B=45°， ∴BD=AD=3. ∴BC=BD+CD=4+3=7. ∴三角形ABC的面积= 7 3=. 【点睛】本题考查了三角函数的应用和三角形的面积计算公式，正确作出辅助线是解题的关键. 12．生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当时（为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬．现在有一长为米的梯子，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的高度 ．（结果精确到米．参考数据：，，） 【答案】米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】由于梯子、地面、墙恰好构成直角三角形，故根据锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】梯子、地面、墙恰好构成直角三角形，，， （米）， 故答案为：5.5米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 13．如图1，在三角形纸板中，，，，点是边上的一个点（不与点重合），沿折叠纸板，点的对应点是点． （1）如图2，当点在射线上时， °． （2）若，且点不在直线右侧，则点到的距离是 ． 【答案】 60 【知识点】解直角三角形的相关计算、三角形折叠中的角度问题 【分析】（1）解直角三角形ABC求出∠BAC=60°，得出∠B=30°，由折叠得∠BMC=90°，可得∠BCM； （2）由折叠得，∠NCM=∠ACM=45°，根据平角的性质可求得∠BMC=105°，过M作交BC于点N，得MN=NC，设，则，解Rt△BMN可得BN，根据可得结论 【详解】（1）如图1， ∵在Rt△ABC中，，， ∴ ∴， ∵∠ACB=90°, ∴ 当点在射线上时，点是的中点， ∴，即 ∴； 故答案为:60； （2）如图2， 当时，由折叠得， 设， ∴ ， ∴∠BMC=105°， 过M作交BC于点N，由折叠得，∠NCM=∠ACM=45° ∴MN=NC 设cm，则cm， 在Rt△BMN中，∠B=30°， ∴BN= ∴BC=+y=cm 解得，，即 ∴点M到BC的距离是． 故答案为： 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），解直角三角形等相关知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 14．如图，点E，F分别在正方形的边上，，点M是的中点，过点M的直线与正方形的一组对边交于点P，Q（与点E，F不重合），点P在或上．若则的长为 ． 【答案】1或或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】分三种情况画图讨论：①当点在上时，②当点在上时，③如图3，过点作于点，点与点在上关于对称，利用正方形的性质求解即可． 【详解】解：①当点在上时， 如图1，过点作于点，过点作于点， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， 此时即为，点与点重合， ， 四边形是矩形， ， ； ②当点在上时， 如图2，过点作于点，过点作于点，交于点，交于点，    得矩形，矩形，矩形， ，，，， ， ， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是的中点， ， ，分别是，的中点， ， ； ③如图3，过点作于点， 根据对称性可知：点与点在上关于对称， ，   ． 综上所述：的长为1或或． 故答案为：1或或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，轴对称的性质，勾股定理，解直角三角形，关键是利用分类讨论思想解决问题． 15．如图，已知在中，，垂足为点分别在边和上，将分割成两个小三角形，将割成两个小三角形，如果分割成的两个小三角形与分割成的两个小三角形分别相似，那么的值是 ．    【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】根据题意，设，则，由勾股定理可得，由等腰直角三角形的性质可得，分割成两个小三角形中都有一个角为，若相似，则中也必然有角，由此可得平分，设，则，分类讨论：第一种情况，如图所示，当时，，可证四边形是平行四边形，得，由相似三角形的性质可得，由此即可得的值；第二种情况，如图所示，已知，当时，，根据相似的性质可得，，由此可得的值；由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，是等腰直角三角形，即， ∵， ∴设，则， ∴， ∵分割成的两个小三角形与分割成的两个小三角形分别相似， ∴分割成两个小三角形中都有一个角为， ∴当平分时，在中，， 设，则， ∴第一种情况，如图所示，当时，，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义，即， ∴； 第二种情况，如图所示，已知，当时，，    ∴，即， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义，即， ∴； 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正切值的计算，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，分类讨论思想是解题的关键． 16．如图，在矩形ABCD中，AD=25，AB=12，点E、F分别是AD、BC上的点，且DE=CF=9，连接EF、DF、AF．取AF的中点为G，连接BG，将△BFG沿BC方向平移，当点F到达点C时停止平移，然后将△GFB绕C点顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到△B1CG1（点G的对应点为G1，点B的对应点为B1），在旋转过程中，直线B1G1与直线EF、FD分别相交M、N，当△FMN是等腰三角形，且FM=FN时，线段DN的长为 ． 【答案】． 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解 【详解】试题解析：如图，作FL⊥BG于L，FH⊥MN于H，CK⊥MN于K，CR⊥FH于R．FH交ED于T，作TQ⊥DF于Q． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，AB=CD=12，AD=CF=25， ∵DE=CF=9，又∵DE∥CF， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∵∠EDC=90°， ∴四边形DEFC是矩形，同理四边形AEFB是矩形， ∴DF==15，AF==20， ∵AG=GF， ∴S△BGF=S△ABF=96=•BG•LF， ∴FL=， ∵CK=FL， ∴CK=， ∵FM=FN，FH⊥MN，CK⊥MN，CR⊥FH， ∴∠RHK=∠HKC=∠KCR=90°， ∴四边形RHKC是矩形， ∴RH=CK=， ∴∠MFH=∠NFH， ∴TE=TQ，设TE=TQ=x， 在RT△TQD中，∵TQ2+QD2=TD2， ∴x2+32=（9-x）2， ∴x=4， ∴FT=， ∵∠EFT+∠CFR=90°，∠CFR+∠FCR=90°， ∴∠EFT=∠FCR，∵∠FET=∠CFR=90°， ∴△FET∽△CFR， ∴， ∴， ∴RF=， ∴FH=FR+RH=， ∵∠HFN=∠HFM， ∴cos∠HFN=， ∴， ∴FN=3， ∴DN=FN-DF=． 考点：几何变换综合题． 三、解答题 17．在中，，，，是斜边上的中线，是斜边上的高． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先求出BE的长，再根据勾股定理得出AC的长，根据三角形的面积得出CD的长，进而可以得出的长； （2）先求出∠ACE=∠A，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】（1）∵是斜边上的中线， ∴CE=BE=AB=5， 中，， ∴AC=8， ∵三角形面积， ∴CD=， 在Rt△BCD中，BD=， ∵BE=5， ∴． （2）在中，CE是斜边AB上的中线， ∴， ∴∠ACE=∠A， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的中线的定义，锐角三角函数的定义，三角形的面积，难度适中，准确理解题意是解题的关键． 18．北庭故城建于唐代，见证了新疆自古以来就是祖国不可分割的一部分，废墟最高处如图所示是故城地标建筑之一，当初是为了防御外敌所建的瞭望角楼．此楼底部距离地平线高度为米，小明在地面A点处测得残楼低N的仰角是，由A往前走30米至点B处，测得的残顶P的仰角是，请求出瞭望角楼的高度（精确到1米）．（，，） 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由正切函数得，可求，由等腰三角形的性质得，即可求解；掌握直角三角形的解法是解题的关键． 【详解】解：在中， ，，， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 答：角楼的高度为． 19．如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿、箱长、拉杆的长度都相等，即，点B、F在线段上，点C在上，支杆． (1)若时，B，D相距，试判定与的位置关系，并说明理由； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、已知正弦值求边长、已知余弦求边长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用： （1）连接，根据题意可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答； （2）过点F作，垂足为H，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 理由：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （2）解：过点F作，垂足为H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 20．问题发现： （1）如图1，已知正方形和正方形，直接写出与之间的数量关系：___________． 拓展探究： （2）将正方形绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，连接，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 类比迁移： （3）如图3，已知菱形和菱形，将菱形绕点A顺时针旋转，连接，请在备用图中画出草图，判定与之间的数量关系是否随着的变化而变化，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）与之间的数量关系不变 ，理由见解析 【知识点】根据正方形的性质求角度、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据正方形的性质，三角函数证明即可； （2）根据正方形的性质，三角函数证明出，进而可得结论； （3）把绕着点D逆时针旋转得到，连接，作于N，由菱形的性质和等腰三角形的性质可得，再由含的直角三角形的性质和三角函数可得，再证明四边形是平行四边形，即可推出，进而可得结论； 【详解】解：（1）四边形是正方形， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）， 连接，如图： 四边形、四边形是正方形， ， ，，， ， ， ， ； （3）画出图形如下，随着的变化，与之间的数量关系不变化，理由如下： 把绕着点D逆时针旋转得到，连接，作于N，如图： 由旋转可得， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 随着的变化，与之间的数量关系不变． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角函数，相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线，综合运用以上知识解决问题； 21．读懂一座城，从博物馆开始．2021年9月16日上午，江苏盐城市博物馆正式开馆．盐城市博物馆新馆坐落于先锋岛西侧，是一座研究反映盐城地方历史和城市发展的综合性博物馆．博物馆集收藏、展示、研究、教育、服务、交流于一体，整体建筑风格雅致，主馆建筑为传统宝塔造型，风格既有现代时尚气息，又充满中国皇家宫廷风韵．学校数学兴趣小组利用无人机测量该宝塔的高度，无人机的起飞点与宝塔（）的水平距离为，无人机垂直升到A处测得塔的顶部处的俯角为，测得塔的底部处的俯角为． (1)求宝塔的高度； (2)若计算结果与实际高度稍有出入，请你提出一条减少误差的建议．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2)多次测量求平均值，可以减小误差（答案不唯一） 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题， （1）延长交于点，根据题意可得：，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可详解； （2）根据多次测量求平均值，可以减小误差，即可详解． 【详解】（1）解：如图：延长交于点， 由题意得：，， 在中，， ， 在中，， ， ， 宝塔的高度约为； （2）一条减少误差的建议：多次测量求平均值，可以减小误差（答案不唯一）． 22．如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向（北偏东），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离 千米的地方有一城市A．    (1)A市是否会受到此台风的影响，为什么？ (2)在点O的北偏东方向，距离80千米的地方还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？为什么？ (3)若A 市或B 市受到影响，请求出受影响的时间． 【答案】(1)A市不会受到此台风的影响，原因见解析 (2)B市会受到此台风的影响，原因见解析 (3)1.5小时 【知识点】三线合一、解决航海问题(勾股定理的应用)、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，等腰三角形的性质： （1）作，利用三角函数求出的长度即可判断； （2）作，利用三角函数求出的长度即可判断； （3）令，则台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，利用勾股定理及等腰三角开的性质求出的长度，除以风速即为影响时间． 【详解】（1）解：A市不会受到此台风的影响，原因如下： 作，易知台风中心O与A市的最近距离为的长度，    由题意得：，， ， A市不会受到此台风的影响； （2）解：如图，作于G，    由题意得：，， ， B市会受到此台风的影响； （3）解：如图，令，则台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，    在中，由勾股定理得， ，， ， 台风速度为40千米/小时， 影响时间为（小时）． 23．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的一、二号楼进行测高实践．如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面的中点垂直起飞到达点处，测得一号楼顶部的俯角为，测得二号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为60米，已知一号楼的高为20米，求二号楼的高.（结果精确到米） （参考数据：，，，，，.） 【答案】二号楼的高度约为39米． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分别求出EM，AN，进而计算出二号楼的高度DF即可． 【详解】解：过点、分别作，，垂足分别为、， 由题意得，，， ，，， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 答：二号楼的高度约为39米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，构造直角三角形是常用的方法，掌握边角关系是正确解答的关键． 24．图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长，支撑板长，且，托板可绕点C转动，且．（参考数据： ，） (1)求点C到直线的距离（计算结果保留根号）； (2)若时，求点A到直线的距离（计算结果精确到个位）； (3)为了观看舒适，把（1）中调整为，再将绕点D逆时针旋转，使点B落在上，则旋转的度数为 　 　．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）作，在中，由直角三角形的边角关系可得答案； （2）过点A作，垂足为N，过点C作，垂足为P，则， 在中，由边角关系求出即可； （3）连接，由直角三角形的边角关系求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为M， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即：点C到直线DE的距离为； （2）解：如图，过点A作，垂足为N，过点C作，垂足为P，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∵，即 ∴， ∴， 答：点A到直线DE的距离约为； （3）解：如图③，连接， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 解直角三角形（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点3．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点4．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点5．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 题型强化 题型一．解直角三角形 1．（2024•余姚市校级四模）如图所示，格点三角形放置在的正方形网格中，则的值为　　 A． B． C． D． 2．（2024•宁波模拟）如图，在△中，已知，．若，则　　． 3．（2024•海宁市校级模拟）在中，，分别是，的中点，于点，于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当，，时，求的长． 题型二．解直角三角形的应用 4．（2024•鹿城区校级三模）使用可调节双层鞋托架能大大提高鞋柜空间利用率，一种可调节双层鞋托架示意图如图所示，当打开最大时，，，，则此时点到的距离为　　 A． B． C． D． 5．（2024•鄞州区模拟）如图，一把梯子斜靠在墙上，端点离地面的高度长为时，，当梯子底端点水平向左移动到点，端点沿墙竖直向上移动到点，设，则的长可以表示为 　　． 6．（2024•绍兴一模）图1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图2是该螺旋式千斤顶的平面示意图，已知四条支撑杆，，，的长度均为，螺杆与水平地面平行． （1）当时，求千斤顶顶部到水平地面的距离的长． （2）当由变为时，千斤顶顶部到水平地面的距离的长将增加多少？ （结果精确到．参考数据：，，， 题型三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 7．（2024•浙江模拟）如图，一根长的木头斜靠在垂直于地面的墙上，当端点离地面的高度为时，木头的倾斜角的余弦的值为　　 A． B． C． D． 8．（2024•西湖区校级三模）如图，一座水库大坝的横断面为梯形，斜坡，现将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡．则新坡面　　．（结果保留根号） 9．（2024•仙居县二模）如图，斜面上的小正方体木块的重力大小和方向可以用从点到点的有向线段的表示，由于斜边的支撑，重力会分解成平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力（叫做木块对斜面的正压力），分别用从到的有向线段和从到的有向线段表示．线段的长表示正方体的重力大小，线段和的长分别表示两个分力的大小．根据科学原理，四边形是平行四边形．如果斜面的坡角，小正方体木块的重力为10牛．求：该正方体木块对斜面的正压力（垂直于斜面的分力）的大小． （温馨提示：，，，结果精确到0.1牛） 题型四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 10．（2024•拱墅区二模）如图，某数学实践小组测量操场的旗杆的高度，操作如下： （1）在点处放置测角仪，量得测角仪的高度为； （2）测得仰角； （3）量得测角仪到旗杆的水平距离为． 则旗杆的高度可表示为　　 A． B． C． D． 11．（2024•海宁市三模）某防空部队进行射击训练时，在地面，两个观察点测得空中固定目标的仰角为和，测得，，，则目标距离地面的高度为 　　． 12．（2024春•瑞安市月考）如图，测得两幢楼之间的距离为，从楼顶观测点的俯视角为，点的俯视角为，求这两幢楼的高度．（精确到，参考数据：，， 题型五．解直角三角形的应用-方向角问题 13．（2021春•永嘉县校级期中）如图，从渔船处测得灯塔在北偏东方向上，这艘渔船以的速度向正东方向航行，半小时后到达处，在处测得灯塔在北偏东方向上，此时灯塔与渔船的距离是　　 A． B． C． D． 14．（2022•丽水二模）如图，从点测得村在北偏东方向，小明从点沿北偏东方向步行800米达到处，测得村位于点的北偏西方向，若在上找点，使得最短，的长是 　　米． 15．（2023•仙桃校级一模）如图，海岸线上有两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正东方向，与灯塔相距．海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔的北偏东方向，与灯塔相距的处；乙船位于灯塔的北偏东方向，与灯塔相距的处．求： （1）甲船与灯塔之间的距离； （2）两艘货船之间的距离． 分层练习 一、单选题 1．已知一菱形的边长为1，锐角为α，则菱形的面积为（　　） A．sinα B．cosα C．tanα D．2sinα 2．若一个正九边形的边长为，则这个正九边形的半径是(   ) A． B． C． D． 3．在中，，为边上的高，，，则的长为（    ） A．5 B．7 C．5或7 D． 4．水库堤坝的横断面是梯形（如图）．测得斜坡长为米，斜坡的坡比为，则此堤坝横断面的高为（      ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，正六边形内接于，交于点G，若，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 6．已知：如图，，分别是半圆和半圆的直径，半圆的弦交半圆于．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，，点， 分别是边，上的点．将沿折叠，使点的对应点落在边上，若，则点F的坐标为（　　） A． B． C． D．， 8．如图，在中，，，，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于D，E两点，作直线交于M，交于N，连接．G为上一动点，过G作，垂足为F，连接，则的最小值为（　　）    A．3 B． C．6 D． 9．如图，第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，，则k的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点，点的对应点为点，连接、、与交于点，与交于点，若点为中点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，，，，则的面积是 . 12．生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当时（为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬．现在有一长为米的梯子，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的高度 ．（结果精确到米．参考数据：，，） 13．如图1，在三角形纸板中，，，，点是边上的一个点（不与点重合），沿折叠纸板，点的对应点是点． （1）如图2，当点在射线上时， °． （2）若，且点不在直线右侧，则点到的距离是 ． 14．如图，点E，F分别在正方形的边上，，点M是的中点，过点M的直线与正方形的一组对边交于点P，Q（与点E，F不重合），点P在或上．若则的长为 ． 15．如图，已知在中，，垂足为点分别在边和上，将分割成两个小三角形，将割成两个小三角形，如果分割成的两个小三角形与分割成的两个小三角形分别相似，那么的值是 ．    16．如图，在矩形ABCD中，AD=25，AB=12，点E、F分别是AD、BC上的点，且DE=CF=9，连接EF、DF、AF．取AF的中点为G，连接BG，将△BFG沿BC方向平移，当点F到达点C时停止平移，然后将△GFB绕C点顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到△B1CG1（点G的对应点为G1，点B的对应点为B1），在旋转过程中，直线B1G1与直线EF、FD分别相交M、N，当△FMN是等腰三角形，且FM=FN时，线段DN的长为 ． 三、解答题 17．在中，，，，是斜边上的中线，是斜边上的高． (1)求的长； (2)求的值． 18．北庭故城建于唐代，见证了新疆自古以来就是祖国不可分割的一部分，废墟最高处如图所示是故城地标建筑之一，当初是为了防御外敌所建的瞭望角楼．此楼底部距离地平线高度为米，小明在地面A点处测得残楼低N的仰角是，由A往前走30米至点B处，测得的残顶P的仰角是，请求出瞭望角楼的高度（精确到1米）．（，，） 19．如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿、箱长、拉杆的长度都相等，即，点B、F在线段上，点C在上，支杆． (1)若时，B，D相距，试判定与的位置关系，并说明理由； (2)当，时，求的长． 20．问题发现： （1）如图1，已知正方形和正方形，直接写出与之间的数量关系：___________． 拓展探究： （2）将正方形绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，连接，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 类比迁移： （3）如图3，已知菱形和菱形，将菱形绕点A顺时针旋转，连接，请在备用图中画出草图，判定与之间的数量关系是否随着的变化而变化，并说明理由． 21．读懂一座城，从博物馆开始．2021年9月16日上午，江苏盐城市博物馆正式开馆．盐城市博物馆新馆坐落于先锋岛西侧，是一座研究反映盐城地方历史和城市发展的综合性博物馆．博物馆集收藏、展示、研究、教育、服务、交流于一体，整体建筑风格雅致，主馆建筑为传统宝塔造型，风格既有现代时尚气息，又充满中国皇家宫廷风韵．学校数学兴趣小组利用无人机测量该宝塔的高度，无人机的起飞点与宝塔（）的水平距离为，无人机垂直升到A处测得塔的顶部处的俯角为，测得塔的底部处的俯角为． (1)求宝塔的高度； (2)若计算结果与实际高度稍有出入，请你提出一条减少误差的建议．（结果精确到，参考数据：，，） 22．如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向（北偏东），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离 千米的地方有一城市A．    (1)A市是否会受到此台风的影响，为什么？ (2)在点O的北偏东方向，距离80千米的地方还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？为什么？ (3)若A 市或B 市受到影响，请求出受影响的时间． 23．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的一、二号楼进行测高实践．如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面的中点垂直起飞到达点处，测得一号楼顶部的俯角为，测得二号楼顶部的俯角为，此时航拍无人机的高度为60米，已知一号楼的高为20米，求二号楼的高.（结果精确到米） （参考数据：，，，，，.） 24．图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长，支撑板长，且，托板可绕点C转动，且．（参考数据： ，） (1)求点C到直线的距离（计算结果保留根号）； (2)若时，求点A到直线的距离（计算结果精确到个位）； (3)为了观看舒适，把（1）中调整为，再将绕点D逆时针旋转，使点B落在上，则旋转的度数为 　 　．（直接写出结果） 学科网（北京）股份有限公司 $$