第03讲 图形的相似（5个知识点+5种题型+分层练习） -2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第03讲 图形的相似（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 知识点4．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 知识点5．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 题型强化 题型一．比例的性质 1．（2024•东莞市校级一模）如果，那么下列比例式中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】内项之积等于外项之积，依据比例的基本性质进行判断即可． 【解答】解：．由，可得，符合题意； ．由，可得，不符合题意； ．由，可得，不符合题意； ．由，可得，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了比例的基本性质，解决问题的关键是掌握：内项之积等于外项之积． 2．（2024秋•姑苏区校级月考）若，则的值为 　　． 【分析】利用比例的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， 故答案为：2． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 3．（2023•金溪县模拟）解方程： （1）； （2）已知，且，求的值． 【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程，此题得解； （2）由，可设，则，，根据可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，进而可得出、、的值，将其代入中即可求出结论． 【解答】解：（1）移项得，， ， 即或， 解得：，； （2）， 设，则，． ， ， 解得：， ，，， ． 【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程、解一元一次方程以及比例的性质，解题的关键是：（1）熟练掌握因式分解法解一元二次方程的解法；（2）根据比例关系结合列出关于的一元一次方程． 题型二．比例线段 4．（2024秋•锦江区校级期中）下列各组线段（单位：中，成比例线段的是　　 A．3，4，5，6 B．1，3，5，7 C．2，3，4，6 D．0.2，0.3，0.4，0.5 【分析】根据成比例线段的定义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为， 所以选项不符合题意． 因为， 所以选项不符合题意． 因为， 所以选项符合题意． 因为， 所以选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了比例线段，熟知成比例线段的定义是解题的关键． 5．（2024•沅江市一模）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台，，在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为，则的值为 　　． 【分析】根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 【解答】解：由题意，得， ， 即． 故答案为：2． 【点评】本题考查了比例线段，由题意，正确得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离是解题的关键． 6．（2023•丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程． 【分析】由，得到，因此，得到，故，，所以． 【解答】解：当时，，理由如下： ， ， ， ， ，， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查比例线段，关键是由，，得到． 题型三．黄金分割 7．（2024•德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点是边上一点，则满足的点的个数为　　 A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】根据题意可知点在以为直径的圆上，得出与此圆的位置关系即可解决问题． 【解答】解：， 点在以为直径的圆上． 如图所示， 四边形是黄金矩形， 令，， 的半径为． ， 边与相离， 边上满足的点的个数为0． 故选：． 【点评】本题考查黄金分割及矩形的性质，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 8．（2024•雁塔区校级四模）符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，、两点都是的黄金分割点，若，则的长是 　　． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：点是的黄金分割点，且，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 9．（2024•凉州区二模）已知线段，点是线段的黄金分割点． （1）求线段的长； （2）以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长． 【分析】（1）依据题意，根据黄金比值计算即可得解； （2）依据题意，由若平分，可得到、的距离相等，从而，又由（1），再结合，即可得解． 【解答】解：（1）点是线段的黄金分割点，， ． （2）平分， 到、的距离相等． ． 又由（1）， ， ． ． 【点评】本题主要考查了黄金分割的意义，解题时要熟练掌握并灵活运用． 题型四．相似图形 10．（2024•凉州区一模）下列两个图形一定是相似图形的是　　 A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【分析】根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形进行分析即可． 【解答】解：、两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意； 、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意； 、两等腰三角形不一定相似，故此选项不符合题意； 、两个等边三角形一定相似，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了相似图形，关键是掌握相似图形定义． 11．（2023•朝阳区校级一模）如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为 　　． 【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出． 【解答】解：， ，又， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，两三角形相似，对应的角相等． 12．小华、小红、小刚三名同学，在观察如图所示的三组图形后，交流了对相似形的理解，看法如下： 以上三名同学谁对三组图形的判断是正确的？你是怎样理解相似形与全等形的区别及联系的？ 【分析】根据相似图形的定义判断即可． 【解答】解：小华同学的判断是正确的， 全等形是相似比为1的特殊的相似形． 【点评】本题考查了相似图形，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键． 题型五．相似多边形的性质 13．（2024•武威一模）两个相似多边形一组对应边分别为，，那么它们的相似比为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用相似多边形的性质化简得出答案． 【解答】解：两个相似多边形一组对应边分别为，， 它们的相似比为：． 故选：． 【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确把握相似比等于对应边的比是解题关键． 14．（2024秋•鲤城区校级期中）若四边形与四边形的相似比为，且四边形的面积为4，则四边形的面积是 　　． 【分析】直接利用位似图形得出两图形的面积比，进而利用四边形的面积为4，求出四边形的面积． 【解答】解：四边形与四边形的相似比为， 四边形与四边形的面积比为：， 四边形的面积为4， 四边形的面积为：． 故答案为：9． 【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出两四边形的面积比是解题关键． 15．（2024秋•驿城区期中）如图，点是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且菱形菱形，相似比是，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等； （2）连接交于点，则，根据得到，然后求得的长，最后利用勾股定理求得的长即可求得线段的长即可． 【解答】（1）证明：菱形菱形，， ， ， ，， ， ； （2）连接交于点，则， ， ， 菱形菱形，相似比是，， ，， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查相似多边形形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质等知识的综合运用． 分层练习 一、单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的内项之积等于外项之积即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 2．已知点P是线段的黄金分割点，且，下列命题说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据黄金分割点的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， ∴， ∴，， ∴A、B、D说法正确，不符合题意，C说法错误，符合题意. 故选C． 【点睛】本题考查了黄金分割、比例性质，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键． 3．下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例． 【详解】、，此选项不符合题意，排除； 、，此选项不符合题意，排除； 、，此选项符合题意； 、，此选项不符合题意，排除； 故选：． 【点睛】此题考查了比例线段，解题的关键是如何判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 4．如果点是线段的黄金分割点，那么下列线段比中比值不可为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的定义进行判断． 【详解】∵点C是线段AB的黄金分割点， ∴若AC为较长线段,则， 若BC为较长线段,则， 故选C． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是掌握黄金分割比的定义． 5．如图，已知直线，直线AC分别与，，相交于点A，B，C，直线DF分别与，，相交于点D，E，F，则下列等式中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理，逐一判断即可． 【详解】解：A. ，故A正确，不符合题意；     B. ，故B正确，不符合题意；     C. ，故C正确，不符合题意；     D. ，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 6．如图，直线，直线依次交于点A，B，C，直线依次交于点D、E，F，若，，则的长为（　　） A．8 B．5 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7．如图，直线，直线分别交于点A，B，C，过点B的直线分别交于点D，E．若，则线段的长为（　　） A．4 B．6 C．10 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，然后把的值代入后，利用比例的性质可计算出的长． 【详解】解：∵ ∴， 即， ∴， ∴． 故选：C 8．两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，这幅地图的比例尺是（ ） A．1：1000000 B．1：100000 C．1：2000 D．1：1000 【答案】B 【分析】先把2000m化为200000cm，然后根据比例尺的定义求解． 【详解】解：2000m=200000cm， 所以这幅地图的比例尺为2：200000=1：100000． 故选B． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 9．观察下列图形,其中相似图形有(   ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可知①和⑧、②和⑥、③和、⑨和⑩是相似图形，可得出答案 【详解】因为相似图形是指形状相同，大小不同的图形， 所以①和⑧、②和⑥、③和⑦是相似图形，共3对， 长方形是否相似需要给出边长，当对应边成比例时才相似 故选C． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键． 10．如图，双曲线y＝（x＞0）与矩形OBCD的边BC、CD分别交于点E、F，且与矩形的对角线OC交于点A，连接EF，与对角线OC交于点H，G是对角线OC上的一点，连接GF、GE．若＝，OG：GH：HC＝3：1：2，sin∠COB＝，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件设OB=4a，BC=3a，OC=5a，从而得到F(，3a)，E(4a，)，C(4a，3a)，H(，2a)，G(2a，)，根据，列出方程，过点H作HM⊥CD于点M，则，从而得到另一个方程，进而即可求解． 【详解】∵OG：GH：HC＝3：1：2，sin∠COB＝， ∴设OB=4a，BC=3a，OC=5a， ∴F(，3a)，E(4a，)，C(4a，3a)，H(，2a)，G(2a，)， ∵＝， ∴， ∴，即：， 化简得：….①， 过点H作HM⊥CD于点M，则MH∥CE， ∴， ∴，化简得：….②， 把②代入①得：，解得：k=4， ∴双曲线的解析式为：， 设A(4t，3t)，则4t×3t=4，解得：t=，（负根舍去）， ∴A(，)， 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数与平面几何综合以及平行线分线段成比例定理，设OB=4a，BC=3a，OC=5a，用字母a表示出F，E，C，H，G的坐标，是解题的关键． 二、填空题 11．若点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则AC＝ AB（用含无理数式子表示）． 【答案】 【分析】直接利用黄金分割的定义求解． 【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC， ∴AC＝AB． 故答案为:． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则，正确理解黄金分割的定义是解题的关键. 12．若线段a，b，c，d成比例，其中a=5cm，b=7cm，c=4cm，d= cm. 【答案】 【详解】∵线段a，b，c，d成比例， ∴a:b=c:d, ∴5:7=4:d, ∴5d=28, . 13．把长为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是 cm． 【答案】5(3-) 【分析】把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值叫做黄金比. 【详解】由题意知,则较短线段= = . 故答案为: . 【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟练掌握黄金比是解答本题的关键. 14．若，则的值为 ；若，则 ． 【答案】 【分析】（1）由已知可得，再根据比例的性质即可解得的值； （2）先设=t，用t表示出x、y、z，再代入要求的式子即可． 【详解】（1）∵3a=2b，∴，∴=+1=+1=； （2）设=t，则x=4t，y=3t，z=2t，∴原式=． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，是基础题，比较简单． 15．在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是 cm2 【答案】27 【分析】由题意，在长为8cm宽6cm的矩形中，截去一个矩形使留下的矩形与原矩形相似，根据相似形的对应边长比例关系，就可以求解． 【详解】解：设宽为xcm， ∵留下的矩形与原矩形相似， 解得 ∴截去的矩形的面积为 ∴留下的矩形的面积为48-21=27cm2， 故答案为：27． 【点睛】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键． 16．如图，在三角形中，，AC=3cm，BC=4cm，将三角形沿直线向右平移1cm得到三角形，交于点，则四边形的面积为 m2． 【答案】 【分析】根据题意，则，即可求出面积． 【详解】解：由平移的性质，则△ABC≌△DEF； ∴， ∴； 由平移的性质，则，AC∥DF， ∵AC=3cm，BC=4cm， ∴， ∵AC//DF， ∴ ∴，即， ∴； ∴ =； 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质，正确得到，从而进行解题． 17．如图，已知直线，直线分别交直线、、于、、三点，直线分别交直线、、于、、三点，如果，，，那么长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例，列出比例式将已知数据代入即可求解． 【详解】， ， ，，， ． 故答案为：． 18．如图，将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH；将AD沿过点G的直线折叠，使点A、点D分别落在边AB、CD上，折痕为EF．则折出的四边形BCEF的长宽之比为 ． 【答案】 【分析】）设正方形ABCD的边长为1，则 由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形，得出EF∥AD，由平行线分线段成比例得出，求出则 【详解】设正方形ABCD的边长为1,则 由折叠性质可知BG=BC=1， ∵ 则四边形BCEF为矩形, ∴ ∴EF∥AD. ∴,即 ∴ ∴ 故答案为 【点睛】考查正方形的性质，翻折变换（折叠问题）以及平行线分线段成比例定理，综合性比较强，难度较大. 三、解答题 19．在某市城区地图（比例尺）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是和． (1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ (2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 【答案】(1)1440m，900m (2)， 【分析】本题考查比例尺： （1）根据比例尺为图上距离与实际距离的比例，进行求解即可； （2）根据图上距离，和实际距离，相比即可得出结果． 【详解】（1）解：∵比例尺为， ∴新安大街的实际长度为：； 光华大街的实际长度为； （2）图上长度之比为：， 实际长度之比为：． 20．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由． 【答案】这双高跟鞋合适，理由见解析． 【分析】本题考查了黄金分割，以及比例的性质，根据黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：这双高跟鞋合适，理由如下： （）， ， 答：这双高跟鞋合适，穿起来后上半身长与下半身长正好成黄金比． 21．在中，，点、分别是边、上的两个点，点关于直线的对称点恰好落在边上且满足． (1)请你利用无刻度的直尺和圆规画出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，则线段______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的角平分线，作线段的垂直平分线交于，交于，直线即为所求； （2）根据勾股定理，求得的长度，设，利用平行线分线段成比例定理，求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作． （2），， ， 由作图可知，四边形是菱形， 设， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图——轴对称变换，勾股定理，菱形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．已知线段a、b、c，且．若线段a、b、c满足，求的值． 【答案】15 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，求出k的值，进而得出a、b、c的值，即可解答． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 23．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接对角线AC，EG． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据相似多边形的性质得到，∠D=∠H，证明△ADC∽△EHG，根据相似三角形的性质证明即可． 【详解】∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴，∠D=∠H， ∴△ADC∽△EHG， ∴． 【点睛】考查的是相似多边形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 24．如图：小明想测量一棵树的高度，在阳光下，小明测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为3米，则树高为多少米． 【答案】米 【分析】本题考查矩形的性质、比例线段． 连接，作，得到四边形为矩形，三角形为直角三角形，设米，利用同一时刻，物体的影长与物高成比例得出方程，然后解方程即可解决问题． 【详解】解：连接，作， 由题意得：， 设米，则 解得：．    ∴树高是（米） 答：树高为5.25米． 25．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．    证明：如图②，过点作，交的延长线于点． ，…… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图①，在中，是角平分线，．求的长． (3)如图③，中，是中点，是的平分线，交于，若，直接写出线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，由，可求证 ，，，可得，即可求解； （2）根据（1）中的结论即可求解． （3）根据（1）可得，进而得出，根据是中点,得出，进而根据平行线分线段成比例得出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：如图②，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴ ，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是角平分线， ∴ ， ∵，，， ∴， 解得cm．经检验符合题意． （3）解：∵是角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 26．活动·探究 运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究． 探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成） （1）该等高线地形图的等高距为 米； （2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距 ； （3）估计王家庄的实际面积可能是 ； A． B． C． D． E． F． G． （4）E点在点A的 偏 方向； 探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成） 有两组没有标签的化学试剂： 第一组 稀 稀 溶液 溶液 第二组 稀 澄清石灰水 溶液 溶液 还有一小瓶紫色石蕊试液； 与化学小组提供的实验信息： 已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格： 酸性 稀 稀 稀 碱性 澄清石灰水 溶液 溶液 中性 溶液 溶液 请你解决以下问题： （5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋． 【答案】（1）100；（2）140000；（3）G；（4）南，东；（5）不公平；化学小组被坑了；设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明见解析 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，树状图或列表法求解概率，用方位角表示位置等等： （1）根据图示和等高线的定义求解即可； （2）根据比例尺等于图上距离比上实际距离进行求解即可； （3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，据此根据长方形面积公式求解即可； （4）根据点A和点E的位置结合地图中上北下南，左西右东的方位进行求解即可； （5）画出树状图或列出表格可求出数学小组获胜的概率为，化学小组获胜的概率为，则数学小组获胜的概率大于化学小组获胜的概率，故不公平，化学小组被坑了；在原来规则下，把数学小组和化学小组获胜的条件互换即可． 【详解】解：（1）由等高线的定义和所给图形可知该等高线地形图的等高距为100米， 故答案为：100； （2）， 故答案为：； （3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，则王家庄的面积大约为， 故选：G； （4）观察图形可知，点E在点A南偏东方向， 故答案为：南；东； （5）设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液， 画树状图如下： 由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种， ∴数学小组获胜的概率为，化学小组获胜的概率为， ∵， ∴数学小组获胜的概率大于化学小组获胜的概率， ∴不公平，化学小组被坑了；、 设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明如下： 设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液， 画树状图如下： 由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种， ∴化学小组获胜的概率为，数学小组获胜的概率为， ∵， ∴数学小组获胜的概率小于化学小组获胜的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 图形的相似（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 知识点4．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 知识点5．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 题型强化 题型一．比例的性质 1．（2024•东莞市校级一模）如果，那么下列比例式中正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•姑苏区校级月考）若，则的值为 　　． 3．（2023•金溪县模拟）解方程： （1）； （2）已知，且，求的值． 题型二．比例线段 4．（2024秋•锦江区校级期中）下列各组线段（单位：中，成比例线段的是　　 A．3，4，5，6 B．1，3，5，7 C．2，3，4，6 D．0.2，0.3，0.4，0.5 5．（2024•沅江市一模）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台，，在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为，则的值为 　　． 6．（2023•丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程． 题型三．黄金分割 7．（2024•德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点是边上一点，则满足的点的个数为　　 A．3 B．2 C．1 D．0 8．（2024•雁塔区校级四模）符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，、两点都是的黄金分割点，若，则的长是 　　． 9．（2024•凉州区二模）已知线段，点是线段的黄金分割点． （1）求线段的长； （2）以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长． 题型四．相似图形 10．（2024•凉州区一模）下列两个图形一定是相似图形的是　　 A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等边三角形 11．（2023•朝阳区校级一模）如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为 　　． 12．小华、小红、小刚三名同学，在观察如图所示的三组图形后，交流了对相似形的理解，看法如下： 以上三名同学谁对三组图形的判断是正确的？你是怎样理解相似形与全等形的区别及联系的？ 题型五．相似多边形的性质 13．（2024•武威一模）两个相似多边形一组对应边分别为，，那么它们的相似比为　　 A． B． C． D． 14．（2024秋•鲤城区校级期中）若四边形与四边形的相似比为，且四边形的面积为4，则四边形的面积是 　　． 15．（2024秋•驿城区期中）如图，点是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且菱形菱形，相似比是，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 分层练习 一、单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知点P是线段的黄金分割点，且，下列命题说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．如果点是线段的黄金分割点，那么下列线段比中比值不可为的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知直线，直线AC分别与，，相交于点A，B，C，直线DF分别与，，相交于点D，E，F，则下列等式中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，直线，直线依次交于点A，B，C，直线依次交于点D、E，F，若，，则的长为（　　） A．8 B．5 C．4 D．2 7．如图，直线，直线分别交于点A，B，C，过点B的直线分别交于点D，E．若，则线段的长为（　　） A．4 B．6 C．10 D．9 8．两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，这幅地图的比例尺是（ ） A．1：1000000 B．1：100000 C．1：2000 D．1：1000 9．观察下列图形,其中相似图形有(   ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 10．如图，双曲线y＝（x＞0）与矩形OBCD的边BC、CD分别交于点E、F，且与矩形的对角线OC交于点A，连接EF，与对角线OC交于点H，G是对角线OC上的一点，连接GF、GE．若＝，OG：GH：HC＝3：1：2，sin∠COB＝，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．若点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则AC＝ AB（用含无理数式子表示）． 12．若线段a，b，c，d成比例，其中a=5cm，b=7cm，c=4cm，d= cm. 13．把长为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是 cm． 14．若，则的值为 ；若，则 ． 15．在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是 cm2 16．如图，在三角形中，，AC=3cm，BC=4cm，将三角形沿直线向右平移1cm得到三角形，交于点，则四边形的面积为 m2． 17．如图，已知直线，直线分别交直线、、于、、三点，直线分别交直线、、于、、三点，如果，，，那么长为 ． 18．如图，将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH；将AD沿过点G的直线折叠，使点A、点D分别落在边AB、CD上，折痕为EF．则折出的四边形BCEF的长宽之比为 ． 三、解答题 19．在某市城区地图（比例尺）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是和． (1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ (2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 20．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由． 21．在中，，点、分别是边、上的两个点，点关于直线的对称点恰好落在边上且满足． (1)请你利用无刻度的直尺和圆规画出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，则线段______． 22．已知线段a、b、c，且．若线段a、b、c满足，求的值． 23．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接对角线AC，EG． 求证：． 24．如图：小明想测量一棵树的高度，在阳光下，小明测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为3米，则树高为多少米． 25．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．    证明：如图②，过点作，交的延长线于点． ，…… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图①，在中，是角平分线，．求的长． (3)如图③，中，是中点，是的平分线，交于，若，直接写出线段的长． 26．活动·探究 运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究． 探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成） （1）该等高线地形图的等高距为 米； （2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距 ； （3）估计王家庄的实际面积可能是 ； A． B． C． D． E． F． G． （4）E点在点A的 偏 方向； 探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成） 有两组没有标签的化学试剂： 第一组 稀 稀 溶液 溶液 第二组 稀 澄清石灰水 溶液 溶液 还有一小瓶紫色石蕊试液； 与化学小组提供的实验信息： 已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格： 酸性 稀 稀 稀 碱性 澄清石灰水 溶液 溶液 中性 溶液 溶液 请你解决以下问题： （5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋． 学科网（北京）股份有限公司 $$