专题07～08 等差数列与等比数列（8大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（重庆专用）

专题08 2023-2024新高考高二等比数列重庆期末汇编 考点一：等比数列的通项及求和 1．（23-24高二上·重庆·期末）设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．54 B．53 C．52 D．51 2．（23-24高二上·重庆·期末）等比数列的前项和为，若且，则（    ） A．6 B．6或14 C．-6或14 D．2或6或14 3．（23-24高二上·重庆·期末）是各项均为正数的等比数列，是的前项和，若且，，成等差数列，则（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 4．（23-24高二上·重庆·期末）古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（    ） A．兔尘 B．羊尘 C．兔尘 D．羊尘 5．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末多选题）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半．1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推．记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列的前项和分别为，可知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·重庆·期末多选题）在等比数列中，，，则（    ） A．该数列的第5项 B．该数列的通项公式 C．数列是等比数列 D．设数列的前项和为，则 7．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知等比数列的前3项和为84，，则公比 . 8．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列是正项等比数列，且，，则 . 9．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知等比数列的前n项和为，若，，则 . 10．（23-24高二上·重庆·期末）已知为等比数列，且，则 . 11．（23-24高二上·重庆·期末）在等比数列 中，，则 ． 考点二：等比数列通项及求和的性质 1．（23-24高二上·重庆·期末）等比数列满足：，，则（    ） A．7 B．8 C．14 D．56 2．（23-24高二上·重庆·期末）若等比数列各项均为正数，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知，，，成等差数列，，，成等比数列，则的值是 . 考点三：等差等比数列的判定及证明 1．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A．若，则为等差数列 B．若为等差数列，则为等比数列 C．若为正项等比数列，则为等差数列 D．若为等差数列，则为等差数列 2．（23-24高二上·重庆·期末多选题）设，已知数列为等比数列，则（    ） A．一定为等比数列 B．一定为等比数列 C．当时，一定为等比数列 D．当时，可能为等比数列 考点四：等比数列中的解答题 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列为等差数列，，． (1)求数列的通项公式： (2)设，求数列的前n项和． 2．（23-24高二下·重庆·期末）设数列是各项均为正实数的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 3．（23-24高二上·重庆·期末）某市2023年总发电量为12亿度，其中火力发电量10亿度，水力发电量2亿度．为了节约非可再生资源，充分利用可再生资源，从2024年开始，每年水力发电量是上一年的2倍，而火力发电量每年比上一年减少1亿度，同时规定一旦某年发电量的总度数超过15亿度，以后每年水力发电量将保持不变．记2023年为第一年，每年火力发电量（单位：亿度）构成数列，每年水力发电量（单位：亿度）构成数列． (1)写出这两个数列的通项公式； (2)从2023年算起，累计各年发电量的总数，哪一年开始不低于100亿度？ （备注：） 4．（23-24高二上·重庆·期末）已知等差数列的首项，公差．记的前项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求公差的取值范围． 5．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，，且是和的等比中项， (1)求数列的通项公式： (2)已知，求数列的前30项和． 6．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，求使不等式成立的的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 2023-2024新高考高二等差数列重庆期末汇编 考点一：等差数列的通项及求和 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知等差数列，其前项和为，，则（    ） A．24 B．36 C．48 D．66 2．（23-24高二上·重庆·期末）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A．12 B．15 C．18 D．24 4．（23-24高二上·重庆·期末）在等差数列中，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 5．（23-24高二上·重庆·期末）已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差（    ） A．3 B．2 C． D．4 6．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．30 B．26 C．56 D．42 7．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末多选题）《九章算术》是我国古代的数学名著，第六章《均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，问五人各得多少钱？”（注：“均输”即按比例分配，此处指的是甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列；“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（    ） A．戊得钱是甲得钱的一半 B．乙得钱比丁得钱多钱 C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱 8．（23-24高二上·重庆·期末）《莱恩德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道类似这样的题目，请给出答案：把75个面包分给5个人，使每个人所得面包数量成等差数列，且较小的三份之和恰好等于最大的一份，则最大的一份为 ． 9．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列，则通过该数列图象上所有点的直线的斜率为 ． 考点二：等差数列通项及求和的性质 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知等差数列的前项和为，且，则数列的最大项是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆·期末多选题）设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列是等差数列 D．对任意，都有 3．（23-24高二上·重庆·期末多选题）设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．成等差数列，公差为 C．取得最大值时 D．时，的最大值为33 4．（23-24高二上·重庆·期末多选题）设数列 的前 项和为 ，满足 ，其中，，则下列选项正确的是（    ） A．为等差数列 B． C．当时，有最大值 D．设，则当或时，数列的前项和取得最大值 考点三：等差数列中的奇偶项问题 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列满足，且，记数列的前 项和为，则（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知数列满足，，记，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·重庆·期末多选题）已知各项均不为0的数列的前项和为，且，对于任意成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列的通项公式为 C． D．实数的取值范围为 考点四：等差数列中的解答题 1．（23-24高二上·重庆·期末）记数列的前n项和为，已知． (1)求数列的通项公式； (2)在数列中，从第二项起，每隔三项取出一项组成新的数列，求数列的前n项和． 2．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知，. (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 2023-2024新高考高二等比数列重庆期末汇编 考点一：等比数列的通项及求和 1．（23-24高二上·重庆·期末）设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．54 B．53 C．52 D．51 【答案】C 【分析】由题意结合等比数列及其前项和的基本量的计算即可得解. 【详解】由题意等比数列的前n项和为，所以，（是公比）， 同理，所以. 故选：C. 2．（23-24高二上·重庆·期末）等比数列的前项和为，若且，则（    ） A．6 B．6或14 C．-6或14 D．2或6或14 【答案】D 【分析】根据已知条件及等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则 当时，则， 所以； 当时，若，则， 所以， ，即， 又因为 所以，解得， 所以 所以或14， 综上：或6或14， 故选：D. 3．（23-24高二上·重庆·期末）是各项均为正数的等比数列，是的前项和，若且，，成等差数列，则（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】设出数列公比，由等比数列的性质及等差数列的性质可得公比，结合等比数列的前项和公式即可得. 【详解】设，由，，成等差数列， 即有，又， 故， 即， 由各项均为正数，故，故， 则. 故选：B. 4．（23-24高二上·重庆·期末）古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（    ） A．兔尘 B．羊尘 C．兔尘 D．羊尘 【答案】A 【分析】设1微尘为，求出1兔尘为，1羊尘为，1指节为，从而可得答案. 【详解】设1微尘为， 因为微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度， 构成了公比为7的等比数列， 所以1窗尘为，1兔尘为，1羊尘为，1牛尘为， 1虮为，1虱为，1芥子，1大麦，1指节为， 因为，所以1指节是兔尘，A正确，C不正确； 因为，所以1指节是羊尘，BD不正确； 故选：A. 5．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末多选题）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半．1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推．记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列的前项和分别为，可知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意得，，从而得到数列和为等比数列，利用等比数列的通项公式及求和公式求解即可. 【详解】由题意可得: ，， 即，且， 所以数列是以首项，公比为7的等比数列， ∴，， 当时，，且满足上式， ∴， ∵， ∴数列是以首项，公比为7的等比数列， ∴， ∴， 故BC正确；AD错误. 故选：BC. 6．（23-24高二上·重庆·期末多选题）在等比数列中，，，则（    ） A．该数列的第5项 B．该数列的通项公式 C．数列是等比数列 D．设数列的前项和为，则 【答案】AC 【分析】由题意可得等比数列通项公式，由此可判断AB，由等比数列定义可判断C，由等比数列求和公式可判断D. 【详解】由题意数列的公比，所以，所以，故A正确，B错误； 而，所以，即数列是等比数列，故C正确； 又，所以，故D错误. 故选：AC. 7．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知等比数列的前3项和为84，，则公比 . 【答案】/0.5 【分析】根据已知条件，结合等比数列的通项公式和等比数列的前项和公式化简两式并联立即可求解. 【详解】设数列的公比为，由可知， 因为等比数列的前3项和为84，，有， 化简有：，解得. 故答案为： 8．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列是正项等比数列，且，，则 . 【答案】/ 【分析】根据等比数列的性质可求出公比的平方，结合，即可求得答案. 【详解】由题意知数列是正项等比数列，且，， 设数列的公比为q，则， 则， 故答案为： 9．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知等比数列的前n项和为，若，，则 . 【答案】 【分析】结合已知条件，利用等比数列通项公式解出首项和公比，可求前5项的和. 【详解】设等比数列的公比为，则有，解得， . 故答案为： 10．（23-24高二上·重庆·期末）已知为等比数列，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意，结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由等比数列的性质可得：， 又因为，所以. 故答案为：. 11．（23-24高二上·重庆·期末）在等比数列 中，，则 ． 【答案】12 【分析】根据等比数列的通项公式可得结果. 【详解】设等比数列的公比为，，所以， 所以， 故答案为：12. 考点二：等比数列通项及求和的性质 1．（23-24高二上·重庆·期末）等比数列满足：，，则（    ） A．7 B．8 C．14 D．56 【答案】C 【分析】先利用等比数列的性质求出，再代入计算即可. 【详解】设等比数列的公比为， 因为， 所以， 所以. 故选：C. 2．（23-24高二上·重庆·期末）若等比数列各项均为正数，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】由等比中项可知的值. 【详解】因为数列是等比数列，所以是和的等比中项， 所以，又因为各项均为正数，所以. 故选：D. 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知，，，成等差数列，，，成等比数列，则的值是 . 【答案】/ 【分析】由等差数列下标和性质可求，由等比中项性质可求，则结果可知. 【详解】因为，，，成等差数列，所以， 因为，，成等比数列，所以， 所以， 故答案为：. 考点三：等差等比数列的判定及证明 1．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A．若，则为等差数列 B．若为等差数列，则为等比数列 C．若为正项等比数列，则为等差数列 D．若为等差数列，则为等差数列 【答案】BCD 【分析】利用与的关系，并结合等差数列的定义即可判断选项A，利用等差数列，等比数列的定义可判断B，C，D. 【详解】对于A，由，当时，， 当时，， ，所以数列不是等差数列，故A错误； 对于B，因为是等差数列，设其公差为，则， 为非零常数，所以数列为等比数列，故B正确； 对于C，因为是正项等比数列，设其公比为，则， 为常数， 所以数列为等差数列，故C正确； 对于D，若是等差数列，设其公差为，则， ， 则， 所以数列为等差数列，故D正确. 故选：BCD. 2．（23-24高二上·重庆·期末多选题）设，已知数列为等比数列，则（    ） A．一定为等比数列 B．一定为等比数列 C．当时，一定为等比数列 D．当时，可能为等比数列 【答案】ABD 【分析】设出的公比为，AB选项，利用等比数列的定义进行判断；CD选项，可举例说明. 【详解】设的公比为， A选项，，故一定为等比数列，A正确； B选项，，故一定为等比数列，B正确； C选项，不妨设，此时公比为1，则， 故不是等比数列，C错误； D选项，不妨设，此时， 所以当时，可能为公比为1的等比数列，D正确. 故选：ABD 考点四：等比数列中的解答题 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列为等差数列，，． (1)求数列的通项公式： (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算求得首项和公差，再由等差数列的通项公式，即可得解； （2）采用分组求和法，结合等差、等比数列的求和公式，即可得解． 【详解】（1）设数列的公差为， 因为，， 所以，，解得，， 所以数列的通项公式为． （2）， 所以 ． 2．（23-24高二下·重庆·期末）设数列是各项均为正实数的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解等比数列的公比，求得通项公式. （2）利用等比数列的前项和公式和等差数列的前项和公式求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 或. （2）， . 3．（23-24高二上·重庆·期末）某市2023年总发电量为12亿度，其中火力发电量10亿度，水力发电量2亿度．为了节约非可再生资源，充分利用可再生资源，从2024年开始，每年水力发电量是上一年的2倍，而火力发电量每年比上一年减少1亿度，同时规定一旦某年发电量的总度数超过15亿度，以后每年水力发电量将保持不变．记2023年为第一年，每年火力发电量（单位：亿度）构成数列，每年水力发电量（单位：亿度）构成数列． (1)写出这两个数列的通项公式； (2)从2023年算起，累计各年发电量的总数，哪一年开始不低于100亿度？ （备注：） 【答案】(1)， (2)从2030年开始累计各年发电量的总数开始不低于100亿度. 【分析】（1）根据题意，结合数列的变化规律，确定数列类型，即可求得通项公式； （2）根据（1）中所求，求出数列的前n项和，结合参考数据以及即可求得结果. 【详解】（1）由题意，当时，，当时，，， 又，，， . （2）设表示数列的前n项和， 当时，， 当时， ，令，得，化简整理得，解得，又，则，， 所以从2030年开始累计各年发电量的总数开始不低于100亿度. 4．（23-24高二上·重庆·期末）已知等差数列的首项，公差．记的前项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求公差的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式直接代入计算即可； （2）根据等比数列的性质得到，通过代入和整理，得到对于每个，存在实数使此式成立，则，结合不等式特征求解即可. 【详解】（1）因为等差数列的首项，公差为， 所以，，， 因为，所以， 化简得，因为，所以， 所以 （2）由题意得，，， ， 因为成等比数列， 所以， 则， 化简整理得，对于每个，存在实数使此式成立， 则，即， 即， 当时，符合题意； 当时，则二次函数开口向上， 则，原不等式解为， 所以相差距离为，则之间一定有一个整数， 所以只能为，即，所以. 综上所述，公差的取值范围为 5．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，，且是和的等比中项， (1)求数列的通项公式： (2)已知，求数列的前30项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程组求解； （2）利用等差数列和等比数列的求和公式，分组求和即可. 【详解】（1）设数列的公差为， 则① 又是和的等比中项，即， 所以②， 由①②得， 所以； （2）由（1）可得， 所以， 所以. 6．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，求使不等式成立的的最小值． 【答案】(1)； (2)11. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出数列的首项即可求出通项. （2）求出数列的前项和，再列式解不等式即得. 【详解】（1）等差数列的公差为2，由，，成等比数列，得，解得， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，由，得， 即，而，解得，又，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 2023-2024新高考高二等差数列重庆期末汇编 考点一：等差数列的通项及求和 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知等差数列，其前项和为，，则（    ） A．24 B．36 C．48 D．66 【答案】D 【分析】由等差中项的性质及等差数列的前项和公式计算即可得. 【详解】由等差数列性质可得，，即， 则. 故选：D. 2．（23-24高二上·重庆·期末）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】在等差数列中，，所以， . 故选：C 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】由题意解方程组，求得数列的首项和公差，根据等差数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】设等差数列的公差为d， 由，，得，解得， 故， 故选：B 4．（23-24高二上·重庆·期末）在等差数列中，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项. 【详解】设公差为，则， 解得. 故选：C 5．（23-24高二上·重庆·期末）已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差（    ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据等差数列通项公式和求和公式直接计算求解. 【详解】由题意得，，解得. 故选：B 6．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．30 B．26 C．56 D．42 【答案】D 【分析】先通过求出，再利用求解即可. 【详解】设等差数列的公差为 由已知， 则 ， 得， . 故选：D. 7．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末多选题）《九章算术》是我国古代的数学名著，第六章《均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，问五人各得多少钱？”（注：“均输”即按比例分配，此处指的是甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列；“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（    ） A．戊得钱是甲得钱的一半 B．乙得钱比丁得钱多钱 C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，结合等差数列列出方程求出甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数，再逐项判断即得. 【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，， 依题意，，解得，， 因此甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱， 戊得钱是甲得钱的一半，A正确； 乙得钱比丁得钱多钱，B正确； 甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，C正确； 丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，D错误． 故选：ABC 8．（23-24高二上·重庆·期末）《莱恩德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道类似这样的题目，请给出答案：把75个面包分给5个人，使每个人所得面包数量成等差数列，且较小的三份之和恰好等于最大的一份，则最大的一份为 ． 【答案】27 【分析】由等差数列性质以及基本量的计算结合题意可分别算得，，由此即可得解. 【详解】不妨设5人所得面包数从小到大排列为，公差为， 则由题意有， 所以解得， 又， 所以， 所以则最大的一份为. 故答案为：27. 9．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列，则通过该数列图象上所有点的直线的斜率为 ． 【答案】3 【分析】根据给定的递推公式，确定数列的特性，再结合等差数列公差的几何意义得解. 【详解】由，得数列是以为首项，3为公差的等差数列， 由等差数列公差的几何意义知，通过该数列图象上所有点的直线的斜率. 故答案为：3 考点二：等差数列通项及求和的性质 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知等差数列的前项和为，且，则数列的最大项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意结合等差数列的性质可判断出数列公差小于0，从而得是递减数列，前项5为正，从第6项起均为负数，由此可得答案. 【详解】由题意知对于等差数列，， 所以，又因为， 所以， 故数列是递减数列，前项5为正，从第6项起均为负数， 所以数列的最大项是， 故选：B. 2．（23-24高二上·重庆·期末多选题）设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列是等差数列 D．对任意，都有 【答案】BCD 【分析】由题意首先得，，，结合等差数列求和公式即可判断AB，进一步可判断D，结合等差数列求和公式以及定义可判断C. 【详解】由题意等差数列的前n项和为，且，， 所以，，， ，故A错B对； 由题意（分别为首项公差），所以， 所以数列是分别以为首项公差的等差数列，故C正确； 因为，，，所以，所以对任意，都有，故D正确. 故选：BCD. 3．（23-24高二上·重庆·期末多选题）设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．成等差数列，公差为 C．取得最大值时 D．时，的最大值为33 【答案】ABD 【分析】由题意首先求出，由此即可判断BCD；然后再求出，由此即可判断A. 【详解】由题意，， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即， 而开口向下的二次函数的对称轴为， 所以当或时，取得最大值，故C错误； 对于A，由，得，， 所以， 而，所以，故A正确； 对于B，由，得，，， 所以，，成等差数列，公差为，故B正确， 对于D，由得，故D正确； 故选：ABD. 4．（23-24高二上·重庆·期末多选题）设数列 的前 项和为 ，满足 ，其中，，则下列选项正确的是（    ） A．为等差数列 B． C．当时，有最大值 D．设，则当或时，数列的前项和取得最大值 【答案】ABD 【详解】因为，所以， 又因为，，所以， 所以数列是首项19，公差为的等比数列， 即.故选项A正确. 因为，所以，故选项B正确. 因为，所以当时，有最大值，故选项C错误. 因为， 因为，所以，， 故，， ，， 设数列的前项和为， 则由以上计算可知且 所以当或时，数列的前项和取得最大值，故选项D正确. 故选：ABD. 考点三：等差数列中的奇偶项问题 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列满足，且，记数列的前 项和为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】按为奇数和偶数讨论得到的通项公式，利用裂项相消法求数列的前项和. 【详解】，当时，，， 两式相减得，， 所以的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，， 当时，，，两式相减得，， 所以的偶数项是以5为首项，为公差的等差数列， ； 所以，， 设，则， 所以 ，则. 故选：A 2．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知数列满足，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推公式求出数列的前几项，即可判断A、B，依题意可得，即，从而求出数列的通项公式，即可判断C、D. 【详解】因为，，且， 所以，， 所以，故A错误；，故B错误； 又， 故，即， 所以为首项为，公差为的等差数列，故，所以C正确，D错误， 故选：C 3．（23-24高二下·重庆·期末多选题）已知各项均不为0的数列的前项和为，且，对于任意成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列的通项公式为 C． D．实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】利用和与项的关系求解，利用退一步相减法求解数列的通项公式，求出数列的通项公式后利用题目给的条件求解,利用数列的单调性求解数列的最值从而求出的取值范围. 【详解】当时，由及，解得，故A正确 因为数列的前项和为，且，即， 当时，可得，两式相减得， 因为，故，所以及均为公差为4的等差数列， 当上，由及，所以， 所以数列的通项公式为.故B错误 由B知，可得，故C正确； 因为对于任意成立，所以恒成立， 设，则， 时，， 时，， 所以，故，所以， 即实数的取值范围为 故选：ACD. 考点四：等差数列中的解答题 1．（23-24高二上·重庆·期末）记数列的前n项和为，已知． (1)求数列的通项公式； (2)在数列中，从第二项起，每隔三项取出一项组成新的数列，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数列的求和公式，利用其与通项的关系，可得答案； （2）根据数列的通项公式，写出的通项公式，利用等差数列的求和公式，可得答案. 【详解】（1）由题：， 当时，有，两式相减可得：， 当时，，不满足上式，故； （2）由题可知，由于，故， 故. 2．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知，. (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列定义判断数列，根据首项，公差求数列的通项公式即可； （2）根据等差数列求和公式求出的前项和即可. 【详解】（1）因为，，又，由等差数列的定义知是首项为，公差为的等差数列，故数列的通项公式为. （2）由等差数列的求和公式可得：，所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$