专题05～06 双曲线与抛物线（10大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（重庆专用）

专题05 2023-2024新高考高二双曲线重庆期末汇编 考点一：双曲线的标准方程 1．（23-24高二上·重庆·期末）若方程表示的曲线是双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆·期末）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 . 4．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的上、下焦点分别为，，点在上，且轴，过点作的平分线的垂线，与直线交于点，若点在圆上，则的值为 . 考点二：双曲线的渐近线 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆 的左焦点是双曲线 的左顶点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆·期末）已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线C的一个交点为P，下列说法正确的是（    ） A．圆的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．到C的渐近线的距离为2 D．的面积为4 4．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知双曲线的左焦点为，则左焦点到双曲线的渐近线的距离为 . 考点三：双曲线中的焦点三角形及中点弦问题 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的两个焦点分别是和，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知点M，N是双曲线上不同的两点，则（    ） A．当M，N分别位于双曲线的两支时，直线的斜率 B．当M，N均位于双曲线的右支上时，直线的斜率 C．线段的中点可能是 D．线段的中点可能是 考点四：双曲线中的离心率问题 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，且，双曲线的离心率是 ． 2．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，倾斜角为且过点的直线与双曲线的右支交于两点，设内切圆的半径为的内切圆的半径为，则圆心的横坐标为 （填或），若，则双曲线离心率的最小值为 . 3．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知点分别是双曲线的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知双曲线，过左焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，过右焦点作一条直线交双曲线的右支于两点，的内切圆与相切于点，则下列选项正确的是（    ） A．线段的最小值为 B．的内切圆与直线相切于点 C．当时，双曲线的离心率为 D．当点关于点的对称点在另一条渐近线上时，双曲线的渐近线方程为 考点五：双曲线中的解答题 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线交双曲线右支于两点，当直线与轴垂直时，．过作直线分别交双曲线两支于两点，且的最小值为． (1)求双曲线的方程； (2)设线段的中点分别为，记的面积为，的面积为（为双曲线的中心），若直线的斜率分别为且，求证：为定值，并求出这个定值． 2．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一点，且 (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与双曲线交于两点，且，其中为坐标原点，求的值. 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的渐近线为，双曲线与双曲线C的渐近线相同，过双曲线的右顶点的直线与，在第一、四象限围成三角形面积的最小值为8． (1)求双曲线的方程； (2)点P是双曲线上任意一点，过点P作依次与双曲线C和交于A，B两点，再过点P作依次与双曲线C和交于E，F两点，证明：为定值． 4．（23-24高二上·重庆·期末）设点是椭圆的左、右顶点，动点P使得直线与的斜率之积为2，记点P的轨迹为． (1)求的方程； (2)设过原点O的直线l与动点P的轨迹交于A，B两点，与椭圆C交于E，F两点，若，求直线l的方程． 5．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的右焦点，渐近线方程． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点F的直线l与双曲线C的右支交于A、B两点，交y轴于点P，若，，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求面积的取值范围． 6．（23-24高二上·重庆·期末）已知点，动点到直线l：的距离为d，且，记S的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若，分别为曲线C的左、右顶点，M，N两点在直线上，且.连接，分别与C交于点P，Q，求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标. 7．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）设双曲线的右焦点为，，为坐标原点，过的直线与的右支相交于两点． (1)若，求的离心率的取值范围； (2)若恒为锐角，求的实轴长的取值范围． 8．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的实轴长为2，且其渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，求是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 2023-2024新高考高二双曲线重庆期末汇编 考点一：双曲线的标准方程 1．（23-24高二上·重庆·期末）若方程表示的曲线是双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若方程表示的曲线是双曲线，即或，等价于，从而得到m的取值范围。 【详解】因为方程表示的曲线是双曲线， 所以，即或. 故选：D 2．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由相同渐近线的双曲线的特征即可得解. 【详解】由题可设双曲线的方程为，当时，对应的方程为， 而BD中的方程均不能化成“”这样的形式. 故选：AC. 3．（23-24高二上·重庆·期末）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据双曲线焦点在x轴上有，求解即可得出参数m范围. 【详解】因方程表示焦点在x轴上的双曲线， 则有，解得， 故答案为：. 4．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的上、下焦点分别为，，点在上，且轴，过点作的平分线的垂线，与直线交于点，若点在圆上，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意求得点坐标，结合双曲线定义，求得，在三角形中，使用两次余弦定理，求得满足的等量关系，即可求得结果. 【详解】根据题意，不妨设点在第一象限，过点的垂线与的平分线交于, 连接，作图如下： 对，令，故可得，故点坐标为； 易知三角形与三角形全等，则， 由双曲线定义可得：，即，即； 在中，， 在中，由余弦定理得：； 则，整理化简可得：，， 也即，则， 解的，又，故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用利用双曲线的定义与垂直平分线的性质求得，从而利用与中利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得解. 考点二：双曲线的渐近线 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆 的左焦点是双曲线 的左顶点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据椭圆和双曲线相关基本知识直接求解即可. 【详解】设椭圆焦距为， 则，则，所以椭圆 的左焦点为， 所以双曲线 的左顶点为， 所以，所以， 所以双曲线 的渐近线为. 故选：D 2．（23-24高二上·重庆·期末）已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用点差法求解. 【详解】解：因为双曲线与直线相交于A、B两点， 且弦的中点M的横坐标为1，则纵坐标为3， 设 ，则， 两式相减得 ，则 ， 解得 ，即 ， 所以双曲线C的渐近线方程为， 故选：A 3．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线C的一个交点为P，下列说法正确的是（    ） A．圆的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．到C的渐近线的距离为2 D．的面积为4 【答案】ACD 【分析】根据圆的半径和圆心即可求解A，根据渐近线方程的求解即可判断B，根据点到直线的距离公式即可求解C，根据双曲线定义，结合垂直关系即可求解D. 【详解】由可得， 对于A，由于圆心为坐标原点，直径为，所以圆的方程为，A正确， 对于B，渐近线方程为，故B错误， 对于C, 到一条渐近线为的距离，所以C正确； 对于D，由题意可得，，又， ， 故的面积为，故D正确； 故选：ACD 4．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知双曲线的左焦点为，则左焦点到双曲线的渐近线的距离为 . 【答案】2 【分析】求出双曲线的左焦点的坐标及渐近线的方程，再借助点到直线距离求出答案. 【详解】由双曲线得，， ∴双曲线的渐近线方程为，即 ∴左焦点到双曲线的渐近线的距离为， 故答案为：2. 考点三：双曲线中的焦点三角形及中点弦问题 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的两个焦点分别是和，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意写出点的坐标，利用向量的坐标运算以及双曲线方程，建立方程组，可得答案. 【详解】由，则， 所以，设， 则， 由，，即， ，，，， ，点到轴的距离. 故选：D. 2．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知点M，N是双曲线上不同的两点，则（    ） A．当M，N分别位于双曲线的两支时，直线的斜率 B．当M，N均位于双曲线的右支上时，直线的斜率 C．线段的中点可能是 D．线段的中点可能是 【答案】AD 【分析】由题意先得渐近线斜率，结合直线与双曲线的位置关系即可判断AB，由点差法求直线的斜率，注意验证此时直线是否与双曲线有交点即可. 【详解】双曲线渐近线为，当M，N分别位于双曲线的两支时，直线MN较渐近线更平缓，故， 当M，N均位于双曲线的右支上时，直线MN较渐近线更陡，故，所以A对B错； 记，中点，由M，N是双曲线C上的点，有，两式相减可得，当时，有， 对于C，与双曲线方程联立可知直线MN与方程无交点，故C错； 对于D，，故此时M，N分别位于双曲线的左右两支，故D正确． 故选：AD. 考点四：双曲线中的离心率问题 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，且，双曲线的离心率是 ． 【答案】/ 【分析】根据求出，进而可得的值，再根据的关系求出，则离心率可求. 【详解】， ，则， 即，， 又， ， . 故答案为：. 2．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，倾斜角为且过点的直线与双曲线的右支交于两点，设内切圆的半径为的内切圆的半径为，则圆心的横坐标为 （填或），若，则双曲线离心率的最小值为 . 【答案】 【分析】对于第一空，由双曲线的定义、平方关系以及以及切线长定理即可得解；对于第二空，由解直角三角形知识，得到结合以及离心率公式即可得解. 【详解】如图所示，    设，其中. 设.过分别作的垂线，垂足分别为R､S､T， 所以由切线长定理有， 则， 又因为，所以. 又，所以，同理可得. 所以在直线上，所以， 过作，直线倾斜角为， 由题可知， 所以， ， 所以，化简为， 所以，又因为，解得. 故答案为：，. 【点睛】关键点睛：第二空的关键是得到，由此结合已知条件即可顺利得解. 3．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知点分别是双曲线的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，令，则，由双曲线定义及所给条件可得，得，再结合直线的斜率为，即可求解. 【详解】取的中点，连接，令，则，如图， 因点为双曲线左右两支上的点， 由双曲线定义得，， 则， 令双曲线的半焦距为， 直角中，， 直角中，， 则有，即， 因直线的斜率为，即，即， 于是有，则，解得， 因此双曲线的离心率. 故选：C. 4．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知双曲线，过左焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，过右焦点作一条直线交双曲线的右支于两点，的内切圆与相切于点，则下列选项正确的是（    ） A．线段的最小值为 B．的内切圆与直线相切于点 C．当时，双曲线的离心率为 D．当点关于点的对称点在另一条渐近线上时，双曲线的渐近线方程为 【答案】BCD 【分析】设出直线方程，联立双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式可判断A，根据双曲线的定义和内切圆性质可判断B，由题可得进而可判断C，根据条件可得渐近线与x轴的夹角为可判断D. 【详解】设双曲线的右焦点为，， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，则， 当直线斜率存在时，设直线的方程为 联立，消去，得， ， 由，解得或， 所以 ， 所以当直线与轴垂直时，的长最小，即最小值为，故A错误； 设的内切圆与三角形三边的切点分别是，由切线长性质，可得 ， 因为，所以，所以与重合， 即的内切圆与直线AB相切于点，故B正确； 由题可知双曲线的渐近线为，，则， 由上可知，所以，所以，故C正确； 若关于P点的对称点在另一条渐近线上时，则渐近线与x轴的夹角为，则其渐近线方程为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题A选项的关键是采用设线法联立双曲线方程，利用弦长公式证明出双曲线焦点弦中通径最短的结论. 考点五：双曲线中的解答题 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线交双曲线右支于两点，当直线与轴垂直时，．过作直线分别交双曲线两支于两点，且的最小值为． (1)求双曲线的方程； (2)设线段的中点分别为，记的面积为，的面积为（为双曲线的中心），若直线的斜率分别为且，求证：为定值，并求出这个定值． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据和的最小值为可求出，则双曲线的方程可求； （2）设出直线和的方程，结合题目所给信息，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出中点的坐标，推出直线的方程，此时问题转化为点与点到直线的距离之比即可解决. 【详解】（1）由已知当直线与轴垂直时，，即①， 又的最小值为，即②， 所以由①②得， 所以双曲线的方程为； （2）由（1）得， 因为，所以， 设直线的方程为，设直线的方程为， 联立，消去并整理得 此时， 不妨设， 则， 此时，， 所以，同理得， 设直线的斜率为， 则 所以直线的方程为， 即 所有直线恒过点， 所以点与点到直线的距离之比为 所以. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一点，且 (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与双曲线交于两点，且，其中为坐标原点，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据已知条件及双曲线的定义即可求解； （2）将直线与双曲线方程联立方程组，利用韦达定理及点到直线的距离公式，结合弦长公式及三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由及双曲线的定义知，，即， 所以双曲线的方程为：. （2）由题意可知，作出图形如图所示    设，由题可知， 联立， 所以， 点到直线的距离， 所以 ， 令，化简得：，解得：或， 所以或. 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的渐近线为，双曲线与双曲线C的渐近线相同，过双曲线的右顶点的直线与，在第一、四象限围成三角形面积的最小值为8． (1)求双曲线的方程； (2)点P是双曲线上任意一点，过点P作依次与双曲线C和交于A，B两点，再过点P作依次与双曲线C和交于E，F两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设直线方程为，联立求出交点坐标，从而求出围成的三角形面积为，当直线方程斜率不存在时，求出围成的三角形面积为，从而得到，，得到双曲线方程； （2）设直线，直线，并得到，联立方程，求出的坐标，从而求出，，从而得到为定值. 【详解】（1）由已知可设双曲线，其渐近线为，右顶点为， 设过右顶点的直线斜率为k，则或，直线方程为， 联立，解得， 联立，解得， 故直线与在第一、四象限的交点的纵坐标之差为， 围成三角形面积为， ∴当斜率不存在时，直线方程为， 将代入中，得到交点坐标为， 围成三角形的面积为， 故围成的三角形面积的最小值为， ∴，故双曲线的方程为； （2）设点，直线，则，且， 直线，则，所以， 联立，由， 故，所以， 故点， 联立得点， 同理联立得点， 联立得点， ∵， 而 ， 的定值为． 【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 4．（23-24高二上·重庆·期末）设点是椭圆的左、右顶点，动点P使得直线与的斜率之积为2，记点P的轨迹为． (1)求的方程； (2)设过原点O的直线l与动点P的轨迹交于A，B两点，与椭圆C交于E，F两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设动点，根据条件得到方程，变形后得到轨迹方程，注意； （2）由对称性得到，不妨设点A，E在同一象限，设，则，得到方程组，求出求出直线l的斜率，求出方程. 【详解】（1）由题意得，设动点，则动点P不与点相同，即， ∴直线的斜率为，直线的斜率， 由题意得，即， ， 即动点P的轨迹的方程为：； （2）轨迹是以原点O为中心的双曲线， 轨迹、椭圆C、直线l都关于原点O中心对称，由，则， 不妨设点A，E在同一象限，则点E为OA的中点， 设点，则直线l的斜率为，， ，，即， ，即， 直线l的方程为． 5．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的右焦点，渐近线方程． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点F的直线l与双曲线C的右支交于A、B两点，交y轴于点P，若，，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程及求得，写出双曲线方程； （2）联立直线：与双曲线方程得韦达定理，由，用表示，将韦达定理代入后计算为定值； （3）将表示为的函数，分析单调性求范围. 【详解】（1）依题意，，渐近线方程． 所以，又因为，解得：， 所以双曲线的方程为. （2） 由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 依题意，直线的斜率存在，且， 设直线的方程为：， 由，消去并整理得：，设， 则， 而点，则， 因为，则有，即，同理， 所以，为定值. （3）由（2）知，点，，， 因为，令，而函数在上单调递减，即， 因此，所以. 所以三角形的面积的取值范围. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 6．（23-24高二上·重庆·期末）已知点，动点到直线l：的距离为d，且，记S的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若，分别为曲线C的左、右顶点，M，N两点在直线上，且.连接，分别与C交于点P，Q，求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）根据，分别表示出，，化简即得曲线C的方程； （2）根据题意，表示出，的直线方程，与曲线联立，表示出，两点坐标，求出直线方程，进而得到直线恒过定点. 【详解】（1）因为点，动点到直线l：的距离为d， 所以，又因为， 所以， 两边同时平方得， 整理得， 所以曲线C的方程. （2） 由（1）可得，, 设，因为，则，，， 将与联立，消去整理得， 所以，即，， 所以， 所以，，故， 将与联立，消去整理得， 所以，即，， 所以， 所以，， 所以， 当时，直线方程为，所以直线PQ过定点，定点坐标， 当时，两点分别为或，所以直线PQ过定点坐标， 所以直线PQ过定点，定点坐标为 【点睛】方法点睛：求动点轨迹的方法，一般有直接法，转移法以及交轨法．其中转移法适用于两个动点的情形，一个是已知曲线上的动点，另一个是所求动点，先通过条件用所求动点坐标表示已知动点坐标，再代入已知动点所在曲线方程，化简可得所求动点轨迹方程. 7．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）设双曲线的右焦点为，，为坐标原点，过的直线与的右支相交于两点． (1)若，求的离心率的取值范围； (2)若恒为锐角，求的实轴长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件代入离心率公式计算取值范围即可； （2）设直线l的方程，与双曲线方程联立，以双曲线的实半轴长和表示，两点坐标，根据恒为锐角，转化为，代入坐标计算，由关于m的不等式恒成立，求得a的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，，所以， 则的离心率， 又，所以的离心率的取值范围是. （2）因为，直线的斜率不为零，所以可设其方程为. 结合， 联立消去整理得， 设，由韦达定理得， 由于两点均在的右支上，故，即. 则 . 由恒为锐角，得对，均有， 即恒成立. 由于，因此不等号左边是关于的增函数， 所以只需时，成立即可，解得， 结合，可知的取值范围是. 综上所述，的实轴长的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 8．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的实轴长为2，且其渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，求是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)有，-9. 【分析】(1)首先分析题意利用双曲线方程性质，进行求解. (2)首先设出方程，进行方程联立求出，解出最后证明定值即可. 【详解】（1）若实轴长为2，则，易知渐近线方程为，，解得，可得双曲线的标准方程为. （2）设直线的方程为 其与的交点为 联立得 所以 因为所以 即 所以 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 2023-2024新高考高二抛物线重庆期末汇编 考点一：抛物线的标准方程 1．（23-24高二上·重庆·期末）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）． 已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（    ） A．0.9 B． C．1.2 D．1.05 2．（23-24高二上·重庆·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 4．（23-24高二上·重庆·期末）若抛物线上一点到焦点的距离为，则 ． 考点二：抛物线的焦点弦焦半径问题 1．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点．若，则（    ） A． B． C．8 D． 2．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．线段的中点到x轴的距离为2 3．（23-24高二上·重庆·期末多选题）抛物线的焦点是，过焦点的直线与相交于不同的两点，是坐标原点，下列说法正确的是（    ） A．以为直径的圆与轴相切 B．若是线段的中点，且，则 C． D．若，则直线的斜率为 4．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于 两点，若，则 ． 考点三：抛物线中的中点弦问题 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则（    ） A．线段长度的最小值为 B．当直线斜率为时，中点坐标为 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．存在点，使得 考点四：抛物线中的最值问题 1．（23-24高二上·重庆·期末）设点，抛物线上的点到轴的距离为，若的最小值为4，则（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 2．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知抛物线上存在两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末多选题）已知抛物线的准线为，焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，于，则下列说法正确的是（    ） A．以为直径的圆与准线相切 B．若，则 C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条 考点五：抛物线中的解答题 1．（23-24高二下·重庆·期末）已知抛物线与双曲线在第一象限内的交点到原点的距离为. (1)求拋物线的标准方程； (2)设直线与抛物线交于两点，且直线的倾斜角互补，求直线的斜率. 2．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线过点，过点作直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，其中为原点． (1)求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)证明：为线段的中点． 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线相交于，两点，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求的长． 条件①：直线的斜率为2； 条件②：线段AB的中点为． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 4．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知抛物线的准线交轴于，过作斜率为的直线交于，过作斜率为的直线交于． (1)若抛物线的焦点，判断直线与以为直径的圆的位置关系，并证明； (2)若三点共线， ①证明：为定值； ②求直线与夹角的余弦值的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 2023-2024新高考高二抛物线重庆期末汇编 考点一：抛物线的标准方程 1．（23-24高二上·重庆·期末）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）． 已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（    ） A．0.9 B． C．1.2 D．1.05 【答案】A 【分析】根据题意建立平面直角坐标系求出抛物线方程即可得到答案. 【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上， 设抛物线方程为，代入， 所以，解得，所以抛物线方程为， 则该抛物线的焦点到顶点的距离为. 故选：A 2．（23-24高二上·重庆·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将抛物线方程化为标准方程，进而可得准线方程. 【详解】因为抛物线的方程为，即， 可知，即，且焦点在y轴正半轴上， 所以准线方程为. 故选：D. 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】根据已知条件及抛物线的定义即可求解. 【详解】表示点到点的距离； 表示点到直线的距离. 因为， 所以点到点的距离等于点到直线的距离， 所以的轨迹为抛物线. 故选：C. 4．（23-24高二上·重庆·期末）若抛物线上一点到焦点的距离为，则 ． 【答案】 【分析】 利用焦半径公式求解. 【详解】点到焦点的距离为,则，解得 故答案为： 考点二：抛物线的焦点弦焦半径问题 1．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点．若，则（    ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】根据焦半径公式并结合条件得到点的坐标，即可求得弦长. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设，则， 因为，所以，得①， 因为，所以，即， 则，即②， 由方程①②可得， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．线段的中点到x轴的距离为2 【答案】AC 【分析】联立方程组求得，且，结合选项，结合抛物线的定义和焦点弦，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点，则直线过抛物线的焦点， 联立方程组，整理得到，显然， 设，可得， 对于A中，由抛物线的定义，可得，所以A正确； 对于B中，由 ， 所以与不垂直，所以B错误； 对于C中，由，可得， 由抛物线定义，可得， 则，所以C正确； 对于D中，线段的中点的到轴的距离为，所以D错误. 故选：AC. 3．（23-24高二上·重庆·期末多选题）抛物线的焦点是，过焦点的直线与相交于不同的两点，是坐标原点，下列说法正确的是（    ） A．以为直径的圆与轴相切 B．若是线段的中点，且，则 C． D．若，则直线的斜率为 【答案】AB 【分析】设，求出中点为，判断选项A；利用点差法求解，求出，判断选项B；由，得到，推出，判断选项C；设直线的倾斜角为，求出，，利用，判断选项D. 【详解】设， 所以中点为， 到轴的距离， 又因为，所以， 所以以为直径的圆与轴相切，故A正确； 设，所以， 所以，故B正确； 设，若，则， 所以， 解得，所以 设直线，联立，则， 故，，即， 所以与矛盾， 所以，故C错误； 设直线的倾斜角为， 当点在第一象限时，，， 则，故， 同理可得， 所以， 所以, 当点在第四象限时，同理可得，， 所以， 所以，所以错误； 故选：AB 4．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于 两点，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意计算得到点坐标，再代入抛物线方程求解答案即可. 【详解】由题意得，直线斜率不为0，设其方程为，，，    由，得， 当时，， 因为，所以，代入上式解得， 因为，所以， 代入抛物线方程，得， 化简得，，又因为，所以. 故答案为：2 考点三：抛物线中的中点弦问题 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先通过抛物线的定义得到，由，利用点差法得到，通过线段AB的中点，得到AB的斜率，又因为，从而得到及. 【详解】抛物线的焦点为，直线过焦点， 设，，因为在抛物线内部，且直线不包含斜率为0的情况，则直线与抛物线必有两交点， 因为线段AB的中点为，所以 ，作差后可以得到，即 可以得到，则 由抛物线定义，得 故选：C 2．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则（    ） A．线段长度的最小值为 B．当直线斜率为时，中点坐标为 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．存在点，使得 【答案】ACD 【分析】A：通过联立思想得到，由此可计算出，利用焦点弦公式以及基本不等式求解出的最小值；B：利用点差法求解出纵坐标后可判断；C：利用抛物线定义计算出圆心到准线的距离，并判断距离是否等于半径即可；D：代入坐标，计算出的值，根据结果再进行判断. 【详解】对于A：的焦点坐标为，直线的斜率不为，设，， 联立可得，且， 所以，所以，且， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，所以，所以， 所以，所以，即中点纵坐标为，故B错误； 对于C：抛物线的准线方程，设中点为，过点向准线作垂线，垂足分别为，如下图： 由抛物线的定义可知：， 即等于以为直径的圆的半径长，故C正确； 对于D：当时，。 所以， 由选项A可知：，所以，所以此时， 所以的倾斜角互补，所以，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：已知是抛物线的过焦点的一条弦，设，则有：（1）；（2）. 考点四：抛物线中的最值问题 1．（23-24高二上·重庆·期末）设点，抛物线上的点到轴的距离为，若的最小值为4，则（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据题意，点到轴的距离为，得到，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点，准线为， 点到轴的距离为，其中， 所以，此时点在直线与抛物线的交点， 所以， 因为，即，解得 . 故选：C. 2．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知抛物线上存在两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A：直接化为抛物线的标准式，进而可得焦点；对于B：利用点在抛物线上，的中点在直线上以及综合计算可得；对于C：设的中点为，根据点在抛物线内部列不等式求解；对于D：写出直线的方程，求出，利用选项C中的范围来求解. 【详解】对于A：抛物线，即，其焦点坐标为，A正确； 对于B：，即①， 又②，且③，④， 将③④代入②可得 代入①得，B正确； 对于C：设的中点为，则， 由，得，其在抛物线内部， 即，可得，C错误； 对于D：直线的方程为， 令得，因为，所以，D正确； 故选：ABD . 3．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末多选题）已知抛物线的准线为，焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，于，则下列说法正确的是（    ） A．以为直径的圆与准线相切 B．若，则 C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条 【答案】ACD 【分析】根据过焦点的直线与抛物线的相交的交点坐标关系、圆的几何性质逐项判断即可. 【详解】抛物线的准线为，即，抛物线C的方程为，焦点为， 过作于，，    以PQ为直径的圆的半径，线段PQ的中点坐标为， 则线段PQ的中点到准线的距离为，所以以PQ为直径的圆与准线l相切，A正确； 当时，，B错误； 抛物线的焦点为，， 当且仅当M，P，F三点共线时取等号，所以，C正确； 对于D，当直线斜率不存在时，直线与抛物线只有一个公共点， 当直线斜率存在时，设直线方程为，由消去x并整理得， 当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个公共点， 当时，则，解得， 所以过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，D正确． 故选：ACD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 考点五：抛物线中的解答题 1．（23-24高二下·重庆·期末）已知抛物线与双曲线在第一象限内的交点到原点的距离为. (1)求拋物线的标准方程； (2)设直线与抛物线交于两点，且直线的倾斜角互补，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，联立，解出，代入抛物线方程，解出，即可得到拋物线的标准方程； （2）设直线的方程为，则直线的方程为，联立，消元得，由韦达定理，可得即，同理，可得，进而得，即可求出直线的斜率. 【详解】（1） 设， 则，解得，即， 将代入抛物线，解得， 拋物线的标准方程为：. （2）由题意直线的斜率存在、非零且互为相反数，设的斜率为， 则直线的方程为， 则直线的方程为， 设点， 联立，得， 由韦达定理，， 即，同理， 故， 所以， 故， 综上所述，直线的斜率为. 2．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线过点，过点作直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，其中为原点． (1)求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)证明：为线段的中点． 【答案】(1)抛物线的方程为，焦点，准线 (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线过点代入求出抛物线方程，再求焦点和准线即可； （2）设，由题意得到，再计算验证即可. 【详解】（1）因为抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线的方程为， 所以抛物线的焦点为，准线为 （2）设， 因为过点作直线与抛物线交于不同的两点，直线斜率存在， 所以，即， 所以，则， 因为，所以，又由，得 则过点作轴的垂线为，直线，， 所以，， 所以， 所以， 又因为三点都在上，所以为线段的中点得证 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线相交于，两点，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求的长． 条件①：直线的斜率为2； 条件②：线段AB的中点为． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1)，准线方程为 (2)选择①、②， 【分析】（1）点M代入抛物线得p值，求得方程和准线. （2）选①：设直线与抛物线联立，利用焦点弦长公式求解；选②:由中点坐标公式求出，再利用焦点弦长公式求解. 【详解】（1）将代入抛物线,可得，所以，故抛物线的标准方程，准线方程为； （2）由（1）可得， 若选条件①：直线的斜率为，则直线的方程为，设，，，， 联立，整理可得：， 显然成立，且， 由抛物线的性质可得； 若选条件②：线段的中点为，设，，，， 则，，即， 因为直线过焦点的弦长， 所以弦长． 4．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知抛物线的准线交轴于，过作斜率为的直线交于，过作斜率为的直线交于． (1)若抛物线的焦点，判断直线与以为直径的圆的位置关系，并证明； (2)若三点共线， ①证明：为定值； ②求直线与夹角的余弦值的最小值． 【答案】(1)相切，证明见解析 (2)①； ② 【分析】（1）将直线和抛物线联立，利用韦达定理，求出线段的中点和长度，即可得以为直径的圆的方程，通过判断圆心与直线的距离与半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系； （2）①设，通过三点共线即斜率相等可得，再将其代入计算即可；②设直线的倾斜角分别为，，通过的关系代入消，通过直线和抛物线相交，利用判别式求出的范围，进而可得最值. 【详解】（1）直线与以为直径的圆相切，证明如下： 因为抛物线的焦点，则直线即为直线，又 故，整理得 联立，消去得， 则，， 所以， 且， 故以为直径的圆的方程为，其圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的圆心到直线的距离为， 故直线与以为直径的圆相切； （2）①设，又， 因为三点共线，所以， 即，整理得， 所以, 即为定值； ②设直线的倾斜角分别为， 则 由已知可得， 联立，消去得， 所以，解得，且， 当时，，此时最大，最小， 此时由，解得. 即直线与夹角的余弦值的最小值为. 【点睛】关键点睛：本题关键是在解答第（2）①中设出点的坐标，将条件和目标式都坐标化，从而可以真正的通过计算得出结论. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$