专题04 相交线和平行线（考题猜想，易错必刷40题5种题型专项训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版2024）

专题04 相交线和平行线（易错必刷40题5种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 相交线 · 垂线 · 平行线的判定 · 平行线的性质 · 平行线的判定与性质 一．相交线（共1小题） 1．观察如图，并阅读图形下面的相关文字： 两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点…… 像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（　　） A．100个 B．135个 C．190个 D．200个 【答案】C 【解答】解：2条直线相交最多有1个交点，1＝×1×2， 3条直线相交最多有3个交点，3＝1+2＝×2×3， 4条直线相交最多有6个交点，6＝1+2+3＝×3×4， 5条直线相交最多有10个交点，10＝1+2+3+4＝×4×5， … n条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）． 20条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）＝×20×19＝190． 故选：C． 二．垂线（共1小题） 2．如图，直线AE、BF相交于点G，GC⊥GE，GD平分∠CGF，若∠DGE：∠EGF＝1：4，则∠BGC＝　30　°． 【答案】30． 【解答】解：∵∠DGE：∠EGF＝1：4， ∴设∠DGE＝x°，∠EGF＝4x°， ∴∠DGF＝∠DGE+∠EGF＝5x°， ∵GC⊥GE， ∴∠CGE＝90°， ∴∠CGD＝∠CGE﹣∠DGE＝（90﹣x）°， ∵GD平分∠CGF， ∴∠CGD＝∠DGF， ∴90﹣x＝5x， 解得：x＝15， ∴∠EGF＝4x°＝60°， ∴∠BGC＝180°﹣∠CGE﹣∠EGF＝30°， 故答案为：30． 三．平行线的判定（共3小题） 3．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b； ②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b； ③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b； ④由∠2＝∠3，不能得到a∥b； ⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b； ⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b； 故选：C． 4．如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180° 【答案】A 【解答】解：A．根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥CD； B．根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD； C．根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD； D．根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD． 故选：A． 5．如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1+∠2＝90°． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）∠AOF的度数为130°． 【解答】（1）证明：∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE， ∴∠AOC＝∠COE，∠2＝∠DOE， ∵∠COE+∠DOE＝180°， ∴∠AOC+∠2＝∠COE+∠DOE＝90°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠AOC＝∠1， ∴AB∥CD； （2）解：∵∠2：∠3＝2：5，∠2＝∠DOE， ∴∠DOE：∠3＝4：5， ∵∠DOE+∠3＝180°， ∴∠DOE＝180°×＝80°，∠3＝180°×＝100°， ∴∠COE＝∠3＝100°， ∵OA平分∠COE， ∴∠AOE＝∠COE＝50°， ∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝130°， ∴∠AOF的度数为130°． 四．平行线的性质（共29小题） 6．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（　　） A．112° B．110° C．108° D．106° 【答案】D 【解答】解：∵∠AGE＝32°，∠AGD＝180°， ∴∠DGE＝148°， 由折叠可得，∠DGH＝∠DGE＝74°， ∵AD∥BC， ∴∠GHC＝180°﹣∠DGH＝106°， 故选：D． 7．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝130°，则∠2等于（　　） A．30° B．25° C．35° D．40° 【答案】B 【解答】解：∵AB∥CD，∠3＝130°， ∴∠GAB＝∠3＝130°， ∵∠BAE+∠GAB＝180°， ∴∠BAE＝180°﹣∠GAB＝180°﹣130°＝50°， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠BAE＝×50°＝25°． 故选：B． 8．如图，AB∥EF，∠C＝60°，则α，β，γ的关系为（　　） A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝60° C．β+γ﹣α＝90° D．α+β+γ＝180° 【答案】B 【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H． 在△BGC中，∠1＝60°﹣α， ∵∠β＝∠2+∠γ， ∴∠2＝β﹣γ， ∵AB∥EF， ∴∠1＝∠2， ∴60°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝60°． 故选：B． 9．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠BAE＝94°，∠E＝28°，则∠DCE的度数为（　　） A．122° B．120° C．118° D．115° 【答案】A 【解答】解：延长DC交AE于点F， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DFE＝94°， ∵∠DCE是△CEF的一个外角， ∴∠DCE＝∠DFE+∠E＝122°， 故选：A． 10．如图，已知AB∥CD，CG交AB于点G，且∠C＝α，GE平分∠BGC，点H是CD上的一个定点，点P是GE所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，∠GPH与∠PHC的关系不可能是（　　） A．∠GPH﹣∠PHC＝α B．∠GPH+∠PHC＝α C．∠GPH+∠PHC+α＝180° D．∠PHC+∠GPH+α＝360° 【答案】D 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BGC＝∠C＝α， ∵GE平分∠BGC， ∴∠BGE＝∠CGE＝∠BGC＝α， 如图，当点P在AB和CD之间时，过点P作PM∥AB， ∴∠BGE＝∠GPM＝α， ∵AB∥CD， ∴MP∥CD， ∴∠MPH＝∠PHC＝∠GPH﹣∠GPM＝∠GPH﹣α， ∴∠GPH﹣∠PHC＝α，故A不符合题题意； 当点P在AB上方时，如图，过点P作PN∥AB， ∴∠FGA＝∠BGE＝α， ∵PN∥AB， ∴∠FPN＝∠FGA＝α， ∵AB∥CD， ∴PN∥CD， ∴∠NPH＝∠PHC， ∵∠FPN+∠NPH+∠GPH＝180°， ∴α+∠PHC+∠FPH＝180°，故C不符合题题意；D符合题意； 当点P在CD下方时，如图，过点P作PK∥AB， ∴∠FPK＝∠AGF＝α， ∵AB∥CD， ∴PK∥CD， ∴∠CHP＝∠HPK， ∵∠GPH+∠KPH＝∠GPK＝α， ∴∠GPH+∠KPH＝α，故B不符合题题意； 故选：D． 11．如图，AB∥CD，ME平分∠AMF，NF平分∠CNE．若∠E+54°＝2∠F，则∠AMF的度数是（　　） A．32° B．36° C．40° D．44° 【答案】B 【解答】解：如图：过点E作EG∥AB， ∴∠1＝∠MEG， ∵AB∥CD， ∴EG∥CD， ∴∠GEN＝∠CNE， ∵∠MEN＝∠MEG+∠GEN， ∴∠MEN＝∠1+∠CNE， 同理可得：∠F＝∠AMF+∠4， ∵ME平分∠AMF，NF平分∠CNE， ∴∠AMF＝2∠1，∠CNE＝2∠4， ∴∠MEN＝∠1+2∠4，∠F＝2∠1+∠4， ∵∠MEN+54°＝2∠F， ∴∠1+2∠4+54°＝2（2∠1+∠4）， ∴∠1＝18°， ∴∠AMF＝2∠1＝36°， 故选：B． 12．一把直尺按如图所示摆放，AB∥CD，且∠1＝70°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．60° C．30° D．80° 【答案】A 【解答】解：如图： 由题意得：EF∥HG， ∴∠1＝∠3＝70°， ∵AB∥CD， ∴∠3＝∠2＝70°， 故选：A． 13．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，如图．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝43°，∠2＝122°，则∠3与∠4的度数分别为（　　） A．43°与58° B．43°与45° C．45°与58° D．43°与32° 【答案】A 【解答】解：如图： 由题意得：AB∥CD， ∴∠1＝∠3＝43°， 由题意得：BE∥DF， ∴∠BDF＝180°﹣∠2＝180°﹣122°＝58°， 由题意得：BD∥EF， ∴∠BDF＝∠4＝58°， 故选：A． 14．如图，CD∥BE，则∠2+∠3﹣∠1的度数等于（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 【答案】D 【解答】解：过点A作AF∥BE， ∴∠BAF＝∠3， ∵∠CAF＝∠BAF﹣∠1， ∴∠CAF＝∠3﹣∠1， ∵CD∥BE， ∴AF∥CD， ∴∠CAF+∠2＝180°， ∴∠3﹣∠1+∠2＝180°， 即∠2+∠3﹣∠1＝180°， 故选：D． 15．超市的分层小推车能够更有效增加角落的收纳空间，十分便捷，如图是它抽象出来的平面图形，已知AB∥CD，FD⊥CD．若∠1＝75°，∠2＝95°，则∠3的度数为（　　） A．95° B．105° C．110° D．115° 【答案】C 【解答】解：过点F作FG∥CD，过点E作EH∥AB， ∴∠1＝∠BEH＝75°， ∵∠2＝95°， ∴∠FEH＝∠2﹣∠BEH＝95°﹣75°＝20°， ∵AB∥CD， ∴EH∥FG， ∴∠FEH＝∠EFG＝20°， ∵FD⊥CD， ∴∠FDC＝90°， ∵FG∥CD， ∴∠DFG＝180°﹣∠FDC＝90°， ∴∠3＝∠EFG+∠DFG＝110°， 故选：C． 16．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠BAC＝30°），且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝28°，则∠2的度数是（　　） A．18° B．30° C．58° D．60° 【答案】C 【解答】解：如图： ∵∠1＝28°，∠BAC＝30°， ∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝58°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠DAC＝58°， 故选：C． 17．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，如图①，当光线经过镜子反射时有∠1＝∠2．如图②，一个平面镜斜着放在水平面上，形成∠AOB形态，∠AOB＝42°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜上点D处反射光线DC刚好与OB平行，则∠EDC的度数为（　　） A．94° B．95° C．96° D．108° 【答案】C 【解答】解：∵DC∥OB， ∴∠O＝∠ADC＝42°， 由题意得：∠ADC＝∠ODE＝42°， ∴∠EDC＝180°﹣∠ADC﹣∠ODE＝96°， 故选：C． 18．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（　　） A．42°、138° B．都是10° C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对 【答案】C 【解答】解：如图1，∵AB∥EF， ∴∠3＝∠2， ∵BC∥DE， ∴∠3＝∠1， ∴∠1＝∠2． 如图2，∵AB∥EF， ∴∠3+∠2＝180°， ∵BC∥DE， ∴∠3＝∠1， ∴∠1+∠2＝180° ∴如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 设另一个角为x，则这一个角为4x﹣30°， （1）两个角相等，则x＝4x﹣30°， 解得x＝10°， 4x﹣30°＝4×10°﹣30°＝10°； （2）两个角互补，则x+（4x﹣30°）＝180°， 解得x＝42°， 4x﹣30°＝4×42°﹣30°＝138°． 所以这两个角是42°、138°或10°、10°． 故选：C． 19．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360° 【答案】C 【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F， ∵AB∥CD， ∴∠α+∠AFD＝180°， ∵∠AFD＝∠β﹣∠γ， ∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°， 故选：C． 20．已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 　40°或140°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示： ∵AB∥DE， ∴∠1＝∠3， 又∵DC∥EF， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2， 又∵∠1＝40°， ∴∠2＝40°； ②若∠1与∠2位置如图2所示： ∵AB∥DE， ∴∠1＝∠3， 又∵DC∥EF， ∴∠2+∠3＝180°， ∴∠2+∠1＝180°， 又∵∠1＝40° ∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°， 综合所述：∠2的度数为40°或140°， 故答案为：40°或140°． 21．如图，将一张长方形纸片ABCD折叠成如图所示的形状，∠EGC＝26°，则∠DFG＝　77°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由折叠可得，∠BGF＝∠BGE＝（180°﹣26°）＝77°， ∵AD∥BC， ∴∠DFG＝∠BGF＝77°， 故答案为：77°． 22．如图，AB∥CD，BF、DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为 　36　°． 【答案】36． 【解答】解：延长FB交CD于点G，如图： ∵BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE， ∴∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE， ∵AB∥CD， ∴∠FBA＝∠3， ∵BF∥DE，∠F与∠ABE互补， ∴∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1，∠F+∠ABE＝180°， 设∠F＝x°，则∠1＝∠2＝x°，∠3＝2x°，∠ABE＝4x°， ∴x+4x＝180， 解得，x＝36， 即∠F的度数为36°． 故答案为：36． 23．如图，将一张长方形纸条折叠，若∠ABC＝25°，则∠ACD的度数为　130°　． 【答案】130°． 【解答】解：延长DC到点E，如图： ∵AB∥CD， ∴∠BCE＝∠ABC＝25°， 由折叠可得：∠ACB＝∠BCE＝25°， ∵∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣∠BCE﹣∠ACB＝180°﹣25°﹣25°＝130°， 故答案为：130°． 24．如图，AB∥CD，∠ABG的平分线BE和∠GCD的平分线CF的反向延长线交于点E，且3∠E﹣5∠G＝172°，则∠G＝　28　度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，分别过E、G作AB的平行线EM和GN， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥CD∥GN， ∵BE是∠ABG的平分线，CF是∠GCD的平分线， ∴∠BEM＝∠ABE＝∠ABG，∠MEF＝∠DCF＝∠GCD，∠BGN＝∠ABG，∠GCD+∠CGN＝180°， ∴∠BEC＝∠BGM+∠MEF＝（∠ABG+∠GCD）， ∠BGC＝∠BGN﹣∠CGN＝∠ABG﹣（180°﹣∠GCD）＝∠ABG+∠GCD﹣180°， ∴∠BGC＝2∠BEC﹣180°， ∵3∠BEC﹣5∠BGC＝172°， ∴3∠BEC＝5∠BGC+172°， ∴∠BGC＝（5∠BGC+172°）﹣180°， ∴3∠BGC＝10∠BGC+344°﹣540°， ∴∠BGC＝28°． 故答案为：28． 25．两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，∠BAC＝45°，∠DAC＝30°．接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒15°的速度旋转90°后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t＝　2或3或5　秒时，三角板A′CD′有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行． 【答案】2或3或5． 【解答】解：分三种情况： ①当A′C∥AB时，如图： ∴∠A′CA＝∠BAC＝45°， ∴15t＝45， ∴t＝3． ②当A'D'∥AC时， ∴∠A′CA＝∠A′＝30°， ∴15t＝30， ∴t＝2． ③当A'D'∥AB时， ∴∠A′CA＝∠A+∠A′＝75°， ∴15t＝75， ∴t＝5． 综上所述，当旋转时间t＝2或3或5秒时，三角板A′CD′有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行． 故答案为：2或3或5． 26．如图，AB⊥BC，BP平分∠ABC，∠PED＝55°，∠DEF＝60°，将∠DEF以每秒10°的速度绕着点E顺时针旋转，旋转到ED边落到射线EB上停止，若∠DEF的边与AB或BC平行时，则旋转的时间可以是 　2或8或11　秒． 【答案】2或8或11 【解答】解：∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP＝45°， ∵∠PED＝55°，DEF＝60°， ∴∠BED＝125°，∠BEF＝65°， 若DE∥BC，则∠BED＝135°， 而∠DEF以每秒10°的速度绕着点E顺时针旋转，旋转到ED边落到射线EB上停止，显然在旋转过程中∠BED越来越小， ∴DE不可能平行BC． 当EF1∥AB时，如图，EF1 交BF于点G， 则∠BGE＝90°， ∴∠BEG＝45°， ∴旋转的角度为∠FEF1＝∠BEF﹣∠BEG＝65°﹣45°＝20°， ∴旋转的时间为＝2（秒）； 当D2E∥AB时，如图，D2E交BC于点H， 则∠BHE＝90° ∴∠BEH＝45°， ∠D2EF＝∠BEF﹣∠BEH＝20°， ∴旋转的角度为∠DED2＝∠DEF+∠D2EF＝20°+60°＝80°， ∴旋转的时间为＝8（秒）； 当EF3∥BC时，如图，EF3交AB于点M， 则∠BME＝90°， ∴∠BEM＝45°， ∴旋转的角度为∠FEF3＝∠BEF+BEM＝65°+45°＝110°， ∴旋转的时间为＝11（秒）． 综上，旋转的时间可以是2或8或11秒． 故答案为：2或8或11． 27．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　（x+y）　度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　（）n﹣1（x+y）　度． 【答案】（1）（x+y）；（2）（）n﹣1（x+y）． 【解答】解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB， ∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°． 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD． ∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°． ∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°． （2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1， ∴＝． ． 以此类推：，，...，． 故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）． 28．综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． （1）如图1，EF∥MN，点A，B分别为直线EF，MN上的一点，点P为平行线间一点且∠PAF＝130°，∠PBN＝120°，求∠APB度数； 问题迁移 （2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM，ON于点A，D，直线n分别交OM，ON于点B，C，点P在射线OM上运动． ①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出∠CPD，∠α，∠β间的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°，理由如下： 过P作PT∥EF，如图： ∵EF∥MN， ∴PT∥EF∥MN， ∴∠PAF+∠APT＝180°，∠TPB+∠PBN＝180°， ∴∠PAF+∠APT+∠TPB+∠PBN＝360°， 即∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°， ∵∠PAF＝130°，∠PBN＝120°， ∴∠APB＝360°﹣∠PAF﹣∠PBN＝360°﹣130°﹣120°＝110°； （2）①∠CPD＝∠α+∠β，理由如下： 过P作PE∥AD交CD于E，如图： ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β； ②当P在BA延长线时，如图： 此时∠CPD＝∠β﹣∠α； 当P在BO之间时，如图： 此时∠CPD＝∠α﹣∠β． 29．（1）【问题解决】如图1，已知AB∥CD，∠BEP＝36°，∠CFP＝152°，求∠EPF的度数； （2）【问题迁移】如图2，若AB∥CD，点P在AB的上方，则∠PFC，∠PEA，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）． 【答案】（1）∠EPF的度数为64°； （2）∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA，理由见解答； （3）∠G的度数为α． 【解答】解：（1）过点P作PG∥AB， ∴∠BEP＝∠EPG＝36°， ∵AB∥CD， ∴GP∥CD， ∴∠FPG＝180°﹣∠CFP＝28°， ∴∠EPF＝∠EPG+∠FPG＝64°， ∴∠EPF的度数为64°； （2）∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA， 理由：过点P作PG∥AB， ∴∠EPG＝∠PEA， ∵AB∥CD， ∴PG∥CD， ∴∠PFC＝∠FPG， ∵∠EPF＝∠FPG﹣∠EPG， ∴∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA； （3）∵FG平分∠PFC，EG平分∠AEP， ∴∠GFC＝∠PFC，∠GEA＝∠AEP， 由（2）可得：∠G＝∠GFC﹣∠GEA， ∵∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA＝α ∴∠G＝∠GFC﹣∠GEA ＝∠PFC﹣∠AEP ＝（∠PFC﹣∠PEA） ＝α， ∴∠G的度数为α． 30．如图，已知PM∥AN，且∠A＝40°，点C是射线AN上一动点（不与点A重合），PB，PD分别平分∠APC和∠MPC，交射线AN于点B，D． （1）求∠BPD的度数； （2）当点C运动到使∠PBA＝∠APD时，求∠APB的度数； （3）在点C运动过程中，∠PCA与∠PDA之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例． 【答案】（1）70°； （2）35°； （3）∠PCA＝2∠PDA，理由见解答过程． 【解答】解：（1）∵PM∥AN， ∴∠A+∠APM＝180°， ∵∠A＝40°， ∴∠APM＝140°， ∵PB，PD分别平分∠APC和∠MPC， ∴∠BPC＝∠APC，∠DPC＝∠MPC， ∴∠BPD＝∠BPC+∠DPC＝（∠APC+∠MPC）＝×140°＝70°； （2）∵PM∥AN， ∴∠PBA＝∠BPM， ∵∠PBA＝∠APD， ∴∠BPM＝∠APD， ∴∠APB＝∠MPD， 由（1）得：∠APM＝140°，∠BPD＝70°， ∴∠APB＝∠MPD＝×70°＝35°； （3）存在，∠PCA＝2∠PDA，理由如下： ∵PM∥AN， ∴∠ACP＝∠CPM，∠PDA＝∠DPM， ∵PD平分∠MPC， ∴∠CPM＝2∠DPM， ∴∠PCA＝2∠PDA． 31．如图，已知AB∥CD，∠A＝70°．点P是射线AB上一动点（与点A不重合），CE，CF分别平分∠ACP和∠DCP，交射线AB于点E，F． （1）求∠ECF的度数，若∠A＝n°，请直接用含n的式子表示∠ECF； （2）随着点P的运动，设∠APC＝α，∠AFC＝β，α与β之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； （3）当∠AEC＝∠ACF时，请直接写出∠APC的度数． 【答案】（1）55°，∠ECF＝90°﹣； （2）不改变，恒为a＝2β，理由见解答； （3）∠APC＝55°． 【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠A＝70°， ∴∠A+∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣70°＝110°， ∵CE，CF分别平分∠ACP 和∠DCP， ∴∠ECP＝∠ACP，∠PCF＝∠DCP， ∴∠ECF＝∠ECP+∠FCP， ∴， 若∠A＝n°， ∵AB∥CD，∠A＝n°， ∴∠A+∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣n°， ∵CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP， ∴∠ECP﹣＝ACP，∠PCF＝∠DCP， ∴∠ECF＝∠ECP+∠PCF＝（∠ACP+∠DCP）＝∠ACD＝90°﹣n°， ∴， （2）不改变，恒为α＝2β，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠AFC＝∠FCD， ∵CF平分∠DCP， ∴∠FCP＝∠FCD， ∴∠FCP＝∠AFC， 又∵∠APC＝∠AFC+∠PCF，即 α＝2β； （3）∵AB∥CD， ∴∠AEC＝∠ECD，∠APC＝∠DCP， 当∠AEC＝∠ACF时，则有∠ECD＝∠ACF， ∴∠ACE＝∠DCF， ∵∠PCD＝∠PCF+∠DCF＝∠ACD＝55°， ∴∠APC＝∠PCD＝55°． 32．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． （1）如图1，如果∠A＝40°，那么∠C等于 　50　度； （2）如图2，探究∠DAB与∠C之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，过点B作BD⊥AM于点D，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数． 【答案】（1）50． （2）∠DAB+∠C＝90°． （3）105°． 【解答】解：（1）如图1， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°． ∴∠AOB＝90°﹣∠A＝50°． 又∵AM∥CN， ∴∠C＝∠AOB＝50°． 故答案为：50． （2）∠DAB+∠C＝90°，理由如下： 如图2，过点B作BG∥AM． ∵AM∥CN， ∴BG∥CN． ∴∠DAB＝∠ABG，∠C＝∠CBG． ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°． ∴∠ABG+∠CBG＝90°． ∴∠DAB+∠C＝90°． （3）如图3，作BG∥AM． 又∵AM∥CN， ∴BG∥CN． ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴设∠DBE＝∠ABE＝x，∠AFB＝y， 则∠DBF＝∠FBC＝2x+y．∠ABD＝2x，∠GBF＝∠AFB＝y，∠BFC＝3∠DBE＝3x．∠DBF＝90﹣y ∴∠AFC＝3x+y． ∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°． ∴∠FCB＝∠AFC＝3x+y． 在△BCF中，∠CBF+∠FCB+∠BFC＝180°． ∴90﹣y+3x+3x+y＝180°①． ∴x＝15°． ∵AB⊥BC． ∴∠EBC＝15°+90°＝105°． 33．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD， ∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN， ∵MG⊥NG， ∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°； （2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α， ∵GK∥AB，AB∥CD， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝α， ∵GK∥AB，∠BMG＝30°， ∴∠MGK＝∠BMG＝30°， ∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP， ∴∠GMP＝∠BMG＝30°， ∴∠BMP＝60°， ∵PQ∥AB， ∴∠MPQ＝∠BMP＝60°， ∵ND平分∠GNP， ∴∠DNP＝∠GND＝α， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠QPN＝∠DNP＝α， ∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α， ∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°； （3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y， ∵AB，FG交于M，MF平分∠AME， ∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x， ∴∠AME＝2x， ∵GK∥AB， ∴∠MGK＝∠BMG＝x， ∵ET∥AB， ∴∠TEM＝∠EMA＝2x， ∵CD∥AB∥KG， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝y， ∴∠MGN＝x+y， ∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG， ∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y， ∵ET∥AB∥CD， ∴ET∥CD， ∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y， ∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y， ∵2∠MEN+∠G＝105°， ∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°， ∴x＝25°， ∴∠AME＝2x＝50°． 34．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45° （1）求a、b的值； （2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若A射出的光束与B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0， ∴a﹣3b＝0，且a+b﹣4＝0， ∴a＝3，b＝1； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当0＜t＜60时， 3t＝（20+t）×1， 解得t＝10； ②当60＜t＜120时， 3t﹣3×60+（20+t）×1＝180°， 解得t＝85； ③当120＜t＜160时， 3t﹣360＝t+20， 解得t＝190＞160，（不合题意） 综上所述，当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行； （3）设A灯转动时间为t秒， ∵∠CAN＝180°﹣3t， ∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°， 又∵PQ∥MN， ∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t， 而∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°， ∴∠BAC：∠BCD＝3：2， 即2∠BAC＝3∠BCD． 五．平行线的判定与性质（共6小题） 35．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠DGH＝37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：∵∠EAD＝∠D，∠B＝∠D， ∴∠EAD＝∠B， ∴AD∥BC，故①正确； ∴∠AGK＝∠CKG， ∵∠CKG＝∠CGK， ∴∠AGK＝∠CGK， ∴GK平分∠AGC；故②正确； ∵∠FGA的余角比∠DGH大16°， ∴90°﹣∠FGA﹣∠DGH＝16°， ∵∠FGA＝∠DGH， ∴90°﹣2∠FGA＝16°， ∴∠FGA＝∠DGH＝37°，故③正确； 设∠AGM＝∠1，∠MGK＝∠2， ∴∠AGK＝∠1+∠2， ∵GK平分∠AGC， ∴∠CGK＝∠AGK＝∠1+∠2， ∵GM平分∠FGC， ∴∠FGM＝∠CGM， ∴∠FGA+∠AGM＝∠MGK+∠CGK， ∴37°+∠1＝∠2+∠1+∠2， ∴∠2＝18.5°， ∴∠MGK＝18.5°，故④错误， 故选：B． 36．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】（1）证明过程请看解答； （2）100°； （3）40°． 【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F， ∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°， ∴∠ACB＝∠CED， ∴AC∥DF， ∴∠A＝∠DFB， ∵∠A＝∠D， ∴∠DFB＝∠D， ∴AB∥CD； （2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥HN∥CD， ∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE， ∵BG平分∠ABE， ∴∠ABG＝ABE， ∵AB∥HN， ∴∠2＝∠ABG， ∵CF∥HN， ∴∠2+∠β＝∠3， ∴ABE+∠β＝∠3， ∵DH平分∠EDF， ∴∠3＝EDF， ∴ABE+∠β＝EDF， ∴∠β＝（∠EDF﹣∠ABE）， ∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β， 设∠DEB＝∠α， ∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β， ∵∠DEB比∠DHB大60°， ∴∠α﹣60°＝∠β， ∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°） 解得∠α＝100° ∴∠DEB的度数为100°； （3）∠PBM的度数不变，理由如下： 如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G， ∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE， ∴∠EBM＝∠MBK＝EBK， ∠CDN＝∠EDN＝CDE， ∵ES∥CD，AB∥CD， ∴ES∥AB∥CD， ∴∠DES＝∠CDE， ∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK， ∠G＝∠PBK， 由（2）可知：∠DEB＝100°， ∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°， ∴∠EBK﹣∠CDE＝80°， ∵BP∥DN， ∴∠CDN＝∠G， ∴∠PBK＝∠G＝∠CDN＝CDE， ∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK ＝∠EBK﹣CDE ＝（∠EBK﹣∠CDE） ＝80° ＝40°． 37．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME． （1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由； （2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β． ①当点G在点F的右侧时，若β＝50°，求α的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵EM平分∠AEF ∴∠AEM＝∠FEM， 又∵∠FEM＝∠FME， ∴∠AEM＝∠FME， ∴AB∥CD； （2）①如图2，∵AB∥CD，β＝50° ∴∠AEG＝130°， 又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF ∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF， ∴∠MEH＝∠AEG＝65°， 又∵HN⊥ME， ∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣65°＝25°， 即α＝25°； ②点G是射线MD上一动点，故分两种情况讨论： 如图2，当点G在点F的右侧时，α＝． 证明：∵AB∥CD， ∴∠AEG＝180°﹣β， 又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF ∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF， ∴∠MEH＝∠AEG＝（180°﹣β）， 又∵HN⊥ME， ∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣（180°﹣β）＝， 即α＝； 如图3，当点G在点F的左侧时，α＝90°﹣． 证明：∵AB∥CD， ∴∠AEG＝∠EGF＝β， 又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF ∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF， ∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF ＝（∠AEF﹣∠FEG） ＝∠AEG ＝β， 又∵HN⊥ME， ∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH， 即α＝90°﹣． 38．如图，已知∠1＝∠C，EF⊥BC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：∠2＝∠4； （2）试求出∠ADC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠C， ∴DP∥AC， ∴∠2＝∠4； （2）解：∵EF⊥BC， ∴∠EFC＝90°， ∵∠2＝∠4，∠2+∠3＝180˚， ∴∠3+∠4＝180°， ∴AD∥EF， ∴∠ADF＝∠EFC＝90°， ∴∠ADC的度数为90°． 39．如图①，已知AD∥BC，∠B＝∠D＝120°． （1）请问：AB与CD平行吗？为什么？ （2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数． （3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC＝∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）平行． 如图①，∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， 又∵∠B＝∠D＝120°， ∴∠D+∠A＝180°， ∴AB∥CD； （2）如图②，∵AD∥BC，∠B＝∠D＝120°， ∴∠DAB＝60°， ∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE， ∴∠EAC＝∠BAE，∠EAF＝∠DAE， ∴∠FAC＝∠EAC+∠EAF＝（∠BAE+∠DAE）＝∠DAB＝30°； （3）①如图3，当点E在线段CD上时， 由（1）可得AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC，∠AED＝∠BAE， 又∵∠EAC＝∠BAC， ∴∠ACD：∠AED＝2：3； ②如图4，当点E在DC的延长线上时， 由（1）可得AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC，∠AED＝∠BAE， 又∵∠EAC＝∠BAC， ∴∠ACD：∠AED＝2：1． ③若点E在CD的延长线上时，∠EAC＝∠BAC不成立，不合题意． 40．如图，已知F，E分别是射线AB，CD上的点．连接AC，AE平分∠BAC，EF平分∠AED，∠2＝∠3． （1）试说明AB∥CD； （2）若∠AFE﹣∠2＝30°，求∠AFE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥CD； （2）∵∠AFE﹣∠2＝30°， ∴∠AFE＝∠2+30°， ∵AB∥CD， ∴∠AFE＝∠FED＝∠2+30°， ∵EF平分∠AED， ∴∠AED＝2∠FED＝2∠2+60°， ∵∠3+∠AED＝180°， ∴∠3+2∠2+60°＝180°， ∵∠3＝∠2， ∴∠2＝40°， ∴∠AFE＝∠2+30°＝70°， ∴∠AFE的度数为70°． $$专题04 相交线和平行线（易错必刷40题5种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 相交线 · 垂线 · 平行线的判定 · 平行线的性质 · 平行线的判定与性质 一．相交线（共1小题） 1．观察如图，并阅读图形下面的相关文字： 两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点…… 像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（　　） A．100个 B．135个 C．190个 D．200个 二．垂线（共1小题） 2．如图，直线AE、BF相交于点G，GC⊥GE，GD平分∠CGF，若∠DGE：∠EGF＝1：4，则∠BGC＝　 　°． 三．平行线的判定（共3小题） 3．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180° 5．如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1+∠2＝90°． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数． 四．平行线的性质（共29小题） 6．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（　　） A．112° B．110° C．108° D．106° 7．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝130°，则∠2等于（　　） A．30° B．25° C．35° D．40° 8．如图，AB∥EF，∠C＝60°，则α，β，γ的关系为（　　） A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝60° C．β+γ﹣α＝90° D．α+β+γ＝180° 9．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠BAE＝94°，∠E＝28°，则∠DCE的度数为（　　） A．122° B．120° C．118° D．115° 10．如图，已知AB∥CD，CG交AB于点G，且∠C＝α，GE平分∠BGC，点H是CD上的一个定点，点P是GE所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，∠GPH与∠PHC的关系不可能是（　　） A．∠GPH﹣∠PHC＝α B．∠GPH+∠PHC＝α C．∠GPH+∠PHC+α＝180° D．∠PHC+∠GPH+α＝360° 11．如图，AB∥CD，ME平分∠AMF，NF平分∠CNE．若∠E+54°＝2∠F，则∠AMF的度数是（　　） A．32° B．36° C．40° D．44° 12．一把直尺按如图所示摆放，AB∥CD，且∠1＝70°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．60° C．30° D．80° 13．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，如图．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝43°，∠2＝122°，则∠3与∠4的度数分别为（　　） A．43°与58° B．43°与45° C．45°与58° D．43°与32° 14．如图，CD∥BE，则∠2+∠3﹣∠1的度数等于（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 15．超市的分层小推车能够更有效增加角落的收纳空间，十分便捷，如图是它抽象出来的平面图形，已知AB∥CD，FD⊥CD．若∠1＝75°，∠2＝95°，则∠3的度数为（　　） A．95° B．105° C．110° D．115° 16．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠BAC＝30°），且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝28°，则∠2的度数是（　　） A．18° B．30° C．58° D．60° 17．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，如图①，当光线经过镜子反射时有∠1＝∠2．如图②，一个平面镜斜着放在水平面上，形成∠AOB形态，∠AOB＝42°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜上点D处反射光线DC刚好与OB平行，则∠EDC的度数为（　　） A．94° B．95° C．96° D．108° 18．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（　　） A．42°、138° B．都是10° C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对 19．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360° 20．已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 　 　． 21．如图，将一张长方形纸片ABCD折叠成如图所示的形状，∠EGC＝26°，则∠DFG＝　 　． 22．如图，AB∥CD，BF、DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为 　 　°． 23．如图，将一张长方形纸条折叠，若∠ABC＝25°，则∠ACD的度数为　 　． 24．如图，AB∥CD，∠ABG的平分线BE和∠GCD的平分线CF的反向延长线交于点E，且3∠E﹣5∠G＝172°，则∠G＝　 　度． 25．两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，∠BAC＝45°，∠DAC＝30°．接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒15°的速度旋转90°后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t＝　 　秒时，三角板A′CD′有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行 26．如图，AB⊥BC，BP平分∠ABC，∠PED＝55°，∠DEF＝60°，将∠DEF以每秒10°的速度绕着点E顺时针旋转，旋转到ED边落到射线EB上停止，若∠DEF的边与AB或BC平行时，则旋转的时间可以是 　 　秒． 27．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　 　度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　 　度． 28．综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． （1）如图1，EF∥MN，点A，B分别为直线EF，MN上的一点，点P为平行线间一点且∠PAF＝130°，∠PBN＝120°，求∠APB度数； 问题迁移 （2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM，ON于点A，D，直线n分别交OM，ON于点B，C，点P在射线OM上运动． ①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出∠CPD，∠α，∠β间的数量关系． 29．（1）【问题解决】如图1，已知AB∥CD，∠BEP＝36°，∠CFP＝152°，求∠EPF的度数； （2）【问题迁移】如图2，若AB∥CD，点P在AB的上方，则∠PFC，∠PEA，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）． 30．如图，已知PM∥AN，且∠A＝40°，点C是射线AN上一动点（不与点A重合），PB，PD分别平分∠APC和∠MPC，交射线AN于点B，D． （1）求∠BPD的度数； （2）当点C运动到使∠PBA＝∠APD时，求∠APB的度数； （3）在点C运动过程中，∠PCA与∠PDA之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例． 31．如图，已知AB∥CD，∠A＝70°．点P是射线AB上一动点（与点A不重合），CE，CF分别平分∠ACP和∠DCP，交射线AB于点E，F． （1）求∠ECF的度数，若∠A＝n°，请直接用含n的式子表示∠ECF； （2）随着点P的运动，设∠APC＝α，∠AFC＝β，α与β之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； （3）当∠AEC＝∠ACF时，请直接写出∠APC的度数． 32．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． （1）如图1，如果∠A＝40°，那么∠C等于 　 　度； （2）如图2，探究∠DAB与∠C之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，过点B作BD⊥AM于点D，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数． 33．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数． 34．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45° （1）求a、b的值； （2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若A射出的光束与B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围． 五．平行线的判定与性质（共6小题） 35．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠DGH＝37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 36．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 37．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME． （1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由； （2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β． ①当点G在点F的右侧时，若β＝50°，求α的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 38．如图，已知∠1＝∠C，EF⊥BC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：∠2＝∠4； （2）试求出∠ADC的度数． 39．如图①，已知AD∥BC，∠B＝∠D＝120°． （1）请问：AB与CD平行吗？为什么？ （2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数． （3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC＝∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）． 40．如图，已知F，E分别是射线AB，CD上的点．连接AC，AE平分∠BAC，EF平分∠AED，∠2＝∠3． （1）试说明AB∥CD； （2）若∠AFE﹣∠2＝30°，求∠AFE的度数． $$