专题08：数学广角——数与形（专项训练）-2024-2025学年六年级数学上册人教版期末复习讲练测(人教版)

2024-2025学年人教版六年级数学上册期末复习讲练测 专题08、数学广角——数与形（专项训练） 一、选择题 1．与1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1表示的结果相同的是（    ）。 A．25×2 B．65－2 C．112 D．50＋11 2．疫情期间，幸福社区搭建如图①所示的单顶帐篷需要17根钢管，若这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，那6顶这样的帐篷需要钢管（    ）根。 图①           图②                    图③ A．108 B．83 C．72 D．91 3．按下面的规律排列，第八幅图有（    ）个笑脸。 A．8 B．32 C．36 D．40 4．与1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1表示相同的结果算式是（    ）。 A．62 B．52 C．62－52 D．62＋52 5．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。 从上图中可以发现： 任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如4＝1＋3。把“正方形数”36写成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是（    ）。 A．36＝10＋26 B．36＝12＋24 C．36＝15＋21 D．36＝16＋20 二、填空题 6． 根据左边各式的规律填空： （1）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝（ ）。 （2）从1开始，（ ）个连续奇数相加的和是。 7．摆1个△用3根小棒，摆2个△用5根小棒，摆3个△用7根小棒。照这样，摆5个△用 根小棒。 8．（ ）。 9．根据数与形的规律，完成下面各题。 （1）上面的每个图形的涂色部分用分数表示各是多少？请你填在括号里。 （2）照这样的规律接着画下去，第9个图形用表示，第n个图形用表示。 10．9＋11＋13＋15＋…＋29＝（ ）。 11．淘气用小棒搭房子，他搭3间用了13根小棒（如图），像这样搭15间房子要用（ ）根小棒。 12．按照下面的规律，第n幅图中，有（ ）个三角形，它的周长是（ ）。 13．如图，一张桌子可以坐4人，两张桌子拼起来可以坐6人，三张桌子拼起来可以坐8人。像这样8张桌子可以坐（ ）人，（ ）张桌子拼起来可以坐40人。 14．照这样排下去，第6个数是（ ）。 15．如□→□□→□□□所示，用同样的小棒摆正方形，像这样摆7个同样的正方形要（ ）根小棒，摆n个同样的正方形要（ ）根小棒。 16．玲玲用面积为1平方厘米的灰色小正方形拼摆图形，如下图所示。 （1）像这样拼下去，第9个图形要用（ ）个小正方形。 （2）如果要按这样的规律在第99个图形的外围用彩带围上一圈花边，至少需要（ ）厘米的彩带。（接头处忽略不计） 17．照此规律画下去，第n个图形共有（ ）个，（ ）个。 三、判断题 18．按1、8、27、（  ）、125、216的规律排，括号中的数应为64。（ ） 19．…＝1。（ ） 20．用小棒按下图搭三角形，搭一个用3根小棒，搭两个用5根小棒，搭n个用3n根小棒。（ ） 四、解答题 21．通过观察，利用字母表示出图形的边长和面积。 （1）大正方形的边长可表示出为：（    ） ；大正方形的面积＝边长2，用字母表示大正方形的面积S是：（    ）； （2）两个小长方形①和②，两个小正方形③和④，这四个图形的面积和是多少？ （3）通过上面两个问题的探索，你发现了什么？你能用文字和字母分别表述吗？ 22．通过计算并观察①②③小题，猜想出④的结果，写出你的发现，并用图形进行说明。 ① ② ③… 则：④ 发现：____________________________________________________ 说明： 23．探索：百以内所有奇数的和。我们可以通过“数形结合”的方法来研究。 （1）画图并填空：          ……                 （    ） （2）你探索后发现：从1开始的连续n个奇数的和等于（    ）。 （3）结论运用：百以内所有奇数的和等于（    ）。 24．用小棒按照如下方式摆图形，摆一个八边形需要8根小棒。观察规律。 （1）根据规律，怎样摆出4个八边形，把你的想法画在方框内。 （2）照这样画下去，想一想，摆7个八边形需要（    ）根小棒，如果想摆n个八边形需要（    ）根小棒。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版六年级数学上册期末复习讲练测 专题08、数学广角——数与形（专项训练） 一、选择题 1．与1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1表示的结果相同的是（    ）。 A．25×2 B．65－2 C．112 D．50＋11 【答案】D 【分析】1、3、5、7、9、11为从1开始的相邻奇数，一共有6个奇数，它们的和等于奇数个数的平方，9、7、5、3、1，一共有5个奇数，它们的和等于奇数个数的平方，再把两个和加起来，据此解答。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＝62＝36 9＋7＋5＋3＋1＝52＝25 所以1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝36＋25＝61。 A．25×2＝50，50≠61，不符合要求； B．65－2＝63，63≠61，不符合要求； C．112≠61，不符合要求； D．50＋11＝61，符合要求。 故答案为：D 2．疫情期间，幸福社区搭建如图①所示的单顶帐篷需要17根钢管，若这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，那6顶这样的帐篷需要钢管（    ）根。 图①           图②                    图③ A．108 B．83 C．72 D．91 【答案】C 【分析】看图，图②需要钢管17＋11＝28（根），图③需要钢管28＋11＝39（根），以这样的方式，每加建一个帐篷，需要增加11根钢管。那么推理出，6顶帐篷需要39＋11＋11＋11＝72（根）钢管。 【详解】39＋11＋11＋11＝72（根） 所以，6顶这样的帐篷需要钢管72根。 故答案为：C 3．按下面的规律排列，第八幅图有（    ）个笑脸。 A．8 B．32 C．36 D．40 【答案】C 【分析】第一幅1个笑脸，第二幅1＋2个笑脸；第三幅1＋2＋3个笑脸；……；第n幅1＋2＋3＋……n个笑脸；将n＝8带入即可解答。 【详解】由分析可知：第八幅图有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个笑脸。 故答案为：C 4．与1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1表示相同的结果算式是（    ）。 A．62 B．52 C．62－52 D．62＋52 【答案】D 【分析】把1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1分成两部分，即（1＋3＋5＋7＋9＋11）＋（9＋7＋5＋3＋1），每个括号里相邻两个加数相差2；发现：1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42……得出规律：相邻两个加数相差2的数列，和等于加数的个数的平方。 按此规律：第一个括号共有6个数，即1＋3＋5＋7＋9＋11＝62；第二个括号共有5个数，即9＋7＋5＋3＋1＝52；最后相加即可。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1 ＝（1＋3＋5＋7＋9＋11）＋（9＋7＋5＋3＋1） ＝62＋52 ＝36＋25 ＝61 故答案为：D 5．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。 从上图中可以发现： 任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如4＝1＋3。把“正方形数”36写成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是（    ）。 A．36＝10＋26 B．36＝12＋24 C．36＝15＋21 D．36＝16＋20 【答案】C 【分析】观察图形和等式，发现正方形数是1、4、9、16、25、36、49…；都是平方数； 三角形数是1、3、6、10、15、21、28…；相邻两个数的差依次增加1； 从“三角形数”中找出哪两个相邻的数相加，和是“正方形数”36即可。 【详解】图1：正方形数是4，4＝1＋3 图2：正方形数是9，9＝3＋6 图3：正方形数是16，16＝6＋10 图4：正方形数是25，25＝10＋15 图5：正方形数是36，36＝15＋21 故答案为：C 二、填空题 6． 根据左边各式的规律填空： （1）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝（ ）。 （2）从1开始，（ ）个连续奇数相加的和是。 【答案】（1）；（2）15 【分析】（1），有1个奇数； ，有2个连续奇数； ，有3个连续奇数； ，有4个连续奇数； 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13里面有7个连续奇数，所以1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72。 （2）观察算式可知，从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方，所以和要等于，说明是从1开始，15个连续奇数相加所得的结果。 【详解】（1）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝。 （2）从1开始，15个连续奇数相加的和是。 7．摆1个△用3根小棒，摆2个△用5根小棒，摆3个△用7根小棒。照这样，摆5个△用 根小棒。 【答案】11 【分析】由图可得：摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要5根小棒，摆3个三角形需要7根小棒，由此可得，每多摆一个三角形，就会增加2根小棒，由此规律，写出摆5个三角形需要多少根小棒即可。 【详解】摆1个三角形需要3根小棒； 摆2个三角形需要5根小棒，可以写成： 3＋2＝3＋2×l； 摆3个三角形需要7根小棒，可以写成： 3＋2＋2＝3＋2×2； 摆4个三角形需要9根小棒，可以写成： 3＋2＋2＋2＝3＋2×3； 摆5个三角形需要11根小棒，可以写成：3＋2＋2＋2＋2＝3＋2×4； 3＋2×4 ＝3＋8 ＝11（根） 摆5个△用11根小棒。 8．（ ）。 【答案】113 【分析】利用数与形的概念，从1开始的连续几个奇数的和，等于奇数个数的平方，据此解答即可。 【详解】 所以算式的结果为：113。 9．根据数与形的规律，完成下面各题。 （1）上面的每个图形的涂色部分用分数表示各是多少？请你填在括号里。 （2）照这样的规律接着画下去，第9个图形用表示，第n个图形用表示。 【答案】（1）；；；；（2）； 【分析】（1）第1个图形是把这个圆形看作单位“1”，把它平均分成2份，其中1份涂色，用分数即可表示；第2个图形是把这个圆形看作单位“1”，把它平均分成3份，其中2份涂色，用分数即可表示；第3个图形是把这个圆形看作单位“1”，把它平均分成4份，其中3份涂色，用分数即可表示；第4个图形是把这个圆形看作单位“1”，把它平均分成5份，其中4份涂色，用分数即可表示。 （2）观察每个图形中的分数，第1个图形中分数的分子是1，分母是2，第2个图形中分数的分子是2，分母是3，第3个图形中分数的分子是3，分母是4，第4个图形中分数的分子是4，分母是5，依次类推，第9个图形中分数的分子是9，分母是10，据此解答；那么，第n个图形中分数的分子是n，分母是n＋1，写出这个分数即可。 【详解】（1）填空如下： （2）照这样的规律接着画下去，第9个图形用表示，第n个图形用表示。 10．9＋11＋13＋15＋…＋29＝（ ）。 【答案】209 【分析】1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，…据此可知，从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方，所以9＋11＋13＋15＋…＋29＝（1＋3＋5＋…＋29）－（1＋3＋5＋7），1＋3＋5＋…＋29＝152，1＋3＋5＋7＝42，据此解答。 【详解】9＋11＋13＋15＋…＋29 ＝（1＋3＋5＋…＋29）－（1＋3＋5＋7） ＝152－42 ＝225－16 ＝209 11．淘气用小棒搭房子，他搭3间用了13根小棒（如图），像这样搭15间房子要用（ ）根小棒。 【答案】61 【分析】搭一间房用5根小棒，2间房用9根小棒，3间房用13根小棒，以后每增加一间房就多用4根小棒，由此解决问题。 【详解】第15间房除了第一间用5根小棒，其它都是4根小棒，则： （15－1）×4＋5 ＝14×4＋5 ＝56＋5 ＝61（根） 即像这样搭15间房子要用61根小棒。 12．按照下面的规律，第n幅图中，有（ ）个三角形，它的周长是（ ）。 【答案】n2；3n 【分析】由图可知，第1幅图中有12＝1个三角形，周长是3×1＝3；第2幅图中有22＝4个三角形，周长是3×2＝6；第3幅图中有32＝9个三角形，周长是3×3＝9；第4幅图中有42＝16个三角形，周长是3×4＝12…以此类推，第n幅图中有n2个三角形，周长是3×n＝3n，据此解答。 【详解】分析可知，第n幅图中，有n2个三角形，它的周长是3n。 13．如图，一张桌子可以坐4人，两张桌子拼起来可以坐6人，三张桌子拼起来可以坐8人。像这样8张桌子可以坐（ ）人，（ ）张桌子拼起来可以坐40人。 【答案】18；19 【分析】观察可得，一张桌子坐（2＋2）人，2张桌子可坐（2＋2×2）人，3张桌子可坐（2＋2×3）人。规律是左右的2人加上每张桌子上下各坐的2人乘桌子数。8张桌子做的人、40人需要的桌子数利用规律即可求。 【详解】一张桌子坐（2＋2）人 2张桌子可坐（2＋2×2）人 3张桌子可坐（2＋2×3）人 8张桌子可坐：2＋2×8 ＝2＋16 ＝18（人） 40人需要桌子：（40－2）÷2 ＝38÷2 ＝19（张） 则像这样8张桌子可以坐18人，19张桌子拼起来可以坐40人。 14．照这样排下去，第6个数是（ ）。 【答案】21 【分析】观察可知，第1个图形是1个圆，第2个图形是（1＋2）个圆，第3个图形是（1＋2＋3）个圆。由此类推，第6个图形是（1＋2＋3＋4＋5＋6）个圆。有几个圆，对应的数字就是几。据此解题。 【详解】1 1＋2＝3 1＋2＋3＝6 … 1＋2＋3＋4＋5＋6＝21 所以，第6个数是21。 15．如□→□□→□□□所示，用同样的小棒摆正方形，像这样摆7个同样的正方形要（ ）根小棒，摆n个同样的正方形要（ ）根小棒。 【答案】28；4n 【分析】观察图形可知：1个小正方形需要4根小棒，2个小正方形需要2×4根小棒，3个小正方形需要3×4根小棒…，由此找出规律解答即可。 【详解】通过上述分析可知：n个小正方形需要n×4＝4n根小棒。 当n＝7时，需要小棒： 4×7＝28（根） 这样摆7个正方形，需要28根小棒，摆n个同样的正方形要4n根小棒。 16．玲玲用面积为1平方厘米的灰色小正方形拼摆图形，如下图所示。 （1）像这样拼下去，第9个图形要用（ ）个小正方形。 （2）如果要按这样的规律在第99个图形的外围用彩带围上一圈花边，至少需要（ ）厘米的彩带。（接头处忽略不计） 【答案】（1）24；（2）208 【分析】（1）观察图形发现：每个图形中最左列有3个灰色小正方形，最右列有3个灰色小正方形，中间的每一列都有2个灰色小正方形。图①中灰色小正方形有3＋3＋2＝6＋2＝8（个）；图②中灰色小正方形有3＋3＋2×2＝6＋4＝10（个）；图③中灰色小正方形有3＋3＋2×3＝6＋6＝12（个）；……。由此可知第n个图中灰色小正方形的个数有（6＋2n）个。 （2）因为灰色小正方形的面积是1平方厘米，所以灰色小正方形的边长是1厘米。图①的长是3厘米，图②的长是4厘米，图③的长是5厘米，……。由此可知第n个图形的长是（n＋2）厘米；每个图形的宽都是3厘米。根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”可求出在图形外围围一圈所用的彩带的长。 【详解】（1）当n＝9时，6＋2n＝6＋2×9＝6＋18＝24（个）。 所以像这样拼下去，第9个图形要用24个小正方形。 （2）第99个图形的长：99＋2＝101（厘米） 宽：3厘米 周长：（101＋3）×2 ＝104×2 ＝208（厘米） 所以如果要按这样的规律在第99个图形的外围用彩带围上一圈花边，至少需要208厘米的彩带。 17．照此规律画下去，第n个图形共有（ ）个，（ ）个。 【答案】n；2n＋6 【分析】（1）第1个图形有1个，第2个图形有2个，第3个图形有3个，第4个图形有4个，……由此发现规律：第几个图形就有几个。 （2）每个图形最左侧有3个，最右侧有3个，3＋3＝6（个）；第1个图形有2＋6＝8个，第2个图形有2×2＋6＝10个，第3个图形有2×3＋6＝12个，第4个图形有2×4＋6＝14个，……由此发现规律：第几个图形就有几个2加6个。 【详解】由发现的规律可知：第n个图形共有n个，（2n＋6）个。 三、判断题 18．按1、8、27、（  ）、125、216的规律排，括号中的数应为64。（ ） 【答案】√ 【分析】通过观察数据特征，发现规律：1、8、27、（    ）、125、216分别是1的立方、2的立方、3的立方、4的立方、5的立方、6的立方，据此解答即可。 【详解】，，，，，，所以括号中的数为64，本题说法正确。 故答案为：√ 19．…＝1。（ ） 【答案】√ 【分析】根据算式可知，后面一个数是前一个数的，如果把一条线段看作1，先取它的一半表示，再取余下的一半的一半表示，这样不断地取下去，最终相当于取了整条线段。所以…＝1，据此解答即可。 【详解】…＝1，说法正确； 故答案为：√。 20．用小棒按下图搭三角形，搭一个用3根小棒，搭两个用5根小棒，搭n个用3n根小棒。（ ） 【答案】× 【分析】根据题图可知，每增加1个三角形小棒就增加2根，当搭n个三角形时，需要的小棒个数为3＋2（n－1）＝（2n＋1）根，据此解答即可。 【详解】用小棒搭三角形，搭一个用3根小棒，搭两个用5根小棒，搭n个用（2n＋1）根小棒，原题说法错误； 故答案为：× 四、解答题 21．通过观察，利用字母表示出图形的边长和面积。 （1）大正方形的边长可表示出为：（    ） ；大正方形的面积＝边长2，用字母表示大正方形的面积S是：（    ）； （2）两个小长方形①和②，两个小正方形③和④，这四个图形的面积和是多少？ （3）通过上面两个问题的探索，你发现了什么？你能用文字和字母分别表述吗？ 【答案】（1）a＋b；（a＋b）2； （2）这四个图形的面积和是a2＋b2＋2ab； （3）我发现大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，所以可以得出结论：（a＋b）²＝a²＋b²＋2ab。 【分析】（1）由图可知大正方形的边长为（a＋b），根据正方形的面积公式S＝a²，即可用字母表示出大正方形的面积； （2）根据长方形的面积公式S＝a×b，正方形的面积公式S＝a²，分别求出两个小长方形①和②的面积，两个小正方形③和④的面积，再将这四个图形的面积相加即可解答； （3）通过观察图形，可知大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，用字母表示出来即可。 【详解】（1）大正方形的边长为（a＋b）；用字母表示大正方形的面积是：（a＋b）²。 （2）①的面积a×b＝ab ②的面积a×b＝ab ③的面积a×a＝a² ④的面积b×b＝b² ab＋ab＋a²＋b²＝a²＋b²＋2ab 答：两个长方形①和②，两个小正方形③和④，这四个图形的面积和是a²＋b²＋2ab。 （3）答：我发现大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，所以可以得出结论： （a＋b）²＝a²＋b²＋2ab。 22．通过计算并观察①②③小题，猜想出④的结果，写出你的发现，并用图形进行说明。 ① ② ③… 则：④ 发现：____________________________________________________ 说明： 【详解】① ② ③… 则：④ 发现：计算结果以最后一个分数的分母作分母，分子等于分母减1。 如图：依次选取余下的一半，就会出现这种情况： 23．探索：百以内所有奇数的和。我们可以通过“数形结合”的方法来研究。 （1）画图并填空：          ……                 （    ） （2）你探索后发现：从1开始的连续n个奇数的和等于（    ）。 （3）结论运用：百以内所有奇数的和等于（    ）。 【分析】（1）第1幅图等于1的平方，第2幅图等于2的平方，所以第3幅图应等于3的平方，据此完成作图并解答； （2）利用第1、2、3个图形与算式之间的计算方法，可以看出从1开始连续奇数的和等于数的个数的平方，由此写出规律即可。 （3）百以内第1个奇数是1，最后一个奇数是99，通过算式（1＋99）÷2，即可求出百以内所有奇数的个数有50个，根据（2）得出的规律即可求出百以内所有奇数的和。 【详解】（1）作图如下： 32 （2）经过探索后发现：从1开始的连续n个奇数的和等于n2。 （3）（1＋99）÷2 ＝100÷2 ＝50 502＝50×50＝2500 所以百以内所有奇数的和等于2500。 24．用小棒按照如下方式摆图形，摆一个八边形需要8根小棒。观察规律。 （1）根据规律，怎样摆出4个八边形，把你的想法画在方框内。 （2）照这样画下去，想一想，摆7个八边形需要（    ）根小棒，如果想摆n个八边形需要（    ）根小棒。 【分析】（1）由图可知，摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要（8＋7）根小棒，摆3个八边形需要（8＋7×2）根小棒，摆4个八边形需要（8＋7×3）根小棒…… （2）由（1）可知，每增加一个八边形需要增加7根小棒，摆n个八边形需要[8＋（n－1）×7]根小棒，求出当n＝7时式子的值就是摆7个八边形需要小棒的数量，据此解答。 【详解】（1）分析可知： （2）摆n个八边形需要小棒的根数为：8＋（n－1）×7 ＝8＋7n－7 ＝（7n＋1）根 当n＝7时。 7n＋1 ＝7×7＋1 ＝49＋1 ＝50（根） 所以，摆7个八边形需要50根小棒，如果想摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$