专题02 一元二次函数、方程和不等式（6基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（四川专用）

专题02 一元二次函数、方程和不等式 不等式性质及应用 1．（23-24高一上·四川内江·期末）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举反例说明ACD；利用不等式的性质判断B. 【详解】对于A：当时，，A错误； 对于B：，，所以，B正确； 对于C：当时，满足，但，C错误； 对于D：当时，满足，，D错误. 故选：B. 2．（21-22高二下·四川泸州·期末）设实数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，B，D可以取特殊值验证，对于C，根据题意得，，利用基本不等式求解即可. 【详解】对于A：当，时不成立，故A错误； 对于B：当，，所以，，即，故B错误； 对于C：因为，所以，又， 所以（等号成立的条件是），故C正确. 对于D：当，时不成立，故D错误； 故选：C. 3．（23-24高一下·四川成都·期末）已知，且则不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断. 【详解】对A，根据指数函数的性质，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，因为，当且仅当取等号，所以，故C正确； 对D，因为，且，故，，所以；故D正确. 故选：B 4．（23-24高一下·四川资阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用不等式的性质，函数的单调性，赋值法的应用求出结果. 【详解】解：由于， 对于选项A：，故选项A正确. 对于选项B：当，时，，故选项B错误. 对于选项C：当时，，故选项C错误. 对于选项D：由于，由于为单调增函数，所以，故选项D错误. 故选：A. 【点睛】本题考查运用不等式的性质和函数的单调性判断不等式是否成立，属于基础题. 5．（23-24高一上·四川宜宾·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用不等式的性质结合特例一一判定选项即可. 【详解】对于A项，若，则，故A错误； 对于B项，因为，，所以，利用同向可加性有，故B正确； 对于C项，若，，则，故C错误； 对于D项，可利用糖水不等式说明：假设克溶液里有克糖，此时溶液浓度为， 若加入克糖，此时溶液浓度为，显然溶液浓度变大了，即， 或可直接作差得，故D正确. 故选：BD 6．（23-24高一上·四川南充·期末）如果，那么下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式性质判断A、C、D；特殊值判断B. 【详解】由，则，，故，A、C对，D错； 当时，故B错. 故选：AC 7．（23-24高一上·四川成都·期末）若， 则下列不等式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质及作差法判断即可AD，根据特殊值法可判断BC. 【详解】对A：，故A一定不成立； 对B：令，则，故B可能成立； 对C：令，则，故C可能成立； 对D：，故D一定不成立； 故选：AD. 8．（22-23高一上·四川眉山·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质得到的范围，再和的范围相加即可. 【详解】, ，又， 故选：C 9．（21-22高二下·四川成都·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式变形后，构造函数确定单调性得出，然后由不等式的性质判断、对数函数性质判断各选项． 【详解】由得， 设，易知是增函数，所以由得， 当时，C不存在，错误，A错误， ，则，，从而，D错误． 由不等式性质，B正确． 故选：B． 一元二次不等式解法及求参数 10．（23-24高一上·四川绵阳·期末）“”是“不等式成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由得，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由，得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 11．（23-24高一下·四川雅安·期末）关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得和是方程的两根，利用根与系数的关系求得与的值，代入不等式，求解得答案． 【详解】解：关于实数的不等式的解集是或， 和是方程的两根， 则，，． 不等式即为，解得或． 不等式的解集是， 故选：C． 12．（21-22高一下·四川甘孜·期末）若不等式的解集为，则（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案． 【详解】不等式的解集为，则方程根为、， 则，解得，， 故选：D 13．（21-22高一下·四川南充·期末）不等式的解集为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分､两种情况讨论，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】关于的不等式的解集为. 当时，即当时，则有恒成立，符合题意； ②当时，则有， 解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 14．（23-24高一上·四川内江·期末）已知不等式的解集为，则的解集为 ． 【答案】 【分析】由题意得是方程的两根，且，利用韦达定理可得，所以等价于，解出不等式的解集即可. 【详解】由题意得是方程的两根，且， 则，可得， 所以，即， 又，所以，即， 即，解得. 所以的解集为. 故答案为：. 15．（23-24高一上·四川成都·期末）已知关于的不等式的解集为，则 . 【答案】 【分析】利用不等式的解集与方程根的关系，由韦达定理得出方程组可解得，得出结果. 【详解】根据不等式的解集为可得： 和6是方程的两个实数根，可得，解得； 因此. 故答案为： 16．（23-24高一上·四川成都·期末）已知关于的不等式的解集为，则错误的说法是（    ） A． B． C．的最小值为 D．的解集为或 【答案】A 【分析】根据分式不等式解集得，，且，再应用基本不等式和含参一元二次不等式的解法判断各项正误. 【详解】由题设，其解集为， 所以，，且，即，A错，B对； 故，当且仅当时等号成立，C对； 或，解集为或，D对. 故选：A 17．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为 D．若，则的最大值为1 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集为，确定之间的关系，进而逐项判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以整理得 则． ， 解得． ，即，解得， 则． 故选：ACD． 18．（23-24高一上·四川成都·期末）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【答案】A 【分析】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【详解】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 19．（23-24高一上·四川成都·期末）已知关于的不等式的解集为，则错误的说法是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的解集为 【答案】A 【分析】根据分式不等式解集得，，且，再应用基本不等式和含参一元二次不等式的解法判断各项正误. 【详解】由题设，其解集为， 所以，，且，即，A错，B对； 故，当且仅当时等号成立，C对； ，解集为，D对. 故选：A 一元二次不等式有解和恒成立 20．（22-23高一上·四川成都·期末）已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式恒成立，得，解不等式即可. 【详解】由题意“，”为真命题， ∴，解得， 故选：B． 21．（21-22高一下·四川资阳·期末）若，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：和，解出实数的取值范围，即得. 【详解】对，， 当时，则有恒成立； 当时，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 22．（22-23高一上·四川南充·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为或，若不等式的解集； (2)若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集求得，进而求得不等式的解集. （2）利用分离常数法化简不等式，结合二次函数的性质求得正确答案. 【详解】（1）不等式，即，由于， 所以，其解集为或， 所以，且，解得， 所以不等式即， 即，解得， 所以不等式的解集为. （2）依题意，，使得成立， ，使得成立，由于， 所以， 由于函数的开口向下，对称轴为， 所以， 即的取值范围是. 23．（21-22高一下·四川凉山·期末）已知函数，a不为0． (1)当时，解不等式； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集. （2）结合开口方向以及判别式求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，即， ，解得或 所以不等式的解集为. （2）恒成立， 因为a不为0，所以且， 即，a的取值范围为：． 24．（22-23高一下·四川巴中·期末）已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为或，求的值； （2）若不等式的解集是，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）分析可知关于的方程的两根为、，结合韦达定理可求得实数的值； （2）分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，不等式化为，解集为，不合题意，舍去； 当时，一元二次不等式的解集为或， 、是相应方程的两根，且． ，解得：． 综上可知：； （2）当时，不等式化为在上恒成立，符合题意； 若，关于的一元二次不等式的解集为， 得，解得． 综上，的取值范围是． 25．（22-23高一下·四川雅安·期末）已知函数. （1）若，关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围； （2）若，解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）时不等式化为求在上的最小值可得答案； （2）时不等式为，讨论 、、时解不等式可得答案. 【详解】（1），不等式化为，， 所以在恒成立， 即求在上的最小值为， 所以. （2），不等式为， ①当时，，不等式解集为； 当时不等式转化为， ②当时，不等式解集为； ③当时，不等式化为， 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 综上所述：①当时，不等式解集为； ②当时，不等式解集为； ③当时，不等式解集为； ④当时，不等式解集为； ⑤当时，不等式解集为. 26．（22-23高一下·四川·期末）已知关于的不等式. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题意可得，且和时关于的方程的两个实数根，从而可求出的值； （2）由题意得或，从而可求出的取值范围 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以，且和时关于的方程的两个实数根， 则，解得. （2）因为关于的不等式恒成立， 所以或，即或， 则实数的取值范围为. 27．（22-23高一下·四川自贡·期末）已知函数，其中为实常数． （1）时，求不等式的解集； （2）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）确定相应二次方程的根，结合二次函数性质可得不等式的解； （2）由一元二次不等式恒成立可得． 【详解】（1）由已知不等式为，而，所以原不等式解集为； （2）不等式对任意实数恒成立，即恒成立， 所以，解得．即的范围是． 28．（22-23高一下·四川自贡·期末）已知函数，其中为实常数． （1）解关于不等式； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）等价于，分、、讨论，可求解集； （2）由题意可得对任意恒成立，分离转化为最值问题即可求解. 【详解】（1）由可得：， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， （2）若不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为，所以，所以对任意恒成立， 令，只需， 因为 当且仅当即时等号成立，所以，所以. 所以的取值范围为：. 基本不等式及应用 29．（23-24高一上·四川宜宾·期末）函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】先利用必过定点确定的坐标，后利用基本不等式‘1’的代换处理即可. 【详解】在中，当时，，故， 将代入直线方程中，化简得， 故， 当且仅当‘’时取等，即的最小值为. 故选：C 30．（22-23高二下·四川成都·期末）已知正实数，满足，则下列不等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式逐项进行验证即可求解. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，选项A正确， 对于B，，当且仅当时取等号，选项B正确， 对于C，，选项C正确， 对于D，，当且仅当时取等号，选项D错误， 故选：D． 31．（22-23高一上·四川眉山·期末）设，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先得到，再变形，展开，利用基本不等式求最值即可. 【详解】，则， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：A. 32．（22-23高一上·四川广安·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意构造，再利用基本不等式计算可得； 【详解】由，又，， 所以， 当且仅当，，即、时等号成立，所以的最小值为． 故选：． 33．（21-22高一下·四川宜宾·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答. 【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立， 又，即， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为25. 故选：B 34．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知，则下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用特值法排除部分答案，剩余选项用不等式性质证明. 【详解】取，， 对C：，不成立，故C错误； 对A：，故A成立； 对B：，因为，所以必定成立，即原不等式成立，故B正确； 对D：，因为，故原不等式成立，故D正确. 故选：ABD 35．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为1 【答案】AC 【分析】根据条件等式，应用基本不等式及“1”的代换、二次函数性质求各式最值判断正误即可. 【详解】A：，则，当且仅当时取等号，最大值为1，对； B：，当且仅当时取等号，最小值为2，错； C：，当且仅当时取等号，最小值为2，对； D：，且，故，当且仅当时取等号，错. 故选：AC 36．（23-24高一上·四川成都·期末）若正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】假设，平方后可判断A；直接使用基本不等式即可求得和的最大值，可判断BCD. 【详解】若，则， 因为为正实数，所以（矛盾），故A错误； 因为， 所以，得， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故C错误，D正确. 故选：BD 37．（22-23高一上·四川凉山·期末）若a>0，b>0，且ab=a＋b＋n，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的最小值为 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为4 D．当时，ab的取值范围为 【答案】AD 【分析】根据基本不等式“1”的用法即可判断A；根据题意可得， 则，结合二次函数的性质即可判断B；根据基本不等式可得，即，解不等式即可判断C；由选项C的分析可得，即，解不等式即可判断D. 【详解】A：当时，，得， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，故A正确； B：当时，，当时得， 所以， 当时，取得最小值，故B错误； C：当时，，得， 即，得， 解得(舍去)或，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为6，故C错误； D：当时，，得， 又，即，得， 即，解得(舍去)或， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：AD. 38．（22-23高一上·四川绵阳·期末）设正实数a，b满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为8 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用均值不等式逐项计算判断作答. 【详解】正实数a，b满足， 对于A，， 当且仅当，即时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：CD 39．（22-23高一上·四川南充·期末）若正实数m、n，满足，则以下选项正确的有（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为2 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式求得正确答案. 【详解】A选项，，当且仅当时等号成立，所以A选项正确； B选项，，当且仅当时等号成立，所以B选项正确； C选项，，，当且仅当时等号成立，所以C选项正确； D选项， , 但，， 与已知为正数，且矛盾，所以等号不成立，D选项错误. 故选：ABC 40．（23-24高一上·四川凉山·期末）若，，，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】由，因式分解可得，结合基本不等式即可得. 【详解】，即， 由，，故， 当且仅当，即、时，等号成立， 即. 故答案为：2. 41．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知，，且满足，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据得到，将化为，根据均值不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 一元二次函数的值域和单调性 42．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】幂函数为偶函数，解得，函数在区间上为单调函数，利用二次函数的性质，列不等式求实数a的取值范围. 【详解】为幂函数，则，解得或， 时，；时，. 为偶函数，则. 函数在区间上为单调函数， 则或，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故选：D. 43．（23-24高一上·四川凉山·期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式计算即得. 【详解】函数的单调递减区间是，依题意，，则，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：D 44．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知二次函数满足，函数仅有一个零点，且零点为1． (1)求函数的解析式； (2)若函数在上的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，进一步有，由此即可得解. （2）由题意二次函数在上单调递增，所以，由此即可得解. 【详解】（1）由题意，所以仅有一个零点，且零点为1． 所以，解得， 所以函数的解析式为. （2）若函数在上的最小值为， 二次函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递增， 所以，解得. 45．（22-23高一上·四川眉山·期末）已知函数，则“在上单调递减”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】“在上单调递减”求出等价条件，再由充分不必要条件的定义即可判断结果. 【详解】若在上单调递减，则，即“在上单调递减”等价于“”， 故为充要条件， ，是“在上单调递减”的充分不必要条件，为必要不充分条件. 故选：BD. 46．（23-24高一上·四川南充·期末）已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对任意的都成立，即可分类讨论求解， （2）根据，即可分类讨论求解. 【详解】（1）函数的定义域为，则不等式的解集为 当时， 若时，的解集为，符合题意， 若，的解集不是，不符合题意， 当时，则，解得或 实数的取值范围是 （2）函数的值域为，令，记的取值范围为集合 则   当时， 若，，不合题意 若，，满足题意 当时，则，解得 实数的取值范围是 47．（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数． (1)已知，若，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)函数的最大值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由可得，即关于的不等式，求解即可； （2）得二次函数的对称轴，然后分，，三种情况分类讨论即可； （3）在（2）的基础上分段讨论函数的最值即可. 【详解】（1）因为，， 所以，所以，解得； 故实数取值范围为. （2）函数的对称轴为， 当，即时，在上单调递增，故； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 故； 当，即时，在上单调递减，故； 综上所述； （3）由（2）可知 当时，在上单调递增，此时的最大值为； 当时，在上单调递增， 在上单调递减，此时的最大值为； 当时，在上单调递减，此时的最大值为； 综上所述的最大值为. 48．（23-24高一上·四川雅安期末）已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； (3)若在上有最大值9，求a的值. 【答案】(1)开口向上，对称轴为 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据二次函数图象的性质求解即可； （2）由已知可得恒成立，结合二次函数的性质可得，解不等式即可； （3）根据的对称轴为，比较，与对称轴的距离的大小即可求解. 【详解】（1），对称轴为， 的开口向上，对称轴为； （2）由恒成立，可得恒成立， ∴，∴， 解得或， 实数a的取值范围为或； （3），对称轴为， ①当时，即时，， 解得或（舍去）； ②当，即时，，解得或（舍去）. 综上：或. 49．（23-24高一上·四川成都·期末）已知二次函数（a，b，）只能同时满足下列三个条件中的两个：①；②不等式的解集为；③函数的最大值为4. (1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数的解析式； (2)求关于x的不等式（）的解集. 【答案】(1)②③， (2)答案见解析 【分析】（1）当时，条件②③不成立，由②令，结合二次函数的性质，列出方程，求得的值，即可求解； （2）把不等式化为，结合一元二次不等式的方法，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）当时，不等式的解集不能为，且没有最大值， 所以①不成立，满足条件只能为②③， 由不等式的解集为， 可令，（）， 因为的最大值为4，可得，解得， 所以. （2）由不等式，可化为， 当时，不等式等价于，解得，所以不等式的解集为； 当时，对于不等式，因为， 方程有两个不相等的实数根据，， 不等式的解集为； 当时，对于一元二次方程，可得， ①当时，，此时不等式的解集为； ②当时，，可得方程的两根为，， 此时不等式的解集为， 综上可得： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 一元二次不等式和基本不等式的实际应用 50．（23-24高一上·四川成都·期末）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，（），日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的日销售收入为505元． (1)求的值； (2)给出以下三个函数模型：①；②；③．根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 【答案】(1)； (2)且定义域为； (3)441 【分析】（1）根据题设有，即可求参数； （2）根据数据的增长趋势确定模型，再由求参数，即可得解析式和定义域； （3）根据（1）（2）得，结合相关函数的单调性求最小值. 【详解】（1）由题意，，可得； （2）由表格数据知：日销售量随时间先增后减，显然①②不符合， 所以，选③， 则，可得，即， 综上，且定义域为； （3）由题意， 所以， 当，， 当且仅当时取等号，此时最小值为441元； 当，在上单调递减， 此时最小值为元； 综上，的最小值是441. 51．（23-24高一上·四川绵阳·期末）我市某水产养殖户进行小龙虾养殖，已知小龙虾养殖成本为8元/千克，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元/千克）与时间第（天）之间的函数关系为：，为整数，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示： (1)求日销售量与时间的函数关系式？并注明的取值范围. (2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ (3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2280元？ 【答案】(1)，是整数； (2)28，2312元； (3)17 【分析】（1）设解析式为，代入､求解即可； （2）分、结合二次函数的性质求解即可； （3）法一：根据（2）的结论可得，求解即可； 法二：根据（2）的结论令，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）解：设解析式为， 将､代入， 得：， 解得：， ，其中是整数； （2）解：日销售利润，则， ①当时，， 当时，； ②当时，， 在时随的增大函数值反而减小 当时，； 第28天的日销售利润最大，最大利润为2312元； （3）解：法一：由（2）知： 当时，，当时，； 当时，， 由，得，， 又是整数， . 故该养殖户有17天日销售利润不低于2280元； 法二：由（2）知： 当时，，当时，； 当时，， 由，得. 由函数的图象可知， 当时，日销售利润不低于2280元. 又是整数，. 故该养殖户有17天日销售利润不低于2280元. 52．（23-24高一上·四川成都·期末）如图，矩形的周长为定值，把沿翻折，折过去后交边于点，设． (1)试用表示，并求的取值范围； (2)设的面积为，求关于的函数表达式及的最大值． 【答案】(1)，取值范围为； (2)，最大值为. 【分析】（1），则有，由可得，由矩形的性质及，可得，，再利用勾股定理即可得的表达式，再利用基本不等式求解范围即可； （2）由（1）和三角形的面积公式可得关于的函数表达式，利用基本不等式即可求最大值. 【详解】（1）解：如图，设， 则由已知条件，， 又因为， 所以，解得， 则， 由初中平面几何知识知道， 所以，， 在中，由勾股定理， 得 ， 即 化简、变形，得 ． 即； 因为≥=．                               等号成立的条件是，即， 故的取值范围是； （2）解：结合（1）可得的面积为： =， 故关于的函数表达式为， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最大值为． 53．（23-24高一上·四川巴中·期末）我县提出了“科技强县”的发展目标，通江县工业园区为响应这一号召，计划在年投资新技术，生产某种机器零件，通过市场分析，生产此种机器零件全年需投入固定成本万元，每生产万件机器零件，需另投入变动成本万元，且由市场调研知每件机器零件的批发价为元，且全年内生产的机器零件当年能全部销售完． (1)试写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业所获利润最大？并求出最大利润． （注：年利润=年销售收入固定成本变动成本） 【答案】(1) (2)当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 【分析】（1）根据题意，分和两种情况，求出的解析式，从而得解； （2）利用二次函数的性质与基本不等式分别求得两段解析式的最大值，从而比较得解. 【详解】（1）因为每件机器零件的批发价为元，所以万件机器零件的销售收入为万元， 依题意得，当时，， 当时，， 所以.； （2）当时，， 所以在上单调递增，所以； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 因为， 所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 54．（24-25高一上·四川南充·期中）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为. (1)求函数的解析式； (2)记函数，求的最大值及相应的的值. 【答案】(1) (2)时，有最大值为 【分析】（1）根据题意分、和三种情况，结合题意运算求解即可； （2）由（1）可得的解析式，分、和三种情况，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）设直线与轴交于点，与线段或交于点， 由已知有，，， 当时，； 当时，； 当时，； 所以. （2）由（1）可得. 当时，； 当时，，当且仅当，即时取等号， 此时； 当时，； 综上所述：当时，有最大值为 基本不等式综合应用 55．（23-24高一上·四川自贡·期末）若关于的不等式的解集是，则的值为（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 【答案】B 【解析】将分式型不等式转化为高次不等式，再由高次不等式解法判断即可 【详解】原不等式可化为，由不等式的解集是， 结合题意画出图像可知，. 故选：B. 【点睛】本题考查由分式不等式的解集求解参数，属于中档题 56．（23-24高一上·四川·期末）已知，，，则下列说法不正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为0 D．的最小值为 【答案】C 【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项正确. B选项，，当且仅当时等号成立，B选项正确. C选项，由于都是正数，所以C选项错误. D选项， ， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：C 【点睛】方法点睛： 均值不等式的应用：通过均值不等式来求解和的最大值，是解这类题目的常用技巧，对基本不等式的理解和应用是求解此类问题的关键，在利用基本不等式求解最值问题时，要注意等号成立的条件. 57．（23-24高一上·四川·期末）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先整理函数为，再由基本不等式课求解. 【详解】我们有. 而当时，等号成立. 所以的最大值是. 故选：D. 58．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】将变形为，利用基本不等式即可求最小值. 【详解】， 因为，所以， 当且仅当，解得时，等号成立． 故的最小值为1． 故选：D. 59．（23-24高一上·四川内江·期末）设，对于使成立的所有常数，我们把的最小值叫做的上确界．若，，且，则的上确界为（    ） A．－4 B．－3 C． D． 【答案】D 【分析】通过基本不等式可得，进而可得结论． 【详解】，且， ， 当且仅当即时等号成立， 则有，即得，即的上确界. 故选：D． 60．（23-24高一上·四川达州·期末）已知，， 若不等式 恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为25. 故选：B. 61．（23-24高一上·四川成都·期末）若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法构造函数，利用新函数的最值进行求解即可. 【详解】解：令，因为，则， 所以原不等式等价于在上恒成立； 令， 在时单调递减，在时单调递增， 所以当时， ， 若在上恒成立，则，所以. 故选：A 62．（23-24高一上·四川德阳·期末）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】A选项，是的两个根，由韦达定理得到方程组，得到；B选项，平方后，由基本不等式求出最大值，得到答案；C选项，变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值；D选项，先求出，变形得到，得到最小值. 【详解】A选项，由题意得是的两个根， 故，消去得，A错误； B选项，， ，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 则，故，B正确； C选项，， 由基本不等式得 ，当且仅当， 即时，等号成立，C正确； D选项，，，解得， ， 故当时，取得最小值，D错误. 故选：BC 63．（23-24高一上·四川成都·期末）已知，，，则以下正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为9 D．ab的最大值为 【答案】BC 【分析】利用不等式的性质及基本不等式即可求解. 【详解】对于A，，，，函数在上单调递增， 有，，即， 解得，A选项错误； 对于B，若，则，有，即， 解得，B选项正确； 对于C，由得，则， 当且仅当时等号成立，即，解得， 所以当时，有最小值9，C选项正确； 对于D，由C可知，时符合条件，此时，D选项错误. 故选：BC. 64．（23-24高一上·四川眉山·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】将已知式子适当变形替换，结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意，所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 65．（23-24高一下·四川成都·期末）已知，，记，，有下面四个结论： ①若，则的最大值为；             ②若，则的最小值为； ③若，则的最大值为1； ④若，则的最大值为． 则错误结论的序号是 ． 【答案】①② 【分析】把变形成，利用常数t值并借助“1”的妙用求解，再按t的不同取值计算即可判断；用常数t表示出xy的取值范围，然后将n变形成用xy表示，再借助函数、均值不等式求解计算并判断作答. 【详解】依题意，，则 ，当且仅当时取“=”， 对于①，时，有，①不正确； 对于③，时，有，③正确； 令，当且仅当时取“=”，即，， 则 对于②，时，， ，而， 由对勾函数知对是递增的，对是递减的， 则时，，无最小值，即②不正确； 对于④，时，， ，而， ，当且仅当，，即时取“=”， 则有时，，即④正确， 所以错误结论的序号是①②. 故答案为：①② 66．（23-24高一上·四川内江·期末）下面四个结论： ①若，则的最大值是； ②若，，都是正数，且，则的最小值是3； ③若，，，则的最小值是2； ④若，，，则的最小值是4； 其中正确结论的序号是 ．（把你认为正确的结论的序号都填上） 【答案】①②④ 【分析】由结合基本不等式求最值判断①；由，令则原式等价于结合基本不等式求最值判断②；由结合基本不等式求最值判断③；由题设，再应用“1”的代换求的最值，即可判断④. 【详解】对于①：由题设， 则， 当且仅当，即时等号成立，①正确； 对于②：由， 则，且， 令，则，， 所以原式为， 当且仅当，即时等号成立，②正确； 对于③：由且，则， 故， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值是4，③错误； 对于④：由题设，而， 又， 当且仅当时等号成立， 所以，④正确. 故答案为：①②④. 67．（23-24高一上·四川内江·期末）已知，，，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】将问题转化为求的最大值，利用不等式可得，即可求解. 【详解】由于，，且， ， 的最大值是2（当且仅当时，等号成立） 故答案为：2 含参一元二次不等式的解法 68．（23-24高一上·四川南充·期末）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由不等式解集可得是的两个根，利用根与系数关系求参数值； （2）由题意有，讨论、、求不等式解集. 【详解】（1）由题设的解集为，即是的两个根， 所以. （2）由题意， 当时，解得或，故解集为； 当时，解得，故解集为； 当时，解得或，故解集为； 69．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知函数，其中． (1)若关于x的方程有两实数根，且两实数根之积等于1，求k的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用二次方程的韦达定理即可得解； （2）分类讨论的取值范围，结合二次不等式的解法即可得解. 【详解】（1）因为， 所以由，得， 整理得， 因为方程有两实数根，即有两实数根， 所以，则， 又两实数根之积等于1，所以，解得或（舍去）， 经检验，满足要求， 所以. （2）因为， 所以由，得， 当时，由，解得； 当时，易知无解； 当时，由，解得； 综上，当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 70．（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数. (1)若，求函数在区间上的最大值与最小值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据二次函数的单调性来求最值； （2）分，，讨论，分别求解即可. 【详解】（1）对称轴为， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， ， ， ； （2）易知函数的判别式， ①当时，等价于， 则的解集为； ②当时，，方程的两根分别为 ，且， 则的解集为； ③当时，，则的解集为. 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 71．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知函数． (1)当时，试问x为何值时，的图象在x轴上方； (2)当时，求的解集． 【答案】(1)或 (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）由图象的位置关系可得不等式，结合不等式可得范围； （2）结合方程的根的大小，分类讨论可得解集. 【详解】（1）由的图象在x轴上方, 可得，即,                 解得或,             即所求为或. （2）由得 对应方程的根为.              ①当时，，所以不等式的解集为;              ②当时，，所以不等式的解集;              ③当时，，所以不等式的解集为.              综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 72．（22-23高一上·四川泸州·期末）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1)， (2)当时，解集为或，当时，解集为， 当时，解集为或． 【分析】（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理解方程组即可； （2）当时，，即，分类讨论、和三种情况下，即可求出一元二次不等式的解集． 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以，3是的两根， 所以，解得； （2）当时，，即， 当时，解得或， 当时，解得， 当时，解得或 综上可得，当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或． 73．（22-23高一上·四川凉山·期末）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求的零点； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1)和2 (2)答案见解析 【分析】（1）利用的解集为可得到开口向下，和为方程的两根，结合韦达定理即可求解 （2）将不等式整理成，然后分，和三种情况进行讨论即可 【详解】（1）因为的解集为， ∴开口向下，且和为方程的两根， ∴，解得， ∴的零点为和2． （2），即， ∵，∴ 当时，，不等式解集为：； 当时，，不等式解集为：． 当时，，不等式解集为：． 74．（22-23高一上·四川成都·期末）已知关于x的不等式的解集为或． (1)求a，b的值； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据不等式的解集和方程的根的关系，列方程组求a，b的值； （2）代入a，b的值，然后分与的大小关系讨论来解不等式. 【详解】（1）关于x的不等式的解集为或 即方程的根为， ， 解得； （2）由（1）得关于的不等式， 即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 75．（20-21高一下·四川成都·期末）设函数． (1)若对于一切实数x，恒成立，求m的取值范围； (2)解不等式． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由题意列不等式组求解 （2）根据m的取值分类讨论求解 【详解】（1）当时，显然满足题意， 当时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是 （2），化简得， ①时，解集为， ②时，，原不等式解集为， ③时，解集为， ④时，，原不等式解集为， ⑤时，，原不等式解集为， 76．（21-22高一下·四川成都·期末）设函数，. (1)解关于x的不等式； (2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析. (2). 【分析】（1）分、、三种情况求解即可； （2）由条件可将不等式化为，然后求出的最小值即可. 【详解】（1）当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）因为，所以由可得，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以. 新定义题 77．（23-24高一上·四川成都·期末）问题：正数，满足，求的最小值，其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题； (1)若正实数，满足，求的最小值； (2)若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 【答案】(1)9 (2)，理由见解析 (3)当时，取得最小值 【分析】（1）由题可知，进而利用基本不等式中1的妙用求解即可； （2）由，结合基本不等式求解判断即可； （3）令，则，利用（2）的结论求解即可． 【详解】（1）若正实数，满足，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是9． （2）∵正实数，，，满足，且， ∴， 又， 当且仅当且，即时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. （3）由（2）的结论可知，若正实数，，，满足，且， 则，当且仅当时等号成立. 要使有意义，需满足且，解得， 则，即， 所以. 令，所以，即，此时， 所以，由可得 ，即， ∵，∴， 当且仅当时等号成立. 由，得， 所以当时，取得最小值. 78．（23-24高一上·四川成都·期末）数学中有一种推理的方法叫“类比推理”，类比推理是根据两个对象有部分属性相同，从而推出其它属性也相同的推理.这是一种特殊到特殊的推理，推理的结果不一定正确，需要证明方可使用.比如：我们可以通过对二元二次不等式：的不同理解，推理出不同的结果： ①如果我们把不等式的右边看成的两个齐次式，那我们可以推理出二元三次不等式： ②如果我们把不等式的右边看成数字2与ab相乘，那我们可以推理出三元三次不等式： (1)请结合上文中①的推理结果，证明②中的“三元三次不等式”：． (2)已知函数． ①解不等式； ②利用（1）的结论，对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）先证明，，，再将三式相加结合基本不等式即可证明； （2）①移项通分化为整式不等式，解高次不等式即可得出答案；②由三元不等式求出在上的最小值，可以将题意转为在上恒成立，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）当时， ，当且仅当时等号成立， 得证①的推理结果， 同理有，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 三式相加可得 ， 又，，， 所以， 得，当且仅当时等号成立. （2）①，由得，即， 得， 则有，解得或或， 所以不等式解集为. ②因为当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，， 对任意恒成立，则， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 79．（23-24高一上·四川成都·期末）对于基本不等式，即当，时有（当且仅当时不等式取“=”），我们称为正数，的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由在1882年发表的论文中首次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的平方平均数大于等于它们的算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数，且当这些数全部相等时，等号成立． (1)请直接运用上述不等式链中某个的情形求的最小值； (2)写出时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明； (3)如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 【答案】(1) (2)，其中，， (3)切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大. 【分析】（1）根据已知条件给出的不等式求解即可； （2）根据已知条件给出的几何平均数大于等于调和平均数写出不等式即可，证明见详解； （3）设出小正方形的边长，表示出盒子的容积，利用不等式求解最值即可. 【详解】（1）由题意得 所以时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）由题意可知，当时， 调和平均数与几何平均数之间的关系为，其中，，， 当且仅当时，等号成立. 证明： 所以，，当且仅当时，等号成立. 根据题意，可设，，， 用，，替换，，可得， 当且仅当时，等号成立. 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立. （3）设小正方形的边长为，则盒子的高，底边边长为， 可得盒子的容积为，其中， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大，最大容积为. 80．（23-24高一上·四川宜宾·期末）高一某学生阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)证明：“”的充要条件是“”； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.记，，满足，对，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据的定义直接运算求解； （2）根据的定义结合充分必要条件分析证明； （3）首先表示出，，，结合基本不等式求出，即可得到的取值范围即可. 【详解】（1）因为，，且， 所以，； （2）若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的充分条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的必要条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. （3）依题意，，，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 又，对，恒成立， 所以，即的取值范围为. 81．（23-24高一上·四川成都·期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，的值域为，则称是该函数的“优美区间”. (1)求证：是函数的一个“优美区间”； (2)求证：函数不存在“优美区间”： (3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)3. 【分析】（1）根据给定条件，利用优美区间的定义推理论证即可. （2）假设函数存在“优美区间”，结合已知导出矛盾即可得证. （3）原题条件等价于是方程的两个同号且不等的实数根，结合判别式可得的范围，结合韦达定理可用表示，进一步即可求解. 【详解】（1）函数在上单调递增，又， 因此函数在上的值域为， 所以是函数的一个“优美区间”. （2）函数中，，则或， 则函数在上单调递增， 若是的“优美区间”，则， 即是方程的两个不等的同号实根， 方程，而方程无解， 所以函数不存在“优美区间”. （3）函数中，，则或， 函数在上单调递增， 而是函数的“优美区间”，则， 即是方程的两个不等的同号实根， 因此是方程，即的两个不等的同号实根， 则，解得或， ， ， 当且仅当时取等号， 所以当取得最大值时. 82．（23-24高三上·四川眉山·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义判断在区间上的单调性： (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得求实数的取值范围， 【答案】(1) (2)函数在上单调递增 (3)． 【分析】（1）设函数的图象的对称中心为，根据函数成中心对称的充要条件建立方程，结合待定系数法计算即可； （2）利用单调性定义直接作差证明即可； （3）根据条件先将问题等价变形为函数的值域为值域的子集，由（2）得值域结合二次函数的单调性分类讨论计算的值域计算即可. 【详解】（1）设函数的图象的对称中心为，则， 即， 整理得， 可得，解得， 所以的对称中心为； （2）函数在上单调递增； 证明如下：任取且， 则， 因为且，可得且 所以即 所以函数在上单调递增； （3）由对任意，总存在，使得 可得函数的值域为值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 所以原问题转化为在上的值域， ①当时，即时，在单调递增， 又由，即函数的图象恒过对称中心， 可知在上亦单调递增，故在上单调递增， 又因为，故， 因为，所以，解得， ②当时，即时，在单调递减，在单调递增， 因为过对称中心，故在递增，在单调递减， 故此时 欲使，只需且 解不等式，可得，又，此时； ③当时，即时，在递减，在上亦递减， 由对称性知在上递减，所以， 因为，所以解得， 综上可得：实数的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 不等式性质及应用 1．（23-24高一上·四川内江·期末）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二下·四川泸州·期末）设实数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·四川成都·期末）已知，且则不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·四川资阳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川宜宾·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 6．（23-24高一上·四川南充·期末）（多选）如果，那么下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·四川成都·期末）（多选）若， 则下列不等式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·四川眉山·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（21-22高二下·四川成都·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 一元二次不等式解法及求参数 10．（23-24高一上·四川绵阳·期末）“”是“不等式成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（23-24高一下·四川雅安·期末）关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 12．（21-22高一下·四川甘孜·期末）若不等式的解集为，则（　） A． B． C． D． 13．（21-22高一下·四川南充·期末）不等式的解集为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·四川内江·期末）已知不等式的解集为，则的解集为 ． 15．（23-24高一上·四川成都·期末）已知关于的不等式的解集为，则 . 16．（23-24高一上·四川成都·期末）已知关于的不等式的解集为，则错误的说法是（    ） A． B． C．的最小值为 D．的解集为或 17．（23-24高一上·四川泸州·期末）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为 D．若，则的最大值为1 18．（23-24高一上·四川成都·期末）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 19．（23-24高一上·四川成都·期末）已知关于的不等式的解集为，则错误的说法是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的解集为 一元二次不等式有解和恒成立 20．（22-23高一上·四川成都·期末）已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（21-22高一下·四川资阳·期末）若，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高一上·四川南充·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为或，若不等式的解集； (2)若，使得成立，求实数的取值范围. 23．（21-22高一下·四川凉山·期末）已知函数，a不为0． (1)当时，解不等式； (2)若恒成立，求a的取值范围． 24．（22-23高一下·四川巴中·期末）已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为或，求的值； （2）若不等式的解集是，求的取值范围． 25．（22-23高一下·四川雅安·期末）已知函数. （1）若，关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围； （2）若，解关于的不等式. 26．（22-23高一下·四川·期末）已知关于的不等式. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 27．（22-23高一下·四川自贡·期末）已知函数，其中为实常数． （1）时，求不等式的解集； （2）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 28．（22-23高一下·四川自贡·期末）已知函数，其中为实常数． （1）解关于不等式； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 基本不等式及应用 29．（23-24高一上·四川宜宾·期末）函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C． D． 30．（22-23高二下·四川成都·期末）已知正实数，满足，则下列不等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 31．（22-23高一上·四川眉山·期末）设，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 32．（22-23高一上·四川广安·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 33．（21-22高一下·四川宜宾·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 34．（23-24高一上·四川泸州·期末）（多选）已知，则下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一上·四川绵阳·期末）（多选）已知，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为1 36．（23-24高一上·四川成都·期末）（多选）若正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 37．（22-23高一上·四川凉山·期末）（多选）若a>0，b>0，且ab=a＋b＋n，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的最小值为 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为4 D．当时，ab的取值范围为 38．（22-23高一上·四川绵阳·期末）（多选）设正实数a，b满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为8 39．（22-23高一上·四川南充·期末）（多选）若正实数m、n，满足，则以下选项正确的有（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为2 40．（23-24高一上·四川凉山·期末）若，，，则的最小值是 ． 41．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知，，且满足，则的最小值为 . 一元二次函数的值域和单调性 42．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高一上·四川凉山·期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知二次函数满足，函数仅有一个零点，且零点为1． (1)求函数的解析式； (2)若函数在上的最小值为，求的值． 45．（22-23高一上·四川眉山·期末）（多选）已知函数，则“在上单调递减”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高一上·四川南充·期末）已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围. 47．（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数． (1)已知，若，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)函数的最大值． 48．（23-24高一上·四川雅安·期末）已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； (3)若在上有最大值9，求a的值. 49．（23-24高一上·四川成都·期末）已知二次函数（a，b，）只能同时满足下列三个条件中的两个：①；②不等式的解集为；③函数的最大值为4. (1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数的解析式； (2)求关于x的不等式（）的解集. 一元二次不等式和基本不等式的实际应用 50．（23-24高一上·四川成都·期末）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，（），日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的日销售收入为505元． (1)求的值； (2)给出以下三个函数模型：①；②；③．根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 51．（23-24高一上·四川绵阳·末）我市某水产养殖户进行小龙虾养殖，已知小龙虾养殖成本为8元/千克，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元/千克）与时间第（天）之间的函数关系为：，为整数，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示： (1)求日销售量与时间的函数关系式？并注明的取值范围. (2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ (3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2280元？ 52．（23-24高一上·四川成都·期末）如图，矩形的周长为定值，把沿翻折，折过去后交边于点，设． (1)试用表示，并求的取值范围； (2)设的面积为，求关于的函数表达式及的最大值． 53．（23-24高一上·四川巴中·期末）我县提出了“科技强县”的发展目标，通江县工业园区为响应这一号召，计划在年投资新技术，生产某种机器零件，通过市场分析，生产此种机器零件全年需投入固定成本万元，每生产万件机器零件，需另投入变动成本万元，且由市场调研知每件机器零件的批发价为元，且全年内生产的机器零件当年能全部销售完． (1)试写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业所获利润最大？并求出最大利润． （注：年利润=年销售收入固定成本变动成本） 54．（23-24高一上·四川南充·期末）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为. (1)求函数的解析式； (2)记函数，求的最大值及相应的的值. 基本不等式综合应用 55．（23-24高一上·四川自贡·期末）若关于的不等式的解集是，则的值为（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 56．（23-24高一上·四川·期末）已知，，，则下列说法不正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为0 D．的最小值为 57．（23-24高一上·四川·期末）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 58．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 59．（23-24高一上·四川内江·期末）设，对于使成立的所有常数，我们把的最小值叫做的上确界．若，，且，则的上确界为（    ） A．－4 B．－3 C． D． 60．（23-24高一上·四川达州·期末）已知，， 若不等式 恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 61．（23-24高一上·四川成都·期末）若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 62．（23-24高一上·四川德阳·期末）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 63．（23-24高一上·四川成都·期末）已知，，，则以下正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为9 D．ab的最大值为 64．（23-24高一上·四川眉山·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 65．（23-24高一下·四川成都·期末）已知，，记，，有下面四个结论： ①若，则的最大值为；             ②若，则的最小值为； ③若，则的最大值为1； ④若，则的最大值为． 则错误结论的序号是 ． 66．（23-24高一上·四川内江·期末）下面四个结论： ①若，则的最大值是； ②若，，都是正数，且，则的最小值是3； ③若，，，则的最小值是2； ④若，，，则的最小值是4； 其中正确结论的序号是 ．（把你认为正确的结论的序号都填上） 67．（23-24高一上·四川内江·期末）已知，，，则的最大值为 ． 含参一元二次不等式的解法 68．（23-24高一上·四川南充·期末）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 69．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知函数，其中． (1)若关于x的方程有两实数根，且两实数根之积等于1，求k的值； (2)解关于x的不等式． 70．（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数. (1)若，求函数在区间上的最大值与最小值； (2)求不等式的解集. 71．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知函数． (1)当时，试问x为何值时，的图象在x轴上方； (2)当时，求的解集． 72．（22-23高一上·四川泸州·期末）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； (2)当时，解关于x的不等式． 73．（22-23高一上·四川凉山·期末）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求的零点； (2)若，解关于的不等式． 74．（22-23高一上·四川成都·期末）已知关于x的不等式的解集为或． (1)求a，b的值； (2)若，解关于的不等式． 75．（20-21高一下·四川成都·期末）设函数． (1)若对于一切实数x，恒成立，求m的取值范围； (2)解不等式． 76．（21-22高一下·四川成都·期末）设函数，. (1)解关于x的不等式； (2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围. 新定义题 77．（23-24高一上·四川成都·期末）问题：正数，满足，求的最小值，其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题； (1)若正实数，满足，求的最小值； (2)若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 78．（23-24高一上·四川成都·期末）数学中有一种推理的方法叫“类比推理”，类比推理是根据两个对象有部分属性相同，从而推出其它属性也相同的推理.这是一种特殊到特殊的推理，推理的结果不一定正确，需要证明方可使用.比如：我们可以通过对二元二次不等式：的不同理解，推理出不同的结果： ①如果我们把不等式的右边看成的两个齐次式，那我们可以推理出二元三次不等式： ②如果我们把不等式的右边看成数字2与ab相乘，那我们可以推理出三元三次不等式： (1)请结合上文中①的推理结果，证明②中的“三元三次不等式”：． (2)已知函数． ①解不等式； ②利用（1）的结论，对任意恒成立，求实数的取值范围． 79．（23-24高一上·四川成都·期末）对于基本不等式，即当，时有（当且仅当时不等式取“=”），我们称为正数，的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由在1882年发表的论文中首次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的平方平均数大于等于它们的算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数，且当这些数全部相等时，等号成立． (1)请直接运用上述不等式链中某个的情形求的最小值； (2)写出时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明； (3)如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 80．（23-24高一上·四川宜宾·期末）高一某学生阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)证明：“”的充要条件是“”； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.记，，满足，对，恒成立，求的取值范围. 81．（23-24高一上·四川成都·期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，的值域为，则称是该函数的“优美区间”. (1)求证：是函数的一个“优美区间”； (2)求证：函数不存在“优美区间”： (3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值. 82．（23-24高一上·四川眉山·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义判断在区间上的单调性： (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得求实数的取值范围， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$