2025年山东省春季高考数学模拟试题（4）

山东春季高考数学模拟试题（4） 一、单选题 1．集合的子集个数有（    ）个． A．6 B．7 C．8 D．9 2．根据下表数据，通过最小二乘法求得关于的线性回归方程为：，则（    ） 1 2 3 4 0.6 0.8 1.1 1.5 A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．1 3．若，则（    ） A．2 B． C． D．50 4．已知角的终边过点，则（   ） A． B．0 C． D． 5．圆关于原点对称的圆的方程为（    ）． A． B． C． D． 6．已知，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为(    ).    A． B． C． D． 8．下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 9．一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为，第二次向上的点数记为，在直角坐标系中，以为坐标的点落在直线上的概率为（    ） A． B． C． D． 10．已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 11．现将甲乙丙丁四个人全部安排到市､市､市三个地区工作，要求每个地区都有人去，则甲乙两个人至少有一人到市工作的安排种数为（    ） A．12 B．14 C．18 D．22 12．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 ，则展开式中常数项为 A． B． C． D． 13．设均为非零实数，则直线和在同一坐标系下的图形可能是（    ）． A． B． C． D． 14．已知角的终边与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 15．已知定义域为R的奇函数在单调递减，且，则满足的x取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．若关于x的不等式的解集为，则关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．在上单调递减 B．有2个零点，分别为1和3 C．在上单调递增 D．最小值是 18．在递增等比数列中，，且前项的和，则项数等于 A．5 B．6 C．7 D．8 19．正三棱锥的侧棱长为，底面边长为，则顶点到底面的距离为（     ） A． B． C． D． 20．某人进行设计训练，一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 21．从某小学所有学生中随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图（如图），其中样本数据分组，，，，，若要从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取12人参加一项活动，则从身高在内的学生中抽取的人数应为 ． 22．如图，在中，两直角边，，点E，F分别为斜边AB的三等分点，则 . 23．山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为米，塔顶在地面上的射影为，在地面上再确定一点（，，三点共线），测得约为58米，在点处测得塔顶的仰角分别为30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为 米．    24．已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数据的方差为 ． 25．斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，为线段的中点，则椭圆的离心率为 ． 三、解答题 26．已知指数函数（，且）的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）设函数，，求函数的值域． 27．如图所示，在正三棱柱中，D是的中点，． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角． 28．已知，，. (1)若，求的值； (2)若函数，，求的最小正周期和单调递减区间. 29．设数列是公差不为0的等差数列，为其前项的和，满足：，. (1)求数列的通项公式及前项的和； (2)设数列满足，其前项的和为，当为何值时，有. 30．已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，君，求点到直线的距离的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B B B A B B B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D D A A B B C A B D 1．C 【分析】一个集合中元素个数有个，则有个子集，得到答案 【详解】的子集有个. 故选：C. 2．B 【分析】先计算样本中心点，再根据样本中心点在回归直线方程上代入求解即可. 【详解】因为，， 所以，解得. 故选：B. 3．B 【解析】根据复数的运算法则求出，再由模长公式即可得结果. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的运算､复数的模，考查运算求解能力､数学运算核心素养，属于基础题. 4．B 【分析】先根据三角函数定义求得，然后利用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】由角的终边过点，则，所以， 所以. 故选：B 5．B 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程. 【详解】由知其圆心为，半径； 圆心关于原点对称的点为，即所求圆的圆心为， 又所求圆的半径， 所求圆的方程为：. 故选：B. 6．B 【分析】首先求出的等价条件，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：由，解得，即，因为， 即由推得出，由推不出， 所以是的必要不充分条件； 故选：B 7．A 【分析】先用面积公式得到的面积，把斜二测画出的三角形还原原图象，求得的面积，计算判断即可. 【详解】由，则， 如图，作出还原后，则， 故，所以. 故选：A.    8．B 【分析】利用不等式的性质结合反例、作差法一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，但前述不等式等号不能同时成立， 则，故B正确； 对于C，若，则，所以C错误； 对于D，若，则，故D错误. 故选：B 9．B 【分析】计算出样本点总数，列举出符合条件的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为，第二次向上的点数记为， 所有的样本点的个数为， 其中满足的样本点为：、、，共个， 故所求概率为. 故选：B. 10．B 【分析】由抛物线定义及可得，进而将点代入抛物线方程即可求得，进而求解C的方程. 【详解】由抛物线的定义，可知，又，， 则，即， 由点在C上，得，结合，解得. 所以C的方程为. 故选：B. 11．D 【分析】分三种情况，结合排列组合知识进行求解出每种情况下的安排种数，相加即可. 【详解】若甲乙两人中的1人到市工作，有种选择，其余3人到另外两个地方工作，先将3人分为两组，再进行排列，有安排种数，故有种； 若甲乙两人中的1人到市工作，有种选择，丙丁中一人到市工作，有种选择，其余2人到另外两个地方工作，有种选择，故安排种数有种； 若安排甲乙2人都到市工作，其余丙丁2人到另外两个地方工作，安排种数有种， 故总共有12+8+2=22种. 故选：D 12．D 【分析】由题意求得n的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项． 【详解】在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为， 令，得各项系数和为，二项式系数和为，，得， 故展开式的通项公式：， 令6﹣2r＝0，求得，可得展开式中常数项为：. 故选D. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 13．A 【分析】假设每个选项中的一次函数图象正确，可得的正负，由此可确定二次函数的开口方向和对称轴位置，可排除得到最终结果. 【详解】对于A，若图象正确，则，， 开口方向向上，对称轴为，与图象符合，A正确； 对于B，若图象正确，则，， 开口方向向下，与图象不符，B错误； 对于C，若图象正确，则，， 开口方向向上，与图象不符，C错误； 对于D，若图象正确，则，， 开口方向向上，与图象不符，D错误. 故选：A. 14．A 【分析】根据题意，由两直线垂直可得角的终边在直线上，即可得到结果. 【详解】由于角的终边与直线垂直，则角的终边在直线上， 不论角的终边在第一象限还是第三象限，都有. 故选：A． 15．B 【分析】根据为奇函数可得函数在上也单调递减，分三种情况讨论，结合单调性分析即得解 【详解】为奇函数，且在单调递减， ，，且在上单调递减， 可得或或， 即或或， 即 故选：B 16．B 【分析】根据，结合二倍角的正弦公式与同角三角函数的关系求解即可. 【详解】由可得，故. 故选：B 17．C 【分析】根据二次函数性质逐项判断可得答案. 【详解】方程的两个根是1和3，则函数图象的对称轴方程是，是开口向上的抛物线，A正确；C错误； 函数的两个零点是1和3，因此B正确；又，，，即，为最小值，D正确． 故选：C. 18．A 【详解】试题分析：由，且，得，又，即，且，∴，故选A. 考点：1、等比数列的通项公式和性质；2、等比数列前项和公式. 【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、等比数列的前 项和公式，属于中档题.等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 19．B 【分析】设点在底面内的射影点为，则为正三角形的中心，连接，并延长交于点，则为的中点，计算出的长，利用勾股定理可求得的长，即为所求. 【详解】设点在底面内的射影点为，则为正三角形的中心， 连接，并延长交于点，则为的中点，如下图所示：    因为是边长为的等边三角形，为的中点，则， 且， 因为为正的中心，则， 因为平面，平面，所以，， 由勾股定理可得. 因此，顶点到底面的距离为. 故选：B. 20．D 【分析】根据二项分布的概率公式计算即可得答案. 【详解】解：因为一次击中目标的概率为， 所以经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为. 故选：D 21． 【分析】先求得，然后根据分层抽样的知识求得正确答案. 【详解】依题意，解得， 所以，，三组的频率分别为， 所以从身高在内的学生中抽取的人数应为人. 故答案为： 22．10 【分析】根据向量的线性运算得，，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为点，分别为斜边的三等分点， 则， ， 所以. 故答案为：10 23． 【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形的性质建立方程求解. 【详解】如图，过点A作BD的平行线交PD于点E，设，    在中，，所以， 所以在中，， 因为，所以，解得， 所以在中，. 故答案为：. 24． 【分析】先求出这个数据的平均数为，此时这个数据的方差为，由此求出结果 【详解】某个数据的平均数为，方差为，现又加入一个新数据， 则这个数据的平均数为 此时这个数据的方差为 故答案为 【点睛】本题主要考查了平均数和方差的计算公式，属于基础题． 25．/ 【分析】令，应用点差法及直线斜率、中点坐标得，即可求离心率. 【详解】令，则，可得， 所以，又为线段的中点，且直线斜率为， 所以，则. 故答案为： 26．（1）；（2）． 【解析】（1）利用待定系数法求出参数的值，即可求出函数解析式； （2）由（1）可知，再结合指数函数的性质计算可得； 【详解】解：（1）设（，且），因为其图象过点，则，    计算得：，∵，且，∴， 所以． （2）依题意可知，由函数为减函数可知： 函数为减函数，当时，； 又， ∴，所以的值域为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，以及指数函数的性质的应用，属于中档题. 27．(1)证明详见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点E连接DE，推导出DE∥AB1，由此证明AB1∥平面BDC1； （2）由（1）知，异面直线与所成的角即直线DE与所成角，在中求解即可知异面直线所成角. 【详解】（1）如图，连接交于点E，连接DE， 由正三棱柱ABC-A1B1C1可知， 点E为B1C的中点，又D为AC的中点， 所以DE∥AB1，且平面BDC1， 平面BDC1，所以AB1∥平面BDC1 （2）由（1）可知异面直线AB1与BD所成角即直线DE与BD所成角. 由正三棱柱可知，， 所以，. 又因为，，所以，所以． 在等边三角形中，D为中点，则，，得. 在中，，所以， 异面直线与所成的角为. 28．(1) (2)，单调递减区间是， 【分析】（1）利用的充要条件得到，化简求出tanx的值； （2）利用向量的数量积公式求出的解析式，利用两个角和的正弦公式及二倍角公式化简，利用周期公式求出周期，利用整体处理的思路求出函数的单调区间． 【详解】（1）解：因为，且， 可得， 即，即， 所以， 所以； （2）解：因为， ， 所以 ， 所以的最小正周期 令， 解得，， 所以的单调递减区间是，. 29．(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式列方程求基本量，即可得通项公式和前项的和； （2）由（1）得，应用等比数列前n项和公式求，由能成立求的范围. 【详解】（1）由数列是公差不为0的等差数列，设， 由，得：，，， 联立解得，. ，. （2）由（1）得：， ，. 数列是公比为4的等比数列，首项为， . 由，可得：， 时，有. 30．(1) (2) 【分析】（1）直线的斜率之积为3，构造方程求出，再将点代入方程即可；（2）设直曲联立，借助韦达定理，由，所以，结合韦达定理，求出，再用点到直线距离计算即可. 【详解】（1）由题意可得， 则直线的斜率，直线的斜率． 因为直线的斜率之积为3，所以，解得． 因为点在双曲线上，所以，解得． 故双曲线的标准方程为． （2）设直线 联立整理得 则 所以． 因为，所以， 所以 即 化简得，故． 由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离． 因为，所以，所以， 即点到直线的距离的最大值是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$