青岛版九年级上学期期末必刷易错96题（32个考点专练）（期末复习专项训练）九年级数学上学期青岛版

2024-2025学年青岛版九年级上学期期末知识大串讲【期末押题】 必刷易错96题（32个考点专练） 目录 考点1：相似多边形的性质 2 考点2：相似三角形的判定与性质 2 考点3：相似三角形的应用 3 考点4：几何变换综合题 4 考点5：作图-位似变换 6 考点6：同角三角函数的关系 7 考点7：特殊角的三角函数值 7 考点8：解直角三角形 8 考点9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 8 考点10：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 9 考点11：解直角三角形的应用-方向角问题 10 考点12：垂径定理的应用 12 考点13：圆心角、弧、弦的关系 12 考点14：三角形的外接圆与外心 13 考点15：圆周角定理 14 考点16：圆内接四边形的性质 15 考点17：相交弦定理 16 考点18：切线的判定与性质 16 考点19：切线长定理 18 考点20：切割线定理 18 考点21：三角形的内切圆与内心 19 考点22：弧长的计算 20 考点23：扇形面积的计算 20 考点24：正多边形和圆 21 考点25：解一元二次方程-直接开平方法 22 考点26：解一元二次方程-配方法 22 考点27：配方法的应用 23 考点28：解一元二次方程-公式法 23 考点29：解一元二次方程-因式分解法 23 考点30：根的判别式 24 考点31：根与系数的关系 24 考点32：一元二次方程的应用 24 考点1：相似多边形的性质 1．（2022秋•渠县校级期末）如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形DABC相似，则AB：BC的值为（　　） A．2 B． C． D． 2．（2022春•鸡冠区校级期末）一个正方形的边长是8cm．如果把它按1：4缩小，那么边长变为 　 　cm，面积变为 　 　cm2． 3．（2023秋•谢家集区期末）一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形A1B1C1D1最长边为15，则四边形A1B1C1D1的最短边长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 考点2：相似三角形的判定与性质 4．（2023秋•桐柏县期末）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论： ①△ADE∽△ABC；②；③．其中正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．（2024春•长兴县期末）如图，将三角形ABC（AC＞AB）沿BC方向平移得到△DEF，DE与AC交于点M．此时满足．若AC﹣AB＝6，则四边形DMCF与四边形ABEM周长之差为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2024春•江岸区期末）已知三角形BCD，E为直线BC上一点，将线段CD沿CB方向平移至EA，直线BD与直线AE交于点O，点N是直线CD上一点，若，三角形AOD与三角形BOE面积和为13，当BN的最小值为10时，则AE的长为 　 　． 考点3：相似三角形的应用 7．（2023秋•巴中期末）如图，刘强在巴中塔子山游乐园游玩时，为了测量彩虹桥高度，在地面C处放一面镜子，通过镜子恰好看到彩虹桥顶部A，测得镜子与彩虹桥的距离BC＝12米，他与镜子的距离CE＝1.5米．已知他的眼睛距离地面的高度DE＝1.7米，则彩虹桥的高度AB为 　 　米． 8．（2023秋•连平县期末）在如图所示的卡钳中AD＝BC，，用该卡钳测量某个零件的内孔直径AB，量得CD的长为7cm，则AB的长为 　 　cm． 9．（2023秋•洛阳期末）如图，是可折叠的简易凳子侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图中的数据可得凳子高度是 　 　米． 考点4：几何变换综合题 10．（2023春•武侯区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（0，2）．若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE＝PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P在移动的过程中，使△PBF成为直角三角形，则点F的坐标是　 　． 11．（2023春•二道区校级期末）将两个全等的直角三角形ABC和直角三角形DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠ABC＝∠DBE＝60°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F． （1）求证：EF＝FC． （2）如图②，若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角a，且0°＜a＜60°，其他条件不变，证明：AF+EF＝DE． （3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③．你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程：若不成立，请直接写出此时AF、EF与DE之间的关系． 12．（2023秋•船营区校级期末）性质探究：如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，连接BD，AB：BC＝2：1，则边BD、与边AB的长度之比为 　 　． 理解运用：（1）若△ABD的周长为8+4，则它的面积为 　 　； （2）如图②，若将△BCD沿BD折叠，点C落在点E处，连接BE，AE． ①求证：∠DBE+∠DAE＝∠BEA； ②在边BE，AE上分别取中点F，G，连接FG．若BD＝10，直接写出线段FG的长； 类比拓展：底角为α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 　 　（用含a的式子表示）． 考点5：作图-位似变换 13．（2021秋•凤阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，﹣1）． （1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大到原来的两倍（即新图与原图的相似比为2），画出放大后的△OB′C′； （2）在（1）的基础上写出点B′，C′的坐标； （3）在（1）的基础上，如果△OBC内部一点M的坐标为（a，b），请写出M的对应点M′的坐标． 14．（2023秋•章贡区期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点． （1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1； （2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1； （3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是　 　个平方单位． 15．（2021秋•新邱区期末）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） （1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标； （2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积． 考点6：同角三角函数的关系 16．（2023秋•东阳市期末）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA的值为（　　） A． B． C． D．2 17．（2022秋•西安期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 18．（2023秋•长安区期末）已知∠A是锐角，，则tanA的值为 　 　． 考点7：特殊角的三角函数值 19．（2024春•萨尔图区校级期末）若，则锐角α的度数是 　 　． 20．（2023秋•慈溪市期末）计算：2sin60°+cos230°﹣tan60°+tan45°． 21．（2023秋•西安期末）计算：6sin60°+2tan45°﹣4cos60°． 考点8：解直角三角形 22．（2023秋•潜山市期末）BD是Rt△ABC的斜边AC上的高，∠A≠45°，下列比值中与sinA不相等的是（　　） A． B． C． D． 23．（2023秋•宁明县期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，tanA，则BC的长为 　 　． 24．（2023秋•宿松县期末）∠α在正方形网格中位置如图所示，则cos（90°﹣a）的值为 　 　． 考点9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 25．（2022秋•朝阳区校级期末）如图为固定电线杆AC，在离地面高度为7米的A处引拉线AB，使拉线AB与地面BC的夹角为α，则拉线AB的长为（　　） A．7sinα米 B．7cosα米 C．7tanα米 D．米 26．（2024春•郧西县期末）如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面为AC，地面为BC，且BC：AC＝4：5，则坡面AC的长度为（　　）m． A．8 B． C．10 D． 27．（2023秋•永州期末）如图，已知斜坡AB的坡度为，若铅直高度BC为150m，则坡长AB为 　 　m． 考点10：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 28．（2023秋•靖江市期末）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，无人机与楼之间的水平距离为120m，则这栋楼的高度是 　 　m．（结果保留根号） 29．（2023秋•嘉定区期末）一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（　　） A．6000米 B．12000米 C．米 D．米 30．（2023秋•盐山县期末）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC．如图，无人机在P处测得正前方河流的点B处的俯角∠DPB＝α，点C处的俯角∠DPC＝45°，点A，B，C在同一条水平直线上．若AP＝45m，tanα＝3，则河流的宽度BC为（　　） A．30m B．25m C．20m D．15m 考点11：解直角三角形的应用-方向角问题 31．（2023秋•青阳县期末）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（　　） A．80（）米 B．40（）米 C．（120﹣40）米 D．40（）米 32．（2023秋•细河区期末）如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在东北方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C周围25海里内有暗礁．（参考数据：1.732，1.414，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259．） （1）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． （2）如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由． 33．（2023秋•青岛期末）如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小红自小区北门A处出发，沿南偏西53°方向前往小区居民活动中心C处；小强自南门B处出发，沿正西方向行走300m到达D处，再沿北偏西30°方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门A与南门B之间的距离．（结果保留整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3 考点12：垂径定理的应用 34．（2023秋•淄博期末）如图，圆柱形水管内积水的水平面宽AB＝8cm，水深CD＝2cm．则水管的半径是（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 35．（2024•海淀区）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 　 　cm． 36．（2023秋•白水县期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧，点O是这段弧所在圆的圆心，点C是上一点，OC⊥AB，垂足为点D，AB＝300m，CD＝50m，则弧所在圆的半径是（　　） A．150m B．250m C．300m D．350m 考点13：圆心角、弧、弦的关系 37．（2022秋•庐阳区期末）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，CE＝DE，则下列说法错误的是（　　） A． B．OE＝BE C．CA＝DA D．AB⊥CD 38．（2021秋•藤县期末）如图，OA，OB，OC是⊙O的半径，，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．求证：AD＝BE． 39．（2023秋•凤阳县期末）如图，已知⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是（　　） A．x B．0＜x C．﹣1≤x≤1 D．x 考点14：三角形的外接圆与外心 40．（2023秋•丰顺县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆． （1）求⊙O的半径； （2）若在同一平面内的⊙P也经过B、C两点，且PA＝2，请直接写出⊙P的半径的长． 41．（2021秋•通州区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，在同一平面内，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数）．那么常数a的值等于 　 　． 42．（2019春•海淀区校级期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，﹣3），C（3，﹣3）则△ABC外接圆半径的长度为　 　． 考点15：圆周角定理 43．（2023秋•上城区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE．若CE平分∠OCD，则∠A：∠E＝（　　） A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：6 44．（2023秋•上虞区期末）如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝α，则MN可用α表示为（　　） A．rsinα B． C．rcosα D． 45．（2023秋•阿瓦提县校级期末）如图，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝50°，则∠BAC＝　 　度． 考点16：圆内接四边形的性质 46．（2023秋•博白县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E． （1）求证：CD平分∠ACE； （2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长． 47．（2023秋•蒙阴县期末）如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M，其中正确的结论是 　 　（填序号）． ①∠MAC＝∠PBC； ②△ABC是等边三角形； ③PC＝PA+PB； ④△PCM是等边三角形． 48．（2023秋•西湖区期末）四边形ABCD内接于⊙O，∠A：∠B：∠C：∠D＝3：m：4：n，则m，n满足条件（　　） A．3m＝4n B．4m＝3n C．m+n＝7 D．m+n＝180° 考点17：相交弦定理 49．（2023秋•福田区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，AB＝10cm，弦CD⊥AB，垂足为E，且AE：EB＝2：3，则AC＝（　　） A．3cm B．4cm C．cm D．cm 50．（2023秋•和平区期末）如图，⊙O中，两条弦AB、CD相交于P点，若PA＝4，PB＝3，PC＝6，则CD的长为　 　． 51．（2023秋•余姚市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP：PB＝1：4，CD＝8，则AB＝　 　． 考点18：切线的判定与性质 52．（2021秋•灌南县期末）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点，ED与AB的延长线交于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠F＝30°，BF＝2，求△ABC外接圆的半径． 53．（2021秋•潜山市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径作⊙O交BC于点D． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）求CD的长． 54．（2021秋•西城区期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长． 考点19：切线长定理 55．（2022秋•河西区校级期末）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，已知∠P＝60°，OA＝3，那么AB的长为　 　． 56．（2023秋•黔南州期末）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（　　） A． B．2 C． D．3 57．（2023秋•康县期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝　 　°． 考点20：切割线定理 58．（2013秋•安龙县校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为　 　． 59．（2013•莆田模拟）如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝4，则PA的长为　 　． 60．（2009秋•锦江区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点D，E，已知圆O的半径为．则DE的长为 　 　． 考点21：三角形的内切圆与内心 61．（2021秋•海港区期末）下列说法： ①平分弦的直径垂直于弦 ②三点确定一个圆， ③相等的圆心角所对的弧相等 ④垂直于半径的直线是圆的切线 ⑤三角形的内心到三条边的距离相等 其中不正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 62．（2021秋•宜春期末）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．任何三角形有且只有一个内切圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．正多边形一定是中心对称图形 63．（2023秋•荣成市期末）如图，Rt△ABC的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点F，若AD＝4，BD＝5，则△ABC的面积为 　 　． 考点22：弧长的计算 64．（2022秋•永昌县期末）如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）三点，请在网格中进行下列操作： （1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，写出D点坐标为　 　． （2）连接AD、CD，求⊙D的半径及弧AC的长． 65．（2021秋•新昌县期末）已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则弧长为（　　） A．cm B．2πcm C．4cm D．cm 66．（2022秋•海曙区期末）若扇形的弧长为π，圆心角为45°，则该扇形的半径为 　 　． 考点23：扇形面积的计算 67．（2021秋•凤山县期末）如图，正方形ABCD的边长为1，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径画弧，两弧相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 　 　． 68．（2021秋•洛阳期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A'，连结A'C，A'P．点P到达点B时，线段A'P扫过的面积为 　 　． 69．（2022秋•南昌期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠B＝72°，连接AC． （1）∠ADC＝　 　°，∠BAC＝　 　°； （2）若AB＝8，∠DCA＝27°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 考点24：正多边形和圆 70．（2023秋•金州区期末）正六边形的半径是，则它的面积为（　　） A． B． C． D． 71．（2020秋•任城区期末）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝　 　cm． 72．（2022秋•兴隆县期末）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是　 　度． 考点25：解一元二次方程-直接开平方法 73．（2023秋•建平县期末）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个不相等的根分别是2m+1与m﹣7，则为 　 　． 74．（2023秋•福州期末）若2是关于x的方程x2﹣c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（　　） A．x＝﹣2 B． C．x＝2 D．x＝4 75．（2022春•定远县期末）如果关于x的方程（x﹣9）2＝m+4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m≥3 C．m＞﹣4 D．m≥﹣4 考点26：解一元二次方程-配方法 76．（2023秋•酒泉期末）一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可化为（　　） A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝﹣14 D．（x﹣3）2＝4 77．（2024春•温州期末）用配方法解方程x2+6x﹣1＝0，变形后结果正确的是（　　） A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝7 78．（2024春•南关区校级期末）解方程： （1）； （2）x2﹣6x+1＝0． 考点27：配方法的应用 79．（2024春•姑苏区校级期末）已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，则a+b﹣c的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 80．（2023秋•江岸区期末）请同学们学习材料①若x﹣y＞0，则x＞y；②．解决以下问题：A＝x2+2y2，B＝2xy+y﹣m，当A＞B恒成立时，m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m＞1 81．（2024春•石景山区期末）已知：a＝﹣1，b＝m﹣2，c＝2m，设M＝b2﹣4ac．求M的取值范围． 考点28：解一元二次方程-公式法 82．（2023秋•开封期末）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．x2+2x+4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0 83．（2023秋•湘潭期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大值，如：max{2，5}＝5．按照这个规定，方程max{1，x}＝x2﹣3的解为 　 　． 84．（2023秋•久治县期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　 　． 考点29：解一元二次方程-因式分解法 85．（2023秋•汶上县期末）方程（x﹣3）（2x﹣4）＝0的根是（　　） A．x1＝﹣3，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝2 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣3，x2＝2 86．（2023秋•澄海区期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小值．如：min{2，﹣3}＝﹣3，按照这个规定，方程min{x，x﹣1}＝x2﹣3的解为 　 　． 87．（2024春•大观区校级期末）一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（　　） A．﹣1 B．0 C．1和2 D．﹣1和2 考点30：根的判别式 88．（2023春•丽水期末）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac＝0时，方程的解为（　　） A．， B．， C． D． 89．（2023秋•河东区期末）下列一元二次方程中，能求出实数根的是（　　） A．a2﹣4+6a＝0 B．b2+1+b＝0 C．4x2﹣8x+9＝0 D．2m2+4m+3＝0 90．（2023秋•渝中区期末）关于x的一元二次方程．若p＝2，q＝﹣2，则原方程有两个 　 　（填“相等”或“不相等”）的实数根；若原方程无实数根，则p+q的取值范围是 　 　． 考点31：根与系数的关系 91．（2023秋•隆昌市校级期末）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如：3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两个实数根，则的值为（　　） A． B．﹣3 C． D． 92．（2023秋•温江区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，且x1+x2﹣x1•x2＝﹣5，则实数m＝　 　． 93．（2022春•蚌埠期末）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．3 考点32：一元二次方程的应用 94．（2024春•南通期末）【综合与实践】 任务主题：某校数学活动小组探究“西瓜购买、销售方案的选择”． 数据信息：A超市和B水果店售卖同品种西瓜． 信息1：A超市西瓜的售价为4元/千克，无论购买多少均不打折； 信息2：B水果店西瓜的售价为5元/千克，若一次购买3千克以上，超过3千克的部分打折销售； 信息3：B水果店销售西瓜的部分小票统计如下表（精确到1千克）： 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 … 付款金额/元 5 10 15 18.5 22 25.5 … 问题解决： 任务1：请分别直接写出在A超市与B水果店购买西瓜的付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数关系式： 任务2：某酒店承办活动需购买一批西瓜，请通过计算说明选择哪家更合算： 任务3：已知西瓜的进货成本为3元/千克，市场调研发现：如果A超市以4元/千克销售，平均每天可以售出200千克．为了减少库存，超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低0.1元，销售量就会增加20千克，在尽可能减少库存的情况下，该超市将售价定为多少元时，每天的销售利润为168元？ 95．（2024春•庐阳区校级期末）岳西县被誉为“中国茭白之乡”，该县某村今年种植12万千克的茭白，计划在A市和B市全部销售，若在A市销售，每千克茭白的利润为2元，若在B市销售，平均每千克茭白的利润y（元）与B市的销售量x（万千克）之间的关系满足：y＝﹣0.2x+4.2． （1）若在A市销售茭白2万千克，则销售完这批茭白共获利多少万元； （2）若该村销售完所有茭白共获利28.8万元，求B市销售茭白多少万千克； （3）若在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，且m≠n，请直接写出m与n所满足的关系式：　 　． 96．（2023秋•双流区期末）某快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本），若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店每天的利润． （1）若每份套餐售价不超过10元，直接写出y与x的函数关系式为 　 　． （2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客；若不能，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年青岛版九年级上学期期末知识大串讲【期末押题】 必刷易错96题（32个考点专练） 目录 考点1：相似多边形的性质 2 考点2：相似三角形的判定与性质 3 考点3：相似三角形的应用 6 考点4：几何变换综合题 8 考点5：作图-位似变换 14 考点6：同角三角函数的关系 17 考点7：特殊角的三角函数值 18 考点8：解直角三角形 19 考点9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 21 考点10：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 22 考点11：解直角三角形的应用-方向角问题 24 考点12：垂径定理的应用 28 考点13：圆心角、弧、弦的关系 29 考点14：三角形的外接圆与外心 32 考点15：圆周角定理 34 考点16：圆内接四边形的性质 36 考点17：相交弦定理 39 考点18：切线的判定与性质 40 考点19：切线长定理 45 考点20：切割线定理 47 考点21：三角形的内切圆与内心 49 考点22：弧长的计算 51 考点23：扇形面积的计算 52 考点24：正多边形和圆 55 考点25：解一元二次方程-直接开平方法 57 考点26：解一元二次方程-配方法 58 考点27：配方法的应用 59 考点28：解一元二次方程-公式法 60 考点29：解一元二次方程-因式分解法 61 考点30：根的判别式 62 考点31：根与系数的关系 63 考点32：一元二次方程的应用 64 考点1：相似多边形的性质 1．（2022秋•渠县校级期末）如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形DABC相似，则AB：BC的值为（　　） A．2 B． C． D． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC， ∵矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F， ∴AEAB， ∵矩形AEFD与矩形DABC相似， ∴， ∴， ∴AB2＝BC2， ∴AB2＝2BC2， ∴ABBC， ∴AB：BC， 故选：B． 2．（2022春•鸡冠区校级期末）一个正方形的边长是8cm．如果把它按1：4缩小，那么边长变为 　2　cm，面积变为 　4　cm2． 解：由题意得：82（cm）， ∴缩小后的正方形面积＝22＝4（cm2）， 一个正方形的边长是8cm．如果把它按1：4缩小，那么边长变为2cm，面积变为4cm2， 故答案为：2；4． 3．（2023秋•谢家集区期末）一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形A1B1C1D1最长边为15，则四边形A1B1C1D1的最短边长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 解：设四边形A1B1C1D1的最短边长为x， ∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似， ∴， 解得：x＝6， 故选：C． 考点2：相似三角形的判定与性质 4．（2023秋•桐柏县期末）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论： ①△ADE∽△ABC；②；③．其中正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 解：∵点D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，DEBC， ∴△ADE∽△ABC，∴①正确； ∴，∴②正确； ，∴③错误； 正确的有2个， 故选：B． 5．（2024春•长兴县期末）如图，将三角形ABC（AC＞AB）沿BC方向平移得到△DEF，DE与AC交于点M．此时满足．若AC﹣AB＝6，则四边形DMCF与四边形ABEM周长之差为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 解：由平移可知，BC＝EF，AB＝DE，AC＝DF，AB∥DE， ∵， ∴， ∴BC＝3EC，AB＝3ME，AC＝3CM， 设EC＝a，EM＝b，MC＝c，则BC＝EF＝3a，AB＝DE＝3b，AC＝DF＝3c， ∴AM＝AC﹣CM＝2c，BE＝CF＝BC﹣EC＝2a，DM＝DE﹣EM＝2b， ∵AC﹣AB＝6， ∴3c﹣3b＝6，即c﹣b＝2； ∴四边形DMCF和四边形ABEM周长之差＝（DM+MC+CF+DF）﹣（AB+BE+AM+ME） ＝2b+c+2a+3c﹣（3b+2a+2c+b） ＝2b+c+2a+3c﹣3b﹣2a﹣2c﹣b ＝2（c﹣b） ＝4， 故选：A． 6．（2024春•江岸区期末）已知三角形BCD，E为直线BC上一点，将线段CD沿CB方向平移至EA，直线BD与直线AE交于点O，点N是直线CD上一点，若，三角形AOD与三角形BOE面积和为13，当BN的最小值为10时，则AE的长为 　5　． 解：过点B作BN⊥CD于点N；过点O作OF⊥AD于点F，延长FO交BE于点G． ∵CD上各点与B的连线中BN最短， ∴BN＝10， ∵将线段CD沿CB方向平移至EA， ∴AD∥BC且AD＝CE， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴AE＝CD， ∵OF⊥AD， ∴∠OFA＝90°， ∴∠OGE＝90°， ∴FG⊥BC， ∵S△AODAD•FO，S△BOEBE•GO， ∴S△AOD+S△BOE（AD•FO+BE•GO）＝13， ∴AD•FO+BE•GO＝26， ∵∠BGO＝∠DFO＝90°，∠BOG＝∠DOF， ∴Rt△BGO∽Rt△DFO， ∴， ∵GO+FO＝FG， ∴GOFG，FOFG， ∵AD∥BC， ∴∠ADO＝∠EBO，∠DAO＝∠BEO， ∴△ADO∽△EBO， ∴， ∴BEAD， ∴AD•FO+BE•GO＝AD•FGAD•FG＝26， ∴AD•FG＝30， ∵S△BCDBC•FGCD•BN，AE＝CD， ∴BC•FG＝AE•BN， ∵BC＝BE+CE，BEAD，CE＝AD，BN＝10， ∴（AD+AD）•FG＝10AE，即AD•FG＝10AE， ∴30＝10AE， ∴AE＝5． 故答案为：5． 考点3：相似三角形的应用 7．（2023秋•巴中期末）如图，刘强在巴中塔子山游乐园游玩时，为了测量彩虹桥高度，在地面C处放一面镜子，通过镜子恰好看到彩虹桥顶部A，测得镜子与彩虹桥的距离BC＝12米，他与镜子的距离CE＝1.5米．已知他的眼睛距离地面的高度DE＝1.7米，则彩虹桥的高度AB为 　13.6　米． 解：由题意得：∠DCE＝∠ACB，DE⊥EB，AB⊥BE， ∴∠DEC＝∠ABC＝90°， ∴△DEC∽△ABC， ∴， ∴， 解得：AB＝13.6， ∴彩虹桥的高度AB为13.6米， 故答案为：13.6． 8．（2023秋•连平县期末）在如图所示的卡钳中AD＝BC，，用该卡钳测量某个零件的内孔直径AB，量得CD的长为7cm，则AB的长为 　21　cm． 解：∵，∠COD＝∠AOB， ∴△AOB∽△DOC， ∴， ∵CD＝7cm， ∴AB＝3CD＝21（cm）， 故答案为：21． 9．（2023秋•洛阳期末）如图，是可折叠的简易凳子侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图中的数据可得凳子高度是 　0.9　米． 解：过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F， 由题意得：EF⊥AB，OE＝x米，OF＝0.5米， ∵AB∥CD， ∴∠C＝∠OBA，∠ODC＝∠A， ∴△ODC∽△OAB， ∴， ∴， 解得：x＝0.4， ∴EF＝OE+OF＝0.4+0.5＝0.9（米）， ∴凳子高度是0.9米， 故答案为：0.9． 考点4：几何变换综合题 10．（2023春•武侯区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（0，2）．若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE＝PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P在移动的过程中，使△PBF成为直角三角形，则点F的坐标是　（5，2），（，）　． 解：能； ①若F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，则BP＝6﹣t，DP＝2OC＝4， 在Rt△OCP中，OP＝t﹣1， 由勾股定理易求得CP2＝t2﹣2t+5，那 么PF2＝（2CP）2＝4（t2﹣2t+5）； 在Rt△PFB中，FD⊥PB， 由射影定理可求得PB＝PF2÷PD＝t2﹣2t+5， 而PB的另一个表达式为：PB＝6﹣t， 联立两式可得t2﹣2t+5＝6﹣t，即t， P点坐标为（，0）， 则F点坐标为：（，）； ②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2， 那么BP＝2OC＝4，即OP＝OB﹣BP＝1，此时t＝2， P点坐标为（1，0）．FD＝2（t﹣1）＝2， 则F点坐标为（5，2）． 故答案为：（5，2），（，）． 11．（2023春•二道区校级期末）将两个全等的直角三角形ABC和直角三角形DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠ABC＝∠DBE＝60°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F． （1）求证：EF＝FC． （2）如图②，若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角a，且0°＜a＜60°，其他条件不变，证明：AF+EF＝DE． （3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③．你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程：若不成立，请直接写出此时AF、EF与DE之间的关系． （1）证明：如图①，连接BF， ∵△ABC≌△DBE， ∴BC＝BE， ∵∠ACB＝∠DEB＝90°， 在Rt△BCF和Rt△BEF中， ， ∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）， ∴CF＝EF； （2）证明：如图②，连接BF， ∵△ABC≌△DBE， ∴BC＝BE， ∵∠ACB＝∠DEB＝90°， 在Rt△BCF和Rt△BEF中， ， ∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）， ∴EF＝CF， ∴AF+EF＝AF+CF＝AC＝DE； （3）不成立，关系式为：AF＝DE+EF．理由如下： 如图③，连接BF， ∵△ABC≌△DBE， ∴BC＝BE， ∵∠ACB＝∠DEB＝90°， ∴△BCF和△BEF是直角三角形， 在Rt△BCF和Rt△BEF中， ， ∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）， ∴CF＝EF， ∵AC＝DE， ∴AF＝AC+FC＝DE+EF． 12．（2023秋•船营区校级期末）性质探究：如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，连接BD，AB：BC＝2：1，则边BD、与边AB的长度之比为 　　． 理解运用：（1）若△ABD的周长为8+4，则它的面积为 　8　； （2）如图②，若将△BCD沿BD折叠，点C落在点E处，连接BE，AE． ①求证：∠DBE+∠DAE＝∠BEA； ②在边BE，AE上分别取中点F，G，连接FG．若BD＝10，直接写出线段FG的长； 类比拓展：底角为α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 　2cosα　（用含a的式子表示）． 性质探究： 边BD、与边AB的长度之比为 ， 理由如下： ∵AB：BC＝2：1， 设BC＝x，则AB＝2x， 又Rt△ABC中， 根据勾股定理， ACx， ∵点D为边AC的中点， ∴BDACx， ∴， 故答案为：； 理解运用： （1）设AB＝x，由性质探究，BD＝ADx， ∴周长＝8+4xx×2， 解得x＝8， 又AB：BC＝2：1， ∴BC＝4， 过点D作DM⊥AB于点M，如图①， ∵点D为边AC的中点， ∴DMBC＝2， ∴S△ABD•AB•DM8×2＝8， 故答案为：8， （2）①证明： ∵在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点， ∴， ∵DE＝CD， ∴BD＝ED＝AD， ∴∠DBE＝∠DEB，∠DEA＝∠DAE． ∴∠DBE+∠DAE＝∠DEB+∠DEA＝∠BEA， ②线段FG的长为4， 在边BE，AE上分别取中点F，G，连接FG，如图②， ∵BD＝10，， ∴AB＝8， 根据中位线定理，③ FGAB＝4， 类比拓展： 底角为α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为2cosa， 理由如下， 三角形为△ABC，AC＝BC，过点C作CD⊥AB于点D，如图③， ∠CAD＝α，设AC＝x，则ADABx， 在Rt△ABD中， AD＝AC•cosα＝xcosα， AB＝2AD＝2xcosα， ∴2cosα， 故答案为：2cosα． 考点5：作图-位似变换 13．（2021秋•凤阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，﹣1）． （1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大到原来的两倍（即新图与原图的相似比为2），画出放大后的△OB′C′； （2）在（1）的基础上写出点B′，C′的坐标； （3）在（1）的基础上，如果△OBC内部一点M的坐标为（a，b），请写出M的对应点M′的坐标． 解：（1）如图所示，△OB′C′是所求的三角形； （2）B′的坐标是（﹣6，2），C′的坐标是（﹣4，﹣2）． （3）由图可得，对应点的坐标正好是原坐标乘以﹣2的坐标， ∵M的坐标为（a，b）， ∴M的对应点M′的坐标为（﹣2a，﹣2b）． 14．（2023秋•章贡区期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点． （1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1； （2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1； （3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是　20　个平方单位． 解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求； （2）如图所示，线段A2B1即为所求； （3）由图可得，四边形AA1B1A2为正方形， ∴四边形AA1B1A2的面积是（）2＝（）2＝20． 故答案为：20． 15．（2021秋•新邱区期末）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度） （1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标； （2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积． 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，C1（2，﹣2）； （2）如图，△A2BC2即为所求，C2（1，0）， △A2BC2的面积： 6×42×62×42×4 ＝24﹣6﹣4﹣4 ＝24﹣14 ＝10． 考点6：同角三角函数的关系 16．（2023秋•东阳市期末）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA的值为（　　） A． B． C． D．2 解：如图： ∵∠C＝90°， ∴tanA2， 设AC＝x，则BC＝2x， ∴ABx， ∴sinA． 故选：B． 17．（2022秋•西安期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，， ∴AB5， ∴AC4， ∴tanA， 故选：A． 18．（2023秋•长安区期末）已知∠A是锐角，，则tanA的值为 　　． 解：如图，∠C＝90°， ∵cosA， ∴令AC＝3x，AB＝5x， ∴BC4x， ∴tanA． 故答案为：． 考点7：特殊角的三角函数值 19．（2024春•萨尔图区校级期末）若，则锐角α的度数是 　50°　． 解：∵， ∴α+10°＝60°， 解得：α＝50°， 故答案为：50°． 20．（2023秋•慈溪市期末）计算：2sin60°+cos230°﹣tan60°+tan45°． 解：2sin60°+cos230°﹣tan60°+tan45° ＝2（）21 1 ． 21．（2023秋•西安期末）计算：6sin60°+2tan45°﹣4cos60°． 解：6sin60°+2tan45°﹣4cos60° ＝62×1﹣4 ＝32﹣2 ＝3． 考点8：解直角三角形 22．（2023秋•潜山市期末）BD是Rt△ABC的斜边AC上的高，∠A≠45°，下列比值中与sinA不相等的是（　　） A． B． C． D． 解：如图： 在Rt△ABC中，sinA， ∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∴∠C+∠DBC＝90°， ∴∠A＝∠DBC， ∴sinA＝sin∠DBC， 在Rt△ABD中，sinA， 故选：D． 23．（2023秋•宁明县期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，tanA，则BC的长为 　5　． 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA， ∴设BC＝5x，则AC＝12x， ∴AB13x， ∵AB＝13， ∴13x＝13， 解得：x＝1， ∴BC＝5x＝5， 故答案为：5． 24．（2023秋•宿松县期末）∠α在正方形网格中位置如图所示，则cos（90°﹣a）的值为 　　． 解：如图： 由题意得：∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∴cos∠ABC， ∵∠CAB＝α， ∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣α， ∴cos（90°﹣a）， 故答案为：． 考点9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 25．（2022秋•朝阳区校级期末）如图为固定电线杆AC，在离地面高度为7米的A处引拉线AB，使拉线AB与地面BC的夹角为α，则拉线AB的长为（　　） A．7sinα米 B．7cosα米 C．7tanα米 D．米 解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinα， 则AB（米）， 故选：D． 26．（2024春•郧西县期末）如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面为AC，地面为BC，且BC：AC＝4：5，则坡面AC的长度为（　　）m． A．8 B． C．10 D． 解：由题意可得∠ABC＝90°， 根据勾股定理得：AB2+BC2＝AC2， ∵BC：AC＝4：5， 设BC＝4x，AC＝5x， ∴62+（4x）2＝（5x）2， 解得x＝2， ∴AC＝2x＝10（m）． 故选：C． 27．（2023秋•永州期末）如图，已知斜坡AB的坡度为，若铅直高度BC为150m，则坡长AB为 　300　m． 解：由题意得：BC⊥AC， ∵斜坡AB的坡度为， ∴， ∵BC＝150m， ∴ACBC＝150（m）， ∴AB300（m）， ∴坡长AB为300m， 故答案为：300． 考点10：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 28．（2023秋•靖江市期末）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，无人机与楼之间的水平距离为120m，则这栋楼的高度是 　160　m．（结果保留根号） 解：过点A作AD⊥BC，垂足为D， 由题意得：AD＝120m， 在Rt△ABD中，∠BAD＝30°， ∴BD＝AD•tan30°＝12040（m）， 在Rt△ADC中，∠DAC＝60°， ∴CD＝AD•tan60°＝120（m）， ∴BC＝BD+CD＝40120160（m）， ∴这栋楼的高度是160m， 故答案为：160． 29．（2023秋•嘉定区期末）一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（　　） A．6000米 B．12000米 C．米 D．米 解：如图： 在Rt△ACB中，∠B＝30°，AC＝6000米， ∴AB＝2AC＝12000（米）， ∴此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是12000米， 故选：B． 30．（2023秋•盐山县期末）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC．如图，无人机在P处测得正前方河流的点B处的俯角∠DPB＝α，点C处的俯角∠DPC＝45°，点A，B，C在同一条水平直线上．若AP＝45m，tanα＝3，则河流的宽度BC为（　　） A．30m B．25m C．20m D．15m 解：由题意得：PA⊥AC，PD∥AC， ∴∠DPC＝∠ACP＝45°，∠DPB＝∠ABP＝α， 在Rt△ACP中，AP＝45m， ∴AC45（m）， 在Rt△ABP中，tanα＝3， ∴AB15（m）， ∴BC＝AC﹣AB＝45﹣15＝30（m）， ∴河流的宽度BC为30m， 故选：A． 考点11：解直角三角形的应用-方向角问题 31．（2023秋•青阳县期末）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（　　） A．80（）米 B．40（）米 C．（120﹣40）米 D．40（）米 解：过点B作BD⊥CA交CA的延长线于D，如图： 设BD＝x米， ∵∠BCA＝30°， ∴CDx， ∵∠BAD＝45°， ∴AD＝BD＝x， 则x﹣x＝80， 解得x40（1）， 答：这段河的宽度为40（1）米． 故选：B． 32．（2023秋•细河区期末）如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在东北方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C周围25海里内有暗礁．（参考数据：1.732，1.414，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259．） （1）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． （2）如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由． 解：（1）如果渔船继续向东航行，有触礁危险， 理由：过点C作CD⊥AB，垂足为D， 由题意得：∠CAD＝45°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，AB＝3010（海里）， 设BD＝x海里， ∴AD＝AB+BD＝（10+x）海里， 在Rt△BDC中，CD＝BD•tan60°x（海里）， 在Rt△ACD中，CD＝AD•tan45°＝（10+x）海里， ∴x＝10+x， 解得：x＝55， ∴CDx＝15+523.66（海里）， ∵23.66海里＜25海里， ∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险； （2）如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，无触礁危险， 理由：过点C作CE⊥BF，垂足为F， 由题意得：∠ABE＝∠CBD+15°＝75°， 在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，BD＝（55）海里， ∴BC（1010）海里， 在Rt△CBE中，CE＝BC•sin75°≈（1010）×0.966＝26.39112（海里）， ∵26.39112海里＞25海里， ∴如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，无触礁危险． 33．（2023秋•青岛期末）如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小红自小区北门A处出发，沿南偏西53°方向前往小区居民活动中心C处；小强自南门B处出发，沿正西方向行走300m到达D处，再沿北偏西30°方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门A与南门B之间的距离．（结果保留整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3 解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥CE于点F， 则EF＝BD＝300，BE＝DF， 在Rt△DCF中，设CF＝x m，则CD＝2x m，FDx m， ∴AC＝（300+2x）m， 在Rt△ACE中，sin53°， 即0.8， 解得x＝100， ∴DF＝BE＝100m，CE＝400m，AC＝500m， ∴AE300， ∴AB＝AE+BE＝300+100473（m）， 答：该小区北门A与南门B之间的距离为473米． 考点12：垂径定理的应用 34．（2023秋•淄博期末）如图，圆柱形水管内积水的水平面宽AB＝8cm，水深CD＝2cm．则水管的半径是（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 解：连接OA， ∵OD⊥AB， ∴ACAB＝4cm， 在Rt△OAC中，AO2＝OC2+AC2， ∴OA2＝（OD﹣2）2+42， 又∵OA＝OD， ∴OA＝5， ∴圆柱形排水管的半径为5cm， 故选：B． 35．（2024•海淀区）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 　18　cm． 解：连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D， ∵OC⊥AB， ∴AC＝CB＝6cm， 由题意可知，OB＝10cm， ∴在Rt△OBC中，OC8（cm）， ∴CD＝OC+OD＝8+10＝18（cm）， 即这个水容器所能装水的最大深度是18cm． 36．（2023秋•白水县期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧，点O是这段弧所在圆的圆心，点C是上一点，OC⊥AB，垂足为点D，AB＝300m，CD＝50m，则弧所在圆的半径是（　　） A．150m B．250m C．300m D．350m 解：∵OC⊥AB， ∴AD＝DB＝150m， 在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2， 设半径为r m得：r2＝（r﹣50）2+1502， 解得：r＝250， ∴这段弯路的半径为250m； 故选：B． 考点13：圆心角、弧、弦的关系 37．（2022秋•庐阳区期末）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，CE＝DE，则下列说法错误的是（　　） A． B．OE＝BE C．CA＝DA D．AB⊥CD 解：∵AB是⊙O的直径，CE＝DE， ∴AB⊥CD，，， ∴AC＝AD， 故A、C、D不符合题意； 连接OC，BC， ∵OC≠CB，AB⊥CD ∴OE≠BE， 故B符合题意； 故选：B． 38．（2021秋•藤县期末）如图，OA，OB，OC是⊙O的半径，，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．求证：AD＝BE． 证明：∵， ∴∠AOC＝∠BOC， ∴OC平分∠AOB， ∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴CD＝CE， ∵OC＝OC， ∴Rt△COD≌Rt△COE（HL）， ∴OD＝OE， ∵OA＝OB， ∴OA﹣OD＝OB﹣OE， ∴AD＝BE． 39．（2023秋•凤阳县期末）如图，已知⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是（　　） A．x B．0＜x C．﹣1≤x≤1 D．x 解：设切点为C，连接OC，则 圆的半径OC＝1，OC⊥PC， ∵∠AOB＝45°，OA∥PC， ∴∠OPC＝45°， ∴PC＝OC＝1， ∴， 同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数， 所以x的取值范围是． 故选：B． 考点14：三角形的外接圆与外心 40．（2023秋•丰顺县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆． （1）求⊙O的半径； （2）若在同一平面内的⊙P也经过B、C两点，且PA＝2，请直接写出⊙P的半径的长． 解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC， ∵OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上，即O在AD上， ∵BC＝4， ∴BDBC＝2， ∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2， ∴AD6， 设OA＝OB＝r，则OD＝6﹣r． ∵在Rt△OBD中，∠ODB＝90°， ∴OD2+BD2＝OB2，即（6﹣r）2+22＝r2． 解得r， 即⊙O的半径为， （2）当⊙P也经过B、C两点， 则设PB＝r， PA＝2，则PD＝6﹣2＝4或6+2＝8， BD＝2， ∴PB2 或PB2． 所以⊙P的半径的长为2或2． 41．（2021秋•通州区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，在同一平面内，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数）．那么常数a的值等于 　5　． 解：∵在同一平面内，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数）， ∴OA＝OB＝OC， ∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，AB＝10， ∴OA＝OB＝OCAB＝5， ∴常数a的值等于：5， 故答案为：5． 42．（2019春•海淀区校级期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，﹣3），C（3，﹣3）则△ABC外接圆半径的长度为　　． 解：设△ABC的外心为M，如图： ∵A（﹣1，3），B（﹣1，﹣3），C（3，﹣3）， ∴AB、BC的垂直平分线过（1，0），故M（1，0）； MA就是⊙M的半径长， 由勾股定理得：MA， 即△ABC的外接圆半径为． 故答案为：． 考点15：圆周角定理 43．（2023秋•上城区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE．若CE平分∠OCD，则∠A：∠E＝（　　） A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：6 解：设CD垂直平分OB于点F，连接AD， ∵AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB， ∴OFOBOC， ∴∠OCF＝30°， ∴∠COB＝60°， ∴∠AOC＝120°，∠BAD＝30°， ∴∠E＝60°， ∵CE平分∠OCD， ∴∠EAD＝∠ECD＝15°， ∴∠EAB＝∠BAD+∠EAD＝45°， ∴∠BAE：∠E＝45°：60°＝3：4． 故选：B． 44．（2023秋•上虞区期末）如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝α，则MN可用α表示为（　　） A．rsinα B． C．rcosα D． 解：连接OC，延长OA、NC交于D，则OC＝6， ∵CM⊥OA，CN⊥OB， ∴∠DMC＝∠DNO＝90°， ∵∠D＝∠D， ∴△DMC∽△DNO， ∴，即， ∵∠D＝∠D， ∴△DMN∽△DCO， ∴， ∵CN⊥OB，∠AOB＝α， ∴sin∠AOB＝sinα， ∴sinα， ∵OC的半径为r， ∴， ∴MN＝rsinα． 故选：A． 45．（2023秋•阿瓦提县校级期末）如图，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝50°，则∠BAC＝　25　度． 解：∵AB∥OC， ∴∠OBA＝∠BOC＝50°， ∴∠BAC∠BOC＝25°， 故答案为：25． 考点16：圆内接四边形的性质 46．（2023秋•博白县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E． （1）求证：CD平分∠ACE； （2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长． （1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BCD+∠DCE＝180°， ∴∠DCE＝∠BAD， ∵， ∴∠BAD＝∠ACD， ∴∠DCE＝∠ACD， ∴CD平分∠ACE； （2）解：∵AC为直径， ∴∠ADC＝90°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠DEC＝∠ADC， ∵∠DCE＝∠ACD， ∴△DCE∽△ACD， ∴，即， ∴CD＝3． 47．（2023秋•蒙阴县期末）如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M，其中正确的结论是 　①②③④　（填序号）． ①∠MAC＝∠PBC； ②△ABC是等边三角形； ③PC＝PA+PB； ④△PCM是等边三角形． 解：∵A、P、B、C是⊙O上的四点， ∴∠PBC+∠PAC＝180°， ∵∠PAC+∠MAC＝180°， ∴∠MAC＝∠PBC；故①正确，符合题意； ∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形，故②正确，符合题意； ∵四边形APBC是⊙O的内接四边形， ∴∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°； ∵CM∥BP， ∴∠M+∠APB＝180°， ∴∠M＝∠ACB； 又∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC， ∵∠BPC＝∠BAC＝60°， ∴∠M＝∠BPC； 在△ACM与△BCP中， ， ∴△ACM≌△BCP（AAS）． ∴PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM； ∵∠M＝∠BPC＝60°，∠APC＝∠ABC＝60°， ∴△MPC为等边三角形，故④正确，符合题意； ∴PC＝PM， ∴PC＝PA+PB，故③正确，符合题意， 故答案为：①②③④． 48．（2023秋•西湖区期末）四边形ABCD内接于⊙O，∠A：∠B：∠C：∠D＝3：m：4：n，则m，n满足条件（　　） A．3m＝4n B．4m＝3n C．m+n＝7 D．m+n＝180° 解：∵圆内接四边形ABCD， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°， ∵∠A：∠B：∠C：∠D＝3：m：4：n， ∴m+n＝7． 故选：C． 考点17：相交弦定理 49．（2023秋•福田区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，AB＝10cm，弦CD⊥AB，垂足为E，且AE：EB＝2：3，则AC＝（　　） A．3cm B．4cm C．cm D．cm 解：∵CD⊥AB，∴CE＝DE， ∴CE2＝AE•BE， ∵AB＝10cm，且AE：EB＝2：3， ∴AE＝4cm，EB＝6cm， ∴CE＝2cm， ∴AC2cm． 故选：D． 50．（2023秋•和平区期末）如图，⊙O中，两条弦AB、CD相交于P点，若PA＝4，PB＝3，PC＝6，则CD的长为　8　． 解：由相交弦定理得：PA•PB＝PC•PD， ∴DP2， ∴CD＝PC+PD＝6+2＝8． 51．（2023秋•余姚市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP：PB＝1：4，CD＝8，则AB＝　10　． 解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝8， ∴CP＝4， 根据相交弦定理得，16＝AP×4AP， 解得AP＝2， ∴AB＝10． 考点18：切线的判定与性质 52．（2021秋•灌南县期末）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点，ED与AB的延长线交于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠F＝30°，BF＝2，求△ABC外接圆的半径． （1）证明：连接OD， ∵AB⊥AC， ∴∠CAB＝90°， ∴∠CAD+∠DAO＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°， ∵点E是AC的中点， ∴EA＝EDAC， ∴∠EAD＝∠EDA， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠EDA+∠ODA＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵∠F＝30°，BF＝2，∠ODF＝90°， ∴OF＝2OD， ∴OB+2＝2OD， ∵OD＝OB， ∴OD＝OB＝2， ∵∠DOF＝90°﹣∠F＝60°， ∴△DOB是等边三角形， ∴∠OBD＝60°， 在Rt△ABC中，AB＝2OB＝4， ∴BC8， ∵△ABC外接圆的半径BC＝4， ∴△ABC外接圆的半径为：4． 53．（2021秋•潜山市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径作⊙O交BC于点D． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）求CD的长． （1）证明：过点O作OE⊥AC，垂足为C， ∵AB＝5，OB＝2， ∴AO＝AB﹣OB＝3， ∵∠OEA＝∠C＝90°，∠A＝∠A， ∴△AEO∽△ACB， ∴， ∴， ∴OE＝OB＝2， ∴AC是⊙O的切线； （2）过点O作OF⊥BC，垂足为F， ∵∠OEA＝∠C＝∠OFC＝90°， ∴四边形OFCE是矩形， ∴OE＝CF＝2， ∵BC， ∴BF＝BC﹣CF， ∵OF⊥BD， ∴BD＝2BF， ∴CD＝BC﹣BD． 54．（2021秋•西城区期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长． （1）证明：连接OD， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， ∵D是的中点， ∴， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠ODB＝∠CBD， ∴OD∥BC， ∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：过点D作DF⊥AB，垂足为F， 由（1）得：∠ABD＝∠CBD， ∴BD平分∠ABC， ∵DF⊥AB，DE⊥BC， ∴DF＝DE， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠DCB＝180°， ∵∠DCB+∠DCE＝180°， ∴∠A＝∠DCE， ∵∠DFA＝∠DEC＝90°， ∴△ADF≌△CDE（AAS）， ∴AF＝EC， ∵∠DFB＝∠DEC＝90°，BD＝BD， ∴△BDF≌△BDE（AAS）， ∴BF＝BE， 设AF＝EC＝x，则BE＝BF＝8+x， ∵AB＝10， ∴AF+BF＝10， ∴x+8+x＝10， ∴x＝1， ∴BF＝9， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝∠DBF， ∴△BFD∽△BDA， ∴BD2＝BF•BA， ∴BD2＝90， ∴BD＝3． 考点19：切线长定理 55．（2022秋•河西区校级期末）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，已知∠P＝60°，OA＝3，那么AB的长为　3　． 解：过点O作OC⊥AB于点C， ∴ACAB， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB，OA⊥PA， ∵∠P＝60°， ∴△PAB是等边三角形， ∴∠PAB＝60°， ∴∠OAC＝90°﹣∠PAB＝30°， 在Rt△AOC中，OA＝3， ∴AC＝OA•cos30°＝3， ∴AB＝2AC＝3． 故答案为：3． 56．（2023秋•黔南州期末）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（　　） A． B．2 C． D．3 解：∵PA，PB与⊙O分别相切于点A，B， ∴PA＝PB，∵∠APB＝60°， ∴△PAB是等边三角形， ∴AB＝AP＝2． 故选：B． 57．（2023秋•康县期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝　76　°． 解：∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB，PA⊥OA， ∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°， ∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°， ∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°； 故答案为：76． 考点20：切割线定理 58．（2013秋•安龙县校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为　3.6　． 解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8； 由勾股定理，得：BC＝6． ∵AC是圆的直径，∠C＝90°， ∴BC为圆的切线； 由切割线定理，得：BC2＝BP•BA， ∴BP＝BC2÷BA＝3.6． 59．（2013•莆田模拟）如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝4，则PA的长为　2　． 解：∵PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，PB＝2，PC＝4， ∴PA2＝PB×PC， ∴PA2． 故答案为：2． 60．（2009秋•锦江区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点D，E，已知圆O的半径为．则DE的长为 　　． 解；连接DB， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠CDB＝90°， ∵∠C＝60°， ∴CDCB； ∵∠CED＝∠CAB，∠CDE＝∠CBA， ∴CDE∽△CBA， ∴， ∴DE＝2． 考点21：三角形的内切圆与内心 61．（2021秋•海港区期末）下列说法： ①平分弦的直径垂直于弦 ②三点确定一个圆， ③相等的圆心角所对的弧相等 ④垂直于半径的直线是圆的切线 ⑤三角形的内心到三条边的距离相等 其中不正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：如图 ∵弦CD和直径AB，符合AB平分弦CD，且AB是直径，但AB和CD不垂直，∴①错误； ∵在同一直线上的三点不能确定一个圆，∴②错误； ∵如图圆心角∠COD＝∠AOB，但弧AB和弧CD不相等，∴③错误； ∵如图CD⊥半径OA，但CD不是圆的切线，∴④错误； ∵根据角平分线的性质即可得出三角形的内心到三角形的三边距离相等，∴⑤正确； ∴不正确的有4个， 故选：D． 62．（2021秋•宜春期末）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．任何三角形有且只有一个内切圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．正多边形一定是中心对称图形 解：A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故A不符合题意； B．任何三角形有且只有一个内切圆，故B符合题意； C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C不符合题意； D．正多边形一定是轴对称图形，不一定是中心对称图形，故D不符合题意； 故选：B． 63．（2023秋•荣成市期末）如图，Rt△ABC的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点F，若AD＝4，BD＝5，则△ABC的面积为 　20　． 解：∵Rt△ABC的内切圆分别与斜边AB、直角边CA、BC切于点D、E、F，AD＝4，BD＝5， ∴AF＝AD＝4，BF＝BD＝5，FC＝EC， 设FC＝EC＝x， 则（4+x）2+（5+x）2＝（4+5）2， 整理得，x2+9x﹣20＝0， 解得：，（不合题意舍去）， 则，， ∴， 故Rt△ABC的面积为20， 故答案为：20． 考点22：弧长的计算 64．（2022秋•永昌县期末）如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）三点，请在网格中进行下列操作： （1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，写出D点坐标为　（2，0）　． （2）连接AD、CD，求⊙D的半径及弧AC的长． 解：（1）由垂径定理得到圆的圆心D点的坐标为D（2，0）， 故答案为：（2，0）； （2）CD2， tan∠OAD，tan∠EDC， ∴∠OAD＝∠EDC， ∵∠OAD+∠ODA＝90°， ∴∠EDC+∠ODA＝90°，即∠ADC＝90°， ∴的长π． 65．（2021秋•新昌县期末）已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则弧长为（　　） A．cm B．2πcm C．4cm D．cm 解：∵扇形的圆心角为120°，半径为3cm， ∴扇形的弧长计算公式L2πcm， 故选：B． 66．（2022秋•海曙区期末）若扇形的弧长为π，圆心角为45°，则该扇形的半径为 　3　． 解：设扇形的半径为r，根据扇形公式得：π， 解得：r＝3． 故答案为：3． 考点23：扇形面积的计算 67．（2021秋•凤山县期末）如图，正方形ABCD的边长为1，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径画弧，两弧相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 　1　． 解：连接PB，PC，作PF⊥BC于F， ∵PB＝PC＝BC， ∴△PBC为等边三角形， ∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°， ∴BFBC，PF， 则图中阴影部分的面积＝正方形ABCD的面积﹣扇形BCD的面积﹣[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]＝1[（1）] ＝1， 故答案为：1． 68．（2021秋•洛阳期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A'，连结A'C，A'P．点P到达点B时，线段A'P扫过的面积为 　　． 解：∵△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1， ∴∠ABC＝90°，AC＝2BC＝2，AB， 如图①所示，点A关于直线CP的对称点为A'， ∴AC＝A'C， ∴点A'的运动轨迹为以C为圆心，AC长为半径的一段圆弧， 当点P与点B重合时，线段A'P扫过的区域为弓形，如图②， ∠APA'＝180°，∠ACA'＝120°， ∴线段A'P扫过的面积为， 故答案为：． 69．（2022秋•南昌期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠B＝72°，连接AC． （1）∠ADC＝　108　°，∠BAC＝　18　°； （2）若AB＝8，∠DCA＝27°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝72°， ∴∠D＝180°﹣72°＝108°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣72°＝18°； 故答案为：108，18； （2）连接OD， ∵∠ADC＝108°，∠DCA＝27°， ∴∠DAC＝180°﹣108°﹣27°＝45°， ∴∠DOC＝90°， ∴△COD是等腰直角三角形， ∵AB＝8， ∴OC＝OD＝4， ∴阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD42＝4π﹣8． 考点24：正多边形和圆 70．（2023秋•金州区期末）正六边形的半径是，则它的面积为（　　） A． B． C． D． 解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形， ∵OC＝OA•sinA＝2， 则S△OABAB•OC2， 则正六边形的面积为6×212． 故选：D． 71．（2020秋•任城区期末）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝　　cm． 解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D， 由正六边形，得 ∠ABC＝120°，AB＝BC＝a， ∠BCD＝∠BAC＝30°． 由AC＝3，得CD＝1.5． cos∠BCD，即， 解得a， 故答案为：． 72．（2022秋•兴隆县期末）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是　72　度． 解：连接OA、OB、OC， ∠AOB72°， ∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBC， 在△AOM和△BON中， ∴△AOM≌△BON， ∴∠BON＝∠AOM， ∴∠MON＝∠AOB＝72°， 故答案为：72． 考点25：解一元二次方程-直接开平方法 73．（2023秋•建平县期末）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个不相等的根分别是2m+1与m﹣7，则为 　　． 解：由题意得： 2m+1+m﹣7＝0， ∴m＝2， ∴2m+1＝5， ∵ax2＝b（ab＞0）， ∴x2， ∴（2m+1）2＝25， ∴， 故答案为：． 74．（2023秋•福州期末）若2是关于x的方程x2﹣c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（　　） A．x＝﹣2 B． C．x＝2 D．x＝4 解：由题意得：把x＝2代入方程x2﹣c＝0中得：22﹣c＝0， 解得：c＝4， ∴x2﹣4＝0， x2＝4， x1＝2，x2＝﹣2， ∴这个方程的另一个根是x＝﹣2， 故选：A． 75．（2022春•定远县期末）如果关于x的方程（x﹣9）2＝m+4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m≥3 C．m＞﹣4 D．m≥﹣4 解：由题意得： m+4≥0， ∴m≥﹣4， 故选：D． 考点26：解一元二次方程-配方法 76．（2023秋•酒泉期末）一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可化为（　　） A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝﹣14 D．（x﹣3）2＝4 解：x2﹣6x+5＝0， x2﹣6x＝﹣5， x2﹣6x+9＝﹣5+9， （x﹣3）2＝4， 故选：D． 77．（2024春•温州期末）用配方法解方程x2+6x﹣1＝0，变形后结果正确的是（　　） A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝7 解：x2+6x﹣1＝0， x2+6x＝1， x2+6x+9＝1+9， （x+3）2＝10， 故选：A． 78．（2024春•南关区校级期末）解方程： （1）； （2）x2﹣6x+1＝0． 解：（1）， 2﹣x＝﹣3﹣4（x﹣3）， 解得：x， 检验：当x时，x﹣3≠0， ∴x是原方程的根； （2）x2﹣6x+1＝0， x2﹣6x＝﹣1， x2﹣6x+9＝﹣1+9， （x﹣3）2＝8， x﹣3＝±2， x1＝3+2，x2＝3﹣2． 考点27：配方法的应用 79．（2024春•姑苏区校级期末）已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，则a+b﹣c的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 解：由题意，∵a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0， ∴a2﹣4a+4+b2﹣2b+1+c2+2c+1＝0． ∴（a﹣2）2+（b﹣1）2+（c+1）2＝0． ∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，c+1＝0． ∴a＝2，b＝1，c＝﹣1． ∴a+b﹣c＝2+1+1＝4． 故选：B． 80．（2023秋•江岸区期末）请同学们学习材料①若x﹣y＞0，则x＞y；②．解决以下问题：A＝x2+2y2，B＝2xy+y﹣m，当A＞B恒成立时，m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m＞1 解：由题意，作差：A﹣B＝x2+2y2﹣2xy﹣y+m ＝x2+y2﹣2xy+y2﹣ym ＝（x﹣y）2+（y）2+m． ∵A＞B恒成立，且（x﹣y）2≥0，（y）2≥0， ∴m0． ∴m． 故选：A． 81．（2024春•石景山区期末）已知：a＝﹣1，b＝m﹣2，c＝2m，设M＝b2﹣4ac．求M的取值范围． 解：由题意，∵a＝﹣1，b＝m﹣2，c＝2m， ∴M＝b2﹣4ac＝（m﹣2）2﹣4×（﹣1）×2m ＝m2﹣4m+4+8m ＝m2+4m+4 ＝（m+2）2． 又∵对于任意的m都有（m+2）2≥0， ∴M≥0． 考点28：解一元二次方程-公式法 82．（2023秋•开封期末）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．x2+2x+4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0 解：∵关于x的一元二次方程的根为， ∴a＝1，b＝2，c＝﹣4， ∴这个方程是x2+2x﹣4＝0， 故选：C． 83．（2023秋•湘潭期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大值，如：max{2，5}＝5．按照这个规定，方程max{1，x}＝x2﹣3的解为 　　． 解：当x＜1时，方程max{1，x}＝x2﹣3为x2﹣3＝1， 即x2＝4， 解得x1＝2（不合题意，舍去），x2＝﹣2， 当x＞1时，方程max{1，x}＝x2﹣3为x2﹣3＝x， 即x2﹣x﹣3＝0， 解得，（不合题意，舍去）， 故答案为：． 84．（2023秋•久治县期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　3x2+9x+1＝0　． 解：由题意得：a＝3，b＝9，c＝1， ∴该一元二次方程是3x2+9x+1＝0， 故答案为：3x2+9x+1＝0． 考点29：解一元二次方程-因式分解法 85．（2023秋•汶上县期末）方程（x﹣3）（2x﹣4）＝0的根是（　　） A．x1＝﹣3，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝2 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣3，x2＝2 解：（x﹣3）（2x﹣4）＝0， x﹣3＝0或2x﹣4＝0， x1＝3，x2＝2， 故选：B． 86．（2023秋•澄海区期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小值．如：min{2，﹣3}＝﹣3，按照这个规定，方程min{x，x﹣1}＝x2﹣3的解为 　x1＝2，x2＝﹣1　． 解：∵min{x，x﹣1}＝x2﹣3， ∴x﹣1＝x2﹣3， 整理得：x2﹣x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， x﹣2＝0或x+1＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣1， 故答案为：x1＝2，x2＝﹣1． 87．（2024春•大观区校级期末）一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（　　） A．﹣1 B．0 C．1和2 D．﹣1和2 解：x（x﹣2）＝2﹣x， x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝0， x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， x﹣2＝0或x+1＝0， x1＝2，x2＝﹣1， 故选：D． 考点30：根的判别式 88．（2023春•丽水期末）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac＝0时，方程的解为（　　） A．， B．， C． D． 解：∵b2﹣4ac＝0， ∴方程有两个相等的实数解， ∵x， ∴方程的解为x1＝x2． 故选：D． 89．（2023秋•河东区期末）下列一元二次方程中，能求出实数根的是（　　） A．a2﹣4+6a＝0 B．b2+1+b＝0 C．4x2﹣8x+9＝0 D．2m2+4m+3＝0 解：A、a2﹣4+6a＝0， 整理得：a2+6a﹣4＝0， ∵Δ＝62﹣4×1×（﹣4）＝36+16＝52＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故A符合题意； B、b2+1+b＝0， 整理得：b2+b+1＝0， ∵Δ＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0， ∴原方程没有实数根， 故B不符合题意； C、4x2﹣8x+9＝0， ∵Δ＝（﹣8）2﹣4×4×9＝64﹣144＝﹣80＜0， ∴原方程没有实数根， 故C不符合题意； D、2m2+4m+3＝0， ∵Δ＝42﹣4×2×3＝16﹣24＝﹣8＜0， ∴原方程没有实数根， 故D不符合题意； 故选：A． 90．（2023秋•渝中区期末）关于x的一元二次方程．若p＝2，q＝﹣2，则原方程有两个 　不相等　（填“相等”或“不相等”）的实数根；若原方程无实数根，则p+q的取值范围是 　p+q　． 解：当p＝2，q＝﹣2时，原方程为：x2+2x＝0， ∵a＝1，b＝2，c＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×0＝4﹣0＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； ∵原方程无实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＜0， 即， ∴p2+2q+4＜0， qp2﹣2， q+pp2﹣2+p， q+p（p+1）2﹣， ∴p+q， 故答案为：不相等，p+q． 考点31：根与系数的关系 91．（2023秋•隆昌市校级期末）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如：3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两个实数根，则的值为（　　） A． B．﹣3 C． D． 解：（x+2）*3＝（x+2）2+2×3（x+2）﹣32＝x2+10x+7＝0， ∴m+n＝﹣10，mn＝7， ∴， 故选：D． 92．（2023秋•温江区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，且x1+x2﹣x1•x2＝﹣5，则实数m＝　﹣2　． 解：根据根与系数的关系得：x1+x2＝2m，x1x2＝m2+m﹣1， ∵x1+x2﹣x1•x2＝﹣5， ∴x1+x2﹣x1•x2＝2m﹣（m2+m﹣1）＝﹣5，即m2﹣m﹣6＝0， 解得m＝3或m＝﹣2， ∵Δ＝（2m）2﹣4（m2+m﹣1）＞0，解得m＜1， ∴实数m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 93．（2022春•蚌埠期末）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．3 解：方程x2﹣3x﹣1＝0中Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝13＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 根据两根之和公式求出两根之和为3． 方程x2﹣x+3＝0中Δ＝（﹣1）2﹣4×3＝﹣11＜0，所以该方程无实数根． ∴方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0一共只有两个实数根， 即所有实数根的和3． 故选：D． 考点32：一元二次方程的应用 94．（2024春•南通期末）【综合与实践】 任务主题：某校数学活动小组探究“西瓜购买、销售方案的选择”． 数据信息：A超市和B水果店售卖同品种西瓜． 信息1：A超市西瓜的售价为4元/千克，无论购买多少均不打折； 信息2：B水果店西瓜的售价为5元/千克，若一次购买3千克以上，超过3千克的部分打折销售； 信息3：B水果店销售西瓜的部分小票统计如下表（精确到1千克）： 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 … 付款金额/元 5 10 15 18.5 22 25.5 … 问题解决： 任务1：请分别直接写出在A超市与B水果店购买西瓜的付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数关系式： 任务2：某酒店承办活动需购买一批西瓜，请通过计算说明选择哪家更合算： 任务3：已知西瓜的进货成本为3元/千克，市场调研发现：如果A超市以4元/千克销售，平均每天可以售出200千克．为了减少库存，超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低0.1元，销售量就会增加20千克，在尽可能减少库存的情况下，该超市将售价定为多少元时，每天的销售利润为168元？ 解：任务1：由题意，A超时：y＝4x； B水果店：当0＜x≤3时，y＝5x； 当x＞3时，设付款金额y与购买量x之间的函数关系式为y＝kx+b， 结合表格数据，此时函数图象过（4，18.5），（5，22）， ∴． ∴． ∴y＝3.5x+4.5． ∴B水果店：y． 任务2：∵4x＜5x， ∴当0＜x≤3时，选择A超时更合算； 又由4x＜3.5x+4.5， ∴x＜9． ∴当3＜x＜9时，选择A超时更合算； 再由4x＝3.5x+4.5， ∴x＝9． ∴当x＝9时，选择A超市和B水果店付款金额相同； 当4x＞3.5x+4.5， ∴x＞9． ∴当x＞9时，选择水果店更合算． 综上，当0＜x＜9时，选择A超时更合算；当x＝9时，选择A超市和B水果店付款金额相同；当x＞9时，选择B水果店更合算． 任务3：设每个售价为m元， ∴销售量＝200+20200+20×10（4﹣m）． ∴（m﹣3）[200+200（4﹣m）]＝168． ∴m＝3.6或m＝4.4（舍去）． ∴该超市将售价定为3.6元时，每天的销售利润为168元． 95．（2024春•庐阳区校级期末）岳西县被誉为“中国茭白之乡”，该县某村今年种植12万千克的茭白，计划在A市和B市全部销售，若在A市销售，每千克茭白的利润为2元，若在B市销售，平均每千克茭白的利润y（元）与B市的销售量x（万千克）之间的关系满足：y＝﹣0.2x+4.2． （1）若在A市销售茭白2万千克，则销售完这批茭白共获利多少万元； （2）若该村销售完所有茭白共获利28.8万元，求B市销售茭白多少万千克； （3）若在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，且m≠n，请直接写出m与n所满足的关系式：　n+m＝11　． 解：（1）由题意，若在A市销售茭白2万千克，则在B市销售茭白：12﹣2：＝10（千克）， ∴销售完这批茭白共获利＝2×2+10×（﹣0.2×10+4.2）＝26（万元）． （2）设在B市销售茭白x万千克，则在A市销售茭白（12﹣x）万千克， ∴x（﹣0.2x+4.2）+2（12﹣x）＝28.8． ∴x＝3或x＝8． 答：B市销售茭白3万千克或8万千克． （3）由题意，在B市销售茭白m万千克，则在A市销售茭白（12﹣m）万千克， 在B市销售茭白n万千克，则在A市销售茭白（12﹣n）万千克， ∴m（﹣0.2m+4.2）+2（12﹣m）＝n（﹣0.2n+4.2）+2（12﹣n）． ∴（n﹣m）（n+m﹣11）＝0． ∴n＝m（舍去）或n+m＝11． 答：m与n所满足的关系式为n+m＝11． 故答案为：n+m＝11． 96．（2023秋•双流区期末）某快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本），若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店每天的利润． （1）若每份套餐售价不超过10元，直接写出y与x的函数关系式为 　y＝400x﹣2600　． （2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客；若不能，说明理由． 解：（1）由题意得：y＝400（x﹣5）﹣600＝400x﹣2600， ∴y＝400x﹣2600． 故答案为：y＝400x﹣2600． （2）由题意，每份套餐售价提高到10元以上时，y＝（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600． 当y＝1560时，（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600＝1560， ∴解得x＝11或x＝14． ∴既能保证利润又能吸引顾客，应取x＝11． ∴每份套餐的售价定为11元 时，既能保证利润，又能吸引顾客． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$