青岛版九年级上学期期末必刷常考96题（32个考点专练）（期末复习专项训练）九年级数学上学期青岛版

2024-2025学年青岛版九年级上学期期末知识大串讲【期末押题】 必刷常考96题（32个考点专练） 目录 考点1：相似多边形的性质 2 考点2：相似三角形的判定与性质 3 考点3：相似三角形的应用 5 考点4：几何变换综合题 6 考点5：作图-位似变换 13 考点6：同角三角函数的关系 16 考点7：特殊角的三角函数值 17 考点8：解直角三角形 18 考点9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 20 考点10：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 21 考点11：解直角三角形的应用-方向角问题 23 考点12：垂径定理的应用 25 考点13：圆心角、弧、弦的关系 27 考点14：三角形的外接圆与外心 28 考点15：圆周角定理 30 考点16：圆内接四边形的性质 32 考点17：相交弦定理 33 考点18：切线的判定与性质 35 考点19：切线长定理 40 考点20：切割线定理 42 考点21：三角形的内切圆与内心 43 考点22：弧长的计算 46 考点23：扇形面积的计算 47 考点24：正多边形和圆 49 考点25：解一元二次方程-直接开平方法 50 考点26：解一元二次方程-配方法 51 考点27：配方法的应用 52 考点28：解一元二次方程-公式法 53 考点29：解一元二次方程-因式分解法 54 考点30：根的判别式 54 考点31：根与系数的关系 55 考点32：一元二次方程的应用 56 考点1：相似多边形的性质 1．（2023秋•贵阳期末）下列两个图形一定相似的是（　　） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形 解：A、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； B、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意； C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意； D、两个平行四边形的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意； 故选：C． 2．（2023秋•余江区期末）如图，在长为8cm，宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是 　8　cm2． 解：长为8cm、宽为4cm的矩形的面积是32cm2， 留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似， 相似比是4：8＝1：2， 因而面积的比是1：4， 因而留下矩形的面积是328cm2． 故答案为：8． 3．（2023秋•曲阳县期末）如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是（　　） A．甲与丙 B．甲与乙 C．乙与丙 D．三个矩形都不相似 解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2＝3：4，2：3， ∴甲和丙相似， 故选：A． 考点2：相似三角形的判定与性质 4．（2023秋•保定期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为 　9：16　． 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB， ∴△DEF∽△BAF， ∵DE：EC＝3：1， ∴DE：DC＝3：4， ∴DE：AB＝3：4， ∴S△DEF：S△BAF＝9：16． 故答案为：9：16． 5．（2023秋•沈北新区期末）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图2中的数据可得x的值为 　0.96　． 解：在图2中，过点O作MN⊥AB于点M，MN交CD于点N，则ON＝x，OM＝1.2， ∵AB∥CD， ∴△OCD∽△OBA， ∴， ∴即， ∴x＝0.96． 故答案为：0.96． 6．（2023秋•武功县期末）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，AC与BE交于点F，过点F作FG∥BC．若BC＝6，则FG的长为（　　） A． B．2 C． D． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△FEA∽△FBC， ∴， ∵点E是AD的中点， ∴， ∴， ∵FG∥BC， ∴△AFG∽△ACB， ∴， ∵BC＝6， ∴FG＝2， 故选：B． 考点3：相似三角形的应用 7．（2023秋•兖州区期末）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体H到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为3：2，则物体被缩小到原来的（　　） A． B． C． D． 解：由题意得：OB＝CG，AH⊥HO，BO⊥HO， ∴∠AHO＝∠BOH＝90°， ∵∠AF1H＝∠BF1O， ∴△AHF1∽△BOF1， ∴， ∴BOAH， ∴CGAH， ∴物体被缩小到原来的， 故选：D． 8．（2024春•沂源县期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（　　）m． A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5 解：由相似三角形的性质，设树高x米， 则， ∴x＝5.1m． 故选：B． 9．（2023秋•忻州期末）如图，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，则河宽AB为　100　米． 解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°， ∴△ABD∽△ECD， ∴，则AB， ∴AB100（米）． 故答案为：100． 考点4：几何变换综合题 10．（2023秋•井陉县校级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现 ①当α＝0°时，　　； ②当α＝180°时，　　． （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决 当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长． 解：（1）①当α＝0°时， Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8， ∴AC4， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴AEAC＝2，BDBC＝4， ∴； ②当α＝180°时，如图： ∵α＝180°， ∴A，C，E共线，B，C，D共线， ∵∠B＝90°＝∠CDE， ∴AB∥DE， ∴， ∴； 故答案为：①；②； （2）当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，证明如下： 如图： ∵∠ECD＝∠ACB， ∴∠ECA＝∠DCB， 又∵， ∴△ECA∽△DCB， ∴； （3）①当△DEC在BC上方时，如图： ∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD， ∴AD8＝BC， ∵AD＝BC，AB＝DC＝4，∠B＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC＝4； ②当△DEC在BC下方时，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，如图， ∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD， ∴AD8＝BC， ∵旋转前点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DEAB＝2， ∴AE＝AD﹣DE＝8﹣2＝6， 由（2），可得， ∴BD； 综上所述，BD的长为4或． 11．（2023秋•南川区期末）在△ABC中，D为BC边上一点，连接AD，E为AD上一点，连接CE，∠AEC＝120°． （1）如图1，若AD⊥BC，CE＝6，AE＝3DE，求△ADC的面积； （2）如图2，连接BE，若∠CBE＝60°，AE＝CE，点G为AB的中点，连接GE，求证：BC＝BE+2GE； （3）如图3，若△ABC是等边三角形，BC＝9，D为直线BC上一点，将AD绕点A逆时针方向旋转90°到AK，连接DK，M为线段BC上一点，BC＝3BM，P为直线AB上一点，分别连接PM，PK，请直接写出PK+MP的最小值． （1）解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， 又∵∠AEC＝120°， ∴∠DCE＝∠AEC﹣∠ADC＝30°， 在Rt△DEC中，CE＝6， ∴，， 又AE＝3DE， ∴AD＝9， ∴DA＝AE+DE＝12， ∴； （2）证明：如图1， 延长EG到点F，使GF＝EG，连接AF，在BC上截取BH＝BE，连接EH， ∵G为AB的中点， ∴AG＝BG， ∴四边形AEBF是 平行四边形， ∴AF＝BE，AF∥BE， ∴∠FAE＝∠BED， ∵∠EBC＝60°，BH＝BE， ∴△BEH是等边三角形． ∴∠BEH＝60°，EH＝BE＝AF， 又∵∠AEC＝120°， ∴∠DEC＝60°， ∴∠BED＝∠CEH＝∠FAE， 在△EAF和△CEH中， ， ∴△EAF≌△CEH（SAS）， ∴CH＝EF， ∴BC＝BH+CH＝BE+2GE； （3）解：如图3， 作B′A⊥AB，并截取AB′＝AB，设B′K交BC的延长线于W， ∴∠BAB′＝∠DAK＝90°， ∴∠BAD＝∠B′AK， ∵AD＝AK， ∴△BAD≌△B′AK（SAS）， ∴∠AB′K＝∠B＝60°， ∴点A、B、W、B′共圆， ∴∠DWK＝180°﹣∠BAB′＝90°， 作AV⊥WK于V，作AR⊥BC于R， ∴AV＝AB′•sin∠AB′K＝AB•sin60°，BRBC， ∴K在距离AR为，且平行于AR的直线KW上运动， 作点M关于AB的对称点M′，过M′作WK的垂线分别交AB、于点P、K′，此时PM+PK的值最小，最小值为M′K′． 作MX⊥M′K′于X， ∵BC＝3BM＝9， ∴BM＝3， ∴MR＝BR﹣BM， ∴XK′＝WM＝RM+DM， ∵MM′＝2BM•sinB＝6sin60°＝3， ∴M′X＝MM′•sin60°＝3， ∴M′K′6． ∴PM+PK的最小值为：6． 12．（2023秋•东莞市期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C． （1）当AC＝BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE． （2）当AC＝8，BC＝6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒． ①CM＝　8﹣t　，当N在F→C路径上时，CN＝　6﹣3t　．（用含t的代数式表示） ②当△MDC与△CEN全等时，求出t的值． （1）证明：∵AD⊥直线l， ∴∠DAC+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠ECB， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）； （2）解：①由题意得，AM＝t，FN＝3t， 则CM＝8﹣t， 由折叠的性质可知，CF＝CB＝6， ∴CN＝6﹣3t． 故答案为：8﹣t；6﹣3t． ②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE， ∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°， ∴∠NCE＝∠CMD， ∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等， 当点N沿F→C路径运动时，8﹣t＝6﹣3t， 解得，t＝﹣1（不合题意）， 当点N沿C→B路径运动时，8﹣t＝3t﹣6， 解得，t＝3.5， 当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8﹣t＝18﹣3t， 解得，t＝5， 当点N沿C→F路径运动时，由题意得，8﹣t＝3t﹣18， 解得，t＝6.5， 综上所述，当△MDC与△CEN全等时，t＝3.5秒或5秒或6.5秒． 考点5：作图-位似变换 13．（2023秋•秦都区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（1，2），C（3，1）． （1）以原点O为位似中心，在第三象限画出△A1B1C1使得它与△ABC的相似比为2：1（点A1、B1、C1分别与点A、B、C对应）； （2）在（1）的条件下，写出点A1、C1的坐标． 解：（1）如图所示△A1B1C1 即为所求； （2）A1（﹣4，﹣6），C1（﹣6，﹣2）． 14．（2022秋•滁州期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2：1； （2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2； （3）判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 解：（1）如图，△OA1B1即为所作图形； （2）如图，△O2A2B2即为所作图形； （3）△OA1B1和△OA2B2是位似图形，点M为所求位似中心，点M的坐标为（﹣4，2）． 15．（2023春•荣成市期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为（1，0）． （1）将△ABC向左平移5个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△A1B1C1放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到△A2B2C2，在所给的方格纸中画出△A2B2C2； （3）若点M是AB的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 　（6，﹣2）　． 解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）若点M是AB的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标为（6，﹣2）， 故答案为：（6，﹣2）． 考点6：同角三角函数的关系 16．（2023秋•大荔县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA，则tanA＝（　　） A．2 B． C． D． 解：根据题意可得：， ∴3AC＝AB， 在Rt△ABC中，， ∴． 故选：A． 17．（2023秋•安乡县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA，则sinA的值为 　　． 解：令Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c， ∵∠C＝90°，cosA， 可设b＝5k，c＝13k， ∴a12k， ∴sinA， 故答案为：． 18．（2023秋•江都区期末）已知，则sinα的值为 　　． 解：∵，sin2α+cos2α＝1， ∴， 解得， 故答案为：． 考点7：特殊角的三角函数值 19．（2023秋•陈仓区期末）cos60°的值是（　　） A． B．1 C． D． 解：cos60°的值是， 故选：A． 20．（2023秋•和平区校级期末）若2sinA，则锐角A的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 解：∵2sinA ∴sinA ∴∠A＝45°， 故选：B． 21．（2023秋•凤阳县期末）如果，那么锐角α＝　30　°． 解：∵tanα， ∴锐角α＝30°． 故答案为：30． 考点8：解直角三角形 22．（2023秋•昆都仑区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于 　2　． 解：∵AC＝6，∠C＝45°， ∴AD＝AC•sin45°＝66， ∵tan∠ABC＝3， ∴3， ∴BD2， 故答案为：2． 23．（2023秋•巴中期末）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，那么sin∠BAC的值为 　　． 解：连接BC， 由勾股定理可得，AB2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴， 故答案为：． 24．（2023秋•榆林期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，，过点A作AD⊥BC于点D，．若E，F分别为AB、BC的中点，则EF的长为（　　） A．2 B． C． D．4 解：∵∠B＝45°，AD⊥BC， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴ADAB22， ∵sinC， ∴AC＝4， ∵E，F分别为AB、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EFAC＝2． 故选：A． 考点9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 25．（2023秋•宁明县期末）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，坡高BC＝5m，则坡面AB的长度（　　） A．10m B．10m C．5m D．5m 解：∵迎水坡AB的坡比是1：2， ∴BC：AC＝1：2，BC＝5m， ∴AC＝10m， 则AB5m． 故选：D． 26．（2023秋•郴州期末）为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为（　　） A． B．2m C．4m D． 解：由题意得：， 即， 由勾股定理得：， 故选：C． 27．（2023秋•衡东县校级期末）如图是拦水坝的横断面，斜面坡度为1：2，斜坡AB的水平宽度AE＝12米，则斜坡AB的铅直高度BE的长为 　6　米． 解：根据题意，斜面坡度为1：2，斜坡AB的水平宽度AE＝12米， 即在Rt△ABE中，， ∴可有， 解得． 故答案为：6． 考点10：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 28．（2023秋•临邑县期末）2023年10月26日11时14分，长征二号F遥十七运载火箭托举着神舟十七号载人飞船，在酒泉卫星发射中心点火升空，送3名航天员奔赴“天宫”．30战30捷一气呵成，中国载人航天工程，再立新功．如图，神舟十七号载人飞船从地面O处成功发射，当飞船到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°，3秒后，飞船直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°，点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，则飞船从A到B处的平均速度为多少 　335　米/秒．（结果精确到1米；参考数据：1.732，1.414） 解：由题意得：∠BOC＝90°， 在Rt△AOD中，AD＝4000米，∠ADO＝30°， ∴AOAD＝2000（米）， DOAO＝2000（米）， ∵CD＝460米， ∴OC＝OD﹣CD＝（2000460）米， 在Rt△BOC中，∠BCO＝45°， ∴BO＝OC•tan45°＝（2000460）米， ∴AB＝OB﹣OA＝2000460﹣2000＝（20002460）米， ∴飞船从A到B处的平均速度335（米/秒）， 故答案为：335． 29．（2023秋•沂源县期末）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，然后向后走160米（BC＝160米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为30°，则该主塔的高度是 　80　米． 解：过点A作AD⊥CB，垂足为D， 由题意得：∠ABD＝60°，∠ACD＝30°， ∵∠ABD是△ABC的一个外角， ∴∠CAB＝∠ABD﹣∠ACD＝30°， ∴∠CAB＝∠ACD＝30°， ∴BA＝BC＝160米， 在Rt△ABD中，AD＝AB•sin60°＝16080（米）， ∴该主塔的高度是80米， 故答案为：． 30．（2021秋•岱岳区期末）如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度发生变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他继续往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），此时塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为（　　）（精确到0.1米，参考数值：tan37°，tan53°） A．7.6米 B．7.8米 C．8.6米 D．8.8米 解：由题意可知，AB＝5米，∠DAB＝37°，∠C＝90°，∠DBC＝53°， ∵tan∠DBC＝tan53°， ∴， 设CD＝x m，则BCx m，AC＝5x（m）， 在Rt△ACD中， tan37°， 解得x＝8.6， ∴CD＝8.6（米）， 故选：C． 考点11：解直角三角形的应用-方向角问题 31．（2024春•湘西州期末）如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A．70m B．80m C．90m D．100m 解：∵∠APB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，PA＝3×20＝60（m），PB＝4×20＝80（m）， ∴AB100（m）， 答：20s后他们之间的距离为100m， 故选：D． 32．（2023秋•邯郸期末）嘉淇先向北偏西45°方向走30m，又向南偏西45°方向走30m，她现在所站的位置在起点的（　　）方向上． A．正北 B．正西 C．西北 D．西南 解：如图， 嘉淇先向北偏西45°方向走30m，又向南偏西45°方向走30m，她现在所站的位置在起点的正西方向上， 故选：B． 33．（2024春•利通区期末）如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为 　40m　． 解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角， ∴∠AOB＝90°， 又∵OA＝32m，OB＝24m， ∴AB40m． 故答案为：40m． 考点12：垂径定理的应用 34．（2023秋•广水市期末）一座拱桥的轮廓是一段半径为250m的圆弧（如图所示），桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为 　50　m． 解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示： 则OA＝OD＝250m，AC＝BCAB＝150m， ∴OC200（m）， ∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m）， 即这些钢索中最长的一根为50m， 故答案为：50． 35．（2022秋•墨玉县期末）如图是一个圆柱形的玻璃保温水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面AB＝8cm，则水的最大深度CD是 　2　cm． 解：如图所示，连接OA，OC，则有OC⊥AB， ∴ACAB8＝4（cm）， 在Rt△OAC中， OC3（cm）， ∴CD＝5﹣3＝2（cm）． 故答案为：2． 36．（2023秋•慈利县期末）如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径OA＝10m，桥拱的跨度AB＝16m，则拱高CD为（　　） A．6m B．8m C．4m D．3m 解：∵AB＝16m，CD⊥AB， ∴ADAB＝8m． 在直角△AOD中， 根据勾股定理得：OA2＝AD2+OD2 ∴102＝82+（10﹣CD）2， 解得，CD＝16m或4m， ∵OA＝10m， ∴CD＝16m不合题意，舍去， ∴CD＝4m． 故选：C． 考点13：圆心角、弧、弦的关系 37．（2023秋•杜尔伯特县期末）下列语句中：①过三点能作一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧度数相等．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①经过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，故本小题错误； ②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故本小题错误； ③长度相等的弧不一定是等弧，故本小题错误； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，符合圆的性质，故本小题正确； ⑤相等的圆心角所对的弧度数相等，故本小题正确． 故选：B． 38．（2023秋•武安市期末）如图所示，在⊙O中，，那么（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法比较 解：如图，在圆上截取弧DE＝弧CD，则有：弧AB＝弧CE，AB＝CE根据三角形的三边关系知， CD+DE＝2CD＞CE＝AB， ∴AB＜2CD． 故选：B． 39．（2023秋•攸县期末）在⊙O中，弦AB＝2cm，圆心角∠AOB＝60°，则⊙O的直径为　4　cm． 解：如图所示， ∵在⊙O中AB＝2cm，圆心角∠AOB＝60°，OA＝OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴OA＝AB＝2cm， ∴⊙O的直径＝2OA＝4cm． 故答案为：4． 考点14：三角形的外接圆与外心 40．（2023秋•齐河县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是（2，0），（3，3），⊙M是△OAB的外接圆，则点M的坐标为 　（1，2）　． 解：分别作出边OA，OB的垂直平分线，则它们的交点即为△OAB的外接圆的圆心M，如图， 则M（1，2）， 故答案为：（1，2）． 41．（2023秋•互助县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为 　9π　． 解：连接OB、OC，如图： ∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD是边BC的垂直平分线， ∴OB＝OC, ∵EF是AC的垂直平分线， ∴OA＝OC， ∴OA＝OB＝OC, ∴△ABC外接圆的圆心是O，半径是OA, 而OA＝3， ∴△ABC外接圆的面积为π•32＝9π， 故答案为：9π． 42．（2023秋•舞阳县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，6），B（1，4），C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　） A．（4，2） B．（4，3） C．（5，3） D．（5，2） 解：如图所示：点P即为所求； 所以点P的坐标为（5，2）． 故选：D． 考点15：圆周角定理 43．（2023秋•黔东南州期末）如图，AD是⊙O的直径，点B，C在⊙O上，若∠BCD＝45°，AB＝10，则AD的长为（　　） A． B．20 C． D． 解：连接BD， ∵∠BCD＝45°， ∵∠DAB＝∠BCD＝45°， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴， 故选：A． 44．（2023秋•莱芜区校级期末）下列说法错误的是（　　） A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形 解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意； B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，所以B选项说法正确，故B选项不符合题意； C．对角线相等的四边形是不一定是矩形，所以C选项说法不正确，故C选项符合题意； D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，所以D选项说法正确，故D选项不符合题意． 故选：C． 45．（2023秋•晋城期末）如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一点且sin∠CAB，E，F分别为，的中点，弦EF分别交AC，CB于点M，N．若MN＝3，则AB＝　15　． 解：如图，连接OE，OF分别交AC，BC于点P，Q． ∵E，F分别为，的中点， ∴OP垂直平分AC，OQ垂直平分BC． 又∵AB为⊙O的直径，OE＝OF， ∴， ∴∠E＝∠F＝45°， ∴∠EMP＝∠CMN＝∠CNM＝∠FNQ＝45°， ∴△PEM，△QFN，△OEF，△CMN都是等腰直角三角形． ∵， ∴． 设BC＝3x，则AB＝5x，由勾股定理可得． 又∵OE⊥AC，OF⊥BC，OA＝OB， ∴，， ∴PE＝PM＝PC﹣CM＝2x﹣3，． 又∵OP＝CQ， ∴， 解得x＝3， ∴AB＝5x＝15． 考点16：圆内接四边形的性质 46．（2023秋•秦淮区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE＝　80　°． 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠DCB＝180°， 又∵∠DCE+∠DCB＝180° ∴∠DCE＝∠A＝80° 故答案为：80． 47．（2022秋•甘井子区校级期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝140°，则∠BCD的度数为 　110°　． 解：由圆周角定理得，∠A∠BOD＝70°， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝110°． 故答案为：110°． 48．（2023秋•荣昌区校级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，则∠ADC的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．110° 解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°， 故选：B． 考点17：相交弦定理 49．（2023秋•平邑县期末）如图，已知⊙O中，弦AB、CD交于P，AP＝PB＝4，CP＝2，则CD＝　10　． 解：连接AD、BC， ∵∠A＝∠C，∠D＝∠B， ∴△APD∽△CPB， ，即， 解得，PD＝8， ∴CD＝PC+PD＝10， 故答案为：10． 50．（2023秋•姑苏区期末）如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C，若AB＝8，BC＝1，则AM＝　6　． 解：作过点M、B的直径EF，交圆于点E、F， 则EM＝MA＝MF， 由相交弦定理知，AB•BC＝EB•BF＝（EM+MB）（MF﹣MB）＝AM2﹣MB2＝8， ∵AB是圆O的直径， ∴∠AMB＝90°， 由勾股定理得，AM2+MB2＝AB2＝64， ∴AM＝6． 51．（2023秋•同心县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N．P、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果∠MNP＝∠MNQ，下面结论：①∠1＝∠2；②∠P+∠Q＝180°；③∠Q＝∠PMN；④PM＝QM；⑤MN2＝PN•QN．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③⑤ C．④⑤ D．①②⑤ 解：延长MN交圆于点W，延长QN交圆于点E，延长PN交圆于点F，连接PE，QF ∵∠PNM＝∠QNM，MN⊥AB， ∴∠1＝∠2（故①正确）， ∵∠2与∠ANE是对顶角， ∴∠1＝∠ANE， ∵AB是直径， ∴可得PN＝EN， 同理NQ＝NF， ∵点N是MW的中点，MN•NW＝MN2＝PN•NF＝EN•NQ＝PN•QN（故⑤正确）， ∴MN：NQ＝PN：MN， ∵∠PNM＝∠QNM， ∴△NPM∽△NMQ， ∴∠Q＝∠PMN（故③正确）． 故选：B． 考点18：切线的判定与性质 52．（2023秋•白碱滩区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AC＝4，CE＝2，求半径的长． （1）证明：连接OD， ∵AC＝CD， ∴∠A＝∠ADC． ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠BDO． ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°． ∴∠ADC+∠BDO＝90°． ∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°． 又∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：∵CD＝AC， ∴CD＝4， 设半径为x，则OC＝x+2， 在直角三角形ODC中， OC2＝OD2+CD2，即（x+2）2＝x2+42， ∴x＝3． ∴半径的长为3． 53．（2023秋•岚山区期末）如图1，⊙O的直径AB＝8，AM和BN是它的两条切线，点E是圆上一点，过点E的直线与AM，BN分别相交于点D，C两点，连接AE并延长，交BN点P，BC＝CP． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若，求AD长． （1）证明：连接BE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BEP＝90°， ∵BC＝CP， ∴， ∴∠CBE＝∠CEB， ∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB， ∴∠CEB+∠OEB＝∠CBE+∠OBE， 即∠OEC＝∠OBC， ∵BN是⊙O的切线， ∴OB⊥BN， ∴∠OBC＝90°， ∴∠OEC＝90°， 即OE⊥DC， ∴DC是⊙O的切线； （2）解：连接OD、OC，过点D作DF⊥BN于点F，则∠DFB＝∠DFC＝90°， ∵AM、BN、DC是⊙O的切线， ∴DA＝DE，CE＝CB，AM⊥AB，BN⊥AB， ∴∠DAB＝∠ABF＝∠DFB＝90°， ∴四边形ABFD为矩形， ∴AD＝BF，DF＝AB＝8， 设AD＝DE＝BF＝x， ∵， ∴EC＝3x， ∴BC＝3x，DC＝DE+EC＝x+3x＝4x， ∴FC＝BC﹣BF＝3x﹣x＝2x， 在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2， ∴82+（2x）2＝（4x）2， 整理得，12x2＝64， 解得，（不合，舍去）， ∴AD长为． 54．（2023秋•灵山县校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）当BE＝6时，求⊙O半径的长． （1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BDE+∠ADC＝90°， ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠ACD＝∠ECB， ∴∠ECB＝∠ADC， ∵EB＝DB， ∴∠E＝∠BDE， ∴∠E+∠BCE＝90°， ∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°， ∵OB是⊙O的半径， ∴BE是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r， ∵OC＝3， ∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r， ∵BE＝6， ∴BD＝BE＝6， 在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2， ∴36+（r+3）2＝（2r）2， ∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去）， ∴⊙O半径的长为5． 考点19：切线长定理 55．（2022秋•江门期末）如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（　　） A．12 B．6 C．8 D．4 解：∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点， ∴PA＝PB， ∵DE是⊙O的切线， ∴DA＝DC，EB＝EC， ∵△PDE的周长为12， 即PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+AD+EB+PE＝PA+PB＝2PA＝12， ∴PA＝6． 故选：B． 56．（2022秋•南沙区校级期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 　46　． 解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，如图， ∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG， ∴AD+BC＝AB+CD＝23， ∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝23+23＝46， 故答案为：46． 57．（2022秋•平泉市校级期末）如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E． （1）若△PDE的周长为10，则PA的长为　5　； （2）连接CA、CB，若∠P＝50°，则∠BCA的度数为　115　度． 解：（1）∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C， ∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB； ∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10； ∴PA＝PB＝5； （2）连接OA、OB、AC、BC，在⊙O上取一点F，连接AF、BF， ∵PA、PB分别切⊙O 于A、B； ∴∠PAO＝∠PRO＝90° ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°； ∴∠AFB∠AOB＝65°， ∵∠AFB+∠BCA＝180° ∴∠BCA＝180°﹣65°＝115°； 故答案为：5，115°． 考点20：切割线定理 58．（2023秋•蓬溪县校级期末）如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA＝2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连接AC，则阴影部分的面积等于（　　） A． B． C． D． 解：连接OB，OC， ∵AB是圆的切线， ∴∠ABO＝90°， 在直角△ABO中，OB＝1，OA＝2， ∴∠OAB＝30°，∠AOB＝60°， ∵OA∥BC， ∴∠COB＝∠AOB＝60°，且S阴影部分＝S△BOC， ∴△BOC是等边三角形，边长是1， ∴S阴影部分＝S△BOC1． 故选：A． 59．（2023春•张家港市校级期末）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，连PO交⊙O于点A，PA＝2，PO＝5，则PB的长为　4　． 解：延长PA交⊙O于C． ∵PA＝2，PO＝5， ∴OA＝3． ∵PB为⊙O的切线， ∴PB2＝PA•PC＝2×8＝16， 则PB＝±4（负值舍去）． ∴PB＝4． 60．（2023秋•易县期末）如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B、C两点，PB＝2cm，BC＝8cm，则PA的长等于（　　） A．4cm B．16cm C．20cm D．2cm 解：∵PB＝2cm，BC＝8cm， ∴PC＝10cm， ∵PA2＝PB•PC＝20， ∴PA＝2， 故选：D． 考点21：三角形的内切圆与内心 61．（2022秋•陵城区期末）如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为（　　）（结果保留π） A．π B．2π C．3π D．4π 解：连接OE、OF， ∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°， ∴AB＝5， ∵⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点， ∴EB＝DB，CE＝CF，AD＝AF，OE⊥BC，OF⊥AC， 又∵∠C＝90°，OF＝OE， ∴四边形ECFO为正方形， ∴设OE＝OF＝CF＝CE＝x， ∴BE＝4﹣x，FA＝3﹣x； ∴DB＝4﹣x，AD＝3﹣x， ∴3﹣x+4﹣x＝5， 解得：x＝1， 则⊙O的面积为：π． 故选：A． 62．（2023秋•江油市期末）如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，3），⊙M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则BP+PN的最小值是 　4　． 解：作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P， 过点M作MQ⊥x轴，交x轴于点E，过点B′作B′Q⊥MQ， ∵点B与点B′关于x轴对称， ∴PB+PN＝PB′+PN， 当N、P、B’在同一直线上且经过点M时取最小值． 在Rt△ABC中，AC5， 由⊙M是△AOC的内切圆，设⊙M的半径为r， ∴S△AOC（3r+4r+5r）3×4， 解得r＝1， ∴ME＝MN＝1， ∴QB′＝4﹣1＝3，QM＝3+1＝4， ∴MB′＝5， ∴PB′+PN＝5﹣1＝4， 即PB+PN最小值为4， 故答案为：4． 63．（2023秋•文昌校级期末）△ABC中，内切圆I和边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，则点I是△DEF（　　） A．三条高的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 解：∵ID＝IE＝IF，I是圆心， ∴该点到△DEF的三个顶点相等，则是三角形三边垂直平分线的交点． 故选：D． 考点22：弧长的计算 64．（2022秋•东营区期末）若扇形的圆心角为80°，半径为9，则扇形的弧长为 　4π　． 解：l4π． 故答案为：4π． 65．（2023秋•防城区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则的长为 　π　． 解：连接OA、OC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝110°， ∴∠B＝180°﹣∠D＝180°﹣110°＝70°， ∴∠AOC＝2∠B＝140°， ∴的长π． 故答案为：π． 66．（2023秋•新吴区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝40°，AB＝6，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若BE＝BC时，弧BD的长为（　　） A． B． C． D． 解：如图1，当BE＝BC时， ∵BE＝BC，∠ABC＝40°， ∴∠BCE＝∠BEC（180°﹣40°）＝70°， ∴∠BOD＝2∠BCE＝140°， ∴弧BD的长π． 故选：B． 考点23：扇形面积的计算 67．（2023秋•鹿寨县期末）一个扇形的半径是3，扇形的圆心角120°，那么这个扇形面积是（　　） A．4π B．3π C．2π D．π 解：由题意得：r＝3，n＝120， ∴这个扇形面积， 故选：B． 68．（2023秋•沂南县期末）如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 解：∵∠ACB＝40°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝80°， ∴扇形AOB的面积为， ∴r＝3， 故选：B． 69．（2023秋•平邑县期末）如图：在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以点B为圆心线段AB的长为半径画圆弧，若圆弧与线段BC交于点E，且弧线恰好过点O，若AB的长度为2，则图形中阴影部分的面积为 　π　．（结果保留π） 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB，∠ABC＝90°， 由作图方法可知AB＝OB， ∴OA＝OB＝AB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠ABO＝60°， ∴∠EBO＝30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴O是线段AC的中点， ∴S△ABO＝S△BOC， ∴S阴影＝S扇形ABO﹣S△ABO+S△BOC﹣S扇形BOE＝S扇形ABO﹣S扇形BOE． 故答案为：． 考点24：正多边形和圆 70．（2023秋•和平区校级期末）正六边形的边长为4cm，它的半径等于 　4　cm． 解：∵此多边形为正六边形， ∴∠AOB60°； ∵OA＝OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴OA＝AB＝4cm， 故答案为：4 71．（2024春•珠晖区校级期末）已知一个正多边形的每个外角为45°，则这个多边形的边数是 　8　． 解：由于正多边形的每一个外角都相等，且外角和是360°， 所以一个正多边形的每个外角为45°，则这个多边形的边数360°÷45°＝8， 就这个正多边形为正八边形， 故答案为：8． 72．（2022秋•平泉市期末）将⊙O的圆周12等分，点A、B、C是等分点，如图，∠ADB的度数可能为（　　） A．30° B．45° C．60° D．65° 解：将⊙O的圆周12等分，则每一等分的度数为30°， ∵点A、B、C是等分点， ∴， 又∠ADB是△ADB的一个外角， ∴∠ADB＞∠ACB，即∠ADB＞60°， 所以，满足条件的是选项D， 故选：D． 考点25：解一元二次方程-直接开平方法 73．（2023秋•兰陵县期末）一元二次方程x2﹣4＝0的解是（　　） A．x＝2 B．x1，x2 C．x＝﹣2 D．x1＝2，x2＝﹣2 解：∵x2﹣4＝0， ∴x2＝4， ∴x1＝2，x2＝﹣2， 故选：D． 74．（2023秋•黔南州期末）解方程x2＝4的结果为（　　） A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣4，x2＝4 解：∵x2＝4， ∴x1＝﹣2，x2＝2， 故选：C． 75．（2024秋•古塔区校级期中）方程（x﹣2）2＝0的解是　x1＝x2＝2　． 解：（x﹣2）2＝0 ∴x﹣2＝0 ∴x1＝x2＝2． 考点26：解一元二次方程-配方法 76．（2024春•金水区校级期末）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+a）2＝1，则a+c的值为 　11　． 解：x2+6x+c＝0， 移项，得x2+6x＝﹣c， 配方，得x2+6x+9＝9﹣c． ∴（x+3）2＝9﹣c． ∵一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+a）2＝1， ∴a＝3，9﹣c＝1． ∴c＝8． ∴a+c＝3+8＝11． 故答案为：11． 77．（2023秋•曾都区期末）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为 　5　． 解：∵x2﹣2x﹣5＝0， ∴x2﹣2x＝5， ∴x2﹣2x+1＝5+1， ∴（x﹣1）2＝6， ∴a＝﹣1，b＝6， ∴a+b＝5， 故答案为：5． 78．（2023秋•兰山区期末）一元二次方程x2+6x+4＝0配方后正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝13 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝13 解：方程移项得：x2+6x＝﹣4， 配方得：x2+6x+9＝5，即（x+3）2＝5． 故选：C． 考点27：配方法的应用 79．（2024春•仁寿县期末）已知，则的值为 　4　． 解：∵已知， ∴（a2﹣2a+1）+（ b2+b+1）＝0， ∴（a﹣1）2+（ b+1）2＝0， ∵（a﹣1）2≥0，（ b+1）2≥0， ∴a﹣1＝0，b+1＝0， ∴a＝1，b＝﹣2， ∴3×1（﹣2） ＝3+1 ＝4． 故答案为：4． 80．（2024春•东平县期末）不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2+13总是（　　） A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数 解：x2﹣4x+y2+13 ＝x2﹣4x+4+y2+9 ＝（x﹣2）2+y2+9， ∵（x﹣2）2≥0，y2≥0， ∴（x﹣2）2+y2+9＞0，即不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2+13总是正数， 故选：B． 81．（2024春•曲阳县期末）不论a为何实数，多项式a2+4a+5的值一定是（　　） A．正数 B．负数 C．零 D．不能确定 解：a2+4a+5＝a2+4a+4+1＝（a+2）2+1， ∵（a+2）2≥0， ∴（a+2）2+1≥1， ∴多项式a2+4a+5的值一定是正数， 故选：A． 考点28：解一元二次方程-公式法 82．（2024春•吴兴区期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 故选：A． 83．（2024春•宁阳县期末）定义新运算：规定，例如，若，则x的值为 　或﹣3　． 解：由题意可得3x2﹣（1﹣8x）＝2， 整理得：3x2+8x﹣3＝0， ∵a＝3，b＝8，c＝﹣3， ∴Δ＝82﹣4×3×（﹣3）＝100＞0， 则x， 解得：x或x＝﹣3， 故答案为：或﹣3． 84．（2022秋•永城市期末）用公式法解一元二次方程，得：x，则该一元二次方程是 　3x2+5x+1＝0　． 解：根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1， 则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0， 故答案为：3x2+5x+1＝0 考点29：解一元二次方程-因式分解法 85．（2024春•苏州期末）方程x2+6x＝0的根为　x1＝0，x2＝﹣6．　． 解：x（x+6）＝0， ∴x＝0或x+6＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣6． 故答案为x1＝0，x2＝﹣6． 86．（2023秋•杨浦区期末）方程x2＝5x的解是　x1＝0，x2＝5　． 解：x2﹣5x＝0， ∴x（x﹣5）＝0， ∴x＝0或x﹣5＝0， ∴x1＝0，x2＝5． 故答案为x1＝0，x2＝5． 87．（2023秋•榆林期末）方程（x﹣2）2＝x﹣2的解是（　　） A．x1＝2，x2＝3 B．x1＝2，x2＝1 C．x＝2 D．x＝3 解：移项得：（x﹣2）2＝x﹣2， （x﹣2）2﹣（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2﹣1）＝0， x﹣2＝0，x﹣2﹣1＝0， x1＝2，x2＝3， 故选：A． 考点30：根的判别式 88．（2024春•兴隆台区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16 解：因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0， 解得c＝4． 故选：C． 89．（2023秋•灵山县校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4﹣4m＞0， 解得：m＜1． 故选：A． 90．（2023秋•慈利县期末）如果方程mx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 　m＜1且m≠0　． 解：∵关于x的方程mx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0且m≠0， ∴4﹣4m＞0且m≠0， ∴m＜1且m≠0， 故答案为：m＜1且m≠0． 考点31：根与系数的关系 91．（2023秋•东阿县校级期末）已知a，b分别是方程x2+2x﹣5＝0的两根，则a2+4a+2b的值为 　1　． 解：∵a是方程x2+2x﹣5＝0的根， ∴a2+2a﹣5＝0， ∴a2＝﹣2a+5， ∴a2+4a+2b＝﹣2a+5+4a+2b＝2（a+b）+5， ∵a，b分别是方程x2+2x﹣5＝0的两根， ∴a+b＝﹣2， ∴a2+4a+2b＝2×（﹣2）+5＝1． 故答案为：1． 92．（2024春•瓯海区期末）已知﹣2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则这个方程的另一个根为 　3　． 解：设另一个根为x＝m，则﹣2m＝﹣6， 解得：m＝3， 所以，另一个根为3． 故答案为：3． 93．（2023秋•柳河县期末）一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则（　　） A． B．1 C． D． 解：根据题意得x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣1， 所以1． 故选：B． 考点32：一元二次方程的应用 94．（2023秋•隆昌市校级期末）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是（x+x+2）2．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5．则在下面四个构图中，能正确说明方程：x2﹣2x﹣8＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 解：方程x2﹣2x﹣8＝0，即x（x﹣2）＝8的拼图如图所示： 中间小正方形的边长x﹣（x﹣2）＝2，其面积为4， 大正方形的面积：（x+x﹣2）2＝4x（x﹣2）+4＝4×8+4＝36，其边长为6， 因此，B选项所表示的图形符合题意． 故选：B． 95．（2023秋•文昌校级期末）直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（　　） A． B．5 C． D．7 解：设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边的长为（7﹣x），由题意，得 x（7﹣x）＝6， 解得：x1＝3．，x2＝4， 由勾股定理，得 斜边为：5． 故选：B． 96．（2023秋•文昌校级期末）要用一条长为24cm的铁丝围成一个斜边长是10cm的直角三角形，则两直角边的长分别为　6cm，8cm　． 解：设一直角边长为xcm，根据勾股定理得： （14﹣x）2+x2＝102， 解得x1＝6，x2＝8， 故答案为：6cm，8cm． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年青岛版九年级上学期期末知识大串讲【期末押题】 必刷常考96题（32个考点专练） 目录 考点1：相似多边形的性质 2 考点2：相似三角形的判定与性质 3 考点3：相似三角形的应用 3 考点4：几何变换综合题 4 考点5：作图-位似变换 7 考点6：同角三角函数的关系 10 考点7：特殊角的三角函数值 10 考点8：解直角三角形 10 考点9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 11 考点10：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 12 考点11：解直角三角形的应用-方向角问题 13 考点12：垂径定理的应用 14 考点13：圆心角、弧、弦的关系 15 考点14：三角形的外接圆与外心 15 考点15：圆周角定理 16 考点16：圆内接四边形的性质 17 考点17：相交弦定理 18 考点18：切线的判定与性质 18 考点19：切线长定理 20 考点20：切割线定理 20 考点21：三角形的内切圆与内心 21 考点22：弧长的计算 22 考点23：扇形面积的计算 23 考点24：正多边形和圆 23 考点25：解一元二次方程-直接开平方法 24 考点26：解一元二次方程-配方法 24 考点27：配方法的应用 24 考点28：解一元二次方程-公式法 25 考点29：解一元二次方程-因式分解法 25 考点30：根的判别式 25 考点31：根与系数的关系 26 考点32：一元二次方程的应用 26 考点1：相似多边形的性质 1．（2023秋•贵阳期末）下列两个图形一定相似的是（　　） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形 2．（2023秋•余江区期末）如图，在长为8cm，宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是 　 　cm2． 3．（2023秋•曲阳县期末）如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是（　　） A．甲与丙 B．甲与乙 C．乙与丙 D．三个矩形都不相似 考点2：相似三角形的判定与性质 4．（2023秋•保定期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为 　 　． 5．（2023秋•沈北新区期末）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图2中的数据可得x的值为 　 　． 6．（2023秋•武功县期末）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，AC与BE交于点F，过点F作FG∥BC．若BC＝6，则FG的长为（　　） A． B．2 C． D． 考点3：相似三角形的应用 7．（2023秋•兖州区期末）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体H到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为3：2，则物体被缩小到原来的（　　） A． B． C． D． 8．（2024春•沂源县期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（　　）m． A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5 9．（2023秋•忻州期末）如图，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，则河宽AB为　 　米． 考点4：几何变换综合题 10．（2023秋•井陉县校级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现 ①当α＝0°时，　 　； ②当α＝180°时，　 　． （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决 当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长． 11．（2023秋•南川区期末）在△ABC中，D为BC边上一点，连接AD，E为AD上一点，连接CE，∠AEC＝120°． （1）如图1，若AD⊥BC，CE＝6，AE＝3DE，求△ADC的面积； （2）如图2，连接BE，若∠CBE＝60°，AE＝CE，点G为AB的中点，连接GE，求证：BC＝BE+2GE； （3）如图3，若△ABC是等边三角形，BC＝9，D为直线BC上一点，将AD绕点A逆时针方向旋转90°到AK，连接DK，M为线段BC上一点，BC＝3BM，P为直线AB上一点，分别连接PM，PK，请直接写出PK+MP的最小值． 12．（2023秋•东莞市期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C． （1）当AC＝BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE． （2）当AC＝8，BC＝6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒． ①CM＝　 　，当N在F→C路径上时，CN＝　 　．（用含t的代数式表示） ②当△MDC与△CEN全等时，求出t的值． 考点5：作图-位似变换 13．（2023秋•秦都区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（1，2），C（3，1）． （1）以原点O为位似中心，在第三象限画出△A1B1C1使得它与△ABC的相似比为2：1（点A1、B1、C1分别与点A、B、C对应）； （2）在（1）的条件下，写出点A1、C1的坐标． 14．（2022秋•滁州期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2：1； （2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2； （3）判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 15．（2023春•荣成市期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为（1，0）． （1）将△ABC向左平移5个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△A1B1C1放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到△A2B2C2，在所给的方格纸中画出△A2B2C2； （3）若点M是AB的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 　 　． 考点6：同角三角函数的关系 16．（2023秋•大荔县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA，则tanA＝（　　） A．2 B． C． D． 17．（2023秋•安乡县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA，则sinA的值为 　 　． 18．（2023秋•江都区期末）已知，则sinα的值为 　 　． 考点7：特殊角的三角函数值 19．（2023秋•陈仓区期末）cos60°的值是（　　） A． B．1 C． D． 20．（2023秋•和平区校级期末）若2sinA，则锐角A的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 21．（2023秋•凤阳县期末）如果，那么锐角α＝　 　°． 考点8：解直角三角形 22．（2023秋•昆都仑区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于 　 　． 23．（2023秋•巴中期末）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，那么sin∠BAC的值为 　 　． 24．（2023秋•榆林期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，，过点A作AD⊥BC于点D，．若E，F分别为AB、BC的中点，则EF的长为（　　） A．2 B． C． D．4 考点9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 25．（2023秋•宁明县期末）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，坡高BC＝5m，则坡面AB的长度（　　） A．10m B．10m C．5m D．5m 26．（2023秋•郴州期末）为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离AB为（　　） A． B．2m C．4m D． 27．（2023秋•衡东县校级期末）如图是拦水坝的横断面，斜面坡度为1：2，斜坡AB的水平宽度AE＝12米，则斜坡AB的铅直高度BE的长为 　 　米． 考点10：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 28．（2023秋•临邑县期末）2023年10月26日11时14分，长征二号F遥十七运载火箭托举着神舟十七号载人飞船，在酒泉卫星发射中心点火升空，送3名航天员奔赴“天宫”．30战30捷一气呵成，中国载人航天工程，再立新功．如图，神舟十七号载人飞船从地面O处成功发射，当飞船到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°，3秒后，飞船直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°，点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，则飞船从A到B处的平均速度为多少 　 　米/秒．（结果精确到1米；参考数据：1.732，1.414） 29．（2023秋•沂源县期末）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，然后向后走160米（BC＝160米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为30°，则该主塔的高度是 　 　米． 30．（2021秋•岱岳区期末）如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度发生变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他继续往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），此时塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为（　　）（精确到0.1米，参考数值：tan37°，tan53°） A．7.6米 B．7.8米 C．8.6米 D．8.8米 考点11：解直角三角形的应用-方向角问题 31．（2024春•湘西州期末）如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A．70m B．80m C．90m D．100m 32．（2023秋•邯郸期末）嘉淇先向北偏西45°方向走30m，又向南偏西45°方向走30m，她现在所站的位置在起点的（　　）方向上． A．正北 B．正西 C．西北 D．西南 33．（2024春•利通区期末）如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为 　 　． 考点12：垂径定理的应用 34．（2023秋•广水市期末）一座拱桥的轮廓是一段半径为250m的圆弧（如图所示），桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为 　 　m． 35．（2022秋•墨玉县期末）如图是一个圆柱形的玻璃保温水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面AB＝8cm，则水的最大深度CD是 　 　cm． 36．（2023秋•慈利县期末）如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径OA＝10m，桥拱的跨度AB＝16m，则拱高CD为（　　） A．6m B．8m C．4m D．3m 考点13：圆心角、弧、弦的关系 37．（2023秋•杜尔伯特县期末）下列语句中：①过三点能作一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧度数相等．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．（2023秋•武安市期末）如图所示，在⊙O中，，那么（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法比较 39．（2023秋•攸县期末）在⊙O中，弦AB＝2cm，圆心角∠AOB＝60°，则⊙O的直径为　 　cm． 考点14：三角形的外接圆与外心 40．（2023秋•齐河县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是（2，0），（3，3），⊙M是△OAB的外接圆，则点M的坐标为 　 　． 41．（2023秋•互助县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为 　 　． 42．（2023秋•舞阳县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，6），B（1，4），C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　） A．（4，2） B．（4，3） C．（5，3） D．（5，2） 考点15：圆周角定理 43．（2023秋•黔东南州期末）如图，AD是⊙O的直径，点B，C在⊙O上，若∠BCD＝45°，AB＝10，则AD的长为（　　） A． B．20 C． D． 44．（2023秋•莱芜区校级期末）下列说法错误的是（　　） A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形 45．（2023秋•晋城期末）如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一点且sin∠CAB，E，F分别为，的中点，弦EF分别交AC，CB于点M，N．若MN＝3，则AB＝　 　． 考点16：圆内接四边形的性质 46．（2023秋•秦淮区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE＝　 　°． 47．（2022秋•甘井子区校级期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝140°，则∠BCD的度数为 　 　． 48．（2023秋•荣昌区校级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，则∠ADC的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．110° 考点17：相交弦定理 49．（2023秋•平邑县期末）如图，已知⊙O中，弦AB、CD交于P，AP＝PB＝4，CP＝2，则CD＝　 　． 50．（2023秋•姑苏区期末）如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C，若AB＝8，BC＝1，则AM＝　 　． 51．（2023秋•同心县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N．P、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果∠MNP＝∠MNQ，下面结论：①∠1＝∠2；②∠P+∠Q＝180°；③∠Q＝∠PMN；④PM＝QM；⑤MN2＝PN•QN．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③⑤ C．④⑤ D．①②⑤ 考点18：切线的判定与性质 52．（2023秋•白碱滩区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AC＝4，CE＝2，求半径的长． 53．（2023秋•岚山区期末）如图1，⊙O的直径AB＝8，AM和BN是它的两条切线，点E是圆上一点，过点E的直线与AM，BN分别相交于点D，C两点，连接AE并延长，交BN点P，BC＝CP． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若，求AD长． 54．（2023秋•灵山县校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）当BE＝6时，求⊙O半径的长． 考点19：切线长定理 55．（2022秋•江门期末）如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（　　） A．12 B．6 C．8 D．4 56．（2022秋•南沙区校级期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 　 　． 57．（2022秋•平泉市校级期末）如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E． （1）若△PDE的周长为10，则PA的长为　 　； （2）连接CA、CB，若∠P＝50°，则∠BCA的度数为　 　度． 考点20：切割线定理 58．（2023秋•蓬溪县校级期末）如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA＝2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连接AC，则阴影部分的面积等于（　　） A． B． C． D． 59．（2023春•张家港市校级期末）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，连PO交⊙O于点A，PA＝2，PO＝5，则PB的长为　 　． 60．（2023秋•易县期末）如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B、C两点，PB＝2cm，BC＝8cm，则PA的长等于（　　） A．4cm B．16cm C．20cm D．2cm 考点21：三角形的内切圆与内心 61．（2022秋•陵城区期末）如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为（　　）（结果保留π） A．π B．2π C．3π D．4π 62．（2023秋•江油市期末）如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，3），⊙M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则BP+PN的最小值是 　 　． 63．（2023秋•文昌校级期末）△ABC中，内切圆I和边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，则点I是△DEF（　　） A．三条高的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 考点22：弧长的计算 64．（2022秋•东营区期末）若扇形的圆心角为80°，半径为9，则扇形的弧长为 　 　． 65．（2023秋•防城区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则的长为 　 　． 66．（2023秋•新吴区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝40°，AB＝6，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若BE＝BC时，弧BD的长为（　　） A． B． C． D． 考点23：扇形面积的计算 67．（2023秋•鹿寨县期末）一个扇形的半径是3，扇形的圆心角120°，那么这个扇形面积是（　　） A．4π B．3π C．2π D．π 68．（2023秋•沂南县期末）如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 69．（2023秋•平邑县期末）如图：在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以点B为圆心线段AB的长为半径画圆弧，若圆弧与线段BC交于点E，且弧线恰好过点O，若AB的长度为2，则图形中阴影部分的面积为 　 　．（结果保留π） 考点24：正多边形和圆 70．（2023秋•和平区校级期末）正六边形的边长为4cm，它的半径等于 　 　cm． 71．（2024春•珠晖区校级期末）已知一个正多边形的每个外角为45°，则这个多边形的边数是 　 　． 72．（2022秋•平泉市期末）将⊙O的圆周12等分，点A、B、C是等分点，如图，∠ADB的度数可能为（　　） A．30° B．45° C．60° D．65° 考点25：解一元二次方程-直接开平方法 73．（2023秋•兰陵县期末）一元二次方程x2﹣4＝0的解是（　　） A．x＝2 B．x1，x2 C．x＝﹣2 D．x1＝2，x2＝﹣2 74．（2023秋•黔南州期末）解方程x2＝4的结果为（　　） A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣4，x2＝4 75．（2024秋•古塔区校级期中）方程（x﹣2）2＝0的解是　 　． 考点26：解一元二次方程-配方法 76．（2024春•金水区校级期末）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+a）2＝1，则a+c的值为 　 　． 77．（2023秋•曾都区期末）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为 　 　． 78．（2023秋•兰山区期末）一元二次方程x2+6x+4＝0配方后正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝13 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝13 考点27：配方法的应用 79．（2024春•仁寿县期末）已知，则的值为 　 　． 80．（2024春•东平县期末）不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2+13总是（　　） A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数 81．（2024春•曲阳县期末）不论a为何实数，多项式a2+4a+5的值一定是（　　） A．正数 B．负数 C．零 D．不能确定 考点28：解一元二次方程-公式法 82．（2024春•吴兴区期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 83．（2024春•宁阳县期末）定义新运算：规定，例如，若，则x的值为 　 　． 84．（2022秋•永城市期末）用公式法解一元二次方程，得：x，则该一元二次方程是 　 　． 考点29：解一元二次方程-因式分解法 85．（2024春•苏州期末）方程x2+6x＝0的根为　 　． 86．（2023秋•杨浦区期末）方程x2＝5x的解是　 　． 87．（2023秋•榆林期末）方程（x﹣2）2＝x﹣2的解是（　　） A．x1＝2，x2＝3 B．x1＝2，x2＝1 C．x＝2 D．x＝3 考点30：根的判别式 88．（2024春•兴隆台区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16 89．（2023秋•灵山县校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 90．（2023秋•慈利县期末）如果方程mx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 　 　． 考点31：根与系数的关系 91．（2023秋•东阿县校级期末）已知a，b分别是方程x2+2x﹣5＝0的两根，则a2+4a+2b的值为 　 　． 92．（2024春•瓯海区期末）已知﹣2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则这个方程的另一个根为 　 　． 93．（2023秋•柳河县期末）一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则（　　） A． B．1 C． D． 考点32：一元二次方程的应用 94．（2023秋•隆昌市校级期末）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是（x+x+2）2．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5．则在下面四个构图中，能正确说明方程：x2﹣2x﹣8＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 95．（2023秋•文昌校级期末）直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（　　） A． B．5 C． D．7 96．（2023秋•文昌校级期末）要用一条长为24cm的铁丝围成一个斜边长是10cm的直角三角形，则两直角边的长分别为　 　． 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