专题3.2 弧长及扇形面积的计算（考题猜想，易错、好题必刷40题8种题型）（期末复习专项训练）九年级数学上学期青岛版

专题3.2 弧长及扇形面积的计算（易错、好题必刷40题8种题型专项训练） 目录 【题型01 求弧长】 1 【题型02 求扇形半径】 4 【题型03 求圆心角】 4 【题型04 求某点的弧形运动路径长度】 6 【题型05 求扇形面积】 9 【题型06 求图形旋转后扫过的面积】 10 【题型07 求弓形面积】 13 【题型08 求其他不规则图形的面积】 15 【题型01 求弧长】 1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（　　） A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲、乙同时到B D．无法确定 2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知点在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．，，则的长为 ． 3．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形； (2)直接写出点的坐标： (3)求点B经过的路径的长（结果保留）． 4．（23-24九年级上·安徽·期末）如图．是以的边为直径的外接圆，且，是上一点，且在的下方． (1)求的度数． (2)若，．求劣弧的长． 5．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在中，以为直径的交于点，弦交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径的长度； (3)在第（2）问的基础上，求的长度（已知，结果保留）． 【题型02 求扇形半径】 6．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知扇形的弧长为，该所对圆心角为，则此扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，点B、E是以为直径的半圆的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为 ． 9．（23-24九年级上·天津滨海新·期末）扇形的弧长为，弧所对的圆心角为，则此扇形的半径为 ． 10．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为 cm． 【题型03 求圆心角】 11．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，折线段将面积为的分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为，若，则称分成的小扇形为“黄金扇形”，生活中的折扇大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）已知扇形的半径为，扇形的弧长为，则此扇形的圆心角是 ． 13．（23-24九年级上·广东汕头·期末）已知扇形的半径为9，弧长为，则它的圆心角是 度． 14．（22-23九年级上·山东济宁·期末）如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间，掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角为 度．    15．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，与相切于点A，交于点C，，的长为，求的长． 【题型04 求某点的弧形运动路径长度】 16．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，把绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（   ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，．绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上时，点C经过的路径长为（　　）    A． B． C． D．π 18．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，菱形的边长为，，为对角线．将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求在旋转过程中点扫过路径的长．（结果保留） 19．（24-25九年级上·河北沧州·期末）把一副三角板按如图1的方式放置，其中，，，斜边，将三角板绕点逆时针旋转，得到（如图，点恰好落在上． (1)求的度数； (2)计算点D旋转至点M的路径长． 20．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于x轴对称的； (2)画出绕原点O顺时针旋转的，并求在旋转过程中，点A到点所经过的路径长． 【题型05 求扇形面积】 21．（21-22九年级上·广西玉林·期末）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点P的直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交于点P，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24九年级上·云南红河·期末）一个圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（   ） A． B． C． D． 23．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，以菱形对角线上的点O为圆心，的长为半径作圆，与相交于点E，点A，C恰好都在上，若，的直径为12，解决下列问题： （1）的长为 ． （2）连接，则扇形的面积约为 ． （参考数据：，，） 24．（23-24九年级下·全国·期末）如图，外侧大圆的半径是10，在里边有两条互相垂直的直径和两个同心圆，其中阴影部分的面积是，请问中间圆的半径是 ． 25．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型06 求图形旋转后扫过的面积】 26．（24-25九年级上·四川·期末）在平面直角坐标中，边长为2 的正方形的两顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O 在原点． 现将正方形绕点 O 顺时针旋转，当点A 第一次落在直线 上时停止旋转，旋转过程中，边交直线． 于点M，边交x轴于点N（如图）． (1)求边在旋转过程中所扫过的面积；（结果保留π） (2)旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数； (3)设 的周长为p，在旋转正方形的过程中，p值是否有变化？ 请证明你的结论． 27．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，将绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形； (2)所得点的坐标为 ； (3)线段扫过的图形的面积为 ．（结果保留π） 28．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕着点逆时针旋转后得到，则坐标为________，并在图中画出； (2)旋转过程中所扫过的面积为________（结果保留 ）． 29．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上． (1)以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为，则点A的坐标为______； (2)画出绕点O顺时针旋转90°后的，并求线段扫过的面积． 30．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将绕点逆时针旋转90°后得到．    (1)画出． (2)求旋转过程中线段所扫过的面积． 【题型07 求弓形面积】 31．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧的中点，交弦于点，若，求：    (1)的长． (2)阴影部分的面积． 32．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，经过A、B两点的与边交于点E，圆心O在上，过点O作交于点D，连接交于点F，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 33．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，垂足为，交于，连接．    (1)判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，求的长； (3)若是弧的中点，，求图中阴影部分的面积． 34．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作； (1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心点的位置，并写出点的坐标为______； (2)求出弓形的面积． 35．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面所在圆的半径，表示水面的位置．过点作，垂足为，交于点，水面高．求截面上有水部分的面积． 【题型08 求其他不规则图形的面积】 36．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知的半径为2，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．π D．2 37．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图, 在等腰直角三角形中，，分别以点B，点 C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 38．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）如图，中，边，，以A为圆心，对角线为半径画弧，分别交边AB于点E，连接EC，则图中阴影部分的面积是 ． 39．（22-23九年级上·江西赣州·期末）（1）课本再现：如图，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由， （2）知识应用：如图，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 40．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，是的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点， (1)求证：为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）； (3)若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 弧长及扇形面积的计算（易错、好题必刷40题8种题型专项训练） 目录 【题型01 求弧长】 1 【题型02 求扇形半径】 8 【题型03 求圆心角】 11 【题型04 求某点的弧形运动路径长度】 13 【题型05 求扇形面积】 19 【题型06 求图形旋转后扫过的面积】 23 【题型07 求弓形面积】 30 【题型08 求其他不规则图形的面积】 38 【题型01 求弧长】 1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（　　） A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲、乙同时到B D．无法确定 【答案】C 【思路点拨】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该，乙虫走的路程为，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到点．本题考查了圆的认识，主要掌握弧长的计算公式． 【规范解答】解：甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行， ∴甲虫走的路程为， 乙虫走的路程为， 甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等， ∵两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点， 因此甲虫和乙虫同时到点． 故选：C． 2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知点在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】取点在上的对应点E，连接，过点作于点，根据四边形内接于，有，根据折叠的性质有，可证明，即是等腰三角形，则有，进而有，再解直角三角形求得，然后利用勾股定理求得，易证得是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求得即可． 【规范解答】解：取点在上的对应点，连接，过点作于点，如图， ∵四边形内接于， ∴， ∵点在上的对应点为点， ∴根据折叠的性质有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为； 故答案为：． 3．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形； (2)直接写出点的坐标： (3)求点B经过的路径的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了作图—旋转变换，坐标与图形，勾股定理，弧长公式，解题的关键是掌握勾股定理以及弧长公式． （1）根据要求作图即可； （2）由图即可判断； （3）先计算出，再根据弧长公式计算即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由图可知，点的坐标为． （3）解：由图可知，， ∴， 答：的长． 4．（23-24九年级上·安徽·期末）如图．是以的边为直径的外接圆，且，是上一点，且在的下方． (1)求的度数． (2)若，．求劣弧的长． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】（1）根据是的直径可知，根据可求出，进而得出是等腰直角三角形，于是得到，最后根据同弧所对圆周角相等即可求解； （2）连接，，根据是等腰直角三角形得到是等腰直角三角形，进而得到， 根据，得到的度数，进而根据圆周角定理得到的度数，最后根据弧长计算公式即可求解． 【规范解答】（1）解：是的直径， ． ， ， 是等腰直角三角形， ， ． （2）解：如图，连接，． 由（1）知，， 是等腰直角三角形（底边上三线合一）， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴． 5．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在中，以为直径的交于点，弦交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径的长度； (3)在第（2）问的基础上，求的长度（已知，结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了切线的判定定理，勾股定理，弧长公式，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂径定理得出，再由平行线的性质得出，即可得证； （2）连接，设的半径是，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）求出，再由弧长公式计算即可得出答案． 【规范解答】（1）证明：∵，是的直径， ， ∴， 又， ∴， . 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接，设的半径是， 在中，， 又∵，，， ∴， 解得. ∴； （3）解：，，， 在中，， ∴， ∴， ∴的长度约为． 【题型02 求扇形半径】 6．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知扇形的弧长为，该所对圆心角为，则此扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了用弧长公式计算扇形半径，扇形的半径为，然后用弧长公式即可求解，熟记弧长公式是解题的关键． 【规范解答】设扇形的半径为， ∴， 解得：， 故选：． 7．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，点B、E是以为直径的半圆的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据弧弦圆心角的关系求出，利用弧长公式求出圆的半径，进而利用锐角三角函数关系得出，的长，利用图中阴影部分的面积求出即可． 【规范解答】解：连接，设半圆O的半径为R． ∵B，E是半圆弧的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∵弧的长为， ∴， 解得：， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和同底等高， ∴和面积相等， ∴图中阴影部分的面积为：． 故选A． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键．根据弧长公式，计算得到答案． 【规范解答】解：设扇形的半径是R， 则 解得：． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·天津滨海新·期末）扇形的弧长为，弧所对的圆心角为，则此扇形的半径为 ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查了弧长公式，设圆的半径为r，根据题意，得，计算即可． 【规范解答】设圆的半径为r，根据题意，得， 解得． 故答案为：9． 10．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为 cm． 【答案】6 【思路点拨】根据弧长计算公式，将其变形即可求出扇形半径． 【规范解答】扇形的弧长为， 解得，， 故答案为：6． 【题型03 求圆心角】 11．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，折线段将面积为的分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为，若，则称分成的小扇形为“黄金扇形”，生活中的折扇大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查圆心角的计算，利用圆的周角等于，根据“黄金扇形”的定义列算式求解即可． 【规范解答】解：“黄金扇形”的圆心角约为， 故选C． 12．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）已知扇形的半径为，扇形的弧长为，则此扇形的圆心角是 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题主要考查了弧长的计算公式，代入弧长公式计算即可． 【规范解答】解：扇形的弧长是． ∴ 故答案是：． 13．（23-24九年级上·广东汕头·期末）已知扇形的半径为9，弧长为，则它的圆心角是 度． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键：（其中l为弧长，为扇形圆心角度数的值，r为半径）． 【规范解答】解：设扇形的圆心角度数为， 由题意得，， 解得， ∴该扇形的圆心角度数为， 故答案为：． 14．（22-23九年级上·山东济宁·期末）如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间，掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角为 度．    【答案】 【思路点拨】由题意得：，，设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是，则，进行计算即可得． 【规范解答】解：如图，    由题意得：，， 设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是， 则， 解得：， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，与相切于点A，交于点C，，的长为，求的长． 【答案】 【思路点拨】本题根据切线的性质得出，再利用弧长公式求出，推出，得到，结合勾股定理求得，根据即可求得． 【规范解答】解：连接， 与相切于点A， ，即． 设， ，的长为， ． 解得，即． ． ．   ．   在中，， ． 【题型04 求某点的弧形运动路径长度】 16．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，把绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，求弧长，旋转的性质，先利用勾股定理得到，再由由旋转的性质可得，据此利用弧长公式求解即可． 【规范解答】解：在中，由勾股定理得， 由旋转的性质可得， ∴点B走过的路径长为， 故选：D． 17．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，．绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上时，点C经过的路径长为（　　）    A． B． C． D．π 【答案】C 【思路点拨】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质、弧长公式等知识点，能求出线段的长和的度数是解此题的关键． 解直角三角形求出，求出度数，从而求出度数，根据弧长公式求出即可． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∵绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴点C经过的路径长为：， 故选：C． 18．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，菱形的边长为，，为对角线．将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求在旋转过程中点扫过路径的长．（结果保留） 【答案】(1)证明见解析； (2)在旋转过程中点扫过路径的长为． 【思路点拨】（）由四边形是菱形，，则，由旋转性质可知，，则，最后根据即可求证； （）连接交与，根据菱形的性质可得，，，由角所对直角边是斜边的一半得，再由勾股定理得，利用弧长公式即可即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是菱形，， ∴， 由旋转性质可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：连接交与， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由旋转性质可知：， ∴弧的长为， ∴在旋转过程中点扫过路径的长为． 19．（24-25九年级上·河北沧州·期末）把一副三角板按如图1的方式放置，其中，，，斜边，将三角板绕点逆时针旋转，得到（如图，点恰好落在上． (1)求的度数； (2)计算点D旋转至点M的路径长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了旋转的性质，三角函数，以及弧长公式等知识，判定出旋转角为是解题的关键． （1）分别求出和的长度，求出即可解决问题； （2）代入弧长计算公式即可． 【规范解答】（1）解：在中，， ， 在中，， ， 将三角板绕点逆时针旋转，得到， ， 在中，， ， （2）解：由（1）知，旋转角为， ， 点旋转至点的路径长为． 20．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于x轴对称的； (2)画出绕原点O顺时针旋转的，并求在旋转过程中，点A到点所经过的路径长． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析，． 【思路点拨】本题主要考查了轴对称作图、旋转作图、弧长公式等知识点，掌握轴对称的性质和旋转的性质是解本题的关键． （1）根据轴对称的性质即可画出关于x轴对称的； （2）根据旋转的性质即可画出绕原点O顺时针旋转的，根据弧长公式即可求出点A到点所经过的路径长． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； ． （2）解：如图：即为所求； ∵， ∴点A到点所经过的路径长为：． 【题型05 求扇形面积】 21．（21-22九年级上·广西玉林·期末）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点P的直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交于点P，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】连接，根据折叠可知，，，，进而可得是等边三角形，则，进而求得的面积，根据阴影部分面积求解即可． 【规范解答】解：连接，交于E， ∵沿对折O和Q重合，， ∴，，，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故选：D． 22．（23-24九年级上·云南红河·期末）一个圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了圆锥的侧面积展开计算，熟练掌握弧长公式，扇形面积公式是解题的关键． 设圆锥的母线为，底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为，根据圆锥侧面积与底面积的关系建立方程求解即可； 【规范解答】解：设圆锥的母线为，底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为， 根据圆锥侧面积与底面积的关系有，其中， ， ， ， 故选：D 23．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，以菱形对角线上的点O为圆心，的长为半径作圆，与相交于点E，点A，C恰好都在上，若，的直径为12，解决下列问题： （1）的长为 ． （2）连接，则扇形的面积约为 ． （参考数据：，，） 【答案】 16 34.54 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形，菱形的性质，扇形的面积． （1）由题意可得，根据，令，，即可求解； （2）连接交于点H，根据菱形的性质，解直角三角形，求出，可得，根据扇形面积公式计算即可． 【规范解答】解：（1）的直径为12， ． ∵． 令，． ∴． ∴． ∴， 故答案为：16； （2）如图．连接交于点H． ∵四边形为菱形． ∴，． ∴． ∴， ∴， ∴． ∴， 故答案为：． 24．（23-24九年级下·全国·期末）如图，外侧大圆的半径是10，在里边有两条互相垂直的直径和两个同心圆，其中阴影部分的面积是，请问中间圆的半径是 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 设中间圆的半径为r，通过旋转可将阴影部分转化为最大圆的和中间圆的，然后根据圆的面积公式得到，再解方程即可． 【规范解答】解：设中间圆的半径为r， 根据题意得， 解得 (舍去)， 即中间圆的半径为 故答案为：6． 25．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查与圆相关的阴影部分面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据题意求出圆的半径和的度数，再计算出与的差，即可得到答案． 【规范解答】解：连接， ∵是的内切圆， ∴分别与相切于点， ∴四边形是正方形， 设的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，解得：， ∵是的内切圆， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 【题型06 求图形旋转后扫过的面积】 26．（24-25九年级上·四川·期末）在平面直角坐标中，边长为2 的正方形的两顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O 在原点． 现将正方形绕点 O 顺时针旋转，当点A 第一次落在直线 上时停止旋转，旋转过程中，边交直线． 于点M，边交x轴于点N（如图）． (1)求边在旋转过程中所扫过的面积；（结果保留π） (2)旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数； (3)设 的周长为p，在旋转正方形的过程中，p值是否有变化？ 请证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)周长不会变化，证明见解析 【思路点拨】（1）根据扇形的面积公式来求得边在旋转过程中所扫过的面积； （2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数； （3）延长交y轴于E点，证明，得出，，证明可得，从而可以证到，进而可以推出，是定值． 【规范解答】（1）解：∵A点第一次落在直线上时停止旋转，直线与y轴的夹角是， ∴旋转了． ∴在旋转过程中所扫过的面积为． （2）解：在正方形中，，， ∵， ∴，． ∴． ∴． 又∵， ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴旋转过程中，当和平行时，正方形旋转的度数为． （3）解：在旋转正方形的过程中，p值无变化． 证明：延长交y轴于E点， 则，， ∴． 又∵，． ∴． ∴，． 又∵，， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴在旋转正方形的过程中，p值无变化． 27．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，将绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形； (2)所得点的坐标为 ； (3)线段扫过的图形的面积为 ．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了旋转变换的性质，扇形的面积公式，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转到性质找出对应点即可求解； （2）根据图形可直接写出答案； （3）根据扇形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：所得点的坐标为， 故答案为：； （3）解：，， 线段扫过的图形的面积， 故答案为：． 28．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕着点逆时针旋转后得到，则坐标为________，并在图中画出； (2)旋转过程中所扫过的面积为________（结果保留 ）． 【答案】(1)点坐标为，画图见解析； (2)． 【思路点拨】（）分别作出三个顶点绕着点按逆时针方向旋转得到的对应点，顺次连接即可； （）先利用勾股定理求出线段，再根据扇形的面积计算公式进行计算即可； 本题考了查旋转变换和扇形面积计算问题，熟练掌握旋转变换的定义和扇形面积计算公式是解题的关键． 【规范解答】（1）如图所示： ∴点坐标为，即为所求； （2）∵，，， ∴，，， 由旋转性质可知：， ∴旋转过程中所扫过的面积， 故答案为：． 29．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上． (1)以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为，则点A的坐标为______； (2)画出绕点O顺时针旋转90°后的，并求线段扫过的面积． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【思路点拨】本题考查了作图旋转变换，扇形的面积公式． （1）先画出直角坐标系，然后根据第二象限点的坐标特征写出点坐标； （2）先利用网格特点和旋转的性质画出点和的对应点、，即可得到，再利用勾股定理计算出和，然后根据扇形面积公式计算即可． 【规范解答】（1）如图1，点的坐标为； （2）如图2，为所作； ， 线段扫过的面积 ． 30．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将绕点逆时针旋转90°后得到．    (1)画出． (2)求旋转过程中线段所扫过的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路点拨】本题考查了画旋转图形，求扇形的面积及勾股定理等知识，正确画旋转图形，掌握扇形面积计算公式是关键； （1）画出点A、B绕点O逆时针旋转后的对应点，并依次连接三点即可； （2）由勾股定理求出的长，再由扇形面积公式计算即可． 【规范解答】（1）解：将绕点逆时针旋转后得到，如图：    即为所求． （2）解：，， 线段扫过的图形的面积为． 【题型07 求弓形面积】 31．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧的中点，交弦于点，若，求：    (1)的长． (2)阴影部分的面积． 【答案】(1)1 (2) 【思路点拨】本题考查垂径定理、勾股定理及扇形面积计算，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． （1）由E是弧的中点，可得．根据垂径定理得：，在中，运用勾股定理可将的长求出，由即可求解； （2）利用阴影部分面积等于扇形面积减去面积即可求出． 【规范解答】（1）解：∵E是弧的中点，， ∴， ∴， ∵为半圆O的直径，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的长为1； （2）解：连接，    在中，， ， ， ， ， ． 32．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，经过A、B两点的与边交于点E，圆心O在上，过点O作交于点D，连接交于点F，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)相切；理由见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质得出，，求出，根据，得出，说明，即可证明结论； （2）过点A作于点M，设，根据勾股定理得出，求出，在中，根据直角三角形的性质得出，求出，，即可得出阴影部分的面积． 【规范解答】（1）解：与相切，理由如下： ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 是的切线，即与相切． （2）解：过点A作于点M，如图所示： 设， ，， 在中，由勾股定理，得；， 解得：， ， ， ， 在中，， ， ， ． 33．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，垂足为，交于，连接．    (1)判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，求的长； (3)若是弧的中点，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)与相切．理由见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）由平分得，加上∠1=∠3，则，于是可判断，由于，所以，则可根据切线的判定定理得到为的切线； （2）作于H，如图，根据垂径定理得，再证明四边形为矩形，得到，，在中利用勾股定理计算出，则，然后在中根据勾股定理可计算出的长； （3）由E是的中点得到，根据垂径定理得，由于，根据等腰三角形的判定得到，即，所以为等边三角形，易得为等边三角形，所以，可计算出，于是可计算出，由于，然后利用进行计算． 【规范解答】（1）解：与相切．理由如下：如图，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：作与H，如图，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 在中，∵， ∴； （3）解：∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， 同理可得为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 34．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作； (1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心点的位置，并写出点的坐标为______； (2)求出弓形的面积． 【答案】(1)见解析， (2) 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理以及扇形面积的计算： （1）根据网格和正方形的性质，分别作出两条弦的垂直平分线，两条中垂线的交点即为圆心，进而得到坐标； （2）利用网格以及勾股定理和逆定理得到以及半径，根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积进行计算即可； 掌握扇形面积的计算方法，理解垂径定理是解题的关键． 【规范解答】（1）解：连接，分别作两条弦的垂直平分线，交点即为点D，如图所示： ， 则点， 故答案为：； （2）解：连接，如图所示： ， 由图可得， ， ， ∵， ∴是直角三角形，即， ∴， ， 则弓形的面积=． 35．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面所在圆的半径，表示水面的位置．过点作，垂足为，交于点，水面高．求截面上有水部分的面积． 【答案】截面上有水部分的面积为． 【思路点拨】此题考查了垂径定理的应用、勾股定理、扇形面积的计算．连接，，根据垂径定理求出，根据线段垂直平分线的判定与性质求出，进而推出为等边三角形，根据等边三角形的性质及圆周角定理求出，再根据截面上有水部分的面积求解即可． 【规范解答】解：连接，， ， ， ， 由题意知，，， ， ， 垂直平分， ， 为等边三角形， ， ， ， 在中，根据勾股定理，， ， ， 截面上有水部分的面积． 答：截面上有水部分的面积为． 【题型08 求其他不规则图形的面积】 36．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知的半径为2，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．π D．2 【答案】A 【思路点拨】本题考查了扇形的面积公式：为圆心角的度数，为圆的半径）和三角形的面积公式，利用特殊面积求出一般图形面积是解题关键．根据的半径，，得出的面积，再求出扇形面积，进而得出阴影部分面积． 【规范解答】解：的半径为2，， 的面积， 扇形面积， 图中阴影部分的面积扇形面积的面积， 故选：A 37．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图, 在等腰直角三角形中，，分别以点B，点 C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算及根据题意应用面积差求阴影部分的方法进行求解是解决本题的关键． 先根据等腰直角三角形的性质计算出的长，再计算出的面积，根据，两个扇形的半径相等，即可算出扇形的面积之和，再根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，计算即可得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴两个扇形面积之和， ∴． 故选：D． 38．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）如图，中，边，，以A为圆心，对角线为半径画弧，分别交边AB于点E，连接EC，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查平行四边形性质、扇形面积公式、三角形面积公式、以及解直角三角形，过点作于点，根据解直角三角形求得，从而求得，最后根据列式求解，即可解题． 【规范解答】解：过点作于点，   ∵，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 39．（22-23九年级上·江西赣州·期末）（1）课本再现：如图，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由， （2）知识应用：如图，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②半径是，图中阴影部分的面积是 【思路点拨】本题考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等． （1）连接和，根据切线的性质，可得，即可得出结论； （2）①根据题意求证，即可得出，即可得出答案；②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案． 【规范解答】（1）证明：如图，连接和， 和是的两条切线， ，． 又，． ， ，． （2）①证明：、、分别与相切于点、、， 、分别平分、． 又． ． ． 又， ， 又经过半径的外端点， 是的切线． ②解：连接，则， ，， ∴， ∴， ， 即⊙O的半径为． ∴ 综上所述：的半径是，图中阴影部分的面积是． 40．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，是的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点， (1)求证：为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）连接、，证明，得，即，从而即可得证； （2）令交于点，利用角平分线的性质及三线合一得，，，，进而利用三角函数求得，，从而求得，再求出，即可得解； （3）由题可设则，证明，得设，则，，在中，由勾股定理得，从而，解得或（舍去），在中，利用三角形函数求解即可． 【规范解答】（1）证明：连接、， ∵点在圆上，为切点， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）解：令交于点， ∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴在中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴； （3）解：由题可设则， ∵，， ∴， ∴ 设，则，， 在中，， ∴ ∴， ∴， 又， ∴， ∴或（舍去） ∴在中，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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