专题3.1 直线与圆的位置关系（考题猜想，易错、好题必刷45题15种题型）（期末复习专项训练）九年级数学上学期青岛版

专题3.1 直线与圆的位置关系（易错、好题必刷45题15种题型专项训练） 目录 【题型01 判断直线和圆的位置关系】 1 【题型02 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 4 【题型03 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 6 【题型04 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 12 【题型05 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 15 【题型06 切线的应用】 20 【题型07 有关切线的说法辨析】 27 【题型08 判断或补全使直线为切线的条件】 28 【题型09 证明某直线是圆的切线】 33 【题型10 切线的性质定理】 39 【题型11 切线的性质和判定的综合应用】 43 【题型12 应用切线长定理求证】 50 【题型13 应用切线长定理求解】 53 【题型14 圆的综合问题】 55 【题型15 过圆外一点作圆的切线（尺规作图）】 66 【题型01 判断直线和圆的位置关系】 1．（23-24九年级上·重庆巴南·期末）已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【规范解答】解：∵的半径r为，圆心O到直线l的距离d为， 即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和相离， ∴直线l与没有公共点． 故选：A． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的公共点有 个． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，时，圆和直线相离；时，圆和直线相切；时，圆和直线相交． 【规范解答】解：∵圆心到直线的距离是圆的半径4， ∴直线和圆相交，即有2个公共点． 故答案为：2． 3．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图，四边形内接于，是的直径，平分，于点E．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【思路点拨】（1）连接，，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，得到，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）设，交于，根据矩形的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】（1）解：直线与相切， 理由：连接，，   平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：设，交于，   ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故直径的长为． 【题型02 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 4．（23-24九年级上·河北张家口·期末）直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，则r的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交． 【规范解答】解：∵直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5， ∴， ∵， ∴A、B、C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，若与直线相交，则半径r的值或取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了勾股定理，圆与直线的位置关系； 过C作于D，利用勾股定理求出，根据三角形的面积求出，然后结合圆与直线的位置关系得出答案． 【规范解答】解：过C作于D， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵与直线相交， ∴半径r的值或取值范围为， 故选：C． 6．（22-23九年级上·湖北鄂州·期末）在中，．若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【思路点拨】分两种情况，①相切，画出符合条件的图形，然后根据切线性质和三角形的面积即可求出答案； ②相交，画出图形如图所示，进而确定R的取值范围，从而使问题得解． 【规范解答】∵ ∴， 分为两种情况：①如图1，当与相切时，只有一个公共点，则．    由三角形的面积公式得：， ∴， ∴， 即． ②如图2，当时，与只有一个公共点，    故答案为：或． 【题型03 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 7．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）平面内，的半径为5，若直线与相离，则圆心到直线的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【思路点拨】本题考查直线与圆相离的判定，根据相离的判定逐项验证即可得到答案，熟记直线与相离，得到圆心到直线的距离大于半径是解决问题关键． 【规范解答】解：的半径为5，若直线与相离， 由相离定义可知圆心到直线的距离大于半径5， 根据四个选项中的距离可知，只有6符合要求， 故选：A． 8．（23-24九年级上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，已知． 对于点给出如下定义：若，则称为线段的“等直点”． (1)当时， ①在点中，线段的“等直点”是______； ②点在直线上，若点为线段的“等直点”，直接写出点的横坐标． (2)当直线上存在线段的两个“等直点”时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2)且 【思路点拨】（1）①根据题意作等腰直角，且，此时点的坐标为或点的坐标为，圆的半径为，根据点、、、到圆心的距离与半径比较，即可判断； ②作轴于点，连接，设，利用勾股定理列式计算即可求解； （2）当圆与直线相切时，直线上开始存在线段的“等直点”，再根据圆与切线的关系求出t的临界值，即可求t的取值范围． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴， 作等腰直角，且， 此时， ∴点的坐标为或点的坐标为， ∴圆的半径为， ∵， ∴点是线段的“等直点”； ∵， ∴点不是线段的“等直点”； ∵， ∴点是线段的“等直点”； ∵， ∴点不是线段的“等直点”； 故答案为：，； ②作轴于点，连接， 设，则，， 在中，，即， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为； 同理，点的横坐标为； 综上，点的横坐标为或； （2）解：作轴交x轴于点，交直线于点，作直线的垂线，垂足为点，则， ∵， ∴， ∴点的横坐标为， ∴点E的坐标为， ∴， 解得； 如图，同理求得； 当直线经过点或点时，直线上只存在线段的一个“等直点”， 此时或； 综上，的取值范围为且． 9．（23-24九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，已知点P和直线，，点P关于直线，“和距离”的定义如下：若点P到直线，的距离分别为，，则称为点P关于直线，的“和距离”，记为d．特别地，当点P在直线上时，；当点P在直线上时，． (1)在点，，，中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是_____； (2)若P是直线上的动点，则点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为_____； (3)已知点，的半径为1．若P是上的动点，直接写出点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围． 【答案】(1)， (2)3 (3)点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围为 【思路点拨】（1）分别求出各点到x轴和y轴的距离，得到“和距离”，从而作出判断即可； （2）设点P的坐标为，则点P关于x轴和y轴的“和距离”为，分类讨论根据m的取值范围，求得的值的范围，从而得到其最小值，即可解答； （3）设点，利用等面积法表示出点P到直线的距离，从而表示出d，发现d的范围取决于的范围，令，则直线与有公共点，即点到的距离，利用前面得到的点到直线的距离公式计算t的范围，从而得到d的范围． 【规范解答】（1）解：点到x轴的距离为0，到y轴的距离为3，则“和距离”为； 点到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则“和距离”为； 点到x轴的距离为1，到y轴的距离为4，则“和距离”为； 点，，，中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是，． 故答案为：，． （2）解：点P是直线上的动点， 设点P的坐标为， 点到x轴的距离为，到y轴的距离为，关于x轴和y轴的“和距离”为， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当时，该不等式组无解． ， 即点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为3， 故答案为：3． （3）解：如图，设点，作轴于点N，交直线于点R，直线于点M，轴交直线于点S， ，=，点，点， ， ， ， ， 令，则直线，依题意，直线与有公共点， 设直线点到的距离为，则， 根据上面点到直线的距离公式得到，则， ， ，即． 【题型04 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 10．（22-23九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，，点以的速度在边上沿的方向运动．以为圆心作半径为的圆，运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为 秒． 【答案】 【思路点拨】要求第一次相切和第三次相切的时间间隔，题目已知速度，那么就要求第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差，根据公式：时间=路程÷速度即可求解． 【规范解答】解：第一次相切如图①， ∵，， ∴， 即第一次相切圆心运动的距离为． 第二次相切如图②， ，， 第三次相切如图③， ∵，， ∴， 第三次相切圆心运动的距离为， ∴第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差为：， ∴， 故答案为：． 11．（22-23九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OA=4cm，∠AOC=30°，且点A也在半径为1cm的⊙P上，点P在直线AB上，⊙P以1cm/s的速度从点A出发向点B的方向运动 s时与直线CD相切． 【答案】1或5 【思路点拨】分类讨论：当点P在射线OA上时，过点P作PE⊥AB于点E，根据切线的性质得到PE=1cm，利用30度角所对的直角边等于斜边一半的性质的OP=2PE=2cm，求出⊙P移动的距离为4-2-1=1cm，由此得到⊙P运动时间；当点P在射线OB上时，过点P作PF⊥AB于点F，同样方法求出运动时间. 【规范解答】当点P在射线OA上时，如图，过点P作PE⊥AB于点E，则PE=1cm， ∵∠AOC=30°， ∴OP=2PE=2cm， ∴⊙P移动的距离为4-2-1=1cm， ∴运动时间为s； 当点P在射线OB上时，如图，过点P作PF⊥AB于点F，则PF=1cm， ∵∠AOC=30°， ∴OP=2PF=2cm， ∴⊙P移动的距离为4+2-1=5cm， ∴运动时间为s； 故答案为：1或5. 12．（22-23九年级·浙江杭州·期末）如图，在边长为6cm的菱形ABCD中，，半径为1cm的⊙P沿着射线AC以1cm/s的速度运动，运动的时间为t，． 则动点P运动时间 （单位：s）时，⊙P与菱形ABCD的边没有交点．    【答案】或． 【思路点拨】作出⊙P运动过程中恰好与菱形有交点时的图形，求出P1，P2，P3与P点的距离，可得出运动时间，从而得出无交点时的时间范围． 【规范解答】如图所示，⊙P运动过程中恰好与与菱形有交点时有三个位置：P1，P2，P3，    连接BD，与AC交于点H， ∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=60° ∴BD⊥AC，AH=HC，∠DAC=30° 在Rt△ADH中，AD=6cm ∴cm ∴AC=2AH=cm ①当P运动到P1时，圆与AD相切与点E，连接P1E， ∴P1E⊥AD 在Rt△AP1E中，P1E=PA=1cm，∠P1AE=30° ∴P1A=2 P1E=2cm， ∴P1P= P1A+PA=3cm ∴P运动到P1位置时，时间t1= ②当P运动到P2时，圆与CD相切与点F，连接P2F， ∴P2F⊥CD 同①可得P2C=2cm， 此时P2A=AC-P2C=cm，P2P=P2A+PA=cm ∴P运动到P2位置时，时间t2= ③当P运动到P3时，点C在圆上且圆心在点C的右侧， 此时P3P=P3C+AC+PA=1++1=cm ∴P运动到P3位置时，时间t3= 由图可知，当圆P运动到P1P2之间（不含P1、P2），或者运动到P3右侧时，与菱形的边无交点， ∴动点P运动时间或 故答案为：或． 【题型05 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 13．（21-22九年级上·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心的坐标为（-3，0），将圆沿轴的正方向平移，使得圆与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．3或6 C．3 D．1或5 【答案】D 【思路点拨】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答即可求得． 【规范解答】解：根据题意可得：OP=3，圆P的半径为2， 当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1， 当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5， 故圆与轴相切，则平移的距离为1或5， 故选：D． 14．（22-23九年级上·吉林四平·期末）如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切． 【答案】4 【思路点拨】根据垂径定理可求出，再利用勾股定理可得，从而，再由l与⊙O相切，则点 到直线l的距离等于OC=10cm，从而得到l沿OC所在直线向下平移的距离等于，即可求解． 【规范解答】解：∵直线l⊥OC，AB=16cm， ∴ ， ， ∵ ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 若l与⊙O相切， 则点 到直线l的距离等于OC=10cm， ∴l沿OC所在直线向下平移的距离等于 即l沿OC所在直线向下平移时与⊙O相切． 故答案为： ． 15．（22-23九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“位置矩形”． 例如，图中的矩形ABCD为直线l的“位置矩形”． （1）若点A（-1，2），四边形ABCD为直线x=-1的“位置矩形”，则点D的坐标为 ； （2）若点A（1，2），求直线y=kx+1（k≠0）的“位置矩形”的面积； （3）若点A（1，-3），直线l的“位置矩形”面积的最大值为 ，此时点D的坐标为 ． 【答案】（1）（-1，0）；（2）；（3）5、（3，-2）或（-1，-2）． 【思路点拨】（1）只需根据新定义画出图形就可解决问题； （2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2，根据点A（1，2）在直线y=kx+1上可求出k，设直线y=x+1与y轴相交于点G，易求出OG=1，∠FGA=45°，根据勾股定理可求出AG、AB、BC的值，从而可求出“位置矩形”ABCD面积； （3）设“位置矩形”的一组邻边长分别为x、y，则有x2+y2=10．由（x-y）2=x2+y2-2xy=10-2xy≥0可得xy≤5，当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“位置矩形”是正方形，然后分点D在第四象限（如图3）和第三象限（如图4）两种情况讨论，就可解决问题 【规范解答】（1）如图1， 点D的坐标为（-1，0）． 故答案为（-1，0）； （2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2． ∵点A的坐标为（1，2）， ∴AC=AO=，AF=1，OF=2． ∵点A（1，2）在直线y=kx+1上， ∴k+1=2， 解得k=1． 设直线y=x+1与y轴相交于点G， 当x=0时，y=1，点G（0，1），OG=1， ∴FG=OF-OG=2-1=1=AF， ∴∠FGA=45°，AG=． 在Rt△GAB中，AB=AG•tan45°=． 在Rt△ABC中，BC=． ∴所求“位置矩形”ABCD面积为AB•BC=； （3）设“位置矩形”的一组邻边长分别为x、y， 则有x2+y2=AC2=AO2=12+32=10． ∵（x-y）2=x2+y2-2xy=10-2xy≥0， ∴xy≤5． 当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“位置矩形”是正方形． ①当点D在第四象限时，如图3， 过点A作x轴的平行线，交y轴于点M，交过点D平行于y轴的直线于点N， ∵∠BAM+∠DAN=90°，∠BAM+∠ABM=90°， ∴∠ABM=∠DAN， 在RtAMB和Rt△DNA中， ， ∴RtAMB≌Rt△DNA， 则有AN=BM=2，DN=AM=1， ∴点D的坐标为（1+2，-3+1）即（3，-2）． ②当点D在第三象限时，如图4， 过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，交过点D平行于y轴的直线于点M， 同①的方法得：RtANB≌Rt△DMA， 则有DM=AN=1，AM=BN=2， ∴点D的坐标为（1-2，-3+1）即（-1，-2）． 故答案为5、（3，-2）或（-1，-2）． 【题型06 切线的应用】 16．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，．在旋转过程中，当线段最短时，的面积为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识．证明，则，推出，由题意知，在以为圆心，1为半径的圆上运动，如图，当在下方且与相切时，线段最短，证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，则，根据，计算即可求解． 【规范解答】解：∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 由题意知，在以为圆心，1为半径的圆上运动，如图， ∵， ∴当在下方且与相切时，线段最短， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在方格纸中有及其外接圆，点A，B，C都在格点上．用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹） (1)找出圆心O． (2)过点B作圆的切线． (3)作出的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查了切线的定义，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）取格点，，连接交于点O，点O即为所求； （2）根据切线的定义，即可解答； （3）取格点，连接并延长，交于点E，连接，即为所求． 【规范解答】（1）解：取格点，，连接交于点O，点O即为所求， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点O为圆心； （2）解：如图所示，即为所求， ∵， ∴为圆的切线； （3）解：取格点，连接并延长，交于点E，连接，即为所求； ∵点M为中点， ∴， ∴， ∴， 即平分． 18．（23-24九年级上·天津和平·期末）将等腰直角三角形放置在平面直角坐标系中，点，，，点，分别在边，上，且，连接．现将绕点顺时针旋转，旋转角为点，旋转后的对应点为，． (1)如图1，当轴时，则旋转角______；可以看作是绕点______顺时针旋转______°后得到的；直线与所夹角为______； (2)如图2，当旋转角时，点，，恰好共线，求的各边长； (3)将（2）中的旋转，当旋转角为何值时的面积最大？最大值是多少？（直接写出结果）． 【答案】(1)，，， (2) (3)， 【思路点拨】（1）根据旋转的性质可得旋转角；连接，根据旋转的性质得出，则可以看作是绕点顺时针旋转后得到的；设直线与交于点，根据全等三角形的性质得出，即可求解； （2）设交轴于点，根据已知条件得出，进而得出直线的解析式为，设,则代入解析式得出，进而根据旋转的性质以及勾股定理求得，的长； （3）根据（2）的结论可得点在以为圆心为半径的圆上运动，当与的距离最大时，的面积最大，作于点，则半径为的与相切于点，当在的垂直平分线上且在第三象限时，得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴，又， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴, ∵旋转， ∴ ∵轴 ∴，即旋转角； 连接，如图所示， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴可以看作是绕点顺时针旋转后得到的； 设直线与交于点， ∵ ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴ ∴，则， 即直线与所夹角为 故答案为：，，，    ． （2）解：如图所示，设交轴于点， ∵，则， ∵旋转角，点，，恰好共线， ∴， ∴，则 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 设,则 ∴ 解得： ∴ ∴ ∴，； （3）∵， ∴点在以为圆心为半径的圆上运动， ∴当与的距离最大时，的面积最大， 如图所示， ∵，作于点，则 ∴半径为的与相切于点， ∴当在的垂直平分线上且在第三象限时，如图所示，此时， 的面积最大值为． 【题型07 有关切线的说法辨析】 19．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．圆内接四边形的对角互补； B．相等的圆周角所对的弧相等； C．平分弦的直径垂直于这条弦； D．垂直于半径的直线是圆的切线． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、垂径定理、切线的定义等知识点，理解相关定义和性质是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质，切线的定义，圆周角定理，垂径定理逐项进行判断即可． 【规范解答】解：A、圆内接四边形的对角互补，选项说法正确，符合题意； B、同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，选项说法错误，不符合题意； C、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，选项说法错误，不符合题意； D、圆的切线垂直于过切点的半径，选项说法错误，不符合题意． 故选A． 20．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线；分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．直线与相交于点O，若以点O为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（    ） A．点B在上 B．是的外接圆 C．是的弦 D．是的切线 【答案】D 【思路点拨】根据作图可得直线与分别为的垂直平分线，从而得到是的外接圆，即可求解． 【规范解答】解：根据题意得：直线与分别为的垂直平分线， ∴点O到的三个顶点的距离相等， ∴是的外接圆，故B选项正确，不符合题意； ∴点A、B、C在上，故A选项正确，不符合题意； ∴，是的弦，故C选项正确，不符合题意；D选项错误，符合题意； 故选：D 21．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的圆心角相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．过三点一定可以确定一个圆 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】A 【思路点拨】根据弧，弦，圆心角的关系，圆的确定以及切线的判定，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：A、等弧所对的圆心角相等，选项正确，符合题意； B、弦对应的弧有优弧和劣弧，相等的弦所对的弧不一定相等，选项错误，不符合题意； C、过不在直线上的三点可以确定一个圆，选项错误，不符合题意； D、经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，选项错误，不符合题意； 故选A． 【题型08 判断或补全使直线为切线的条件】 22．（21-22九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【思路点拨】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【规范解答】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 23．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）如图1，中，，，延长到点D，使．点P是边上一点，以点P为圆心、长为半径作，交于点E，设． (1)如图2，点Q是射线上的一点，，当点Q在上时， ； (2)x为何值时，与相切？ (3)若与的三边有两个公共点，直接写出x的范围． 【答案】(1) (2)时，与相切 (3)或 【思路点拨】（1）先由勾股定理求得，再由，可得的长，从而的长可求；当点Q在上时，如图，根据推得，从而列出方程，解得x的值即可； （2）作于点F，当时，与相切，如图2，由正弦函数得出关于x 的方程，解得x的值即可； （3）分类讨论，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∴， ∴， 当点Q在上时，如图，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：作于点F，当时，与相切，如图1，    则，， ∴，解得， 经检验，是分式方程的解， ∴时，与相切； （3）解：或， 由（2）可知，当时，与的三边有两个公共点， 如图3，当点B在上时，    ，即， 解得； 当点A在上时，，    ∴当时，与的三边有两个公共点， ∴x的取值范围为或． 24．（22-23九年级上·江西上饶·期末）已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．    （1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①　 　或②　 　； （2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线． （3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB． 【答案】（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）见解析；（3）见解析． 【思路点拨】(1) 添加条件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可． (2) 作直径AM,连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可． (3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B，∠ BAC=∠FAC，等量代换得到∠BAC=∠B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB． 【规范解答】（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B， 理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径， ∴EF是⊙O切线， ②∵AB是⊙0直径， ∴∠C=90°， ∴∠B+∠BAC=90°， ∵∠FAC=∠B， ∴∠BAC+∠FAC=90°， ∴OA⊥EF， ∵OA是半径， ∴EF是⊙O切线， 故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B， （2）作直径AM，连接CM，    即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等）， ∵∠FAC=∠B， ∴∠FAC=∠M， ∵AM是⊙O的直径， ∴∠ACM=90°， ∴∠CAM+∠M=90°， ∴∠FAC+∠CAM=90°， ∴EF⊥AM， ∵OA是半径， ∴EF是⊙O的切线． （3）∵OA=OB， ∴点O在AB的垂直平分线上， ∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC， ∴∠BAC=∠B， ∴点C在AB的垂直平分线上， ∴OC垂直平分AB， ∴OC⊥AB． 【题型09 证明某直线是圆的切线】 25．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，． (1)求证：； (2)若点在的延长线上，且，证明：是的切线； (3)求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）证明，又由，，即可证明； （2）连接交于点．由得到，由圆周角定理得到，已知，得到，则．由点是弧的中点得到半径，则半径，即可证明是的切线； （3）设的半径为．证明，．．求出，则．由得到．根据勾股定理得到，则，解方程即可求出的半径． 【规范解答】（1）证明：∵点是弧的中点， ∴ ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． （2）证明：连接交于点． ∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴． ∵点是弧的中点， ∴半径， ∴半径， ∴是的切线． （3）解：设的半径为． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵点是的中点， ∴点是的中点． ∵点是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）． ∴的半径为． 26．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在的边上取一点，以为圆心为半径的与边相切于点，且，连接交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是切线； (2)若，，求半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【思路点拨】（1）连，证明得出，由切线的性质得出，推出，即可得证； （2）设，则，由勾股定理求出，推出，设，则，解直角三角形即可得解． 【规范解答】（1）证明：连， 在和中， ， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是切线； （2）解：连接， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径为． 27．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，已知等腰内接于，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径长为1，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路点拨】本题主要考查切线的判定，圆周角定理和勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）作于点，根据切线的判定即可求出答案； （2）证明，，在中运用勾股定理可求出的长． 【规范解答】（1）证明：作于点， 是的外接圆． ． 又， ． 又是的半径， 是的切线． （2）解：， ， 又 ． 又， ． ． 在中，． 又， 即． 解得：． 【题型10 切线的性质定理】 28．（22-23九年级上·北京海淀·期末）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，再根据切线长定理、三角形的周长公式、勾股定理计算，得到答案． 【规范解答】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， 同理，， 的周长， ， ． 故选：B 29．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的弦，延长线交过点的的切线于点，如果，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了切线的性质以及等腰三角形的性质．直接利用切线的性质得出度数，再利用等腰三角形的性质得出度数． 【规范解答】解：连接， 的延长线交过点的的切线于点， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 30．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图1，在矩形中，，，点P从A开始沿折线以的速度移动，点Q从C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1)t为何值时，四边形为矩形？ (2)当P在上运动时，t为何值时，直线与以为直径的圆相切？ (3)如图2，如果和的半径都是，那么t为何值时，和外切？ 【答案】(1) (2) (3)，， 【思路点拨】（1）四边形为矩形，也就是，分别用含t的代数式表示，列方程求解即可； （2）利用切线的性质定理以及勾股定理得出，进而求出即可； （3）主要考虑有四种情况，一种是P在上；一种是P在上时．一种是P在上时，又分为两种情况，一种是P在Q右侧，一种是P在Q左侧．并根据每一种情况，找出相等关系，解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：，， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， 根据题意，当时，四边形为矩形． 此时：， 解得． 答：t为时，四边形为矩形； （2）解：如图所示：当切圆于点E，过点Q作于点F， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴， 由题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）或 故t为时，直线与以为直径的圆相切； （3）解：当时，与外切． ①如果点P在上运动．如图3 只有当四边形为矩形时，． 由（1）得； ②如果点P在上运动，如图 此时，则，， ∴与外离； ③如果点P在上运动，且点P在点Q的右侧，如图． 可得，，当时，与外切． 此时，， 解得； ④如果点P在上运动，且点P在点Q的左侧，如图． 当时，与外切． 此时，， 解得 ， ∵点P从A开始沿折线移动到D需要，点Q从C开始沿边移动到D需要，而， ∴当t为，，时，与外切． 【题型11 切线的性质和判定的综合应用】 31．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图①，在矩形中，对角线相交于点O，点A关于的对称点为，连接交于点E，连接 ． (1)求证：． (2)如图②，以点O为圆心，长为半径作圆，与相切．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）根据轴对称的性质可得，，根据四边形是矩形，得出，从而，从而得出； （2）设与切于点F，连接，并延长交于点G，可证得，从而得出，进而得出，从而． 【规范解答】（1）证明：∵点A关于的对称点为， ∴，， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴； （2）证明：如图2，设与切于点F，连接，并延长交于点G， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 由（1）知： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由（1）知： ∴，即， ∴ 32．（20-21九年级上·浙江台州·期末）如图，是的直径，C是上的一点，过点B作的切线，过圆心O作的平行线交直线于点F，交于点E，交于点D，连接． (1)判断与的位置关系，并证明结论； (2)若四边形是平行四边形，求的值； (3)若运动后能与重合，则 ，请说明图形的运动过程． 【答案】(1)与相切，见解析 (2) (3)1，见解析 【思路点拨】（1）连接，证明，得出，结合切线的性质得出，即可得证； （2）根据题意作出图形，连接，证明四边形为正方形，得出，，推出，再求出，即可得解； （3）若运动后能与重合，得出必有，推出，进而得出，利用表示出和，进而求得比值，将沿直线，平移长度得，再将沿的平分线对折，则与重合． 【规范解答】（1）解：与相切． 理由如下：连接，如图1， ∵， ∴，， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 是的切线， ∴， ， 是的切线； （2）解：根据题意作出图形，如图2，连接， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， 是的切线， ∴， 四边形为正方形， ，， ∴， ， ∴， ； （3）解：为直径， ， 是的切线， ∴， ∵， ∴， 若运动后能与重合， 必有， ∴， ， 连接，如图3， ∵， ∴，， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， 如图4，将沿直线，平移长度得，再将沿的平分线对折，则与重合， 故答案为：1． 33．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点． (1)求证：； (2)若以点为顶点的四边形是正方形，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【思路点拨】(）连接，根据切线的判定及切线的性质可知，，再根据切线长的定理及余角的定义，最后利用等腰三角形的判定及等量代换解答即可． （）根据正方形的性质可知是等腰直角三角形。再利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质即可解答． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵是直径，， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵当以点为顶点的四边形是正方形时，， ∴是直角三角形， 由（1）可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【题型12 应用切线长定理求证】 34．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程： 已知：如图，及外一点． 作法：连结，作线段的垂直平分线交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于点、点； 作直线，． 说明：连结． ∵以点为圆心，的长为半径作圆，∴为的直径，∴ °． ∵为半径，∴为的 ，且 （填“”、“”或“”）．    【答案】 ； 切线； ． 【思路点拨】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质、圆周角定理和切线的判定与性质，先根据圆周角定理的推论得到，，然后根据切线的判定定理得到直线为切线，同理可证，直线也是的切线，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】连接，    ∵为的直径， ∴， ∵为半径， ∴为的切线， 同理为的切线， ∴， 故答案为：；切线；． 35．（23-24九年级下·北京·期末）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【思路点拨】（1）根据切线长定理得到，．根据等腰三角形的性质和中位线定理即可得到结论； （2）根据题意得出为等边三角形，得出，得出，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵，是的两条切线，切点分别为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴； （2）∵，点是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴， ∴． 36．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，以上的点O为圆心，的长为半径的圆与交于点E，与切于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)设，，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【思路点拨】本题考查的是圆的切线的判定，切线长定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的性质建立方程是解本题的关键． （1）证明为的切线，利用切线长定理可得答案； （2）证明，再利用余角的含义可得结论； （3）证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【规范解答】（1）证明：， ． 是的半径， 为的切线． 又切于点， ． （2）是的直径， ． ． 又， ． 由（1）得， ． ． （3）由（2）得，，， ． ， ． ． 的直径长为． 【题型13 应用切线长定理求解】 37．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【思路点拨】本题考查了切线长定理的应用；由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【规范解答】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：B． 38．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图， 中， ， ，它的周长为．若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了切线长定理的应用，解题的关键是求出的值．根据切线长定理求出，，，得出等边三角形，推出，根据，求出，进而求出，即可求出答案． 【规范解答】解：∵与三边分别切于三点， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 39．（22-23九年级上·北京朝阳·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则 °． 【答案】 【思路点拨】本题考查了切线的性质以及切线长定理．根据题意可得，，进而求得，根据等边对等角，即可求解． 【规范解答】解：，是的两条切线， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型14 圆的综合问题】 40．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【答案】(1)，； (2) (3)或或5 【思路点拨】（1）连接，求出，可得的直径，根据M为中点，可得点M坐标； （2）连接，在证设，即，求出坐标；然后用待定系数法得直线所对应的函数表达式； （3）设，由，， 可得， ；分三种情况：①当时，②当时，③当时分类讨论即可作答． 【规范解答】（1）解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为、， ∴， ∴的直径为， ∵M为中点， ∴ 故答案为：，； （2）连接， ， ， ， 设， ， ， 解得：， ， 设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得 ， 解得， 直线所对应的函数表达式 （3）解：设， ，， 解得：，， ， ①当时，连接 ，， ， ， ， ， ， ， 点E和点P横坐标相同, ， ， ， ②当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， ③当时，如图： ， 即， ， ， 综上所述：得长度为或或5． 41．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，对于线段与直线，给出如下定义：若线段关于直线的对称线段为(，分别为点，的对应点)，则称线段为线段的“关联线段”． 已知点，． (1)线段为线段的“关联线段”，点的坐标为，则的长为______，的值为______； (2)线段为线段的“关联线段”，直线经过点，若点，都在直线上，连接，求的度数； (3)点，，线段为线段的“关联线段”，且当取某个值时，一定存在使得线段与线段有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【思路点拨】（1）由、关于直线对称，得到，由题意得，把的中点代入，求出即可； （2）连接，，，以为圆心，的长为半径画圆，由，，可得，，根据对称的性质可得，，推出点、、、都在圆上，得到是直线与圆相交所得的长为的弦，分为当在轴的左侧时，取的中点，连接，当在轴的右侧时，两种情况讨论，即可求解； （3）设直线与轴交于点，连接，，求出当时，与相切时，当时，经过点时，两种特殊情形的值，即可得出的取值范围． 【规范解答】（1）解：，， ， 、关于直线对称， ， 由题意得：， ， 、关于直线对称， 直线经过的中点， ，， 的中点为，即， 把代入， 得：， 解得：， 故答案为：，； （2）连接，，，以为圆心，的长为半径画圆， ，， ，， 线段为线段的“关联线段”， 直线解析式为：，点、关于直线的对称点是、， ，， 点、、、都在圆上， 点，都在直线上， 是直线与圆相交所得的长为的弦， 如下图，当在轴的左侧时，取的中点，连接， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如下图，当在轴的右侧时， 同理可求， 综上所述，的度数为或； （3）设直线与轴交于点，连接，． ， 当时，与相切时，， ，， ， ， 解得：（负值已舍去）； 当时，经过点时，， ，，， ，， ， 解得：， 线段与线段有公共点， 或． 42．（22-23九年级上·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，，，，P为上一个动点，以P为圆心，长半径作，交、、交于、、（任意两点不重合）． (1)半径的长度范围为________； (2)如图1，连接并延长交于，若，求； (3)连接，将劣弧沿着翻折交于点，试探究是否为定值，若是求出该值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）当点G和点E重合，当点G和点D重合两种临界状态，分别求出BP的值，因为任意点都不重合，所以BP在两者之间即可得出答案； （2）和是对顶角，得到，得出的值，再根据，求出的值，进而可求出的值； （3）设圆的半径，利用三角函数表示出，的值，看用面积法求出，在中由勾股定理得出的值，进而可求出的值即可得出答案． 【规范解答】（1）当G点与E点重合时，，如图所示： ∵四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 当点和点重合时，如图所示： ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵任意两点都不重合， ∴， （2）连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）为定值， 过作，连接，，交于点O，如下图所示： 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型15 过圆外一点作圆的切线（尺规作图）】 43．（22-23九年级上·北京西城·期末）已知：点，，在上，且． 求作：直线，使其过点，并与相切． 作法：①连接； ②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点； ③作直线． 直线就是所求作直线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，， ∵， ∴四边形是菱形， ∵点，，在上，且， ∴______°（_________________）（填推理的依据）． ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵为半径， ∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析； (2)90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【思路点拨】（1）按照题中作法步骤作图即可； （2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空． 【规范解答】（1）解：补全图形，如图所示； （2）90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 44．（22-23九年级上·北京海淀·期末）已知：如图，是的切线，为切点． 求作：的另一条切线，为切点． 作法：以为圆心，长为半径画弧，交于点； 作直线． 直线即为所求． (1)根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明过程． 证明：连接，，． ∵是的切线，为切点， ∴． ∴． 在与中， ∴．∴． ∴于点．∵是的半径， ∴是的切线（____________________）（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析 (2)，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【思路点拨】（1）按照作法作出图形即可； （2）连接，，，证明即可证明是的切线． 【规范解答】（1）补全图形，如图所示： （2）连接，，． ∵是的切线，A为切点， ∴． ∴． 在与中， ∴．∴． ∴于点．∵是的半径， ∴是的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 故答案为：，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 45．（22-23九年级上·山东烟台·期末）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：和外一点P． 求作：过点P的的切线，PB． 【答案】见解析 【思路点拨】根据几何语言画出对应的几何图形即可； 【规范解答】作图如图，直线、即为所作的的切线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 直线与圆的位置关系（易错、好题必刷45题15种题型专项训练） 目录 【题型01 判断直线和圆的位置关系】 1 【题型02 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 2 【题型03 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 3 【题型04 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 4 【题型05 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 5 【题型06 切线的应用】 7 【题型07 有关切线的说法辨析】 9 【题型08 判断或补全使直线为切线的条件】 9 【题型09 证明某直线是圆的切线】 12 【题型10 切线的性质定理】 13 【题型11 切线的性质和判定的综合应用】 15 【题型12 应用切线长定理求证】 16 【题型13 应用切线长定理求解】 18 【题型14 圆的综合问题】 19 【题型15 过圆外一点作圆的切线（尺规作图）】 22 【题型01 判断直线和圆的位置关系】 1．（23-24九年级上·重庆巴南·期末）已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的公共点有 个． 3．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图，四边形内接于，是的直径，平分，于点E．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求直径的长． 【题型02 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 4．（23-24九年级上·河北张家口·期末）直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，则r的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，若与直线相交，则半径r的值或取值范围为（  ） A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·湖北鄂州·期末）在中，．若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是 ． 【题型03 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 7．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）平面内，的半径为5，若直线与相离，则圆心到直线的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．（23-24九年级上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，已知． 对于点给出如下定义：若，则称为线段的“等直点”． (1)当时， ①在点中，线段的“等直点”是______； ②点在直线上，若点为线段的“等直点”，直接写出点的横坐标． (2)当直线上存在线段的两个“等直点”时，直接写出的取值范围． 9．（23-24九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，已知点P和直线，，点P关于直线，“和距离”的定义如下：若点P到直线，的距离分别为，，则称为点P关于直线，的“和距离”，记为d．特别地，当点P在直线上时，；当点P在直线上时，． (1)在点，，，中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是_____； (2)若P是直线上的动点，则点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为_____； (3)已知点，的半径为1．若P是上的动点，直接写出点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围． 【题型04 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 10．（22-23九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，，点以的速度在边上沿的方向运动．以为圆心作半径为的圆，运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为 秒． 11．（22-23九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OA=4cm，∠AOC=30°，且点A也在半径为1cm的⊙P上，点P在直线AB上，⊙P以1cm/s的速度从点A出发向点B的方向运动 s时与直线CD相切． 12．（22-23九年级·浙江杭州·期末）如图，在边长为6cm的菱形ABCD中，，半径为1cm的⊙P沿着射线AC以1cm/s的速度运动，运动的时间为t，． 则动点P运动时间 （单位：s）时，⊙P与菱形ABCD的边没有交点．    【题型05 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 13．（21-22九年级上·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心的坐标为（-3，0），将圆沿轴的正方向平移，使得圆与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．3或6 C．3 D．1或5 14．（22-23九年级上·吉林四平·期末）如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切． 15．（22-23九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“位置矩形”． 例如，图中的矩形ABCD为直线l的“位置矩形”． （1）若点A（-1，2），四边形ABCD为直线x=-1的“位置矩形”，则点D的坐标为 ； （2）若点A（1，2），求直线y=kx+1（k≠0）的“位置矩形”的面积； （3）若点A（1，-3），直线l的“位置矩形”面积的最大值为 ，此时点D的坐标为 ． 【题型06 切线的应用】 16．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，．在旋转过程中，当线段最短时，的面积为 ． 17．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在方格纸中有及其外接圆，点A，B，C都在格点上．用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹） (1)找出圆心O． (2)过点B作圆的切线． (3)作出的角平分线． 18．（23-24九年级上·天津和平·期末）将等腰直角三角形放置在平面直角坐标系中，点，，，点，分别在边，上，且，连接．现将绕点顺时针旋转，旋转角为点，旋转后的对应点为，． (1)如图1，当轴时，则旋转角______；可以看作是绕点______顺时针旋转______°后得到的；直线与所夹角为______； (2)如图2，当旋转角时，点，，恰好共线，求的各边长； (3)将（2）中的旋转，当旋转角为何值时的面积最大？最大值是多少？（直接写出结果）． 【题型07 有关切线的说法辨析】 19．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．圆内接四边形的对角互补； B．相等的圆周角所对的弧相等； C．平分弦的直径垂直于这条弦； D．垂直于半径的直线是圆的切线． 20．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线；分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．直线与相交于点O，若以点O为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（    ） A．点B在上 B．是的外接圆 C．是的弦 D．是的切线 21．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的圆心角相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．过三点一定可以确定一个圆 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【题型08 判断或补全使直线为切线的条件】 22．（21-22九年级上·北京·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 23．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）如图1，中，，，延长到点D，使．点P是边上一点，以点P为圆心、长为半径作，交于点E，设． (1)如图2，点Q是射线上的一点，，当点Q在上时， ； (2)x为何值时，与相切？ (3)若与的三边有两个公共点，直接写出x的范围． 24．（22-23九年级上·江西上饶·期末）已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．    （1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①　 　或②　 　； （2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线． （3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB． 【题型09 证明某直线是圆的切线】 25．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，． (1)求证：； (2)若点在的延长线上，且，证明：是的切线； (3)求的半径． 26．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在的边上取一点，以为圆心为半径的与边相切于点，且，连接交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是切线； (2)若，，求半径． 27．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，已知等腰内接于，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径长为1，求的长． 【题型10 切线的性质定理】 28．（22-23九年级上·北京海淀·期末）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 29．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的弦，延长线交过点的的切线于点，如果，则为（　　） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图1，在矩形中，，，点P从A开始沿折线以的速度移动，点Q从C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1)t为何值时，四边形为矩形？ (2)当P在上运动时，t为何值时，直线与以为直径的圆相切？ (3)如图2，如果和的半径都是，那么t为何值时，和外切？ 【题型11 切线的性质和判定的综合应用】 31．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图①，在矩形中，对角线相交于点O，点A关于的对称点为，连接交于点E，连接 ． (1)求证：． (2)如图②，以点O为圆心，长为半径作圆，与相切．求证：． 32．（20-21九年级上·浙江台州·期末）如图，是的直径，C是上的一点，过点B作的切线，过圆心O作的平行线交直线于点F，交于点E，交于点D，连接． (1)判断与的位置关系，并证明结论； (2)若四边形是平行四边形，求的值； (3)若运动后能与重合，则 ，请说明图形的运动过程． 33．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点． (1)求证：； (2)若以点为顶点的四边形是正方形，试判断的形状，并说明理由． 【题型12 应用切线长定理求证】 34．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程： 已知：如图，及外一点． 作法：连结，作线段的垂直平分线交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于点、点； 作直线，． 说明：连结． ∵以点为圆心，的长为半径作圆，∴为的直径，∴ °． ∵为半径，∴为的 ，且 （填“”、“”或“”）．    35．（23-24九年级下·北京·期末）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． 36．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，以上的点O为圆心，的长为半径的圆与交于点E，与切于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)设，，求直径的长． 【题型13 应用切线长定理求解】 37．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 38．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图， 中， ， ，它的周长为．若 与 ， ， 三边分别切于 ， ， 点，则 的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 39．（22-23九年级上·北京朝阳·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则 °． 【题型14 圆的综合问题】 40．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 41．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，对于线段与直线，给出如下定义：若线段关于直线的对称线段为(，分别为点，的对应点)，则称线段为线段的“关联线段”． 已知点，． (1)线段为线段的“关联线段”，点的坐标为，则的长为______，的值为______； (2)线段为线段的“关联线段”，直线经过点，若点，都在直线上，连接，求的度数； (3)点，，线段为线段的“关联线段”，且当取某个值时，一定存在使得线段与线段有公共点，直接写出的取值范围． 42．（22-23九年级上·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，，，，P为上一个动点，以P为圆心，长半径作，交、、交于、、（任意两点不重合）． (1)半径的长度范围为________； (2)如图1，连接并延长交于，若，求； (3)连接，将劣弧沿着翻折交于点，试探究是否为定值，若是求出该值，若不是，请说明理由． 【题型15 过圆外一点作圆的切线（尺规作图）】 43．（22-23九年级上·北京西城·期末）已知：点，，在上，且． 求作：直线，使其过点，并与相切． 作法：①连接； ②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点； ③作直线． 直线就是所求作直线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，， ∵， ∴四边形是菱形， ∵点，，在上，且， ∴______°（_________________）（填推理的依据）． ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵为半径， ∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）． 44．（22-23九年级上·北京海淀·期末）已知：如图，是的切线，为切点． 求作：的另一条切线，为切点． 作法：以为圆心，长为半径画弧，交于点； 作直线． 直线即为所求． (1)根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明过程． 证明：连接，，． ∵是的切线，为切点， ∴． ∴． 在与中， ∴．∴． ∴于点．∵是的半径， ∴是的切线（____________________）（填推理的依据）． 45．（22-23九年级上·山东烟台·期末）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：和外一点P． 求作：过点P的的切线，PB． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 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