专题2.1 解直角三角形及应用（考题猜想，易错、好题必刷40题8种题型）（期末复习专项训练）九年级数学上学期青岛版

专题2.1 解直角三角形及应用（易错、好题必刷40题8种题型专项训练） 目录 【题型01 解直角三角形及其应用】 1 【题型02 解直角三角形的相关计算】 3 【题型03 解非直角三角形】 5 【题型04 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 7 【题型05 仰角俯角问题（解直角三角形的应用）】 9 【题型06 方位角问题（解直角三角形的应用）】 12 【题型07 坡度坡比问题（解直角三角形的应用）】 16 【题型08 其他问题（解直角三角形的应用）】 18 【题型01 解直角三角形及其应用】 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，，于点， ．若E，F分别为，的中点，则的长为（   ） A． B．2 C．3 D．2 2．（23-24九年级上·江西·期末）如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点在同一平面内，，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上． (1)连接，求证：． (2)若，求点A到直线的距离． 4．（23-24九年级下·湖南岳阳·期末）将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形，连接， ①若，则 ． ②探究的值为 ． 5．（24-25九年级上·全国·期末）在矩形中，，，点在对角线上，且，过点作交于点，交于点，在上取一点，使，则的长为 ． 【题型02 解直角三角形的相关计算】 6．（23-24九年级下·全国·期末）在中，a、b、c分别是的对边，若且，则的形状是 ． 7．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．过点P作交或于点Q．分别过点P、Q作的平行线交于点M．设与重叠部分的面以为S，点P运动的时间为秒． (1)当点Q在上时，的长为____________．（用含t的代数式表示） (2)当点M落在上时，求t的值． (3)当与的重合部分为三角形时，求S与t之间的函数关系式． (4)点N为中点，直接写出点N在各边垂直平分线上时t的值． 8．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）已知，在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点． (1)如图1，若． ①求证：； ②连接，求证： (2)如图2，若，求的值． 9．（23-24九年级上·江苏常州·期末）将一副直角三角板如图叠放，则与的周长之比为 ． 10．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，分别以点，为圆心，长为半径在的右侧作弧，两弧交于点，分别连接，，，记与的交点为． (1)补全图形，求的度数并说明理由； (2)若，，求的长． 【题型03 解非直角三角形】 11．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 12．（22-23九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 13．（21-22九年级上·安徽安庆·期末）已知锐角中，，，则的长为 ． 14．（22-23九年级上·江苏·期末）已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 15．（22-23九年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，，求的长． 【题型04 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 16．（21-22九年级上·山东淄博·期末）如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 17．（21-22九年级上·山东济南·期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 18．（22-23八年级下·河南安阳·期末）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 19．（22-23八年级下·重庆铜梁·期末）某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，    (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够． 20．（22-23九年级上·山东青岛·期末）为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民全面发展．如图，四边形ABCD是某蔬菜大棚的侧面示意图，已知墙BC与地面垂直，且长度为5米，现测得∠ABC＝112°，∠D＝67°，AB＝4米，求此蔬菜大棚的宽CD的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈） 【题型05 仰角俯角问题（解直角三角形的应用）】 21．（24-25九年级上·全国·期末）如图，为了测量某建筑物的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了到达D处，此时遇到一斜坡，坡度，沿着斜坡前进到达F处测得建筑物顶部的仰角是，（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）． (1)求斜坡的端点F到水平地面的距离和斜坡的水平宽度分别为多少米？ (2)求建筑物的高度为多少米？ (3)现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？ 22．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，某景区为方便游客上下山，现在从甲山处的位置向乙山处拉一段缆绳．已知甲山上点到的垂直高度米；从处往处看的仰角为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（、、、在同一平面内，参考值：，，，） (1)求乙山处到河边的垂直距离（结果保留根号）； (2)求甲山与乙山所拉缆绳的长度（结果保留整数）． 23．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 24．（23-24九年级上·甘肃白银·期末）某电视塔和楼的水平距离为m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为和，试求楼高和电视塔高（参考数据：，，，，，，精确到）． 25．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，小明打算测量旗杆的高度，他首先在教学楼四楼的点B处测得旗杆顶端A的仰角为，然后在三楼的点D处测得A的仰角为．已知每层楼的高度为（例如），请帮助小明求出旗杆的高度（精确到）．（参考数据：，，，，，） 【题型06 方位角问题（解直角三角形的应用）】 26．（24-25九年级上·全国·期末）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域．如图所示，海里，在处测得在北偏东的方向上，处测得在北偏西的方向上，在海岸线上有一灯塔，测得海里． (1)求出A与C距离（结果保留根号）． (2)已知在灯塔周围100海里范围内有暗礁群，我在处海监船沿前往处盘查，途中有无触礁的危险（参考数据：，，． 27．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 28．（24-25九年级上·四川巴中·期末） 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 29．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）一艘船自西向东航行，在得到消息，在其北偏东方向，距离海里的点，测得有一暗礁群在以点为圆心，海里为半径的圆内，问如果轮船继续沿正东方向航行有无触礁的危险？如果有危险，轮船至少要偏离原来航线多少度，才能保证航线的安全？ 30．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向（北偏东），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离 千米的地方有一城市A．    (1)A市是否会受到此台风的影响，为什么？ (2)在点O的北偏东方向，距离80千米的地方还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？为什么？ (3)若A 市或B 市受到影响，请求出受影响的时间． 【题型07 坡度坡比问题（解直角三角形的应用）】 31．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，一山坡的坡度．小明从山脚出发，沿山坡到达点，已知，的水平距离米，则小明上升的高度是（   ）    A．100米 B．200米 C．米 D．米 32．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）河堤横断面如图所示，米，迎水坡的坡度是（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 33．（23-24九年级上·广东深圳·期末）为积极参与全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处8米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行，若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为． (1)求点F到地面的距离； (2)求宣传牌的高．（参考数据：．，）． 34．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为 米． 35．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【题型08 其他问题（解直角三角形的应用）】 36．（23-24九年级上·江西·期末）如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与座板交于点E，D，现测得，，，． (1)求椅子的展角的度数． (2)求点P到地面的距离．（精确到） （参考数据：，，） 37．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳蓬的宽，则的长度为多少？ 38．（23-24九年级上·湖南·期末）图（1）是一扇半开着的办公室门的照片，门框镶嵌在墙体中间，门是向室内开的．图（2）画的是它的一个横断面．虚线表示门完全关好和开到最大限度（由于受到墙角的阻碍，再也开不动了）时的两种情形，这时二者的夹角为，从室内看门框露在外面部分的宽为，求室内露出的墙的厚度a的值．（假设该门无论开到什么角度，门和门框之间基本都是无缝的．精确到，） 39．（22-23九年级上·河南南阳·期末）疫情网课期间，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，） 40．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到0.01米）（参考数据：，，，，，） (1)求液压杆顶端到底盘的距离的长； (2)求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 解直角三角形及应用（易错、好题必刷40题8种题型专项训练） 目录 【题型01 解直角三角形及其应用】 1 【题型02 解直角三角形的相关计算】 7 【题型03 解非直角三角形】 18 【题型04 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 22 【题型05 仰角俯角问题（解直角三角形的应用）】 27 【题型06 方位角问题（解直角三角形的应用）】 34 【题型07 坡度坡比问题（解直角三角形的应用）】 42 【题型08 其他问题（解直角三角形的应用）】 47 【题型01 解直角三角形及其应用】 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，，于点， ．若E，F分别为，的中点，则的长为（   ） A． B．2 C．3 D．2 【答案】B 【思路点拨】本题考查解直角三角形，三角形中位线定理，由求出，由求出，继而求出由三角形中位线定理求出． 【规范解答】解：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵E，F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 2．（23-24九年级上·江西·期末）如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点在同一平面内，，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，解直角三角形，作于点，作于点，可得四边形是矩形，得到，又由四边形是矩形，可得，，进而可得，再分别解和求出和，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：作于点，作于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴点到的距离等于， 故选：． 3．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上． (1)连接，求证：． (2)若，求点A到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据含的直角三角形的性质，得到，证明为等边三角形，为等边三角形，即可证明； （2）过点A作于点D．求出，根据为等边三角形，解直角三角形即可． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得到． ∴，，， ∴为等边三角形，为等边三角形． ∴，， ∴． （2）解：如图，过点A作于点D．    ∵， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴点A到直线的距离为． 4．（23-24九年级下·湖南岳阳·期末）将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形，连接， ①若，则 ． ②探究的值为 ． 【答案】 / 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． ①由直角三角形的性质可得，再运用勾股定理求出的长，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长；②如图：过点A作，交的延长线于点H，利用平角定义可求出∠，从而可得是等腰直角三角形，则，先求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，最后证明，从而利用平行线的性质可得，最后根据正切的定义即可解答． 【规范解答】解：在中，，， ∴， ∵中，， ∴； 如图：过点A作，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 5．（24-25九年级上·全国·期末）在矩形中，，，点在对角线上，且，过点作交于点，交于点，在上取一点，使，则的长为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，分类讨论思想，关键是用锐角三角函数求出的长．根据题意可得，由可得，根据三角函数求，根据，则，可求的长，即可求的长． 【规范解答】解：如图： 矩形， ，， ； ， ，； ， ， ； 若在线段上， ， ， ， ， ； 若在线段上， ， ， ， ， ， 的长为． 故答案为：或． 【题型02 解直角三角形的相关计算】 6．（23-24九年级下·全国·期末）在中，a、b、c分别是的对边，若且，则的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【思路点拨】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是正确判断的前提． 由得出的形状是直角三角形，由，可得出的形状是等腰三角形，进而可得的形状是等腰直角三角形． 【规范解答】解：， 或， ， , ， ， ， ， ， ， ， , , , 的形状是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 7．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．过点P作交或于点Q．分别过点P、Q作的平行线交于点M．设与重叠部分的面以为S，点P运动的时间为秒． (1)当点Q在上时，的长为____________．（用含t的代数式表示） (2)当点M落在上时，求t的值． (3)当与的重合部分为三角形时，求S与t之间的函数关系式． (4)点N为中点，直接写出点N在各边垂直平分线上时t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)的值为或或 【思路点拨】（1）根据，，，得，即得，而，故，； （2）由，，可得，而，即得，可解得； （3）当时，可求得，当时，与的重合部分不为三角形，当时，可求得； （4）①当在边垂直平分线上时，过作于，过作于，在中，由，可得，即可解得，②当在边垂直平分线上时，过作于，同理可得解得，③当在边垂直平分线上时，连接，可证明，即可得答案． 【规范解答】（1）解：，，， ， ， ， 动点从点出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动，点运动的时间为秒， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，即， 解得， 点落在上时，的值是； （3）解：当时，如图， 此时与的重合部分为三角形， 由（1）（2）知：，， ， ， ， 当与重合时，，即， ， 当时，与的重合部分不为三角形， 当时，如图， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ， 综上所述，； （4）解：①当在边垂直平分线上时，到、距离相等，过作于，过作于，如图， ， 是垂直平分线， ， 是中点， ， ， ， 在中，， ， 解得， ②当在边垂直平分线上时，到、距离相等，过作于，如图， ， ， ， ， 而， ， 解得， ③当在边垂直平分线上时，到、距离相等，连接，如图， ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ，即， ， ， ， 综上所述，的值为或或． 8．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）已知，在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点． (1)如图1，若． ①求证：； ②连接，求证： (2)如图2，若，求的值． 【答案】(1)①见详解②见详解 (2) 【思路点拨】（1）①根据图形特征及已知证得，再由，的值，推导，从而得到； ②延长，交于点，由全等三角形推得是的中点，在中，，再由即可得出结论； （2）根据条件推出，得到．由及．建立关于的方程，求解的值即可． 本题综合考查了解直角三角形、矩形的性质、相似三角形、实数的运算等知识，综合性较强，灵活运用知识才能很好解决问题． 【规范解答】（1）解：在矩形中， ． ． ， ． ， ， ． ， ， 即． ②如图，延长，交于点． 在矩形中，． ． 在和中， ， ． ． 中， ． ， ． ． （2）解：在矩形中， ， ， ， ， ， ， ， ， 且， ， ， 且，， ， ． ， 设， 则． 解得或（舍． ． 9．（23-24九年级上·江苏常州·期末）将一副直角三角板如图叠放，则与的周长之比为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．首先设，由直角三角形的性质，可求得与的长，继而求得其比值，易证得，然后由相似三角形的周长比等于相似比，即可求得答案． 【规范解答】解：设， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， 即，， ∴， ∴， ∴与的周长比为：． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，分别以点，为圆心，长为半径在的右侧作弧，两弧交于点，分别连接，，，记与的交点为． (1)补全图形，求的度数并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)图形见解析；；理由见解析 (2)6 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质与判定，掌握作图过程中的弧和线段长度的转化是解题的关键． （1）由作图可得四边形为菱形，由此可得的度数； （2）在中，利用锐角三角函数的定义即可求出的长，从而可得出的长． 【规范解答】（1）解：补全的图形如图所示，，理由如下： ， ， 由作图可知，， 四边形为菱形， ， ． （2）四边形为菱形， ， 在中，，， ， ． 【题型03 解非直角三角形】 11．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【思路点拨】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【规范解答】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 12．（22-23九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（21-22九年级上·安徽安庆·期末）已知锐角中，，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】根据题意作出图形，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，设，根据正切值可得，勾股定理求得的值，进而求得的长． 【规范解答】如图，过点作于点， 设， ，, ， 故答案为： 14．（22-23九年级上·江苏·期末）已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）解，即可求解； （2）过点作于点，解，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示，过点作于点， ∵中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 15．（22-23九年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，，求的长． 【答案】14 【思路点拨】过点A作，构造两个直角三角形，再利用三角函数解直角三角形即可求得的长度． 【规范解答】解：过点A作，垂足为 ∵在中，， ∴ ∴ ∴ 在中，， ， 【题型04 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 16．（21-22九年级上·山东淄博·期末）如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【思路点拨】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案． 【规范解答】解：如图，分别作出两三角形的高 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 17．（21-22九年级上·山东济南·期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【答案】A 【思路点拨】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度． 【规范解答】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么， ∵坝高，CF⊥AB， ∴DE=CF=5cm 又斜坡的坡比为 ∴BF=12cm， 在RtBCF中 BC= = =13cm 18．（22-23八年级下·河南安阳·期末）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． （2）解：在中，， 在中，． ∴． 19．（22-23八年级下·重庆铜梁·期末）某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，    (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够． 【答案】(1)141米； (2)不够，见解析． 【思路点拨】（１）如图，过点D作，垂足为点F，则，解，得（米）； （2）解，，，，从而，，计算（米），总造价，得出结论． 【规范解答】（1）如图，过点D作，垂足为点F，则 中， ∴（米）； （2）中，， ∴， 而 ∴ ∴ ∴（米） ∴总造价； ∴预算不满足需求． 20．（22-23九年级上·山东青岛·期末）为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民全面发展．如图，四边形ABCD是某蔬菜大棚的侧面示意图，已知墙BC与地面垂直，且长度为5米，现测得∠ABC＝112°，∠D＝67°，AB＝4米，求此蔬菜大棚的宽CD的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈） 【答案】6.5米 【思路点拨】过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AE于点F，把图形分成两个直角三角形和一个矩形，然后在求出BF、AF，利用矩形性质求出AE，再在求出DE即可解答． 【规范解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AE于点F， 根据题意可知：AB＝4，CB＝5， ∠ABF＝∠ABC -90°=22°， 在中，， ∴，， 四边形是矩形 在中，，， （米） 答：蔬菜大棚的宽DC的长度为6.5米． 【题型05 仰角俯角问题（解直角三角形的应用）】 21．（24-25九年级上·全国·期末）如图，为了测量某建筑物的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是，然后在水平地面上向建筑物前进了到达D处，此时遇到一斜坡，坡度，沿着斜坡前进到达F处测得建筑物顶部的仰角是，（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）． (1)求斜坡的端点F到水平地面的距离和斜坡的水平宽度分别为多少米？ (2)求建筑物的高度为多少米？ (3)现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？ 【答案】(1)斜坡的端点F到水平地面的距离为米，斜坡的水平宽度为米 (2)米 (3)小明上坡时的车速为 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用-仰角与俯角，坡度坡角问题等知识．解题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）由可得，再由直角三角形的性质和三角函数求解即可； （2）由可证，设米，根据得，即，再求解即可； （3）设小明上坡时的车速为，小明在平地上的车速为，根据题意可列方程，再求解即可． 【规范解答】（1）解： ， ， ， 米， ∴斜坡的端点F到水平地面的距离为，斜坡的水平宽度为米． （2）解：由题意知： ， 在中，， ， ， 设米， 在中，， ， ， 解得：， 米， 答：建筑物的高度为米； （3）解：设小明上坡时的车速为，小明在平地上的车速为， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴小明上坡时的车速为． 22．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，某景区为方便游客上下山，现在从甲山处的位置向乙山处拉一段缆绳．已知甲山上点到的垂直高度米；从处往处看的仰角为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（、、、在同一平面内，参考值：，，，） (1)求乙山处到河边的垂直距离（结果保留根号）； (2)求甲山与乙山所拉缆绳的长度（结果保留整数）． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题． （1）过点B作，垂足为E，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点A作，垂足为F，根据题意可得：米，，从而可得，再利用（1）的结论可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长即可解答． 【规范解答】（1）如图，过点B作，垂足为E， ∵从处往处看的仰角为， ∴， ∴设米，则米， 在中，（米）， ∵米， ∴， ∴米， ∴乙山B处到河边的垂直距离为米； （2）如图，过点A作，垂足为F， 由题意得：米，， ∴， ∵米， ∴（米）， 在中，（米）， ∴甲山与乙山所拉缆绳的长度约为米． 23．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 【答案】(1)的长为 (2)塔的高度约为 【思路点拨】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用， （1）根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质可得，设，根据等腰直角三角形的性质可得，，如图，过点作．垂足为，在中，，根据角的正切值可得，由此即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得，在中，，， ∴, ∴的长为． （2）解：由题意得，在中，，， ∴， 在中，设， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作．垂足为， 由题意得，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：塔的高度约为． 24．（23-24九年级上·甘肃白银·期末）某电视塔和楼的水平距离为m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为和，试求楼高和电视塔高（参考数据：，，，，，，精确到）． 【答案】楼高约，塔高约 【思路点拨】此题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题．由题意可知：，解求出，解求出，根据即可求出塔高进而可求出答案． 【规范解答】解：根据题意可知：， 在中，， ∴ 在中，， ∴， ∴ 即楼高约，塔高约． 25．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，小明打算测量旗杆的高度，他首先在教学楼四楼的点B处测得旗杆顶端A的仰角为，然后在三楼的点D处测得A的仰角为．已知每层楼的高度为（例如），请帮助小明求出旗杆的高度（精确到）．（参考数据：，，，，，） 【答案】旗杆的高度为 【思路点拨】本题考查解直角三角形．过点B作于点E，过点D作于点F，得到四边形为矩形，从而，，通过解直角三角形有，，由可求出，进而求得，从而根据即可解答． 【规范解答】解：过点B作于点E，过点D作于点F， ∴， ∵， ∴ ∴四边形为矩形， ∴，， ∵在中，， 在中，， 又 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 答：旗杆的高度为． 【题型06 方位角问题（解直角三角形的应用）】 26．（24-25九年级上·全国·期末）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域．如图所示，海里，在处测得在北偏东的方向上，处测得在北偏西的方向上，在海岸线上有一灯塔，测得海里． (1)求出A与C距离（结果保留根号）． (2)已知在灯塔周围100海里范围内有暗礁群，我在处海监船沿前往处盘查，途中有无触礁的危险（参考数据：，，． 【答案】(1)与的距离为海里 (2)海监船沿前往处盘查，无触礁的危险 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解，难度适中． （1）如图所示，过点作于点，可求得，，设，在与中，分别表示出、的长度，然后根据海里，代入、的式子，求出的值，继而可求出的长度； （2）如图所示，过点作于点，在中，根据的值，利用三角函数的知识求出的长度，然后与100比较，进行判断． 【规范解答】（1）解：如图所示，过点作于点， 可得，， 设， 在中，， 在中，， 海里， ， 解得：， 则， 答：与的距离为海里； （2）解：如图所示，过点作于点， 在中， ，， ， 故海监船沿前往处盘查，无触礁的危险． 27．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 【答案】(1)妈妈步行的速度为 (2)明明从C处到D处的距离约为 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义． （1）根据正切函数求出的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可； （2）过点C作交延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形，可得，表示出，，进而得出结论． 【规范解答】（1）解：根据题意可知：， ∴， ∴， 答：妈妈步行的速度为； （2）解：如图，过点C作交延长线于点E，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 过点D作于点F，得矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：明明从C处到D处的距离约为． 28．（24-25九年级上·四川巴中·期末） 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【答案】(1)渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里 (2)救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【思路点拨】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键． （1）过作于，根据题意求得，在中，根据垂线段最短和锐角三角函数定义求解即可； （2）先根据锐角三角函数定义求得，进而可得，在中，利用两点之间线段最短及锐角三角函数定义求解即可． 【规范解答】（1）解：过作于，则， 由题意可知，则， 在中，∵，， ∴． 答：渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴． 故救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 29．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）一艘船自西向东航行，在得到消息，在其北偏东方向，距离海里的点，测得有一暗礁群在以点为圆心，海里为半径的圆内，问如果轮船继续沿正东方向航行有无触礁的危险？如果有危险，轮船至少要偏离原来航线多少度，才能保证航线的安全？ 【答案】轮船自处开始至少沿东偏南度方向航行，才能安全通过这一海域． 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用---方向角问题，关键是如何构造直角三角形并知道求哪一条线段的长． 过作于，则的长是沿方向距离点的最短距离，求出长和比较可得出轮船继续沿正东方向航行有无触礁的危险；设安全航向为，作于点，解，求出，则． 【规范解答】解：过作于，则的长是沿方向距离点的最短距离． 在中， ，，海里， 海里海里， 轮船继续向正东方向航行，有触礁的危险； 为了安全，应改变航行方向，并且保证点到航线的距离不小于暗礁的半径海里， 即这个距离至少为海里， 设安全航向为，作于点， 在中， 海里，海里， ， ， ． 答：轮船自处开始至少沿东偏南度方向航行，才能安全通过这一海域． 30．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向（北偏东），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离 千米的地方有一城市A．    (1)A市是否会受到此台风的影响，为什么？ (2)在点O的北偏东方向，距离80千米的地方还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？为什么？ (3)若A 市或B 市受到影响，请求出受影响的时间． 【答案】(1)A市不会受到此台风的影响，原因见解析 (2)B市会受到此台风的影响，原因见解析 (3)1.5小时 【思路点拨】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，等腰三角形的性质： （1）作，利用三角函数求出的长度即可判断； （2）作，利用三角函数求出的长度即可判断； （3）令，则台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，利用勾股定理及等腰三角开的性质求出的长度，除以风速即为影响时间． 【规范解答】（1）解：A市不会受到此台风的影响，原因如下： 作，易知台风中心O与A市的最近距离为的长度，    由题意得：，， ， A市不会受到此台风的影响； （2）解：如图，作于G，    由题意得：，， ， B市会受到此台风的影响； （3）解：如图，令，则台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，    在中，由勾股定理得， ，， ， 台风速度为40千米/小时， 影响时间为（小时）． 【题型07 坡度坡比问题（解直角三角形的应用）】 31．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，一山坡的坡度．小明从山脚出发，沿山坡到达点，已知，的水平距离米，则小明上升的高度是（   ）    A．100米 B．200米 C．米 D．米 【答案】A 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，掌握坡度的概念是解答本题的关键． 根据山坡的坡度比，即可作答． 【规范解答】解：∵山坡的坡度为，米． ∴解得：(米)， 则小明上升的高度是100米， 故选：A． 32．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）河堤横断面如图所示，米，迎水坡的坡度是（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角：先根据坡度的定义得到，然后利用比例的性质求出的长，根据坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比计算是关键． 【规范解答】解：根据题意得： 即 故选：D． 33．（23-24九年级上·广东深圳·期末）为积极参与全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处8米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行，若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为． (1)求点F到地面的距离； (2)求宣传牌的高．（参考数据：．，）． 【答案】(1)点F到地面的距离为4米 (2)宣传牌的高约为6.2米 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定以及性质． （1）过点F作于H．先证明四边形是矩形，由矩形的性质得出，然后解，即可得出，即可求出 （2）解得出，进而可得出，解和，求出和， 进一步即可得出的值． 【规范解答】（1）解：过点F作于H． ∵， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 由∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， （米）， ∴， 答：点F到地面的距离为4米． （2）∵的坡度， ∴在中，（米）， 由题意知： ∴（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 答：宣传牌的高约为米． 34．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为 米． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键． 过B作地面于C，根据坡比求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【规范解答】解：过B作地面于C，如图所示： ，米 ， ， 在中 （米）， 物体从A到B所经过的路程为米， 故答案为：． 35．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)高楼的高度为米 (2)点离地面的距离为米 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）在中，解直角三角形即可得出答案； （2）作于，于，则四边形是矩形，得出，，设米，则米，米，在中，解直角三角形即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意得：在中，米，， ∴（米）， ∴高楼的高度为米； （2）解：如图，作于，于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设米， ∴米， ∵斜坡的坡比是， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴点离地面的距离为米． 【题型08 其他问题（解直角三角形的应用）】 36．（23-24九年级上·江西·期末）如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与座板交于点E，D，现测得，，，． (1)求椅子的展角的度数． (2)求点P到地面的距离．（精确到） （参考数据：，，） 【答案】(1)椅子的展角的度数约为 (2)点到地面的距离约为 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形的应用是解题关键． （1）过点作于点，先证出，根据相似三角形的性质可得的长，再根据等腰三角形的性质可得的长，然后在中，解直角三角形可得的大小，最后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）过点作于点，在中，利用正弦的定义求解即可得． 【规范解答】（1）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 答：椅子的展角的度数约为． （2）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：点到地面的距离约为． 37．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳蓬的宽，则的长度为多少？ 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形、平行线的性质，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 根据题意可得，从而得到，利用锐角三角函数可得，从而得到，再解即可求解． 【规范解答】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的长度约为． 38．（23-24九年级上·湖南·期末）图（1）是一扇半开着的办公室门的照片，门框镶嵌在墙体中间，门是向室内开的．图（2）画的是它的一个横断面．虚线表示门完全关好和开到最大限度（由于受到墙角的阻碍，再也开不动了）时的两种情形，这时二者的夹角为，从室内看门框露在外面部分的宽为，求室内露出的墙的厚度a的值．（假设该门无论开到什么角度，门和门框之间基本都是无缝的．精确到，） 【答案】室内露出的墙的厚度约为 【思路点拨】该题主要考查了解直角三角的应用，此题读懂题意，理解题目叙述的意义是解题的关键，理解实际图形后才能把它转化成数学问题，然后利用三角函数解决问题． 宽为的门框及开成的门之间构成了一个直角三角形，且其中有一个角为60°，根据已知条件解直角三角形就可以求出a． 【规范解答】解：从图中可以看出，在室内厚为的墙面、宽为的门框及开成的门之间构成了一个直角三角形，且其中有一个角为60度． 从而 ． 即室内露出的墙的厚度约为． 39．（22-23九年级上·河南南阳·期末）疫情网课期间，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】此时顶部边缘处离桌面的高度的长约为 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据，得到，再根据，得到，在中根据三角函数即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， 在中，， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， 在中， ∴此时顶部边缘处离桌面的高度的长约为． 40．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到0.01米）（参考数据：，，，，，） (1)求液压杆顶端到底盘的距离的长； (2)求的长． 【答案】(1)米 (2)米 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用， （1）根据即可求解； （2）利用，先求出，再利用，求出，问题随之得解． 【规范解答】（1）在中，，． ， ， 即的长为米； （2）在中，，， ， ， ， ， ， （米）， 即的长为米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$