专题1.1 相似三角形的判定与性质（考题猜想，易错、好题必刷44题11种题型）（期末复习专项训练）九年级数学上学期青岛版

专题1.1 相似三角形的判定与性质（易错、好题必刷44题11种题型专项训练） 目录 【题型01 证明两三角形相似】 1 【题型02 选择或补充条件使两个三角形相似】 3 【题型03 重心的有关性质】 4 【题型04 相似三角形的判定与性质综合】 5 【题型05 利用相似三角形的性质求解】 7 【题型06 证明三角形的对应线段成比例】 9 【题型07 利用相似求坐标】 10 【题型08 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 12 【题型09 相似三角形——动点问题】 14 【题型10 相似三角形应用举例】 16 【题型11 相似三角形的综合问题】 17 【题型01 证明两三角形相似】 1．（23-24九年级上·四川达州·期末）下列说法正确的是（　　） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似 D．对角线相等的四边形是矩形 2．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图1，在的正方形方格中，的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．    (1)的值为____________；的度数为____________； (2)请在图2的两个的正方形方格中分别画出与不全等的和，要求所画的三角形各顶点都在小正方形的格点上，且． 4．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，在等边三角形中，点D、E、F分别在边、、上，且．找出图中所有相似的三角形（不要求证明）． 【题型02 选择或补充条件使两个三角形相似】 5．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图在中，点、分别在的边、上，不一定能使与相似的条件是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（23-24九年级下·山东烟台·期末）如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可） 8．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，已知点在的边上，下列条件中，不能判断的是（  ） A． B． C． D． 【题型03 重心的有关性质】 9．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，点为此三角形的重心，连结并延长交于点，过点作于点，则的长为（  ）      A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，点是的重心，连接并延长交于点，易得，过点作，分别交于点，则与面积的比值为 ． 11．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，G为的重心，连，则 ． 12．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，点是重心，点在上且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型04 相似三角形的判定与性质综合】 13．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在 中， 平分 ，按如下步骤作图：第一步，分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径在 两侧作弧，交于 ， 两点；第二步，连接 ，分别交 ， 于点 ，；第三步，连接 ，．若 ，，，则 的长是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边从点向点以每秒个单位长度的速度运动，动点从点开始沿边方向向点以每秒个单位长度的速度运动，连接，点，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒（）． （）当 秒时，点，，所构成的三角形与相似． （）在整个运动过程中，线段的中点所经过的路程长为 ． 16．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图1，平行四边形的对角线交于点P，E为的中点，过E点的圆O与相切于点P，圆O与直线分别交于点F，G． (1)求证：； (2)如果 如图2．求圆O的直径． 【题型05 利用相似三角形的性质求解】 17．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（　　） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图，点O是内一点，连接，点D，E，F分别是的中点，已知的面积是1，有以下结论：①；②；③；④其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（24-25九年级上·全国·期末）在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2变成了6，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（    ） A．3倍 B．6倍 C．8倍 D．9倍 20．（23-24九年级上·陕西西安·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当t为多少时，的长度等于？ (2)当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【题型06 证明三角形的对应线段成比例】 21．（22-23九年级上·四川宜宾·期末）数学实践课上，小明在测量教学楼高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为米（如图），然后在处树立一根高米的标杆，测得标杆的影长为4米，则楼高为（   ） A．10米 B．12米 C．15米 D．25米 22．（21-22九年级上·上海闵行·期末）两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为 厘米． 23．（22-23九年级上·山东聊城·期末）在直角坐标平面内，一点光源位于处，线段垂直于x轴，D为垂足，，则的长为（    ）． A． B．3 C．4 D． 24．（21-22九年级上·广西百色·期末）如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 【题型07 利用相似求坐标】 25．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 26．（22-23九年级·浙江绍兴·期末）如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 27．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点， (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标． 28．（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则 （1）与的位置关系是 ； （2）求点的坐标是 ． 【题型08 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 29．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，在的方格纸中，已知格点与格点P，请按要求画与相似的格点三角形（顶点均在格点上），要求图1与图2所画的三角形不全等． (1)在图1中画，使点M，N均落在的边上． (2)在图2中画，使点P在的内部（不包括边上），且与组成一幅轴对称的图形． 30．（22-23九年级上·吉林长春·期末）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹） (1)在图①中，在线段上画出点M，使； (2)在图②中，画出一个格点C，使是以为斜边的等腰直角三角形； (3)在图③中，在线段上画出点P，使． 31．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中将绕点顺时针旋转，画出旋转得到的； (2)在图2中画出一个与相似的，且使得相似比不为1．（画出一个即可） 32．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点均在格点上． (1)在图①中，______；（填两数字之比） (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在线段上找一点，使； ②如图③，在线段上找一点，使． 【题型09 相似三角形——动点问题】 33．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，点P从C点出发沿对角线以1cm/s的速度向点A作匀速运动，点Q从A点出发沿以的速度向点B作匀速运动，若假设运动时间为t，则当时，t的值为（　　） A．2s B．s C．s D．s 34．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间那么： (1)当t为何值时，为等腰直角三角形？ (2)求四边形的面积，提出一个与计算结果有关的结论； (3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似？ 35．（23-24九年级上·山西临汾·期末）如图，在等腰三角形中，厘米，厘米，动点从点出发，在边上以每秒3厘米的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒2厘米的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为秒，连结． (1)请用含的代数式表示：______，______． (2)若三角形与三角形相似，求此时的值． (3)直接写出三角形是直角三角形时的值． 36．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图的面积为，点在边上（点与点不重合），连结，作点关于直线的对称点，连结． (1)点到直线的距离是______． (2)设点与点的距离为，则的最小值为______． (3)当为等腰三角形时，求的长． (4)当落在的边所在的直线上时，直接写出的长． 【题型10 相似三角形应用举例】 37．（23-24九年级下·湖南株洲·期末）在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为米的人的影长为米，那么影长为米的旗杆的高是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 38．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，已知路灯离地面的高度为，身高为的小明站在D处的影长为，那么此时小明离路灯的距离为多少米？ 39．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一朵小花到照相机镜头的距离为，镜头到传感器的距离为．若小花高，则小花在传感器上的高度为 ． 40．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，测得边离地面的高度，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【题型11 相似三角形的综合问题】 41．（21-22九年级上·福建宁德·期末）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8 42．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，直线分别于x轴，y轴相交于点A、B，将绕点A顺时针旋转，使落在上，得到，将沿射线平移，当点D到达x轴时运动停止．设平移的距离为m．平移后的图形在x轴下方部分的面积是S． (1)点A的坐标__________，点B的坐标为_______ (2)求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． 43．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，将△ABE沿直线AE翻折得到△AFE，EF与AC相交于点M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝BC，则点F到直线AD的距离为 ． 44．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F． (1)如图1，直按写出的值_______； (2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 相似三角形的判定与性质（易错、好题必刷44题11种题型专项训练） 目录 【题型01 证明两三角形相似】 1 【题型02 选择或补充条件使两个三角形相似】 5 【题型03 重心的有关性质】 7 【题型04 相似三角形的判定与性质综合】 11 【题型05 利用相似三角形的性质求解】 17 【题型06 证明三角形的对应线段成比例】 20 【题型07 利用相似求坐标】 22 【题型08 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 27 【题型09 相似三角形——动点问题】 32 【题型10 相似三角形应用举例】 41 【题型11 相似三角形的综合问题】 43 【题型01 证明两三角形相似】 1．（23-24九年级上·四川达州·期末）下列说法正确的是（　　） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】A 【思路点拨】本题考查矩形、菱形、相似三角形的判定定理，根据菱形的判定定理、相似三角形的判定定理、矩形的判定定理依次对选项进行判断即可．掌握各判定定理是解题的关键． 【规范解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； C、两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不符合题意； D、对角线相等且平分的四边形是矩形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【规范解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、，两三角形的对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，两三角形不相似，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图1，在的正方形方格中，的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．    (1)的值为____________；的度数为____________； (2)请在图2的两个的正方形方格中分别画出与不全等的和，要求所画的三角形各顶点都在小正方形的格点上，且． 【答案】(1)， (2)见解析 【思路点拨】本题考查了网格作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理解决问题即可； （2）构造直角边的比是的直角三角形即可． 【规范解答】（1）解：，，， ，， ． 故答案为：，； （2）解：如图，和即为所求．    4．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，在等边三角形中，点D、E、F分别在边、、上，且．找出图中所有相似的三角形（不要求证明）． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，利用全等三角形的判定定理，找出是解题的关键． 利用等边三角形的性质，可得出，，结合，可得出，利用全等三角形的判定定理，可证出，同理可得出，进而可得出，利用全等三角形的性质，可得出，进而可得出是等边三角形，结合等边三角形的性质，可得出． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 同理：， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． 【题型02 选择或补充条件使两个三角形相似】 5．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图在中，点、分别在的边、上，不一定能使与相似的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定：“①有两个对应角相等的两个三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等的两个三角形相似”．根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【规范解答】解：由题意得：， A. ，能使与相似，不符合题意； B. ，能使与相似，不符合题意； C. ，不能使与相似，符合题意； D. ，能使与相似，不符合题意． 故选：C． 6．（23-24九年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理“有两个角分别相等的两个三角形相似”，按点P的运动轨迹，依次进行判断即可． 【规范解答】解：①当时，，， ②当时，，， ③当时，，， ④当时，，， 综上：一共有4个， 故选：D． 7．（23-24九年级下·山东烟台·期末）如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【规范解答】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，已知点在的边上，下列条件中，不能判断的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定．根据题意，逐项判断即可． 【规范解答】解：A, 可得，此项不符合题意； B.，可得，此项不符合题意； C.，即可得，此项不符合题意； D.和不能判断，此项符合题意． 故选：D． 【题型03 重心的有关性质】 9．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，点为此三角形的重心，连结并延长交于点，过点作于点，则的长为（  ）      A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，勾股定理，由三角形重心的性质得到 ，，由勾股定理得，证明，由相似三角形的性质得到即可求出，再证，即可求解，解题的关键是正确理解重心及熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用． 【规范解答】过作于，    ∵为此三角形的重心， ∴，， ∵，，， ∴由勾股定理得， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，点是的重心，连接并延长交于点，易得，过点作，分别交于点，则与面积的比值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查相似三角形判定及性质．根据题意得出，再利用面积比等于相似比的平方即可得到本题答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即：， ，即：， 又点D是的重心， ∴是的中线， ∴， ∴与面积的比值为， 故答案为：． 11．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，G为的重心，连，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了三角形重心的性质和中线的性质．根据重心的性质可得，然后证明，从而得解． 【规范解答】解：如图，连接并延长，交于点， ∵点G是的重心， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，点是重心，点在上且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查三角形重心的定义、中线的性质，熟练掌握三角形中线把三角形分成两个面积相等的小三角形是解题关键，根据重心的定义得出、是中线，根据，可求出的面积，根据中线的性质可求出的面积，根据可得，即可得答案． 【规范解答】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵点是重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【题型04 相似三角形的判定与性质综合】 13．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在 中， 平分 ，按如下步骤作图：第一步，分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径在 两侧作弧，交于 ， 两点；第二步，连接 ，分别交 ， 于点 ，；第三步，连接 ，．若 ，，，则 的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质．首先根据尺规作图可得知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得到相等的角和边，根据角平分线的性质可证，利用ASA可证，根据全等三角形的性质可证四边形是菱形，从而可证，利用相似三角形对应边成比例可以求出的长度，再根据求出结果． 【规范解答】解：如下图所示，设交于点O； 由作图可知是的垂直平分线， ，，， 又平分， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是菱形， ∴， ， ， ， ， ． 故选：D． 14．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质和中点定义得出，证明，根据相似三角形的面积等于相似比的平方即可得到答案． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形，E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 15．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边从点向点以每秒个单位长度的速度运动，动点从点开始沿边方向向点以每秒个单位长度的速度运动，连接，点，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒（）． （）当 秒时，点，，所构成的三角形与相似． （）在整个运动过程中，线段的中点所经过的路程长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质和勾股定理以及三角形中位线的综合运用；要注意的是（1）中，根据、的不同位置分类讨论． （1）由，分两种情况讨论：①，求出；②，求出，不合题意舍去；因此； （2）线段的中点所经过的路程为一个三角形的中位线长． 【规范解答】解：（1）分两种情况讨论： ①，当时，， ，， ， ， 解得； ②，当时，， ，解得，不合题意； 综上所述：当时，点、、构成的三角形与相似， 故答案为：6； （2）线段的中点所经过的路程是线段的长，如图所示： 当在处，在处时，的中点为的中点，当点运动10秒时，、停止运动， 的中点为，到达，到达， 过点作交于点， 此时， ， 是的中点， 时的中点， ，， ， ， ； 即线段的中点所经过的路程长为． 故答案为： 16．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图1，平行四边形的对角线交于点P，E为的中点，过E点的圆O与相切于点P，圆O与直线分别交于点F，G． (1)求证：； (2)如果 如图2．求圆O的直径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）作直径，连接，由平行四边形的性质和点E是的中点得，得到，再证明，，可证得． （2）证平行四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分；根据勾股定理可求出菱形的边长．由于E是中点，可得，根据，可得P、O、C三点共线，为的直径，根据，，可得，得到，得到，即得⊙O的直径为． 【规范解答】（1）证明：连接并延长交于点H，连接，则． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． 又∵E为的中点， ∴． ∴． ∴． ∵切于P， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：∵平行四边形中，， ∴平行四边形为菱形． ∴，． ∴． ∴． ∵切于P， ∴． ∵， ∴P、O、C三点共线． ∴为的直径． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴⊙O的直径为． 【题型05 利用相似三角形的性质求解】 17．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查相似三角形的性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解． 【规范解答】解：设投影三角板的对应边长为x， ∵三角板与投影三角板比为， ∴， 解得． 故选：A． 18．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图，点O是内一点，连接，点D，E，F分别是的中点，已知的面积是1，有以下结论：①；②；③；④其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】根据点分别是的中点，判断出两个三角形相似，再利用三角形的相似比可依次判断各个结论的正误． 【规范解答】解：∵点O是内一点，连接，点D，E，F分别是的中点， ∴，且，，且，，且， ∴，故①正确； ∴，故②错误； ∵，， ∴，故③正确； ∵，且， ∴，故④正确； 故选：C． 19．（24-25九年级上·全国·期末）在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2变成了6，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（    ） A．3倍 B．6倍 C．8倍 D．9倍 【答案】D 【思路点拨】本题考查了相似三角形的性质．熟练掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据面积比等于相似比的平方求解作答即可． 【规范解答】解：由相似三角形的性质可知，当一个三角形的一条边由原图中的2变成了6，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的倍， 故选：D． 20．（23-24九年级上·陕西西安·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当t为多少时，的长度等于？ (2)当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】本题主要考查了由动点产生的相似三角形问题．熟练掌握勾股定理，相似三角形性质是解题的关键． （1）利用勾股定理得出，列方程，解方程，即可得出结论； （2）根据，分和两种情况，建立方程求解，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵中，，，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， ，或， ∵， ∴ （2）解：∵， ∴当与相似时， 一种情况是 ， ∴， ∴； 另一种情况是 ， ∴， ∴， 故当或时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似． 【题型06 证明三角形的对应线段成比例】 21．（22-23九年级上·四川宜宾·期末）数学实践课上，小明在测量教学楼高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为米（如图），然后在处树立一根高米的标杆，测得标杆的影长为4米，则楼高为（   ） A．10米 B．12米 C．15米 D．25米 【答案】C 【思路点拨】根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解． 【规范解答】∵， 即， ∴楼高米， 故选：C． 22．（21-22九年级上·上海闵行·期末）两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为 厘米． 【答案】3 【思路点拨】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【规范解答】∵两个三角形面积比为9:25 ∴两个三角形相似比为3:5 设：另一三角形对应边上的高为x ∴，解得x=3 故答案为：3 23．（22-23九年级上·山东聊城·期末）在直角坐标平面内，一点光源位于处，线段垂直于x轴，D为垂足，，则的长为（    ）． A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【思路点拨】根据题意，结合图形，利用相似三角形△的性质解答． 【规范解答】∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， C点坐标为， ∴， ∴， 故选A． 24．（21-22九年级上·广西百色·期末）如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解． 【规范解答】解：∵△ABC∽△ADB， ∴， ∴AB2=AC•AD． 故选：A． 【题型07 利用相似求坐标】 25．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【思路点拨】直接利用A，B点坐标得出AB的长，再利用位似图形的性质得出CD的长． 【规范解答】解：∵A（6，6），B（8，2）， ∴AB＝＝2， ∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴线段CD的长为：×2＝． 故选：D． 26．（22-23九年级·浙江绍兴·期末）如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 【答案】B 【思路点拨】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则PB、PD与AB、AC的比值必须相等，可据此进行判断． 【规范解答】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD， 则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC， 又BA=2，AC=2， ∴BA：AC=1：， ∴BP：PD=1：或BP：PD=：1， 只有P2符合这样的要求，故P点应该在P2． 故选B． 27．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点， (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）先根据点点求得k确定反比例函数解析式，然后再根据、利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）设点，则点，由点可得、，再根据相似三角形的性质列方程求得t即可解答． 【规范解答】（1）解：∵反比例函数过点 ∴且 将，带入直线 得：， 故一次函数为：． （2）解：设点，则点，点 则， 当时 即：，解得：，（舍去） ∴点． 28．（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则 （1）与的位置关系是 ； （2）求点的坐标是 ． 【答案】 平行 【思路点拨】（1）通过中线倍长构造全等三角形，然后二次全等证明几点共线，直接判定平行即可． （2）先利用点在函数上求出点的横纵坐标数量关系，然后利用勾股定理直接求出边长；再通过一线三等角构造相似三角形，利用相似比求出点的坐标即可． 【规范解答】（1）如图所示，延长至H，使得，连接 绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上 ，， ， 那么在和中 (SAS) 那么在和中 (SAS) 三点共线 （2）如图所示，过作于M，过作于N ， 设AB所在直线解析式为 带入， ，解得 设 在中， ，解得 故答案为：平行； 【题型08 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 29．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，在的方格纸中，已知格点与格点P，请按要求画与相似的格点三角形（顶点均在格点上），要求图1与图2所画的三角形不全等． (1)在图1中画，使点M，N均落在的边上． (2)在图2中画，使点P在的内部（不包括边上），且与组成一幅轴对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查作相似图形和轴对称图形，熟练掌握相似的性质和轴对称的性质是解此题的关键． （1）利用相似图形的定义确定对应点的位置即可； （2）利用相似图形的定义和轴对称图形的定义确定对应点的位置即可． 【规范解答】（1）如图： 即为所求； （2）如图： 即为所求． 30．（22-23九年级上·吉林长春·期末）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹） (1)在图①中，在线段上画出点M，使； (2)在图②中，画出一个格点C，使是以为斜边的等腰直角三角形； (3)在图③中，在线段上画出点P，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）利用平行线分线段成比例定理作出图形即可； （2）根据网格的特点和等腰直角三角形的性质画出图形即可； （3）根相似三角形的性质作出对应图形即可． 【规范解答】（1）如图所示，点M即为所求； （2）如图所示，点C即为所求； （3）如图所示，点P即为所求； 31．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中将绕点顺时针旋转，画出旋转得到的； (2)在图2中画出一个与相似的，且使得相似比不为1．（画出一个即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查作图相似变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握相似变换旋转变换的性质． （1）根据要求作出图形； （2）根据直角边的比为2，构造相似三角形即可． 【规范解答】（1）解：如图1，即为所求； ； （2）解：如图2中，即为所求． ． 32．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点均在格点上． (1)在图①中，______；（填两数字之比） (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在线段上找一点，使； ②如图③，在线段上找一点，使． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【思路点拨】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，即可求得； （2）①如图，取格点，连接交于点，利用相似三角形的判定和性质即可得解； ②如图，取格点，连接交于点，利用相似三角形的判定即可得解． 【规范解答】（1）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①点如图所示， ； ②点如图所示， ． 【题型09 相似三角形——动点问题】 33．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，点P从C点出发沿对角线以1cm/s的速度向点A作匀速运动，点Q从A点出发沿以的速度向点B作匀速运动，若假设运动时间为t，则当时，t的值为（　　） A．2s B．s C．s D．s 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，矩形及三角形的综合，解题的关键是三角形的全等和相似的综合运用． 先根据勾股定理求出，过点P作于点M，证明，推出，分别表示和的长，根据，进而，求出t的值，进而作答即可． 【规范解答】解：∵矩形， ∴，， 在中， ， 过点P作于点M，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 34．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间那么： (1)当t为何值时，为等腰直角三角形？ (2)求四边形的面积，提出一个与计算结果有关的结论； (3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2)64，在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变． (3)或 【思路点拨】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质，根据点的运动方式结合相似三角形相关性质列出关系式是解题的关键； （1）分别用t表示出和，则按求解即可； （2） 结合（1）的结论，在中，，边上的高，由三角形的面积公式可得关系式，计算可得在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变； (3)分和两种情况进行讨论即可． 【规范解答】（1）四边形是矩形，，， ，，， 点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动， ，，， ∵当时，是等腰直角三角形， ∴即， ∴当时，△AQP是等腰直角三角形； （2）∵在中，，边上的高，， 在中，，边上的高， ， ， 由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变． （3）根据题意，可分为两种情况， 在矩形ABCD中： ①当时， ， ， 解得， ②当时， ， ， 解得， 所以，当或时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似． 35．（23-24九年级上·山西临汾·期末）如图，在等腰三角形中，厘米，厘米，动点从点出发，在边上以每秒3厘米的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒2厘米的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为秒，连结． (1)请用含的代数式表示：______，______． (2)若三角形与三角形相似，求此时的值． (3)直接写出三角形是直角三角形时的值． 【答案】(1)10-2t，3t； (2)； (3)． 【思路点拨】本题考查了动点问题的三角形相似、三角形为直角三角形、分类讨论等，熟练掌握相似的判定、直角三角形的判定是解题的关键． （1）根据点的运动速度和运动时间表示出对应线段即可； （2）分类讨论三角形相似的情况，对应列出等式求解即可； （3）分类讨论直角的情况，根据相似即可列出等式． 【规范解答】（1）解：由题意可得， （2）∵ 当时 ， 当时 即 综上所述当三角形与三角形相似时， （3）如图，过作 ， ， ∴ 当时， 即 由勾股定理有 即 解得：或（舍去） 当时， 如图 即 解得： 综上所述当三角形是直角三角形时． 36．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图的面积为，点在边上（点与点不重合），连结，作点关于直线的对称点，连结． (1)点到直线的距离是______． (2)设点与点的距离为，则的最小值为______． (3)当为等腰三角形时，求的长． (4)当落在的边所在的直线上时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或或 (4)或或 【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式即可求出结果； （2）连接，过点作，垂足为点，求出、、，由点和点关于直线对称，得点在以点为圆心，为半径的圆弧上，，从而得到当点、、三点共线时，取得最小值，根据线段长度即可求出的最小值； （3）证明，得当为等腰三角形时，为等腰三角形，分①当时；②当时；③当时三种情况，画出相应的图即可求解的长； （4）分①当点落在所在的直线上；②当点落在所在的直线上；③当点落在所在的直线上三种情况，画出相应的图，根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质即可求出结果． 【规范解答】（1）解：（1）设点到直线的距离为， 的面积为，， ， ， 点到直线的距离为； 故答案为：； （2）连接，过点作，垂足为点， 由（1）得， 在中，，， ， ， 在中，，， ， 点和点关于直线对称， 点在以点为圆心，为半径的圆弧上，， ， ， 当点、、三点共线时，取得最小值， 的最小值为； 故答案为：； （3）点关于直线的对称点， ， 当为等腰三角形时，为等腰三角形， ①当时， 过点作，垂足为点， ，， ， ，， ， ， ； ②当时， ， ； ③当时， ，， ， ； 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或或； （4）①当点落在所在的直线上， 点和点关于直线对称， ， ， ， 由（2）得， ； ②当点落在所在的直线上， 过点作，垂足为点， ，， ， ，， ， ， ，， 设， ， 在中， ， ， 解得， ； ③当点落在所在的直线上， ，， ， ，， ， ， ， ； 综上所述，当落在的边所在的直线上时，的长为或或． 【题型10 相似三角形应用举例】 37．（23-24九年级下·湖南株洲·期末）在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为米的人的影长为米，那么影长为米的旗杆的高是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【思路点拨】考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可得出旗杆的高． 【规范解答】解：设影长为米的旗杆的高是米， 根据题意可得：， 解得：， 即影长为米的旗杆的高是米． 故选：A． 38．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，已知路灯离地面的高度为，身高为的小明站在D处的影长为，那么此时小明离路灯的距离为多少米？ 【答案】4米． 【思路点拨】本题考查了相似三角形判定与性质．利用中心投影的性质可判断，再根据相似三角形的性质求出的长，然后计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 答：小明离路灯的距离为4米． 39．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一朵小花到照相机镜头的距离为，镜头到传感器的距离为．若小花高，则小花在传感器上的高度为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 根据小花的高度与长的比等于小花在传感器上的高度与长的比求解作答即可． 【规范解答】解：设小花在传感器上的高度为， 依题意得，， 解得，， 故答案为：． 40．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，测得边离地面的高度，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先利用勾股定理求出长，再利用相似三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：在直角三角形纸板中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 故选：D． 【题型11 相似三角形的综合问题】 41．（21-22九年级上·福建宁德·期末）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8 【答案】B 【思路点拨】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答． 【规范解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，其位似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：4． 故选：B． 42．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，直线分别于x轴，y轴相交于点A、B，将绕点A顺时针旋转，使落在上，得到，将沿射线平移，当点D到达x轴时运动停止．设平移的距离为m．平移后的图形在x轴下方部分的面积是S． (1)点A的坐标__________，点B的坐标为_______ (2)求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【思路点拨】（1）分别将，代入函数求解即可； （2）分两种情况，当点在轴上方或点在轴下方，根据相似三角形的性质，求解即可． 【规范解答】（1）分别将，代入函数可得 ， 即，， 故答案为：，； （2）解：当点在轴上方时， 由旋转的性质可得，，，，， ∴，， 由平移的性质可得，， 过点作，如下图： 则， ∴， ∴，即，解得， 则； 当点在轴下方时，，， ∴ 又∵ ∴， ∴，即， 解得， 点D到达x轴时，，此时， 即， ， ， ∴， 综上，． 43．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，将△ABE沿直线AE翻折得到△AFE，EF与AC相交于点M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝BC，则点F到直线AD的距离为 ． 【答案】． 【思路点拨】先过F作MN⊥BC，根据已知条件与折叠的性质得到△AFN∽△FEM，再根据相似的性质得到，设出未知数，求解出答案即可． 【规范解答】解：过F作MN⊥BC， ∵BE=，BC=10， ∴BE=6， ∵翻折 ∴△ABE≌△AFE， ∴EF=BE=6，∠AFE=∠B=90°，AF= AB=8， ∴∠AFN+∠EFM=90°， ∵∠AFN+∠FAN=90°， ∴∠FAN=∠EFM， ∴△AFN∽△FEM， ∴， 设AN=4x，FM=3x， FN=8-3x，EM=4x-6， ∴FN=8-3x，EM=4x-6， ∴， ∴， 经检验：是原方程的根， ∴， 故答案为：． 44．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F． (1)如图1，直按写出的值_______； (2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)画图见解析，α的值为30°或150°， 【思路点拨】由是正方形ABCD的对角线，可知∠ABD=45°，由垂直可知，，则可求出边相等，进而可知，根据边之间的等量关系可知，故可知； 由（1）知，，，，进而可知边之间的比例关系，由旋转知，，故可证明，根据相似比可证明边之间的等量关系； （3）连接DE，CE根据边相等的条件，以及角相等的条件可知AE=DE，BE=CE，由四边形ABCD是正方形，可知，AB=BC，进而可得△BCE是等边三角形，，进而可证，即：，同理，也可证明△BCE是等边三角形，，即：． 【规范解答】（1）是正方形ABCD的对角线， ∴∠ABD=45°，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 理由：由（1）知，，，， ， 由旋转知，， ， ， ； （3）如图3，连接DE，CE ∵EA=ED， ∴点E在AD的中垂线上， ∴AE=DE，BE=CE， ∵四边形ABCD是正方形， ，AB=BC， ， ∴△BCE是等边三角形， ， ，即：， 如图4，同理，△BCE是等边三角形， ，即：， 故答案为：30°或150°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$