专题11 计数原理（核心考点）-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（福建专用）

专题11 计数原理 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解加法原理 · 理解乘法原理 · 理解排列 · 理解组合 考点预测 · 加法原理 · 乘法原理 · 排列 · 组合 课堂笔记 一、计数原理 1.分类加法计数原理 概念：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法（也称加法原理） 特征：（1）任何一类方案都能完成这件事；（2）各类方案之间相互独立；（3）分类要做到“不重不漏” 2.分步乘法计数原理 概念：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么，完成这件事共有种不同的方法（也称乘法原理） 特征：（1）任何一步都不能单独完成这件事；（2）各步之间相互依存；（3）分步要做到“步骤完整” 3.两个原理的联系与区别 ⑴ 联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法. ⑵ 区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 完成一件事共有n类办法,关键词是“分类” 完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步” 区别二 每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事 除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事 区别三 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复 4.计数原理的解题步骤 (1)指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分类”还是“分步”； (2)求每“类”或每“步”中不同方法的种数； (3)利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数； (4)作答。 5.从个不同元素中，每次取出个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第位上选取元素的方法都是个，所以从个不同元素中，每次取出个元素可重复排列数。 二、排列 1.排列：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 2.排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示 3.排列数公式：（，且） 三、组合 1.组合：一般地，从个不同的元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 2.组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示 3.组合数公式：（，且） 4.组合数的性质：（1）；（2） 考点突破 考点1 加法原理 例1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位担任学习委员，不同的选法有（　　） A．50种 B．26种 C．24种 D．616种 【答案】A 【分析】根据分类加法计数原理求解即可. 【详解】选一位学习委员分两类办法： 第一类：选男生，有26种不同的选法；第二类：选女生，有24种不同的选法． 根据分类加法计数原理，共有种不同的选法. 故选：A. 例2．某学校高一年级共8个班，高二年级6个班从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有种安排方法 A．8 B．6 C．14 D．48 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】根据分类计数的原理：共种方法． 故选：C 练习1．某班有男生13人，女生17人，从中选一名同学为数学课代表，则不同的选法的种数有（    ） A．121 B．13 C．30 D．17 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理即可得到答案 【详解】由分类加法计数原理可知，共有13+17=30种选法 故选：C 2．某校本学期迎来了某师范大学数学系甲、乙、丙、丁共4名实习教师，若将这4名实习教师分配到高一年级编号为1，2，3，4的4个班级实习，每班安排1名实习教师，且甲教师要安排在1班或2班，则不同的分配方案有 A．6种 B．9种 C．12种 D．24种 【答案】C 【详解】试题分析：根据题意，分2步进行分析：①由于甲教师要安排在1班或2班，则甲有2种情况可选， ②将剩下的3人全排列、安排在其他三个班级，有种情况，则不同的分配方案有2×6=12种； 故选C． 3．一个口袋中有10封信，另外一个口袋中有20封信，每封信的内容不相同，从两个口袋中任取一封信有（    ）种不同的取法． A．10 B．20 C．30 D．200 【答案】C 【分析】利用分类计数原理即可求出结果 【详解】根据分类计数原理可知：从两口袋各取一封信，共有种取法. 故选：C 考点2 乘法原理 例1．我校教学楼共有7层楼，每层都有南、北两个楼梯，则从一楼到七楼共有（    ）种走法. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，每层楼都有种走法，即可求得从一楼到七楼所有种走法，得到答案. 【详解】由题意，教学楼共有7层楼，每层都有南、北两个楼梯， 其中每层楼都有种走法，根据分步计数原理，可得从一楼到七楼共有种走法. 故选：D. 例2．2个数学教师，2个语文教师分别担任4个班的课，每人两个班，则不同的分配方案有（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．72种 【答案】C 【详解】解析过程略 练习1．五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．120种 【答案】C 【分析】运用相邻元素“捆绑法”易得. 【详解】运用相邻元素“捆绑法”，将甲和乙看成一个元素与其他三个同学全排，有种排法， 再对甲乙“松绑”，有种排法， 由分步乘法计数原理可得，排队方案共有种. 故选：C. 2．四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，不同的报名方法的种数是（  ） A．64 B．81 C．24 D．12 【答案】B 【分析】由分步乘法计算原理求解 【详解】四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队,每人限报一项， 故每人有3种报名方法，共有种不同的报名方法; 故选：B 3．某校高一新生中的3名同学打算参加“动漫乐园”“学生公司”“篮球之家”“相声社”四个社团.每名同学必须参加一个社团，且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为（    ） A．64 B．81 C．24 D．72 【答案】A 【解析】根据分步计数原理求解． 【详解】由题意方法数为． 故选：A. 考点3 排列 例1．若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据排列数的计算方法列出关于m的一元二次方程即可解得. 【详解】,化解得 解得：m=（舍）或m=5 故选：A 例2．（    ） A．10 B．15 C．60 D．20 【答案】C 【解析】根据排列数的计算公式，即可容易求得. 【详解】， 故选：C 练习1．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数的个数为（    ） A．120 B．86 C．72 D．60 【答案】D 【分析】根据排列数计算出正确答案. 【详解】依题意，组成的无重复数字的三位数的个数为. 故选：D 2．（    ） A．56 B．32 C．50 D．48 【答案】A 【分析】根据排列数和组合数的公式计算即可. 【详解】. 故选：A. 3．某职校计算机专业开设两类不同选修课，其中专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程.若从两类选修课中各选一门学习，则不同的选修方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】结合分步计数原理以及组合数、排列数的计算确定正确选项. 【详解】依题意，专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程， 从两类选修课中各选一门学习，根据分步计数原理， 不同的选修方案有种. 故选：B 考点4 组合 例1．若，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据即可求解. 【详解】若，则， 所以,解得. 故选：C. 例2．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】直接利用排列与组合数公式，进行化简计算即可. 【详解】解：， ， 化简得， 解得. 故选：. 练习1．若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用组合数公式和排列数公式化简即可得解. 【详解】由得， 解得. 故选：D 2．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如.在不超过的素数，随机选取个不同的数，这两个数的和等于的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求得以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】以内的素数为共个，任选两个的方法数有种，和为的有共种，所以不超过的素数，随机选取个不同的数，这两个数的和等于的概率是. 故选：B 3．某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲､乙两组，每组3个班，则高一（1）班､高一（2）班恰好都在甲组的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用组合数的概念结合古典概型即可求解. 【详解】由题意得, 把全年级6个班分为甲､乙两组共有种方法， 高一（1）班､高一（2）班恰好都在甲组共有种方法， 所以高一（1）班､高一（2）班恰好都在甲组的概率是， 故选：C. 模拟演练 一、单选题 1．甲从3个短跑项目和5个球类项目中各选1个项目参加，则不同的选择方案共有（    ） A．8种 B．15种 C．20种 D．24种 【答案】B 【分析】应用乘法原理计算即可. 【详解】不同的选择方案共有种． 故选：B. 2．有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代表队，共可组成（    ） A．7队 B．8队 C．15队 D．63队 【答案】D 【分析】根据题意，分析可得男队员的选法有7种，女队员的选法有9种，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代表队， 则男队员的选法有7种，女队员的选法有9种， 由分步乘法计数原理，知共可组成组队方法； 故选：． 3．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．5种 B．12种 C．20种 D．60种 【答案】B 【分析】根据分类加法计算原理即可求解. 【详解】从油画中选，有3种不同的选法； 从国画中选，有4种不同的选法； 从水彩画中选，有5种不同的选法. 根据分类加法计数原理，共有种不同的选法. 故选：B. 4．（    ） A．12 B．18 C．23 D．30 【答案】C 【分析】根据排列数及组合数的计算公式计算即可． 【详解】， 故选：C． 5．下列四个命题中，假命题为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据组合数的计算公式进行判断ABC选项，由二项式系数的性质可得D选项错误. 【详解】，A为真命题； ，B为真命题； ，C为真命题； ，D为假命题. 故选：D 6．某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（    ） A．30 B．14 C．33 D．90 【答案】D 【分析】根据备有6种素菜，5种荤菜，3种汤，则素菜有6种选法，荤菜有5种选法，汤菜有3种选法，然后再利用分步计数原理求解 【详解】因为备有6种素菜，5种荤菜，3种汤， 所以素菜有6种选法，荤菜有5种选法，汤菜有3种选法， 所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有种 故选：D 7．在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型的概率求法求解. 【详解】不超过18的素数有：2,3,5,7,11,13,17， 随机选取两个不同的数有种， 和等于16的有共2种， 所以和等于16的概率是. 故选:B. 二、填空题 8．5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是 ． 【答案】 【分析】按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】解：每个人都有种选择方法，根据分步计算原理可知方法有种. 故答案为： 9．联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有 种． 【答案】25. 【详解】分析：按照每个国家都要有物资援助，分类型，求解即可． 详解：联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资， 每种物资既可以全部给一个国家， 也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助， 需要分为：粮食和药品都有，方法1种； 一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法； 一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法； 两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法； 两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法； 一个国家粮食和药品，另两个国家各一种，有3×（2+2）=12种方法； 方法总数是：25． 故答案为25． 三、解答题 10．计算：（用数字作答） (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据排列数､组合数公式展开计算，即可得出答案. （2）根据组合数公式和组合数性质展开计算，即可得出答案. 【详解】（1） （2） . $$专题11 计数原理 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解加法原理 · 理解乘法原理 · 理解排列 · 理解组合 考点预测 · 加法原理 · 乘法原理 · 排列 · 组合 课堂笔记 一、计数原理 1.分类加法计数原理 概念：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法（也称加法原理） 特征：（1）任何一类方案都能完成这件事；（2）各类方案之间相互独立；（3）分类要做到“不重不漏” 2.分步乘法计数原理 概念：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么，完成这件事共有种不同的方法（也称乘法原理） 特征：（1）任何一步都不能单独完成这件事；（2）各步之间相互依存；（3）分步要做到“步骤完整” 3.两个原理的联系与区别 ⑴ 联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法. ⑵ 区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 完成一件事共有n类办法,关键词是“分类” 完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步” 区别二 每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事 除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事 区别三 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复 4.计数原理的解题步骤 (1)指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分类”还是“分步”； (2)求每“类”或每“步”中不同方法的种数； (3)利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数； (4)作答。 5.从个不同元素中，每次取出个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第位上选取元素的方法都是个，所以从个不同元素中，每次取出个元素可重复排列数。 二、排列 1.排列：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 2.排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示 3.排列数公式：（，且） 三、组合 1.组合：一般地，从个不同的元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 2.组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示 3.组合数公式：（，且） 4.组合数的性质：（1）；（2） 考点突破 考点1 加法原理 例1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位担任学习委员，不同的选法有（　　） A．50种 B．26种 C．24种 D．616种 例2．某学校高一年级共8个班，高二年级6个班从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有种安排方法 A．8 B．6 C．14 D．48 练习1．某班有男生13人，女生17人，从中选一名同学为数学课代表，则不同的选法的种数有（    ） A．121 B．13 C．30 D．17 2．某校本学期迎来了某师范大学数学系甲、乙、丙、丁共4名实习教师，若将这4名实习教师分配到高一年级编号为1，2，3，4的4个班级实习，每班安排1名实习教师，且甲教师要安排在1班或2班，则不同的分配方案有 A．6种 B．9种 C．12种 D．24种 3．一个口袋中有10封信，另外一个口袋中有20封信，每封信的内容不相同，从两个口袋中任取一封信有（    ）种不同的取法． A．10 B．20 C．30 D．200 考点2 乘法原理 例1．我校教学楼共有7层楼，每层都有南、北两个楼梯，则从一楼到七楼共有（    ）种走法. A． B． C． D． 例2．2个数学教师，2个语文教师分别担任4个班的课，每人两个班，则不同的分配方案有（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．72种 练习1．五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．120种 2．四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，不同的报名方法的种数是（  ） A．64 B．81 C．24 D．12 3．某校高一新生中的3名同学打算参加“动漫乐园”“学生公司”“篮球之家”“相声社”四个社团.每名同学必须参加一个社团，且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为（    ） A．64 B．81 C．24 D．72 考点3 排列 例1．若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 例2．（    ） A．10 B．15 C．60 D．20 练习1．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数的个数为（    ） A．120 B．86 C．72 D．60 2．（    ） A．56 B．32 C．50 D．48 3．某职校计算机专业开设两类不同选修课，其中专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程.若从两类选修课中各选一门学习，则不同的选修方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 考点4 组合 例1．若，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 例2．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 练习1．若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如.在不超过的素数，随机选取个不同的数，这两个数的和等于的概率是（    ） A． B． C． D． 3．某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲､乙两组，每组3个班，则高一（1）班､高一（2）班恰好都在甲组的概率是（    ） A． B． C． D． 模拟演练 一、单选题 1．甲从3个短跑项目和5个球类项目中各选1个项目参加，则不同的选择方案共有（    ） A．8种 B．15种 C．20种 D．24种 2．有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代表队，共可组成（    ） A．7队 B．8队 C．15队 D．63队 3．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．5种 B．12种 C．20种 D．60种 4．（    ） A．12 B．18 C．23 D．30 5．下列四个命题中，假命题为（    ） A． B． C． D． 6．某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（    ） A．30 B．14 C．33 D．90 7．在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是 ． 9．联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有 种． 三、解答题 10．计算：（用数字作答） (1)； (2). $$