专题10 三角公式及应用（核心考点）-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（福建专用）

专题10 三角公式及应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解三角函数公式 · 理解三角函数之间的关系 · 理解三角函数的恒等变换 · 理解三角函数的二倍角关系 考点预测 · 三角函数基本关系 · 三角函数诱导公式 · 两角和与差的三角函数 · 二倍角公式 课堂笔记 1.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示： (2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 2．诱导公式一 3．平方关系 (1)公式：sin2α＋cos2α＝1. (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 4．商数关系 (1)公式：＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z)． (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切． 5.诱导公式二 (1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示． (2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α， cos(π＋α)＝－cos_α， tan(π＋α)＝tan_α. 6．诱导公式三 (1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示． (2)公式：sin(－α)＝－sin_α， cos(－α)＝cos_α， tan(－α)＝－tan_α. 7．诱导公式四 (1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示． (2)公式：sin(π－α)＝sin_α， cos(π－α)＝－cos_α， tan(π－α)＝－tan_α. 8．诱导公式五 (1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示． (2)公式：sin＝cos_α， cos＝sin_α. 9．诱导公式六 (1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－. (2)公式：sin＝cos_α， cos＝－sin_α. 10. 两角差的余弦公式 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β 适用条件 公式中的角α，β都是任意角 公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反 11．两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β α，β∈R 12. 两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β α，β∈R 两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β α，β∈R 13. 重要结论－辅助角公式 y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝. 14. 两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠1 两角差的正切 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1 15. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α＝2sin_αcos_α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α T2α tan 2α＝ 16. 余弦的二倍角公式的变形 17．正弦的二倍角公式的变形 (1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝. (2)1±sin 2α＝(sin_α±cos_α)2. 18. 半角公式 (1)sin＝± ， (2)cos＝± ， (3)tan＝± ， (4)tan＝＝＝， tan＝＝＝. 考点突破 考点1 三角函数基本关系 例1．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 例2．若，则（    ） A． B． C． D． 练习1．设，则（    ） A． B． C． D． 2．中，内角，，所对边分别为，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知 则cosα= . 考点2 三角函数诱导公式 例1． A． B． C． D． 例2．计算：（    ） A． B． C． D． 练习1．（    ） A． B． C． D． 2．若，则用表示的结果为（    ）. A． B． C． D． 3．已知 ，且为第二象限角，则 . 考点3 两角和与差的三角函数 例1．下列化简不正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（    ）． A． B． C． D． 练习1．若，则 A．5或 B．或 C．3或 D．或 2．已知，，则（    ） A．5 B． C． D． 3． . 考点4 二倍角公式 例1．计算等于（    ） A． B． C． D． 例2．若，则（    ） A． B． C． D． 练习1．若cos2α＝－，且α∈，则sinα＝（    ） A． B． C． D．－ 2．已知，则 A． B． C． D． 3．已知，且，则 ． 模拟演练 一、单选题 1．的值为 A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．对于任意角θ，化简cos4θ－sin4θ＝（    ） A．2sin θ B．2cos θ C．sin 2θ D．cos 2θ 5．设为第一象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．0或2 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．函数,,则 . 9．已知，，则＝ . 三、解答题 10．（1）已知角的终边经过点，（），且，求的值； （2）求值：. $$专题10 三角公式及应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解三角函数公式 · 理解三角函数之间的关系 · 理解三角函数的恒等变换 · 理解三角函数的二倍角关系 考点预测 · 三角函数基本关系 · 三角函数诱导公式 · 两角和与差的三角函数 · 二倍角公式 课堂笔记 1.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示： (2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 2．诱导公式一 3．平方关系 (1)公式：sin2α＋cos2α＝1. (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 4．商数关系 (1)公式：＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z)． (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切． 5.诱导公式二 (1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示． (2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α， cos(π＋α)＝－cos_α， tan(π＋α)＝tan_α. 6．诱导公式三 (1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示． (2)公式：sin(－α)＝－sin_α， cos(－α)＝cos_α， tan(－α)＝－tan_α. 7．诱导公式四 (1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示． (2)公式：sin(π－α)＝sin_α， cos(π－α)＝－cos_α， tan(π－α)＝－tan_α. 8．诱导公式五 (1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示． (2)公式：sin＝cos_α， cos＝sin_α. 9．诱导公式六 (1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－. (2)公式：sin＝cos_α， cos＝－sin_α. 10. 两角差的余弦公式 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β 适用条件 公式中的角α，β都是任意角 公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反 11．两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β α，β∈R 12. 两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β α，β∈R 两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β α，β∈R 13. 重要结论－辅助角公式 y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝. 14. 两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠1 两角差的正切 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1 15. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α＝2sin_αcos_α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α T2α tan 2α＝ 16. 余弦的二倍角公式的变形 17．正弦的二倍角公式的变形 (1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝. (2)1±sin 2α＝(sin_α±cos_α)2. 18. 半角公式 (1)sin＝± ， (2)cos＝± ， (3)tan＝± ， (4)tan＝＝＝， tan＝＝＝. 考点突破 考点1 三角函数基本关系 例1．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据条件得，解得和可得解. 【详解】由，可得， 又，可得，解得 因为，所以. 故选：C. 例2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两边平方后，利用平方关系式可求出结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B 练习1．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，准确运算，即可求解. 【详解】由， 故选：C． 2．中，内角，，所对边分别为，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定条件先求出，再利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，因，则是锐角，由，解得， 由正弦定理得：， 所以. 故选：D 3．已知 则cosα= . 【答案】或 【分析】利用同角的三角函数关系式分是第一象限角或第二象限角讨论求解即可. 【详解】因为所以是第一象限角或第二象限角， 当是第一象限角时，， 所以 ； 当是第二象限角时，， 所以 . 故答案为：或 . 考点2 三角函数诱导公式 例1． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果． 【详解】 故选：B 例2．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式可求得的值. 【详解】原式. 故选：A. 练习1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，利用诱导公式化简即可求解. 【详解】解：， 故选：B. 2．若，则用表示的结果为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先化简得，再解方程组即得解. 【详解】由题得. 由题得，解之得. 故选：B 3．已知 ，且为第二象限角，则 . 【答案】 【分析】利用诱导公式求出，并利用同角三角函数求出，最后利用商数关系求出． 【详解】由诱导公式可得，， 为第二象限角，则，因此，． 故答案为． 考点3 两角和与差的三角函数 例1．下列化简不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案. 【详解】A选项， ，所以A选项正确. B选项， ，B选项正确. C选项，，C选项正确. D选项，，D选项错误. 故选：D 例2．（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和角正弦公式即可得出结果. 【详解】根据和角正弦公式， ， 故选：C. 练习1．若，则 A．5或 B．或 C．3或 D．或 【答案】B 【分析】由得，再由正切的倍角公式得或，化简，代入计算即可. 【详解】由 ，得，由正切的倍角公式得，解得或；化简，将的值代入，可得 或. 故选B． 2．已知，，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和的正切公式求得正确答案. 【详解】. 故选：D 3． . 【答案】/ 【分析】利用正切的差角公式进行求解. 【详解】 故答案为： 考点4 二倍角公式 例1．计算等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式计算可得. 【详解】. 故选：B 例2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】， 故选：D. 练习1．若cos2α＝－，且α∈，则sinα＝（    ） A． B． C． D．－ 【答案】A 【解析】利用二倍角公式可解得的值，再根据的范围可确定的具体值. 【详解】解：因为，所以，解得.又因为，所以，即. 故选：A. 2．已知，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：的两边分别平分得 考点：同角间三角函数关系 3．已知，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由题设求得，应用二倍角正弦公式求目标式的值即可. 【详解】由题设，则. 故答案为： 模拟演练 一、单选题 1．的值为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 故选 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用诱导公式，求得三角函数值. 【详解】依题意. 故选：A 3．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据利用诱导公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：C 4．对于任意角θ，化简cos4θ－sin4θ＝（    ） A．2sin θ B．2cos θ C．sin 2θ D．cos 2θ 【答案】D 【解析】利用平方差公式及倍角公式计算即可． 【详解】解：cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ 故选：D． 5．设为第一象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用正弦与余弦的平方关系计算出，然后，利用正弦的两角差公式直接计算，可得答案. 【详解】，且，得， 则，，， . 故选：A 6．已知，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．0或2 【答案】D 【分析】先利用二倍角公式对化简，可得或，再对利用二倍角公式化简，代值可得结果. 【详解】解：因为， 所以， 所以或 因为 所以或2 故选：D 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对已知等式化简求出的值，然后利用正切的二倍角公式可求得结果. 【详解】解：由，得， ，故， 则． 故选：D． 二、填空题 8．函数,,则 . 【答案】 【解析】利用三角函数的诱导公式，可得，再根据，即可求出结果. 【详解】因为， ，所以，又，所以. 故答案为：. 9．已知，，则＝ . 【答案】 【解析】由题可求得，再利用和的正切公式即可求出. 【详解】因为，，所以， 所以，则， 则. 三、解答题 10．（1）已知角的终边经过点，（），且，求的值； （2）求值：. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）先利用三角函数的定义算出再求三角函数值即可；（2）利用诱导公式进行化简. 【详解】（1） 角的终边经过点，由三角函数的定义，，解得. 当时，，，；当时，，，. （2）由诱导公式可得： $$