专题09 统计与概率（核心考点）-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（福建专用）

专题09 统计与概率 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解随机抽样的定义 · 理解样本和总体之间的关系 · 理解随机事件的定义 · 理解古典概型的求法 考点预测 · 随机抽样 · 用样本估计总体 · 随机事件 · 古典概型 课堂笔记 1.全面调查和抽样调查 调查方式 全面调查(普查) 抽样调查 定义 对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查 根据一定目的,从总体中①抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查 相关概念 总体:在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体. 个体:组成总体的每一个调查对象称为个体 样本:把从总体中抽取的那部分个体称为样本. 样本量:样本中包含的个体数称为样本量 2.简单随机抽样的概念 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中②逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本 如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都③相等,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内④未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 　3.抽签法 先把总体中的个体编号,然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个⑤不透明的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的个体数. 　　4.随机数法 (1)定义:先把总体中的个体编号,用随机数工具产生已编号范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本,重复上述过程,直到抽足样本所需要的个体数. (2)产生随机数的方法:(i)用随机试验生成随机数;(ii)用信息技术生成随机数. 5.总体均值和样本均值 (1)总体均值:一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称 =⑥=⑦为总体均值,又称总体平均数. (2)总体均值加权平均数的形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式=⑧. (3)如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称 =⑨=⑩为样本均值,又称样本平均数. 6.分层随机抽样的相关概念 (1)分层随机抽样的定义:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行①简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本②合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层. (2)比例分配:在分层随机抽样中,如果每层③样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 7.画频率分布直方图的步骤 (1)求极差:极差为一组数据中①最大值与②最小值的差; (2)决定组距与组数:当样本容量不超过100时,常分成③5~12组,为方便起见,一般取等长组距,并且组距应力求“取整”; (3)将数据分组; (4)列频率分布表:一般分四列:分组、④频数累计、频数、⑤频率.其中频数合计应是样本容量,频率合计是⑥1; (5)画频率分布直方图:横轴表示分组,纵轴表示⑦. 小长方形的面积=组距×⑧=⑨频率,各小长方形的面积的总和等于1. 　　8.其他统计图表 统计图表 主要应用 扇形图 直观描述各部分数据在全部数据中所占的比例 条形图和直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率 折线图 反映统计对象在不同时间(或其他合适情形)的发展变化情况 9.第p百分位数 一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有①p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 10.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步,按②从小到大排列原始数据. 第2步,计算i=③n×p%. 第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的④平均数. 11.四分位数 ⑤第25百分位数,⑥第50百分位数,⑦第75百分位数,这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数. 12.众数、中位数和平均数的定义 (1)众数:一组数据中①出现次数最多的数. (2)中位数:一组数据按大小顺序排列后,处于②中间位置的数.如果这组数据是偶数个,则取③中间两个数据的平均数. (3)平均数:一组数据的④和除以数据个数所得到的数. 13.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 (1)平均数:在频率分布直方图中,样本平均数可以用每个小矩形底边中点的⑤横坐标与小矩形的⑥面积的乘积之和近似代替. (2)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该⑦相等. (3)众数:众数是⑧最高小矩形底边的中点所对应的数据. 14.一组数据x1,x2,…,xn的方差和标准差 数据x1,x2,…,xn的方差为①=②,标准差为③. 15.总体方差和总体标准差 (1)总体方差和标准差:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体的平均数为,则称S2=④为总体方差,S=⑤为总体标准差. (2)总体方差的加权形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=. 16.样本方差和样本标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,yn,样本平均数为,则称s2=⑦为样本方差,s=⑧为样本标准差. 17.标准差的意义 标准差刻画了数据的⑨离散程度或⑩波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小. 18.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 19.古典概型 具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同. 20.古典概型的概率公式 P(A)＝. 21.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B A＝B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅ P(A∪B)＝1 22.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B). ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B). 考点突破 考点1 随机抽样 例1．非物质文化遗产是文化多样性中最富活力的重要组成部分，是人类文明的结晶和最宝贵的共同财富．某校为了解学生对当地非遗文化“川剧”的了解程度，现从高中部抽取部分学生进行调查，已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为，若利用分层随机抽样的方法抽取人进行调查，则抽取到的高一年级学生人数比高三多（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 例2．某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从该校全体学生中抽取人进行调查研究.若抽到男生20人，则（    ） A．60 B．45 C．35 D．25 练习1．某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．6 2．某校为了解高三年级学生体重情况，从该年级1000名学生中抽取125名学生测量他们的体重进行分析．在这项调查中，抽取的125名学生的体重是（   ） A．总体 B．样本 C．总体容量 D．样本容量 3．某校高一年级有900名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为81的样本，其中抽取男生和女生的人数分别为45，36，则该校高一年级的女生人数为（   ） A．350 B．400 C．500 D．550 考点2 用样本估计总体 例1．从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（    ） A． B． C． D． 例2．在年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经场比赛，勇夺巴黎奥运会女子网球单打冠军，书写了中国网球新的历史．某学校有名学生，一机构在该校随机抽取了名学生对郑钦文奥运会期间场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下： 观看场次 观看人数占调查 人数的百分比 从表中数据可以得出的正确结论为（   ）． A．表中的数值为 B．观看场次不超过场的学生的比例为 C．估计该校观看场次不超过场的学生约为人 D．估计该校观看场次不低于场的学生约为人 练习1．某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，频率分布直方图中a的值是（    ） A．0.017 B．0.018 C．0.020 D．0.023 2．研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长（单位：小时）分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是（   ） A．7 B．7.5 C．7.8 D．8 3．数据的方差是5，则数据的方差是（   ） A．9 B．10 C．19 D．20 考点3 随机事件 例1．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 例2．下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 练习1．下列事件是随机事件的是（ ） ①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数在定义域上是增函数． A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 2．下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（    ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④ 3．以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 考点4 古典概型 例1．某学校高二年级拟举办艺术节，要求各班级从《黄河大合唱》，《我和我的祖国》，《北京欢迎你》，《我爱你中国》和《我们走在大路上》这五首指定曲目中任选一首作为表演节目，则高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为（   ） A． B． C． D． 例2．某公司10名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下： 等级 一等奖 二等奖 三等奖 人数（单位：人） 3 6 1 现从这10名员工中任选1名员工参加经验交流活动．若每位员工被选到的概率相等，则选到获一等奖员工的概率为（   ） A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.6 练习1．为弘扬“尊老、敬老、爱老”的中华传统美德，某班组织学生到甲、乙两个敬老院看望老人.按规定，该班某同学通过摸球的方式选择到哪个敬老院看望老人，摸球规则如下：在一个不透明的袋子中有8个大小质地完全相同的球，其中5个红球，3个黄球.该同学从这个袋子中随机摸出1个球.若摸出的球是红球，该同学到甲敬老院看望老人；若摸出的球是黄球，该同学到乙敬老院看望老人.该同学到甲敬老院看望老人的概率为（    ） A． B． C． D． 2．将一枚质地均匀的股子连续拋掷6次，得到的点数分别为1，3，4，5，6，x，则这6个点数的中位数为4的概率为（   ） A． B． C． D． 3．从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，这三条线段能够成一个三角形的概率（    ） A． B． C． D． 模拟演练 一、单选题 1．小张去年承包了村里的鱼塘养殖黑鱼，计划今年年初出售成年黑鱼.小张第一天从鱼塘里捞出200条成年黑鱼，将这些鱼做上标记后重新放回鱼塘，第二天又从鱼塘里捞出200条成年黑鱼，发现带有标记的黑鱼有8条，则可估计该鱼塘成年黑鱼的总量约为（    ） A．2500条 B．3000条 C．5000条 D．4000条 2．某校计划采用分层抽样的方法在高中三个年级评选26个优秀团员，已知高一、高二、高三年级的人数之比为，则高三年级可以分配优秀团员的人数为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 3．已知一组数据为：，，，，，，，，，，则这组数据（   ） A．中位数为 B．众数为 C．百分位数为3 D．平均数为 4．某省教育厅对全省高三学生采用分层抽样的方式抽取了1000名学生参加化学，物理和英语三大学科的抽样考试，目的是为了更好地应对新高考的改革来调整日常教学同时检查各个学校的教学成果，考试结束后对这1000名同学的化学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则这些同学化学成绩的上四分位数约为（    ） A．79.5分 B．82.5分 C．81分 D．82分 5．某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与互为对立事件的是（    ） A．甲、乙、丙恰有两人中奖 B．甲、乙、丙都不中奖 C．甲、乙、丙至少有一人不中奖 D．甲、乙、丙至多有一人不中奖 6．一记者采访某大学的学生群体，在购物时采用现金支付还是非现金支付的情况，其中只用现金支付的概率为0.2，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.3，则不用现金支付的概率为（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 7．袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球、个黄球，从中有放回地依次随机摸出个球，那么这个球同色的概率为（    ） A． B． C． D． 8．从长度为的4条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是 . 10．若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定表示没有击中目标，表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数： 7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射击4次恰好击中3次的概率为 ． $$专题09 统计与概率 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解随机抽样的定义 · 理解样本和总体之间的关系 · 理解随机事件的定义 · 理解古典概型的求法 考点预测 · 随机抽样 · 用样本估计总体 · 随机事件 · 古典概型 课堂笔记 1.全面调查和抽样调查 调查方式 全面调查(普查) 抽样调查 定义 对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查 根据一定目的,从总体中①抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查 相关概念 总体:在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体. 个体:组成总体的每一个调查对象称为个体 样本:把从总体中抽取的那部分个体称为样本. 样本量:样本中包含的个体数称为样本量 2.简单随机抽样的概念 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中②逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本 如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都③相等,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内④未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 　3.抽签法 先把总体中的个体编号,然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个⑤不透明的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的个体数. 　　4.随机数法 (1)定义:先把总体中的个体编号,用随机数工具产生已编号范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本,重复上述过程,直到抽足样本所需要的个体数. (2)产生随机数的方法:(i)用随机试验生成随机数;(ii)用信息技术生成随机数. 5.总体均值和样本均值 (1)总体均值:一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称 =⑥=⑦为总体均值,又称总体平均数. (2)总体均值加权平均数的形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式=⑧. (3)如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称 =⑨=⑩为样本均值,又称样本平均数. 6.分层随机抽样的相关概念 (1)分层随机抽样的定义:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行①简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本②合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层. (2)比例分配:在分层随机抽样中,如果每层③样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 7.画频率分布直方图的步骤 (1)求极差:极差为一组数据中①最大值与②最小值的差; (2)决定组距与组数:当样本容量不超过100时,常分成③5~12组,为方便起见,一般取等长组距,并且组距应力求“取整”; (3)将数据分组; (4)列频率分布表:一般分四列:分组、④频数累计、频数、⑤频率.其中频数合计应是样本容量,频率合计是⑥1; (5)画频率分布直方图:横轴表示分组,纵轴表示⑦. 小长方形的面积=组距×⑧=⑨频率,各小长方形的面积的总和等于1. 　　8.其他统计图表 统计图表 主要应用 扇形图 直观描述各部分数据在全部数据中所占的比例 条形图和直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率 折线图 反映统计对象在不同时间(或其他合适情形)的发展变化情况 9.第p百分位数 一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有①p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 10.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步,按②从小到大排列原始数据. 第2步,计算i=③n×p%. 第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的④平均数. 11.四分位数 ⑤第25百分位数,⑥第50百分位数,⑦第75百分位数,这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数. 12.众数、中位数和平均数的定义 (1)众数:一组数据中①出现次数最多的数. (2)中位数:一组数据按大小顺序排列后,处于②中间位置的数.如果这组数据是偶数个,则取③中间两个数据的平均数. (3)平均数:一组数据的④和除以数据个数所得到的数. 13.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 (1)平均数:在频率分布直方图中,样本平均数可以用每个小矩形底边中点的⑤横坐标与小矩形的⑥面积的乘积之和近似代替. (2)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该⑦相等. (3)众数:众数是⑧最高小矩形底边的中点所对应的数据. 14.一组数据x1,x2,…,xn的方差和标准差 数据x1,x2,…,xn的方差为①=②,标准差为③. 15.总体方差和总体标准差 (1)总体方差和标准差:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体的平均数为,则称S2=④为总体方差,S=⑤为总体标准差. (2)总体方差的加权形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=. 16.样本方差和样本标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,yn,样本平均数为,则称s2=⑦为样本方差,s=⑧为样本标准差. 17.标准差的意义 标准差刻画了数据的⑨离散程度或⑩波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小. 18.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 19.古典概型 具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同. 20.古典概型的概率公式 P(A)＝. 21.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B A＝B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅ P(A∪B)＝1 22.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B). ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B). 考点突破 考点1 随机抽样 例1．非物质文化遗产是文化多样性中最富活力的重要组成部分，是人类文明的结晶和最宝贵的共同财富．某校为了解学生对当地非遗文化“川剧”的了解程度，现从高中部抽取部分学生进行调查，已知该校高一、高二、高三年级学生人数之比为，若利用分层随机抽样的方法抽取人进行调查，则抽取到的高一年级学生人数比高三多（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】C 【分析】根据比例进行分层随机抽样，计算出抽取的高一年级学生人数和高三年级学生人数，做差即可. 【详解】由题意，采用分层抽样的方法，应从高一年级抽取人， 从高三年级抽取人，则抽取到的高一年级学生人数比高三多人． 故选：C 例2．某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从该校全体学生中抽取人进行调查研究.若抽到男生20人，则（    ） A．60 B．45 C．35 D．25 【答案】B 【分析】由分层抽样中各层样本数的确定方法求解即可； 【详解】由题意男生有1200人，调查研究中男生被抽到20人， 所以分层抽样的比例为， 所以， 故选：B. 练习1．某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．6 【答案】A 【分析】根据分层抽样的定义列出式子，进行求解. 【详解】由题意得，史地政”组合中选出的同学人数为. 故选：A 2．某校为了解高三年级学生体重情况，从该年级1000名学生中抽取125名学生测量他们的体重进行分析．在这项调查中，抽取的125名学生的体重是（   ） A．总体 B．样本 C．总体容量 D．样本容量 【答案】B 【分析】根据样本的定义即可求解. 【详解】抽取的125名学生的体重是样本， 故选：B 3．某校高一年级有900名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为81的样本，其中抽取男生和女生的人数分别为45，36，则该校高一年级的女生人数为（   ） A．350 B．400 C．500 D．550 【答案】B 【分析】根据分层抽样定义计算即可. 【详解】设该校高一年级的女生人数为， 则，解得. 故选：B. 考点2 用样本估计总体 例1．从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据众数的定义求解. 【详解】根据众数的定义可得， 该批零件直径的众数的估计值为高度最高的矩形条所对应的区间的中点值. 故选：A. 例2．在年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经场比赛，勇夺巴黎奥运会女子网球单打冠军，书写了中国网球新的历史．某学校有名学生，一机构在该校随机抽取了名学生对郑钦文奥运会期间场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下： 观看场次 观看人数占调查 人数的百分比 从表中数据可以得出的正确结论为（   ）． A．表中的数值为 B．观看场次不超过场的学生的比例为 C．估计该校观看场次不超过场的学生约为人 D．估计该校观看场次不低于场的学生约为人 【答案】D 【分析】对于A，根据数据百分比的和为可以计算出的值；对于B，计算出观看场次为、、、场的百分比和即可得出所求比例；对于C、D，分别计算出符合问题的百分比和，再乘以总人数，即可求得结果. 【详解】由表可知，， 解得，选项A错误； 观看场次不超过场的学生的比例为，选项B错误； 观看场次不超过场的学生的比例为， 则观看场次不超过场的学生约为人，选项C错误； 观看场次不低于场的学生的比例为， 则观看场次不低于场的学生约为人，选项D正确． 故选：D 练习1．某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，频率分布直方图中a的值是（    ） A．0.017 B．0.018 C．0.020 D．0.023 【答案】C 【分析】由频率之和为1得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得 故选：C 2．研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长（单位：小时）分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是（   ） A．7 B．7.5 C．7.8 D．8 【答案】B 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解. 【详解】由于 样本数据的第60百分位数值是：小时； 故选：B 3．数据的方差是5，则数据的方差是（   ） A．9 B．10 C．19 D．20 【答案】D 【分析】利用方差的性质求解即可． 【详解】因为数据的方差是5， 所以数据的方差是. 故选：D. 考点3 随机事件 例1．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 【答案】D 【分析】根据事件的定义判断． 【详解】事件是点数为1或2，事件是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件， 是点为2，是随机事件，是可能发生的， 是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件， 故选：D． 例2．下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【答案】A 【分析】利用随机现象、必然事件、不可能事件的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是； 对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是； 对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是； 对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是. 故选：A 练习1．下列事件是随机事件的是（ ） ①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数在定义域上是增函数． A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】先判断①是必然事件，③是不可能事件，而②④既有可能发生也有可能不发生，再根据随机事件的定义即可得到答案. 【详解】由于①是物理学定律，从而是必然事件； 由于根据自由落体的相关理论，自由下落的物体做匀加速直线运动，故③是不可能事件； 而明天的天气是不确定的，故②可能发生也可能不发生； 函数在定义域上是增函数当且仅当，所以④可能发生也可能不发生. 根据随机事件的定义，知是随机事件的是②④. 故选：C. 2．下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（    ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④ 【答案】A 【分析】利用随机事件的定义逐一分析给定的各个事件即可判断作答. 【详解】抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，①是随机事件； 三角形三条高线一定交于一点，②是必然事件； 实数a，b都不为0，则，③是不可能事件； 某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件， 所以在给定的4个事件中，①④是随机事件. 故选：A 3．以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 【答案】C 【分析】利用随机事件的定义求解即可. 【详解】由题意得A，B，D的概率为1，所以是必然事件， C的概率不为0，也不为1，所以它是随机事件，故C正确. 故选：C 考点4 古典概型 例1．某学校高二年级拟举办艺术节，要求各班级从《黄河大合唱》，《我和我的祖国》，《北京欢迎你》，《我爱你中国》和《我们走在大路上》这五首指定曲目中任选一首作为表演节目，则高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】理解题意，利用分步乘法计数原理和古典概型概率公式计算即得. 【详解】高二（1）班与高二（2）班分别从这五首曲目中任选一首作为表演节目的方法数有种， 而要使两个班抽到不同曲目，可分步完成： 先让高二（1）班选一首有5种方法，再由高二（2）班从余下的4首曲目中选一首，有4种方法， 由分步乘法计数原理，可知方法数有种. 由古典概型概率公式，可得高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为. 故选：D. 例2．某公司10名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下： 等级 一等奖 二等奖 三等奖 人数（单位：人） 3 6 1 现从这10名员工中任选1名员工参加经验交流活动．若每位员工被选到的概率相等，则选到获一等奖员工的概率为（   ） A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【分析】根据古典概率的知识求得正确答案. 【详解】根据古典概型的知识可知，所求概率为. 故选：B 练习1．为弘扬“尊老、敬老、爱老”的中华传统美德，某班组织学生到甲、乙两个敬老院看望老人.按规定，该班某同学通过摸球的方式选择到哪个敬老院看望老人，摸球规则如下：在一个不透明的袋子中有8个大小质地完全相同的球，其中5个红球，3个黄球.该同学从这个袋子中随机摸出1个球.若摸出的球是红球，该同学到甲敬老院看望老人；若摸出的球是黄球，该同学到乙敬老院看望老人.该同学到甲敬老院看望老人的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型概率计算公式可得结果. 【详解】根据题意摸出的球是红球的概率为， 因此该同学到甲敬老院看望老人的概率为. 故选：D 2．将一枚质地均匀的股子连续拋掷6次，得到的点数分别为1，3，4，5，6，x，则这6个点数的中位数为4的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的可能取值为1，2，3，4，5，6共6种情况，满足条件的为4，只有1种情况，进而可求得结果. 【详解】由题意知，的可能取值为1，2，3，4，5，6，共6种情况， 当这6个点数的中位数为4时，的取值为4，只有1种情况， 所以这6个点数的中位数为4的概率为. 故选：A. 3．从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，这三条线段能够成一个三角形的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结果. 【详解】从条线段中任取3条，则有，，，，，，，，，，共10个基本事件； 其中三条线段能够成三角形的基本事件有：，，，共3个； 三条线段能够成一个三角形的概率概率. 故选：B. 模拟演练 一、单选题 1．小张去年承包了村里的鱼塘养殖黑鱼，计划今年年初出售成年黑鱼.小张第一天从鱼塘里捞出200条成年黑鱼，将这些鱼做上标记后重新放回鱼塘，第二天又从鱼塘里捞出200条成年黑鱼，发现带有标记的黑鱼有8条，则可估计该鱼塘成年黑鱼的总量约为（    ） A．2500条 B．3000条 C．5000条 D．4000条 【答案】C 【分析】由标志重捕法即可列方程求解. 【详解】设鱼塘里有条成年黑鱼，则，则条. 故选：C. 2．某校计划采用分层抽样的方法在高中三个年级评选26个优秀团员，已知高一、高二、高三年级的人数之比为，则高三年级可以分配优秀团员的人数为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】根据题意结合分层抽样的定义求解. 【详解】由题意得，高三年级可以分配优秀团员的人数为人. 故选：C． 3．已知一组数据为：，，，，，，，，，，则这组数据（   ） A．中位数为 B．众数为 C．百分位数为3 D．平均数为 【答案】C 【分析】根据数据的样本的数字特征值的概念分别判断各选项. 【详解】将数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，共个数， 中位数为，A选项错误， 出现最多的是和，均出现次，故众数为2和3，B选项错误， ，故分位数为，C选项正确， 平均数为，D选项错误； 故选：C. 4．某省教育厅对全省高三学生采用分层抽样的方式抽取了1000名学生参加化学，物理和英语三大学科的抽样考试，目的是为了更好地应对新高考的改革来调整日常教学同时检查各个学校的教学成果，考试结束后对这1000名同学的化学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则这些同学化学成绩的上四分位数约为（    ） A．79.5分 B．82.5分 C．81分 D．82分 【答案】B 【分析】根据频率分布直方图，先判断化学成绩的上四分位数在内，再利用百分位数的计算公式即可求得. 【详解】上四分位数即第75百分位数， 由频率分布直方图知，分数在内的频率为， 在）内的频率为， 因此第75百分位数位于内，第75百分位数为． 故选:B． 5．某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与互为对立事件的是（    ） A．甲、乙、丙恰有两人中奖 B．甲、乙、丙都不中奖 C．甲、乙、丙至少有一人不中奖 D．甲、乙、丙至多有一人不中奖 【答案】C 【分析】根据题设及对立事件的定义写出A事件的对立事件即可. 【详解】事件“甲、乙、丙三名同学都中奖”的对立事件是“甲、乙、丙三名同学至少有一人不中奖”. 故选：C 6．一记者采访某大学的学生群体，在购物时采用现金支付还是非现金支付的情况，其中只用现金支付的概率为0.2，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.3，则不用现金支付的概率为（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【分析】利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】该群体中的成员不用现金支付的概率为. 故选：B. 7．袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球、个黄球，从中有放回地依次随机摸出个球，那么这个球同色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意设个红球为，个黄球为，考虑有放回地摸球，分别列出试验的样本空间和事件“这个球同色”表示的集合，利用古典概型概率公式计算即得. 【详解】设个红球为，个黄球为， 从中有放回地依次随机摸出个球，样本空间为： ，则， 事件“这2个球同色”，则，则， 由古典概率公式，可得. 故选：D. 8．从长度为的4条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列举所有基本事件，即可根据古典概型的概率公式求解. 【详解】从长度为的4条线段中任选三条，共有，共4种结果，这些结果等可能出现． 要使选出的三条线段可构成三角形，则两条较小边的和要大于第三边， 故只有：这3种可能， 故所求概率为． 故选：A． 二、填空题 9．从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是 . 【答案】 【分析】列举所有可能的情况求解即可. 【详解】由题意，任取两个数所有可能的情况有，，，，，，，，，共10种情况， 其中两个数都是奇数的情况有，，共3种情况，故两个数都是奇数的概率是. 故答案为： 10．若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定表示没有击中目标，表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数： 7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射击4次恰好击中3次的概率为 ． 【答案】 【分析】由数据可知，该运动员射击4次恰好击中3次有： 8636， 8045， 7424，共有3个随机事件，根据古典概型概率公式计算即可. 【详解】由随机数表可知，共有20个随机事件，其中该运动员射击4次恰好击中3次 有：8636， 8045， 7424，共有3个随机事件，因此估计该运动员射击4次恰好击中3次的概率为. 故答案为：. $$