专题08 立体几何（题型突破）-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（福建专用）

专题08 立体几何 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 重点题型目录 · 题型一 立体几何的结构 · 题型二 立体几何的三视图 · 题型三 立体几何的表面积 · 题型四 立体几何的体积 题型一 1．一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是（    ） A．球体 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 2．下图有一个正方体纸盆的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是（   ）.    A．   B．   C．    D．   3．下面关于空间几何体叙述正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．正四棱柱都是长方体 D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆柱 4．下列四个命题中正确的是（   ） A．正三棱锥的每个面都是正三角形 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 5．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 题型二 1．如图所示几何体的俯视图和侧视图都正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，该几何体从正面看所得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 3．如图是某几何体的三视图，则该几何体是（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．正三棱柱 D．正三棱锥 4．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个（    ）    A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．都不对 5．如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ）    A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱 题型三 1．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，它的侧面展开图的扇环的圆心角为，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是，则它的侧面积为（    ） A．6 B． C．24 D．44 3．已知圆台上下底面圆的半径分别为，，母线长为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 4．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（    ） A．4π B．2π C．4 D．2 5．一个圆台的上､下底面的半径分别为1和4，高为4，则它的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型四 1．正四棱锥的底面边长为2，高为2，该四棱锥的体积是（    ） A． B． C．8 D．12 2．已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 4．下列常见几何体的体积公式错误的是 （     ） A．球 B．棱锥 C．棱柱 D．棱台 5．已知一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 难点突破训练（可选） 一、单选题 1．已知某圆锥的底面半径和球的半径都为，且它们的体积相等，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 4．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是正三棱锥且侧棱长为分别是上的动点，的周长的最小值为，则侧棱的夹角为（    ）    A． B． C． D． 6．若一个平面截球所得截面圆的半径为3，且球心与截面所围成的圆锥的体积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为，母线长最短，最长，则斜截圆柱的体积为 8．已知某圆锥的母线长为4，高为，则圆锥的体积为 . 三、解答题 9．如图，在直三棱柱中，D是线段BC的中点，且． (1)求证：平面； (2)若，是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积． 10．如图，在三棱锥中，，，.    (1)证明：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积. $$专题08 立体几何 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 重点题型目录 · 题型一 立体几何的结构 · 题型二 立体几何的三视图 · 题型三 立体几何的表面积 · 题型四 立体几何的体积 题型一 1．一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是（    ） A．球体 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 【答案】D 【分析】根据圆锥定义可得结论. 【详解】依题意可知一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥. 故选：D 2．下图有一个正方体纸盆的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是（   ）.    A．   B．   C．    D．   【答案】C 【分析】由各个面图像相对位置来排出错误选项. 【详解】A选项：直线和长方形在直观图中一定没有交点，故错误； B和D选项由展开图得到的直线和黑色三角没有交点，而直观图由交点，故错误； 故C选项符合题意. 故选：C. 3．下面关于空间几何体叙述正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．正四棱柱都是长方体 D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆柱 【答案】C 【分析】由正棱锥的定义判断A，由棱台的定义判断B，由正四棱柱的定义判断C，由圆锥的定义判断D. 【详解】对于A，底面是正多边形且顶点在底面内的射影为底面中心的棱锥是正棱锥，故A错误； 对于B，将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形， 但是这样的多面体不是棱台，故B错误； 对于C，因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故C正确； 对于D，根据圆锥的定义可知D不正确. 故选：C. 4．下列四个命题中正确的是（   ） A．正三棱锥的每个面都是正三角形 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【答案】C 【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义综合分析可知C正确，D错误. 【详解】对于A，正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形， 且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，可知A错误； 对于B，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时， 该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，可得B错误； 对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即C正确； 对于D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，可得D错误. 故选：C 5．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【答案】C 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 题型二 1．如图所示几何体的俯视图和侧视图都正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据侧视图，没有实对角线，俯视图实对角线的方向，排除错误选项，得到答案. 【详解】侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A，D排除， 而俯视时，有半个平面是没有的，所以有一条实对角线， 且其对角线位置从左下角画到右上角，故B排除. 故选：C. 2．如图所示，该几何体从正面看所得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直观图通过直观形象可得. 【详解】由直观图可知，从正面观察可看到第一层有3个正方形，第二层有2个正方形， 所以A正确. 故选：A 3．如图是某几何体的三视图，则该几何体是（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．正三棱柱 D．正三棱锥 【答案】B 【分析】利用三视图的特点分析即可. 【详解】因为主视图与左视图是相同的矩形，且俯视图是圆形，故该几何体是圆柱. 故选：B 4．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个（    ）    A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．都不对 【答案】A 【分析】由已知三视图来判断几何体的形状，通过三视图易得几何体为棱台． 【详解】由俯视图可以看出这个图形的底面是四边形，主视图和侧视图都是等腰梯形，得到这个图形是一个四棱台． 故选：A 5．如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ）    A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱 【答案】A 【分析】根据三视图中，有两个矩形，一个三角形，得到几何体形状. 【详解】三视图中，主视图和左视图均为矩形，俯视图为三角形， 画出直观图如下：      故该几何体为三棱柱. 故选：A 题型三 1．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，它的侧面展开图的扇环的圆心角为，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆台母线长度，再结合圆台侧面积公式即可求解. 【详解】圆台的母线长度为， 故所求即为. 故选：B. 2．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是，则它的侧面积为（    ） A．6 B． C．24 D．44 【答案】C 【分析】根据正棱台的性质与特征，求得斜高，再计算侧面积即可. 【详解】如图，过作平面，作，连接， 根据题意得，，所以， 所以此正四棱台的侧面是4个全等的高为2的等腰梯形， 所以侧面积为. 故选：.    3．已知圆台上下底面圆的半径分别为，，母线长为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆台侧面积的计算公式，结合已知条件，直接求解即可. 【详解】设上下底面圆半径分别为，，母线长为， 则圆台侧面积. 故选：B. 4．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（    ） A．4π B．2π C．4 D．2 【答案】B 【分析】利用圆柱的侧面积求解公式求解即可. 【详解】依题意，得圆柱的底面半径为，母线也为， 所以其侧面积为 故选：B. 5．一个圆台的上､下底面的半径分别为1和4，高为4，则它的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆台的表面积公式即可. 【详解】    依题意，设圆台的高为，所以圆台的母线长为， 则圆台的表面积为， 故选：B. 题型四 1．正四棱锥的底面边长为2，高为2，该四棱锥的体积是（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】A 【分析】根据锥体的体积公式运算求解即可. 【详解】因为正四棱锥的底面边长为2，高为2， 所以四棱锥的体积是. 故选：A. 2．已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆锥的体积公式计算即可. 【详解】如图所示：由题意得，， ，   ， 故选：D. 3．圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用圆柱的体积公式计算即得. 【详解】圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积. 故选：D 4．下列常见几何体的体积公式错误的是 （     ） A．球 B．棱锥 C．棱柱 D．棱台 【答案】A 【分析】根据球、棱锥、棱柱和棱台的体积公式即可判断. 【详解】对A，球，故A错误； 对B，棱锥，故B正确； 对C，棱柱，故C正确； 对D，棱台，故D正确. 故选：A. 5．已知一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆台的体积公式计算得出结果 【详解】该圆台的体积. 故选：C. 难点突破训练（可选） 一、单选题 1．已知某圆锥的底面半径和球的半径都为，且它们的体积相等，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆锥的高，再求出母线，然后计算侧面积. 【详解】设圆锥的高为，则母线长. 根据已知条件有，得，所以. 故圆锥的侧面积. 故选：A. 2．已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法1：先利用正弦定理求出正三棱柱的底面圆半径，再借助于勾股定理建立方程，求出外接球半径即得.解法2：先判断正三棱柱的外接球球心在高线的中点，即可判断外接球半径继而得出外接球体积范围，排除其他三项即得. 【详解】 如图，设正三棱柱外接球的球心为，半径为. 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理得：.而为的中点， 所以则 故选：A. 3．已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由和相似，可得，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥侧面积，即可得出答案. 【详解】圆锥的高为，如图， 由和相似，可得，所以， 所以, 则圆柱侧面积， 圆锥侧面积，所以. 故选：D． 4．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题目给出的条件确定圆柱的底面半径和高，利用圆柱体积公式计算结果. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，因为圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形， 所以，所以，，所以圆柱的体积为. 故选：D. 5．如图，是正三棱锥且侧棱长为分别是上的动点，的周长的最小值为，则侧棱的夹角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正三棱锥沿剪开，并展开，形成三个全等的等腰三角形，，找到三角形的周长的最小值的线段，根据勾股定理逆定理求出，从而求出答案. 【详解】把正三棱锥沿剪开，并展开， 形成三个全等的等腰三角形，， 连接，交于，交于， 则线段就是的最小周长，即，    又， 根据勾股定理，， 所以是等腰直角三角形， ， 所以侧棱的夹角为. 故选：A. 6．若一个平面截球所得截面圆的半径为3，且球心与截面所围成的圆锥的体积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆锥的体积公式可得圆锥的高，再由勾股定理可得球的半径，结合球的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设截面圆的半径为，圆心为，球的半径为， 则圆锥． ，． 又，， 球的表面积为． 故选：C． 二、填空题 7．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为，母线长最短，最长，则斜截圆柱的体积为 【答案】 【分析】将如图所示的相同的两个几何体拼接为圆柱，求出圆柱的体积即可得答案. 【详解】将如图所示的相同的两个几何体拼接为圆柱， 则圆柱底面半径为，高为， 体积为， 则该几何体的体积为圆柱体积的一半， 即. 故答案为： 8．已知某圆锥的母线长为4，高为，则圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】先求出圆锥底面的半径，再由圆锥的体积公式求解． 【详解】圆锥的底面半径为：， 则圆锥的体积为：． 故答案为： 三、解答题 9．如图，在直三棱柱中，D是线段BC的中点，且． (1)求证：平面； (2)若，是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合题设易得，，进而结合线面垂直的判定定理求证即可； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 又D是线段BC的中点，且，所以， 因为，平面, 所以平面. （2）由（1）知，平面， 因为是边长为2的正三角形， 所以，则， 则， 所以三棱锥的体积为. 10．如图，在三棱锥中，，，.    (1)证明：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）求出的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：因为，，，、平面， 因此平面. （2）因为，且，，则， 又因为平面，且， 故，即三棱锥的体积为. $$