专题08 锐角三角函数（7大基础考点练+5大提升考点练）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（安徽专用）

专题08 锐角三角函数 目录 基础能力夯试题 1 考点01：同角三角函数的关系 1 考点02：互余两角三角函数的关系 2 考点03：特殊角的三角函数值 3 考点04：解直角三角形的应用 3 考点05：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 6 考点06：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 7 考点07：解直角三角形的应用-方向角问题 10 优选能力提升题 12 考点01：特殊角三角函数值的混合运算 12 考点02：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 13 考点03：根据特殊角三角函数值求角的度数 16 考点04：三角函数综合 20 考点05：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 25 考点01：同角三角函数的关系 1．（2022秋•宣州区期末）已知α为锐角，cosα，求tanα的值． 解：α为锐角，cosα，得 sinα， tanα2． tanα23． 2．（2021秋•肥西县期末）比较大小：sin48°　＞　cos48°（填“＞”、“＜”或“＝”）． 解：sin48°＝cos（90°﹣48°）＝cos42°， ∵42°＜48°， ∴sin48°＞cos48°， 故答案为：＞． 3．（2023秋•迎江区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 解：∵∠C＝90°，sin2A+cos2A＝1； ∴cosA， ∴tanA． 故选：D． 考点02：互余两角三角函数的关系 4．（2022秋•濉溪县校级期末）在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA，求tanB为（　　） A． B． C． D． 解：在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA， ∴AB＝5， ∴AC4， ∴tanB， 故选：D． 5．（2022秋•池州期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 解：设Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c， 由于tanA2， 可设a＝2k，b＝k，由勾股定理得， c5k， ∴sinB， 故选：A． 6．（2021秋•怀宁县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，则sinB＝　　． 解：∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴sinB＝cosA． 故答案为：． 考点03：特殊角的三角函数值 7．（2023秋•濉溪县校级期末）计算：（﹣1）2024+tan30°cos60°﹣tan45°． 解：原式 ． 8．（2023秋•金安区校级期末）计算：2sin30°+sin60°﹣cos30°+（﹣1）2． 解：原式＝21 ＝1+1 ＝2． 9．（2022秋•埇桥区期末）2cos45°的值等于（　　） A． B． C．1 D．2 解：2cos45°＝2． 故选：A． 考点04：解直角三角形的应用 10．（2023秋•迎江区校级期末）春节临近，某工艺装饰礼品店一款流沙画创意摆件颇受消费者青睐，这款工艺摆件的主体轮廓是由一个圆和一个U形卡座组成的轴对称图形，如图所示．卡座下底部CD＝24cm，∠D＝∠C＝56°，A，E，F，B在同一条直线上，且AB∥CD，AE＝BF＝2cm，卡座的高度为6cm，⊙O的最低点到CD的距离为4cm，求摆件的最大高度．（结果精确到1cm，参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.5） 解：如图，过A作AH⊥CD于点H，则∠AHD＝90°，由题意得：AH＝6cm． 在Rt△ADH中，， ∴AB＝CD﹣2DH＝24﹣8＝16， ∵AE＝BF＝2， ∴EF＝16﹣4＝12； 过点O作MN⊥AB于点P，MN分别交⊙O于点M，Q，交CD于点N，连接OE， 由垂径定理，得：， ∵AB∥CD， ∴MN⊥CD， ∴PN＝AH＝6， 由题意得：QN＝4， ∴PQ＝PN﹣QN＝6﹣4＝2． 设⊙O的半径为r，则OE＝r，OP＝r﹣2， 在Rt△POE中，由勾股定理，得：PE2+OP2＝OE2， 即62+（r﹣2）2＝r2， 解得：r＝10； ∴直径MQ＝20， ∴MN＝MQ+NQ＝20+4＝24（cm）， 即摆件的最大高度为24cm． 答：这个摆件的最大高度为24cm． 11．（2023秋•濉溪县校级期末）图1为放在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2为其示意图，支撑杆AB垂直于地面，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处．若∠AED＝50°，BE＝120cm，DE＝70cm，求活动杆端点D离地面的高度DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 解：如图2，过点D作DG⊥AB于点G．则∠BGD＝90°， 由题意可得∠ABF＝∠BFD＝90°， ∴四边形BFDG为矩形， ∴BG＝DF． 在Rt△DEG中，∠GED＝50°，DE＝70cm， ∴EG＝DE•cos∠GED≈70×0.64＝44.8（cm）， ∴BG＝BE+EG＝120+44.8＝164.8≈165（cm）， ∴DF＝BG＝165cm， 答：活动杆端点D离地面的高度DF为165cm． 12．（2022春•定远县期末）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A、C、E三点在一直线上（1.732，结果精确到1米）？ 解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°， ∴∠AED＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△BDE中，BD＝400m，∠D＝30°， ∴BEBD＝200m， ∴DE200346（m）， 答：另一边开挖点E离D346m，正好使A，C，E三点在一直线上． 考点05：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 13．（2023秋•肥西县期末）小明沿着坡比为的山坡向上走了300m，则他升高了（　　） A．m B．150m C．m D．100m 解：如图，过点B作BE⊥AC于点E， ∵坡度：i＝1：， ∴tan∠A＝1：， ∴∠A＝30°， ∵AB＝300m， ∴BEAB＝150（m）． ∴他升高了150m． 故选：B． 14．（2023秋•岳西县期末）一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（　　） A．1：2 B．：2 C．1： D．：1 解：因为tan30°，即坡度为1：．故选：C． 15．（2023秋•亳州期末）如图，河堤横断面迎水坡BC的坡比是1：，堤高AC＝5m，则坡面BC的长度是　10m　． 解：Rt△ABC中，AC＝5m，tanB＝1：； ∴AB＝AC÷tanB＝5m， ∴BC10m． 答：坡面BC的长度是10m， 故答案为：10m． 考点06：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 16．（2023秋•金安区校级期末）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°． （1）求点A离地面的高度AO； （2）求飞船从A处到B处的距离．（结果精确到0.1km，参考数据：1.73） 解：（1）在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km， ∴AOAC（km）， 答点A离地面的高度AO为4km； （2）在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km， ∴OCAC＝4（km）， 在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，∠BCO＝45°， ∴∠BCO＝∠OBC＝45°， ∴OB＝OC＝4（km）， ∴AB＝OB﹣OA＝（4）km， 答：飞船从A处到B处的距离为（4）km． 17．（2022秋•定远县期末）如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°，测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（　　） A．16.5米 B．（101.5）米 C．（151.5）米 D．（151.5）米 解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示： 则四边形ADCE为矩形，AE＝30米， ∴CE＝AD＝1.5米， 在Rt△ABE中，tanαtan30°， ∴BEAE30＝10（米）， ∴BC＝BE+CE＝（101.5）米， 故选：B． 18．（2023秋•金寨县校级期末）某校无人机社团在活动中准备测量该校教学楼AB的高度，小明操控无人机从距离地面40m的点C出发，沿水平方向向教学楼飞行，无人机在C点时测得教学楼顶部A点的俯角为20°，飞行30m到达点D时测得教学楼底部点B的俯角为60°，图中A，B，C，D四点均在一个平面内，求出教学楼AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，1.73） 解：过A作AH⊥CD于H， 在Rt△BHD中，∵BH＝40m，∠BDH＝60， ∴DH（m）， ∵CD＝30m， ∴CH＝CD+DH＝（30）m， 在Rt△ACH中，∵∠C＝20°， ∴AH＝CH•tan20°≈（30）×0.36≈19.1（m）， ∴AB＝40﹣19.1＝20.9（m）， 答：教学楼AB的高度约为20.9m． 考点07：解直角三角形的应用-方向角问题 19．（2023秋•滁州期末）如图，小明先在凉亭A处测得湖心岛C在其北偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶200米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其北偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为（　　） A．400米 B．（100100）米 C．（100100）米 D．（100100）米 解：过点A作AD⊥BC于点D． 由题意可得∠ABD＝30°，∠ACB＝45°， 在Rt△ABD中，AB＝200米，∠ABD＝30°， ∴sin30°，cos30°， 解得AD＝100，BD， 在Rt△ACD中，∠ACB＝45°， 则AD＝CD＝100米， ∴BC＝BD+CD＝（100）米． 故选：B． 20．（2022秋•定远县期末）如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A，B分别为两岸上一点，且点B在点A正北方向，由点A向正东方向走a米到达点C，此时测得点B在点C的北偏西55°方向上，则河宽AB的长为（　　） A．atan55°米 B．米 C．米 D．米 解：连接AB，BC， 由题意得，∠BAC＝90°，∠ABC＝55°，AC＝a米， ∴tan∠ABC＝tan55°， ∴AB， 故选：D． 21．（2022秋•定远县期末）如图，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60 m，则点A到对岸BC的距离是　30　m． 解：由题意可得：∠A＝180°﹣45°﹣45°＝90°， AB＝AC＝BC×sin45°＝30． ∵面积SAB×ACBC×h， ∴h＝30． 故点A到对岸BC的距离是30米． 考点01：特殊角三角函数值的混合运算 1．（22-23九年级上·安徽·期末）先化简再求值；，其中． 【答案】，原式 【分析】原式分子分母因式分解，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，计算得出a的值，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ， 则原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 2．（22-23九年级上·河北保定·期末）计算： 【答案】0 【分析】先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关特殊角的三角函数值是解题的关键． 3．（22-23九年级上·北京门头沟·期末）计算：． 【答案】3 【分析】根据零指数幂、特殊角的三角函数、二次根式、绝对值分别化简后进行合并即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 考点02：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 4．（22-23九年级上·辽宁盘锦·期末）在中，、均为锐角，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质求出与的值，再根据特殊角的三角函数值求出、的值即可． 【详解】解：， ，， ，， ，，， 在中，，且， 是直角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质． 5．（21-22九年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，对角线AC，BD交于点O，sin∠COD=，P为AD上一动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，分别以PE，PF为边向外作正方形PEGH和PFMN，面积分别为S1，S2．则下列结论：①BD=8；②点P在运动过程中，PE+PF的值始终保持不变，为；③S1+S2的最小值为6；④当PH：PN=5：6时，则DM：AG=5：6．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由特殊角的三角函数值可得出∠COD=60°，再结合矩形的性质可证△AOB和△COD是等边三角形，即得出BD=2OA=2AB=8，可判断①正确；连接OP，由勾股定理可求出BC=，再根据矩形的性质可求出S△AOD=S矩形ABCD=，最后由 S△AOD=S△AOP+S△DOP结合三角形面积公式即可求出PE+PF的长，可判断②正确；由，即得出PE2+PF2≥2PE•PF，从而由S1+S2=PE2+PF2≥(PE+PF)2=6，得出当且仅当PE=PF=时，等号成立，可判断③正确；由题意易证△APE∽△DPF，即得出．再由，得出 ，可判断④错误． 【详解】解：①∵sin∠COD=， ∴∠COD=60°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC=OD=OB， ∴△AOB和△COD是等边三角形， ∴BD=2OA=2AB=8，故①正确； ②如图，连接OP， 由①知BD=8， ∴矩形ABCD的两边AB=4，BC=， ∴S矩形ABCD=AB•BC=， ∴S△AOD=S矩形ABCD=，OA=OD=4， ∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF=OA(PE+PF)=×4×(PE+PF)=， ∴PE+PF=，故②正确； ③∵， ∴PE2+PF2≥2PE•PF， ∴S1+S2=PE2+PF2=( PE2+PF2+PE2+PF2)≥(PE2+PF2+2PE•PF)=(PE+PF)2=6， 当且仅当PE=PF=时，等号成立，故③正确； ④∵∠AEP=∠DFP，∠PAE=∠PDF， ∴△APE∽△DPF， ∴． ∵， ∴，故④错误． 综上所述，其中正确的结论有①②③． 故选B． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质等知识，较难．利用数形结合的思想是解题关键． 6．（22-23九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在中，，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据三角函数作答． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 则一定是等边三角形， 故答案为:等边三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，三角函数，等边三角形的判定，数量掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 考点03：根据特殊角三角函数值求角的度数 7．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）的两个锐角和满足，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了非负数的性质、特殊角的三角函数等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 由绝对值和偶次方幂的非负性可得且，再利用三角函数求出的值，最后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴且，， ∴且， ∴且， ∵， ∴． 故答案为：． 8．（22-23九年级上·湖北武汉·期末）如图，已知是的外接圆，是的直径，D是延长线上的一点，交的延长线于E，于F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数等知识点．熟练运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接OC，由角平分线的判定定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，则，然后结合即可证明结论； （2）根据圆的定义可得，再在中运用三角函数可得，最后根据直角三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接OC； ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴是的切线． （2）解：∵， ∴． 在中，， ∴, ∴． 在中，， ∴． 9．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，是的直径，射线交于点D，点E是劣弧的中点，连接，，，过点E作于点F，延长交的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径； (3)在（2）的基础上，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为4； (3)． 【分析】（1）根据角平分线的定义和等边对等角证明，推出，再由，得到，即可证明是的切线； （2）过点作于，证明四边形是矩形，得到，可由垂径定理和勾股定理求解即可； （3）先解直角三角形得到，求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵点E是劣弧的中点， ， ， ， ∴， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：过点作于， ， ， ， 四边形是矩形， ， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4； （3）解：， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，垂径定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 考点04：三角函数综合 10．（23-24九年级下·湖北·期末）如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，若点在上，连接，，则值为 ． 【答案】 【分析】过作于点，交于点，由旋转和矩形的性质可得：，，，设，则，根据勾股定理求出，进而得到，根据同角的余角相等可得，推出，可求出，进而求出、和，证明四边形是矩形，得到，，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，交于点， 由旋转和矩形的性质可得：，，， ， 设，则， 在中，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 11．（23-24九年级下·全国·期末）如图，是的直径，是的切线，切点为，，．求： (1)线段的长； (2)的直径的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆的切线性质、圆周角定理、垂径定理以及三角函数等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）连接，根据、可得，进而证得，据此即可求解； （2）作，可推出；进而得到，；设的半径为，则；根据、即可建立方程求解； 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵是的直径，是的切线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 解得：, ∴, ∵， ∴ （2）解：作，如图所示： ∵， ∴， ∴ ∴， 设的半径为，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ， 解得： ∴的直径为 12．（23-24九年级下·全国·期末）已知如图，的内接切于A点，过C作的平行线交于D点． (1)求证：． (2)若的直径为6，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的相关知识点，涉及了切线的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理以及三角函数等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）过点作直径，连接，根据、可得；结合可得，根据得，即可推出，证即可； （2）连接，作，可得进而得，分别求出即可求解； 【详解】（1）证明：过点作直径，连接，如图所示： ∵是切线， ∴ ∵是直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即： （2）解：连接，作，如图所示： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 考点05：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 13．（20-21九年级上·湖南株洲·期末）在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（    ） A． B．＋1 C． D．＋1 【答案】C 【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据BC的长先求出AD，再求三角形的面积． 【详解】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中，∠B＝45°， ∴BD＝AD． 在Rt△ACD中，∠C＝30°， ∴CD＝AD． ∵BD＋CD＝BC， ∴AD＋AD＝1＋． 即AD＝1． ∴S△ABC＝×BC×AD ＝（1＋）． 故选：C． 【点睛】本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决. 14．（20-21九年级上·山东青岛·期末）为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民全面发展．如图，四边形ABCD是某蔬菜大棚的侧面示意图，已知墙BC与地面垂直，且长度为5米，现测得∠ABC＝112°，∠D＝67°，AB＝4米，求此蔬菜大棚的宽CD的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈） 【答案】6.5米 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AE于点F，把图形分成两个直角三角形和一个矩形，然后在求出BF、AF，利用矩形性质求出AE，再在求出DE即可解答． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AE于点F， 根据题意可知：AB＝4，CB＝5， ∠ABF＝∠ABC -90°=22°， 在中，， ∴，， 四边形是矩形 在中，，， （米） 答：蔬菜大棚的宽DC的长度为6.5米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用；由根据已知条件构造直角三角形，求出AE是解决问题的关键． 15．（20-21九年级上·江苏无锡·期末）江阴芙蓉大道城市快速路在2020年5月份通车，在安装路灯过程中，工人师傅发现垂直于地面的灯柱OA与灯杆AB相交成一定的角度才能产生光照效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域OC长为8m，从O、C两处测得路灯B的仰角分别为∠BOC和∠BCO，且tan∠BOC＝4，tan∠BCO＝． （1）求路灯B到地面的距离； （2）若∠OAB＝120°，求灯柱OA的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）路灯B到地面的距离8m；（2）灯柱OA的高度为（8﹣）m． 【分析】（1）过点B作BF⊥OC于F，设BF＝x．解直角三角形求得OF＝x，CF＝x，由OC＝8求得x＝8，据此知BF＝8m； （2）再过点A作AG⊥BF于点G，求得∠BAG＝∠OAB﹣∠OAG＝30°．解直角三角形可得BG，进而即可求得OA． 【详解】解：（1）过点B作BF⊥OC于F，设BF＝x． 在Rt△BOF中，∵tan∠BOC＝＝4， ∴OF＝x， 在Rt△BCF中，∵tan∠BCO＝， ∴CF＝x， ∵OC＝8， ∴x+x＝8， ∴x＝8， ∴BF＝8m， 即路灯B到地面的距离8m； （2）过点A作AG⊥BF于点G，可知四边形AGFO是矩形， ∵∠OAB＝120°， ∴∠BAG＝∠OAB﹣∠OAG＝120°﹣90°＝30°． ∵OF＝×8＝2， ∴AG＝OF＝2， 在Rt△BAG中，∵tan∠BAG＝， ∴BG＝tan30°×2＝ ∴OA＝GF＝（8﹣）（m）， 即灯柱OA的高度为（8﹣）m． 【点睛】本题主要考查解直角三角形仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 锐角三角函数 目录 基础能力夯试题 1 考点01：同角三角函数的关系 1 考点02：互余两角三角函数的关系 1 考点03：特殊角的三角函数值 2 考点04：解直角三角形的应用 2 考点05：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 4 考点06：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 4 考点07：解直角三角形的应用-方向角问题 6 优选能力提升题 1 考点01：特殊角三角函数值的混合运算 6 考点02：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 7 考点03：根据特殊角三角函数值求角的度数 7 考点04：三角函数综合 9 考点05：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 10 考点01：同角三角函数的关系 1．（2022秋•宣州区期末）已知α为锐角，cosα，求tanα的值． 2．（2021秋•肥西县期末）比较大小：sin48°　 　cos48°（填“＞”、“＜”或“＝”）． 3．（2023秋•迎江区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 考点02：互余两角三角函数的关系 4．（2022秋•濉溪县校级期末）在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA，求tanB为（　　） A． B． C． D． 5．（2022秋•池州期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 6．（2021秋•怀宁县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，则sinB＝　 　． 考点03：特殊角的三角函数值 7．（2023秋•濉溪县校级期末）计算：（﹣1）2024+tan30°cos60°﹣tan45°． 8．（2023秋•金安区校级期末）计算：2sin30°+sin60°﹣cos30°+（﹣1）2． 9．（2022秋•埇桥区期末）2cos45°的值等于（　　） A． B． C．1 D．2 考点04：解直角三角形的应用 10．（2023秋•迎江区校级期末）春节临近，某工艺装饰礼品店一款流沙画创意摆件颇受消费者青睐，这款工艺摆件的主体轮廓是由一个圆和一个U形卡座组成的轴对称图形，如图所示．卡座下底部CD＝24cm，∠D＝∠C＝56°，A，E，F，B在同一条直线上，且AB∥CD，AE＝BF＝2cm，卡座的高度为6cm，⊙O的最低点到CD的距离为4cm，求摆件的最大高度．（结果精确到1cm，参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.5） 11．（2023秋•濉溪县校级期末）图1为放在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2为其示意图，支撑杆AB垂直于地面，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处．若∠AED＝50°，BE＝120cm，DE＝70cm，求活动杆端点D离地面的高度DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 12．（2022春•定远县期末）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A、C、E三点在一直线上（1.732，结果精确到1米）？ 考点05：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 13．（2023秋•肥西县期末）小明沿着坡比为的山坡向上走了300m，则他升高了（　　） A．m B．150m C．m D．100m 14．（2023秋•岳西县期末）一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（　　） A．1：2 B．：2 C．1： D．：1 15．（2023秋•亳州期末）如图，河堤横断面迎水坡BC的坡比是1：，堤高AC＝5m，则坡面BC的长度是　 　． 考点06：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 16．（2023秋•金安区校级期末）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°． （1）求点A离地面的高度AO； （2）求飞船从A处到B处的距离．（结果精确到0.1km，参考数据：1.73） 17．（2022秋•定远县期末）如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°，测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（　　） A．16.5米 B．（101.5）米 C．（151.5）米 D．（151.5）米 18．（2023秋•金寨县校级期末）某校无人机社团在活动中准备测量该校教学楼AB的高度，小明操控无人机从距离地面40m的点C出发，沿水平方向向教学楼飞行，无人机在C点时测得教学楼顶部A点的俯角为20°，飞行30m到达点D时测得教学楼底部点B的俯角为60°，图中A，B，C，D四点均在一个平面内，求出教学楼AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，1.73） 考点07：解直角三角形的应用-方向角问题 19．（2023秋•滁州期末）如图，小明先在凉亭A处测得湖心岛C在其北偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶200米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其北偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为（　　） A．400米 B．（100100）米 C．（100100）米 D．（100100）米 20．（2022秋•定远县期末）如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A，B分别为两岸上一点，且点B在点A正北方向，由点A向正东方向走a米到达点C，此时测得点B在点C的北偏西55°方向上，则河宽AB的长为（　　） A．atan55°米 B．米 C．米 D．米 21．（2022秋•定远县期末）如图，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60 m，则点A到对岸BC的距离是　 　m． 考点01：特殊角三角函数值的混合运算 1．（22-23九年级上·安徽·期末）先化简再求值；，其中． 2．（22-23九年级上·河北保定·期末）计算： 3．（22-23九年级上·北京门头沟·期末）计算：． 考点02：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 4．（22-23九年级上·辽宁盘锦·期末）在中，、均为锐角，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．（21-22九年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，对角线AC，BD交于点O，sin∠COD=，P为AD上一动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，分别以PE，PF为边向外作正方形PEGH和PFMN，面积分别为S1，S2．则下列结论：①BD=8；②点P在运动过程中，PE+PF的值始终保持不变，为；③S1+S2的最小值为6；④当PH：PN=5：6时，则DM：AG=5：6．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 6．（22-23九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在中，，则的形状是 ． 考点03：根据特殊角三角函数值求角的度数 7．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）的两个锐角和满足，则的度数是 ． 8．（22-23九年级上·湖北武汉·期末）如图，已知是的外接圆，是的直径，D是延长线上的一点，交的延长线于E，于F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 9．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，是的直径，射线交于点D，点E是劣弧的中点，连接，，，过点E作于点F，延长交的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径； (3)在（2）的基础上，求图中阴影部分的面积． 考点04：三角函数综合 10．（23-24九年级下·湖北·期末）如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，若点在上，连接，，则值为 ． 11．（23-24九年级下·全国·期末）如图，是的直径，是的切线，切点为，，．求： (1)线段的长； (2)的直径的长． 12．（23-24九年级下·全国·期末）已知如图，的内接切于A点，过C作的平行线交于D点． (1)求证：． (2)若的直径为6，求． 考点05：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 13．（20-21九年级上·湖南株洲·期末）在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（    ） A． B．＋1 C． D．＋1 14．（20-21九年级上·山东青岛·期末）为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民全面发展．如图，四边形ABCD是某蔬菜大棚的侧面示意图，已知墙BC与地面垂直，且长度为5米，现测得∠ABC＝112°，∠D＝67°，AB＝4米，求此蔬菜大棚的宽CD的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈） 15．（20-21九年级上·江苏无锡·期末）江阴芙蓉大道城市快速路在2020年5月份通车，在安装路灯过程中，工人师傅发现垂直于地面的灯柱OA与灯杆AB相交成一定的角度才能产生光照效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域OC长为8m，从O、C两处测得路灯B的仰角分别为∠BOC和∠BCO，且tan∠BOC＝4，tan∠BCO＝． （1）求路灯B到地面的距离； （2）若∠OAB＝120°，求灯柱OA的高度（结果保留根号）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$