专题06 反比例函数（9大基础考点练+12大提升考点练）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（安徽专用）

专题06 反比例函数 目录 基础能力夯试题 1 考点01：反比例函数的图象 1 考点02：反比例函数图象的对称性 4 考点03：反比例函数的性质 5 考点04：反比例函数系数k的几何意义 6 考点05：反比例函数图象上点的坐标特征 8 考点06：待定系数法求反比例函数解析式 9 考点07：反比例函数与一次函数的交点问题 11 考点08：根据实际问题列反比例函数关系式 14 考点09：反比例函数的应用 15 优选能力提升题 17 考点01：求反比例函数值 17 考点02：反比例函数、二次函数图象综合判断 19 考点03：已知反比例函数的图象，判断其解析式 21 考点04：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 24 考点05：已知比例系数求特殊图形的面积 27 考点06：根据图形面积求比例系数（解析式） 31 考点07：求反比例函数解析式 34 考点08：反比例函数与几何综合 39 考点09：一次函数与反比例函数图象综合判断 44 考点10：一次函数与反比例函数的交点问题 49 考点11：一次函数与反比例函数的实际应用 54 考点12：一次函数与反比例函数的其他综合应用 60 考点01：反比例函数的图象 1．（2023秋•亳州期末）已知关于x的二次函数y＝ax2+c的图象与x轴有两个交点，则关于x的一次函数y＝ax+c与反比例函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 解：∵关于x的二次函数y＝ax2+c的图象与x轴有两个交点， ∴﹣4ac＞0， ∴ac＜0， ∴a、c异号， 当a＞0，则一次函数y＝ax+c经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在一、三象限； 当a＜0，则一次函数y＝ax+c经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在二、四象限； 故选项C正确， 故选：C． 2．（2023秋•宣城期末）已知反比例函数 与一次函数 y＝﹣x+b 的图象如图所示，则函数 y＝x2﹣bx+k﹣1 的大致图象为（　　） A． B． C． D． 解：∵一次函数函数y＝﹣x+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数y的图象经过第一、三象限，则k＞0， ∴函数 y＝x2﹣bx+k﹣1 的图象开口向上，对称轴为直线x0， ∵反比例函数 与一次函数 y＝﹣x+b 的图象有两个交点， ∴方程 x+b 有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4k＞0， ∴函数 y＝x2﹣bx+k﹣1 的图象开口向上，对称轴为直线x0，Δ＝b2﹣4k+4＞0， ∴函数 y＝x2﹣bx+k﹣1 的图象与x轴有两个交点． 故选：B． 3．（2021春•巢湖市期末）让我们一起用描点法探究函数y的图象性质，下面是探究过程，请将其补充完整： （1）函数y的自变量x的取值范围是 　x≠0　； 根据取值范围写出y与x的几组对应值，补全下面列表： x … ﹣6 ﹣4 ﹣2 ﹣1.5 ﹣1 1 1.5 2 4 6 … y … 1 1.5 3 　4　 6 6 4 　3　 1.5 1 … （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中各组对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象； （3）观察画出的函数图象，写出： ①y＝5时，对应的自变量x值约为 　或　； ②函数y的一条性质：　（i）图象关于y轴对称，（2）x＜0时，y随x的增大而增大，（3）x＞0时，y随x的增大而减小，答案不唯一，合理即可　． 解：（1）∵分母不为0， ∴|x|≠0， ∴自变量x的取值范围为x≠0， 当x＝﹣1.5时，y＝4，当x＝2时，y＝3． 故答案为：x≠0，4，3． （2）用平滑的曲线连接即可，如图所示． （3）①由图可知，x＝±1时，y＝6，x＝±1.5时，y＝4， ∴y＝5时，﹣1.5＜x＜﹣1或1＜x＜1.5， ∴y＝5时，自变量x的值约为或．（只要不超过范围都可估计） ②（i）图象关于y轴对称， （ii）x＜0时，y随x的增大而增大， （iii）x＞0时，y随x的增大而减小， 答案不唯一，合理即可 考点02：反比例函数图象的对称性 4．（2023秋•怀宁县期末）如图，反比例函数y的图象与经过原点的直线相交于点A、B，已知A的坐标为（﹣2，1），则点B的坐标为 　（2，﹣1）　． 解：点A与B关于原点对称，则B点的坐标为（2，﹣1）． 故答案为：（2，﹣1）． 5．（2023秋•谯城区校级期末）已知直线y＝mx与双曲线的一个交点A的坐标为（﹣1，﹣2），则m＝　2　；k＝　2　；它们的另一个交点坐标是　（1，2）　． 解：根据题意，得：﹣2＝﹣1×m，﹣2， 解得：m＝2，k＝2． 又由于另一个交点与点（﹣1，﹣2）关于原点对称，则另一个交点的坐标为（1，2）． 故答案为：（1，2）． 6．（2023秋•潜山市期末）已知正比例函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y（k2≠0）的图象有一个交点的坐标为（﹣2，﹣1），则它的另一个交点的坐标是（　　） A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1） 解：∵反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， ∴它的另一个交点的坐标是（2，1）． 故选：A． 考点03：反比例函数的性质 7．（2023秋•金安区校级期末）函数y的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则k可能为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 解：∵反比例函数y的图象中，在每个象限内y随x增大而增大， ∴k+1＜0， 解得k＜﹣1． 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 8．（2023秋•利辛县期末）反比例函数y图象的每条曲线上y都随x增大而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＞1 B．k＞0 C．k＜1 D．k＜0 解：∵反比例函数y的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ∴1﹣k＜0， ∴k＞1． 故选：A． 9．（2022秋•蒙城县期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 　k＜1　． 解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k﹣1＜0， 解得k＜1， 故答案为：k＜1． 考点04：反比例函数系数k的几何意义 10．（2021秋•舒城县期末）如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线y（x＞0）与△AOB的两条边OA，AB分别相交于C，D两点，OC＝CA，△ACD的面积为3，则k等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 解：连接OD，过点C作CE⊥x轴， ∵OC＝CA， ∴OE：OB＝1：2； 设△OBD面积为x，根据反比例函数k的意义得到三角形OCE面积为x， ∵△COE∽△AOB， ∴三角形COE与三角形BOA面积之比为1：4， ∵△ACD的面积为3， ∴△OCD的面积为3， ∴三角形BOA面积为6+x， 即三角形BOA的面积为6+x＝4x， 解得x＝2， ∴|k|＝2， ∵k＞0， ∴k＝4， 故选：C． 11．（2022秋•东至县期末）如图，点P在反比例函数y（x＜0）的图象上，PA⊥x轴于点A，若△PAO的面积为6，则k的值为 　﹣12　． 解：由反比例函数比例系数的几何意义得：|k|＝S△PAO， ∵△PAO的面积为6 ∴|k|＝12， 又∵反比例函数y＝k/x的图象在第二象限， ∴k＝﹣12． 故答案为：﹣12． 12．（2021秋•亳州期末）双曲线C1：y（k≠0）和C2：y的图象如图所示，点A是C1上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B、点C，AB与C2交于点D，若△AOD的面积为2，则k的值为（　　） A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5 解：S△AOD＝S△AOB﹣S△DOB， ∴， ∴|k|＝5， ∵反比例函数位于第二象限， ∴﹣k＜0，则k＞0， ∴k＝5 故选：B． 考点05：反比例函数图象上点的坐标特征 13．（2023秋•迎江区校级期末）已知：平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，﹣3），点A关于原点对称的点A′恰好落在反比例函数的图象上，则k＝（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．9 解：∵点A的坐标为（2，﹣3）， ∴点A关于原点对称的点A′（﹣2，3）， ∵A′点在反比例函数图象上， ∴k＝﹣2×3＝﹣6， 故选：B． 14．（2023秋•亳州期末）若反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则k的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．2 解：根据题意，得﹣2＝k+1， 解得，k＝﹣3． 故选：B． 15．（2023秋•萧县期末）在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是 　k＜1　． 解：∵反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而增大， ∴k﹣1＜0， ∴k＜1， 故答案为：k＜1． 考点06：待定系数法求反比例函数解析式 16．（2023秋•金安区校级期末）如图，▱ABCO的边OA在x轴的正半轴上，OA＝5，反比例函数的图象经过点C（1，4）．D为反比例函数图象上一动点，过点D作EF∥x轴交OC于点E，交AB于点F． （1）反比例函数的表达式为 　y　． （2）当D点运动到直线AC上时，连接BD，记△DEC的面积为S1，△BDC的面积为S2，则的值为 　　． 解：（1）∵点C（1，4）在反比例函数y上， ∴4， ∴k＝4， ∴反比例函数解析式为：y； 故答案为：y； （2）∵四边形ABCO为平行四边形， ∴OA＝BC＝5， ∵OA∥BC，C（1，4）， ∴B（5，4）， ∵点C（1，4），A（5，0）在直线AC上，设直线AC的解析式为y＝kx+b，则， ，解得， 直线AC的解析式为：y＝﹣x+5， 联立方程组，解得，， ∴D（4，1）， 直线OC的解析式为y＝4x， 当y＝1时，x， ∴E（，1）， ∴DE＝4， ∴． 故答案为：． 17．（2022秋•宣州区期末）已知反比例函数y的图象经过点（2，﹣3），则此函数的关系式是　y　． 解：∵反比例函数y的图象经过点（2，﹣3）， ∴﹣3，解得k＝﹣6， ∴反比例函数解析式为y． 故答案为：y． 18．（2023秋•宁国市期末）已知y＝y1+y2，若y1与x﹣1成正比例，y2与x+1成反比例，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝2时，y＝1． ①求y与x的函数关系式； ②求当x＝﹣2时，y的值． 解：①∵y1与x﹣1成正比例，y2与x+1成反比例， ∴y1＝k1（x﹣1），y2，（k1≠0，k2≠0）， ∵y＝y1+y2， ∴y＝k1（x﹣1）， ∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝2时，y＝1， ∴， 解得：， ∴函数解析式为：y＝2（x﹣1）， ②把x＝﹣2代入上式得：y＝﹣3． 考点07：反比例函数与一次函数的交点问题 19．（2023秋•迎江区校级期末）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数（k为常数且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式与B点坐标； （2）请直接写出不等式的解集； （3）若点P是线段BC上的一个动点，作PQ∥y轴交反比例函数的图象于点Q，则△PCQ的面积的最大值为 　　． 解：（1）将A（1，a）代入y＝x+4，得： a＝1+4＝5， ∴A（1，5）， 将A（1，5）代入得：k＝1×5＝5， ∴反比例函数解析式为：． 解得或， ∵A（1，5）， ∴B（﹣5，﹣1）． （2）由函数图象及交点坐标可知：不等式x+4的解集为：﹣5＜x＜0或x＞1； （3）设点P的坐标为（m，m+4），则Q（m，）， ∴S△PQC（m+2）， 当m＝﹣2时，三角形PQC面积最大，最大值为． 故答案为：． 20．（2023秋•贵池区期末）如图，反比例函数y（x＞0）与一次函数y＝x﹣2的图象交于点P（a，b），则的值为　　． 解：∵反比例函数y（x＞0）与一次函数y＝x﹣2的图象交于点P（a，b）， ∴b，b＝a﹣2， ∴ab＝6，a﹣b＝2， ∴． 故答案为． 21．（2023秋•金寨县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，C在x轴上，顶点A，D在第一象限．反比例函数y（x＞0）的图象经过点A交CD于点E，OB＝2，AB＝3． （1）求k的值； （2）若点E恰好为DC的中点． ①求直线AE的表达式； ②请根据图象直接写出在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的函数值小于直线AE对应函数的函数值． 解：（1）∵OB＝2，AB＝3， ∴点A坐标为（2，3）， 把A（2，3）代入， 可得，解得k＝6； （2）①由（1）可知，反比例函数解析式为， ∵四边形ABCD为矩形， ∴CD＝AB＝3， ∵点E为DC的中点， ∴， 设E点坐标为， 将点代入反比例函数解析式， 可得，解得a＝4， ∴E点坐标为； 设直线AE为y＝kx+b，将点A（2，3），代入，得： ， 解得， ∴直线AE的表达式为； ②根据图象可知，若反比例函数的函数值小于直线AE对应函数的函数值， 则x的取值范围为：2＜x＜4． 考点08：根据实际问题列反比例函数关系式 22．（2022秋•太和县期末）俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相同金额，则他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款额x元之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D．y＝2000x﹣6000 解：根据题意得：2000+xy＝6000， ∴y． 故选：A． 23．（2014秋•怀远县校级期末）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图所示的是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（　　） A．I B．I C．I D．I 解：设反比例函数的解析式为（k≠0）， 由图象可知，函数经过点B（3，2）， ∴2，得k＝6， ∴反比例函数解析式为y． 即用电阻R表示电流I的函数解析式为I． 故选：D． 24．（2023秋•安庆期末）把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积s（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为 　s　． 解：由题意可得：sh＝3×2×1， 则s． 故答案为：s． 考点09：反比例函数的应用 25．（2023秋•定远县期末）近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m． （1）求y与x的函数表达式； （2）已知王老师的近视眼镜镜片度数为200度，求该镜片的焦距． 解：（1）设y与x的函数表达式为y， 400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m， ∴k＝0.25×400＝100， ∴y与x的函数表达式为y． （2）0.5， 答：该镜片的焦距为0.5m． 26．（2023秋•肥西县期末）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求一次函数和反比例函数表达式； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于3mg时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 解：（1）设反比例函数解析式为， 将（24，8）代入解析式得k＝xy＝24×8＝192， ∴反比例函数解析式为， 将y＝12代入解析式得，， 解得：x＝16， 故A点坐标为（16，12）， ∴反比例函数解析式为， 设正比例函数解析式为y＝nx 将A（16，12）代入得：， ∴正比例函数解析式为； （2）由可得：当y＝3时，， 由可得：当y＝3时，x＝4， 由函数图象可得：当4≤x≤64时，y≥3毫克， ∵64﹣4＝60分钟， ∴师生至少在60分钟内不能进入教室． 27．（2023春•蜀山区期末）有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为R1R2，总电阻阻值为R，三者关系为：．若已知R，R2，则R1＝　　． 解：∵． ∴， ∴R1， 故答案为：． 考点01：求反比例函数值 1．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）反比例函数图像经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、当时，，过点，不符合题意； B、当时，，过点，不符合题意； C、当时，，过点，不符合题意； D、当时，，过点，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质． 2．（23-24九年级上·重庆綦江·期末）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了判断点是否反比例函数的图象上，把点逐一代入解析式即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，则， 、当时，，图象一定经过点，符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 故选：． 3．（22-23九年级上·北京房山·期末）如图，平面直角坐标系中，若反比例函数的图象过点和点，则a的值为 ． 【答案】/1.5 【分析】根据点的坐标求得反比例函数解析式，将代入，即可求解． 【详解】解：依题意，将点代入，得出， ∴反比例数解析式为， 当时，， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，求得反比例函数解析式是解题的关键． 考点02：反比例函数、二次函数图象综合判断 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若实数满足，且，则与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象性质：通过观察4个选项的共性：二次函数的开口方向向下，且与轴的坐标相交于正半轴，即，结合，与的条件，进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的开口方向向下，且与轴的坐标相交于正半轴， ∴， ∵ ∴排除选项； 当时， ∴，故错误； 当时，， 故选． 5．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）已知一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出、、的正负．根据一次函数与反比例函数图象找出、、的正负，再根据抛物线的对称轴为，得出二次函数对称轴在轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数开口向下，对称轴在轴右侧； ∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴与轴交点在轴上方， 满足上述条件的函数图象只有选项B． 故选：B． 6．（21-22九年级上·安徽芜湖·期末）函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干的函数图象可得，进而即可判断一次函数的大致图像为递减的，且与负半轴有交点，即可求解 【详解】解： 的图象经过一、三象限 的图象，开口向下，则，对称轴，则 的图像经过二、四象限，且与轴的负半轴有交点，即经过二、三、四象限 则只有C选项符合 故选C 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象综合，掌握函数图象与各系数之间的关系是解题的关键． 考点03：已知反比例函数的图象，判断其解析式 7．（19-20九年级上·安徽淮南·期末）下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质，函数若位于一、三象限，则反比例函数系数k＞0，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、∵m2+1＞0，∴反比例函数图象一定在一、三象限； B、不确定； C、不确定； D、不确定． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的性质是解题的关键． 8．（21-22九年级上·山东泰安·期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=（c≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数（a≠0）的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴＞0，得出b＜0，然后对照四个选项中的图像判定即可． 【详解】解：因为二次函数的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴＞0，得出b＜0， 所以一次函数y=ax+b经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像、一次函数的图像以及二次函数的图像等知识点，根据二次函数图像得到a＞0、b＜0、c＜0是解题的关键． 9．（20-21九年级上·江西赣州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，轴于点，点在函数的图象上，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC＝2BD，再证得四边形OADB是矩形，利用AC⊥x轴得到C（1，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值． 【详解】解：作BD⊥AC于D，如图， ∵ABC为等腰直角三角形， ∴BD是AC的中线， ∴AC＝2BD， ∵AC⊥x轴，BD⊥AC，∠AOB＝90°， ∴四边形OADB是矩形， ∴BD＝OA＝1， ∴AC＝2， ∴C（1，2）， 把C（1，2）代入y＝得k＝1×2＝2． 故答案为：2 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝ （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了等腰直角三角形的性质． 考点04：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 10．（20-21九年级上·安徽安庆·期末）已知直线（，k是常数）与双曲线交于点，两点，则的值为（　　　） A．5 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】先根据点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点可得出x1•y1=x2•y2=5，再根据直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点可得出x1=-x2，y1=-y2，再把此关系代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点， ∴x1•y1=x2•y2=5， ∵直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴x1=-x2，y1=-y2 ，y1= k x1，y2= k x2， ∴原式=2k x1 x2- k x1 x2= k x1 x2==-5． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的对称性，根据反比例函数的图象关于原点对称得出x1=-x2，y1=-y2是解答此题的关键． 11．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）如图，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线在第一象限交于点C，连接． （1）点A的坐标是 ； （2）的面积是 ． 【答案】 【分析】 （1）根据点B的坐标可以求得双曲线的解析式，然后即可求得点A的坐标； （2）根据反比例函数的中心对称性求出点C的坐标，再用割补法即可求得的面积． 【详解】（1）∵点在双曲线上， ∴， ∴． ∵点在双曲线上， ∴， ∴ 故答案为： （2）如图，过点B作轴，过点C作轴，和交于点G，过点B作轴，过点A作轴，和交于点E，与交于点F． ∵直线BO与双曲线在第一象限交于点C，点， ∴点C的坐标为． ∵点，,， ∴， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 12．（22-23九年级上·浙江台州·期末）某同学根据学习函数的经验，在平面直角坐标系中画了函数的图象，如图1． (1)下列关于函数图象的表述，正确的有________（填序号）； ①图象与轴没有交点；②的图象可以看作由的图象向右平移1个单位长度得到；③当时，． (2)如图2，已知直线经过且与的图象的一个交点的横坐标等于4，求另一个交点的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出不等式的解集是________． 【答案】(1)①② (2) (3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质和图象，反比例函数与不等式的关系， 对于（1），根据题意可知的图象是由平移得到的，再逐项判断即可； 对于（2），先求出第一个交点坐标，再根据对称性得出另一个交点坐标； 对于（3），根据交点横坐标，再结合图象的位置可得答案． 【详解】（1）根据题意可知函数的图象是由向右平移1个单位长度平移得到，与x没有交点，当时，，当时，，所以正确的有①②． 故答案为：①②； （2）当时，， ∴交点坐标为， 可知点关于点对称的点的坐标是； （3）当时，； 当时，． 所以的解集是或． 故答案为：或． 考点05：已知比例系数求特殊图形的面积 13．（21-22九年级上·山东济南·期末）如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义与反比例函数图象上点的坐标特征．由直线与y轴平行，可得的面积等于的面积，设点P的坐标为，由此可得出点A、B的横坐标都为a，再将分别代入反比例函数解析式，得出A、B的纵坐标，继而得出的值，从而得出三角形的面积． 【详解】解：如下图，连接， 由题意可知直线与y轴平行， ∴ 设，则点A、B的横坐标都为a， 将代入得出，得， 故； 将代入得出，得， 故； ∴， ∴． 故选：B． 14．（23-24九年级上·江西宜春·期末）根据图①所示的程序，得到了与的函数图象，如图②．若点是轴正半轴上任意一点，过点作平行轴交图象于点，，连接，，则以下结论：①时，；②的面积为定值；③时，随的增大而增大；④；⑤可以等于．其中正确结论是（　　） A．①②⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握．根据题意得到当时，，当时，，设，，求出，，求出的面积是3；时，随的增大而减小；由，得到；因为也行，根据结论即可判断答案． 【详解】解：①，，故选项①错误； ②当时，，当时，， 设，， 则，， 的面积是，故选项②正确； ③时，，随的增大而减小，故选项③错误； ④，， ∴，故选项④正确； ⑤设，则．则， ， 当， 整理得：， ， 有解， 可能存在，故此选项⑤正确； 正确的有②④⑤， 故选：B． 15．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，在反比例函数的图象上，有，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，将将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至轴，得到则是解题关键． 【详解】解：如图所示： ∵，，，的横坐标依次为1，2，3，， ∴每一个阴影矩形都有一边长为1， 将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至轴， 则 将代入得： 即： ∴ 由反比例函数的几何意义可得： ∴ ， 故答案为： 考点06：根据图形面积求比例系数（解析式） 16．（19-20九年级上·安徽·期末）已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线与边BC交于点D、与对角线OB交于点中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是（　　） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的解析式为：，E点的坐标是（x，y），根据E是OB的中点，得到B点的坐标，求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出k． 【详解】解：设双曲线的解析式为：，E点的坐标是（x，y）， ∵E是OB的中点， ∴B点的坐标是（2x，2y）， 则D点的坐标是（，2y）， ∵△OBD的面积为10， ∴×（2x﹣）×2y＝10， 解得，k＝， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 17．（20-21九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，轴，轴．垂足分别为点D，E．当矩形的面积是的面积2倍时，k的值为 ． 【答案】1 【分析】根据题意由反比例函数的几何意义得：再求解A，B的坐标及建立方程求解即可． 【详解】解：如图 矩形，在上， 把代入： ∴B(0，k) 把代入： ∴A(-k，0) 由题意得：2× 解得：k=1，k=0（舍去） 故答案为：1 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，掌握反比例函数中的几何意义，一次函数与坐标轴围成的三角形面积的计算是解题的关键． 18．（20-21九年级上·江西上饶·期末）如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为2，则k的值为 ． 【答案】 【分析】再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：∵AB⊥y轴， ∴S△OAB=|k|， ∴|k|=2， ∵k＜0， ∴k=-4． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 考点07：求反比例函数解析式 19．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，的边在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点．为反比例函数图像上一动点，过点作轴交于点，交于点， （1）反比例函数的表达式为 ； （2）当点运动到直线上时，连接，记的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】 / 【分析】（1）将代入求出反比例函数解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，得出，再求出，得出，根据平行四边形的性质得出，，证明，得出即可． 【详解】解：（1）将代入得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为； 故答案为：； （2）∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、平行四边形的性质、求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 20．（20-21九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围为______； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、利用待定系数法求函数解析式；熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）先求得，再根据，求得，根据中心对称的性质得出，可得，从而求得，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得 ， 解得 ， ∴一次函数为， 将代入 得， 解得， ∴反比例函数的解析式为 ； （2）解：由图象可知，当时， 自变量x的取值范围为或， 故答案为：或； （3）解：如图，由题意可知，， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， ， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴或， 21．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)直接写出当时，对应的x的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象， （1）反比例函数的图象过点得，即可得反比例函数为，根据反比例函数的图象过点得，则，根据直线过点，得，进行计算即可得； （2）令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D，在中，令，则，令，即，令，则，计算得，即，根据进行计算即可得； （3）观察函数图象即可得； 掌握反比例函数的性质，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式； （2）解：如图所示，令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D， 在中，令，则，令，即， 令，则， ， 即， ∴ ； （3）解：根据函数图象得，当时，或． 考点08：反比例函数与几何综合 22．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若点坐标为，反比例函数恰好经过点，则的值是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示 ，，，， ，， 在中，，即， ， 在中，，即， ，，， ， 点， ． 故选：C． 23．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为3，则平行四边形的面积为 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，正确求出点A的坐标是解答本题的关键； 根据点D到x轴的距离为3，求出坐标，图象经过点C和边的中点D，求出B的纵坐标，延长交y轴E于，作轴于F，根据平行四边形的性质，证明，得出,在求出，利用平行四边形面积公式得出答案； 【详解】点D到x轴的距离为3， 点D的纵坐标为3， 点D的纵坐标代入得：    点D的坐标为 点D为AB中点， 点B的纵坐标为6， 四边形为平行四边形， 点C的纵坐标为6， 点C的纵坐标代入 ， ， ， 延长交y轴E于，作轴于F， ，， ， ，，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：36 24．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，在反比例函数上取一点，连接，作等腰． （1）的坐标为 ． （2）若过点作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，…，按此依次作图，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题属于规律探究题型，主要考查反比例函数和等腰直角三角形，数形结合是解题的关键． （1）过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质可设的坐标为，代入反比例函数，即可求解； （2）分别过点、、作轴的垂线，垂足分别为、、，根据等腰直角三角形的性质和反比例函数的性质求出、的坐标，找到点的坐标规律，即可求解． 【详解】（1）如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形，且， ， 设的坐标为，代入反比例函数，得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）， 的坐标为； （2）如图，分别过点、、作轴的垂线，垂足分别为、、， 是等腰直角三角形，且， ，，， 由（1）知，，， ， ， 设，则， ， 点在反比例函数上， ， 解得：，（舍去）， ， ，， ， ， ， 设，则， 点， 点在反比例函数上， ， 解得：，（舍去）， 点， 即点，点， 同理可得：点， 以此类推，可得的坐标为， 故答案为：． 考点09：一次函数与反比例函数图象综合判断 25．（16-17九年级·安徽宿州·期末）反比例函数（，为常数）和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点；轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论： ； 四边形的面积为； 当时，点是的中点； 若，则四边形为正方形． 其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）    【答案】 【分析】由反比例函数的几何意义可得答案； ，进行计算即可得到答案；连接，根据已知条件得到，根据三角形的面积公式即可得到结论；由知，，解得：，得到不一定等于，从而得出结论． 【详解】解： 轴于点，交的图象于点；轴于点，交的图象于点， 轴，轴， 点在反比例函数上， ，故正确，符合题意； 点在的图象上，轴于点，轴于点， ， ，故正确，符合题意； 连接，   ，， ， 在函数的图象上，点在的图象上， ，， ，， ， 点是的中点，故正确，符合题意； ， 由知，， 解得：， 点在的图象上运动， 不一定等于， 四边形不一定为正方形，与的取值无关，故错误； 综上所述，正确的是：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，所得三角形的面积为，熟练掌握此知识点是解题的关键． 26．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 ，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)观察函数图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合题型，掌握待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据解析式求点坐标是解题的关键． （1）将代入中，即可求出m的值，再代入即可求得n的值； （2）观察函数图象，即可得出的解集； （3）采用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求出，根据即可求出的面积． 【详解】（1）解：将代入中， 得： 解得： 将代入， 得： 解得：． （2）解：根据图象可得，的解集为：或． （3）解：将、代入 得： 解得： ∴直线的解析式为： 将代入得   ∴，即， 连接， ∴． 27．（21-22九年级上·山东济南·期末）如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点． (1)求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)、； (2)4 (3) 【分析】（1）把，两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值； （2）求得C的坐标，然后根据求得即可； （3）作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标． 【详解】（1）解：把，两点的坐标代入， 得， ，解得， 则、， 把代入，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵一次函数的图象与y轴交于点C， ∴， ∴， ∵、， ∴； （3）解：作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则， ∵， ∴此时的值最小， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，最短路径问题，解题的关键，（1）是熟练掌握待定系数法，（2）利用割补法，（3）是作出点B关于x轴的对称点，求得对称点的坐标． 考点10：一次函数与反比例函数的交点问题 28．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式与点坐标； (2)请直接写出不等式的解集； (3)若点是线段上的一个动点，作 轴交反比例函数的图象于点，则的面积的最大值为______． 【答案】(1)y， (2)或 (3) 【分析】（1）先求出点A的坐标，再根据点A的坐标在反比例函数图象上求出反比例函数的表达式，设点，代入反比例函数表达式中，即可求出点B， （2）结合图象即可得出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时的解集； （3）设点，则，即可得出，则，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ， 即， 又在反比例函数图象上， ，即， 反比例函数的表达式为：， 一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点， 设点， ， ， ， 或， ； （2）解：，即求一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时的解集， 由图象可知：当或时，； （3）解：由题意可知：设点， ， ， ， 当，即时， 的面积的最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题是考查反比例函数的综合题，一次函数的应用，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． 29．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点A，B、C分别是x、y轴上的点，且，若四边形的面积为5，则 ．    【答案】 【分析】作轴，轴，根据直线的可证四边形是正方形．再结合可证四边形的面积与正方形的面积相等．再结合面积表达式可求得点A的坐标，最后将点A的坐标代入双曲线的解析式中即可求得k的值． 【详解】如图，自点A分别作x轴与y轴的垂线，垂足为点G、H，则 ．又， ∴四边形是矩形． ∴． ∴， ∵． ∴， ∴    ∵点A在直线上， ∴， ∴四边形是正方形． 在与中， ∴ ∴ 即 ∵． ∴，由于点A在第二象限， ∴点A的坐标为， 又因为在双曲线上， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数、双曲线的性质、正方形与全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用“割补法”构造一个正方形与已知的四边形面积相等． 30．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B．      (1)求a，k的值； (2)直线经过点A，与反比例函数图像交于点，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2)8 【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数表达式，求出，将点的坐标代入反比例函数表达式，求出的值即可； （2）先求出的值，得到作轴于点F，交于点G，再求出，则，然后根据三角形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：将点代入，得：， 解得：， 则点， 将点A的坐标代入反比例函数表达式得：，解得：； （2）解：反比例函数的图像过点， ． ，， 作轴于点F，交于点G， 当时，，即点， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式、函数图像上点的坐标特征、三角形的面积等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键． 考点11：一次函数与反比例函数的实际应用 31．（22-23九年级上·河北邢台·期末）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式 ； （2）当水温为时， ； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为 ． 【答案】 【分析】（1）设直线解析式为，结合图像点，代入即可得到答案； （2）设反比例函数解析式为，结合图像点代入求出k，将代入即可得到答案； （3）根据（1）（2）解析式得到从℃加热到℃，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一段反比例函数求值即可得到答案． 【详解】解：（1）设直线解析式为，将点，代入可得， ，解得， 故答案为：； （2）设反比例函数解析式为，将点代入可得， ， ∴， 当时， ，解得， 故答案为； （3）当时，，解得， ∴从℃加热到℃，需要分钟，，，，将 代入，，可得． 【点睛】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间． 32．（22-23八年级下·江苏常州·期末）如图，一次函数的图像与轴交于点，点在上，是反比例函数图像上的一点，四边形是平行四边形．    (1)求、的值； (2)点在上． 判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由； 的面积是______． 【答案】(1)，； (2)不在，理由见解析；． 【分析】（1）根据点代入直线，求得的值，再根据平行四边形的性质，求出点的坐标，又根据点在反比例函数上，进而求得的值； （2）根据点代入直线，求得的值，求出点的坐标，再将点代入反比例函数上，看等式两边是否相等，如果相等则在图象上，否则不在图象上； 设所在直线的解析式为，把、代入求得解析式，进而解得与轴交点，再根据面积和差即可求解． 【详解】（1）当时，． ∴． 当时，． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴点的坐标为． ∴． ∴． （2）不在，理由如下： ∵点在上，当时，， ∴点的坐标为． ∵反比例函数为，当时，， ∴点不在反比例函数的图像上， 延长交轴于点，如图，      由得：，， 设所在的直线为, 将、代入得: ，解得：， ∴设所在的直线为， 令，则，解得：， ∴点， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法，并且借助辅助线求解． 33．（22-23八年级下·江苏南京·期末）如图①，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4．    (1)小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为；点B的坐标为． 请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形； (2)求直线，曲线的函数表达式； (3)小宁想利用这块边角料截取一个矩形，其中M，N在上（点M在点N左侧），点P在线段上，点Q在曲线上．若矩形的面积是，则PM=________________． 【答案】(1)见解析 (2)直线的函数表达式，曲线的函数表达式 (3) 【分析】（1）根据A的坐标为，点B的坐标为补全平面直角坐标系，根据，， ，点C到，所在直线的距离分别为2，4，，，，是线段，曲线是反比例函数图象的一部分画图； （2）设线段的解析式为，把，代入，得到k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，即得线段的解析式；再设曲线的解析式为，把代入，得到方程，解方程得到的值，即得曲线的解析式； （3）设，根据轴，，点P在上，点Q在上，用m的表达式写出点P、Q的坐标，得到线段、的长的表达式，根据建立方程，解方程得到m的值，即可求出的长． 【详解】（1）根据点A的坐标为，点B的坐标为，补全x轴和y轴， ∵，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4， ∴，， 根据，，，是线段，曲线是反比例函数图象的一部分，画出图形ABCDE，如图所示，    （2）设线段的解析式为， 把，代入得， ， 解得，， ∴， 设曲线的解析式为， 把代入得，，， ∴； （3）设，则，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴，或（舍去）， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了补全平面直角坐标系，画图形，一次函数，反比例函数，矩形面积，解决问题的关键是熟练掌握依照点的坐标补全平面直角坐标系，画出坐标系中的图形，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数性质，根据点坐标写线段长的表达式，运用矩形面积公式列方程解方程． 考点12：一次函数与反比例函数的其他综合应用 34．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．    (1)求反比例函数表达式； (2)过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，请求出点坐标． (3)在反比例函数图象上是否存在点，使，若存在，请求出点横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点坐标为或 (3)存在，的横坐标为 【分析】（1）本题将点代入求得的值，得到直线的解析式，将代入直线的解析式，算出的值，得到的坐标，将的坐标代入反比例函数中求解，即可解题． （2）本题根据点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点，过点作轴交直线于点，分以下两种情况讨论，①当点在下方时，②当点在上方时，根据以上两种情况，结合“若的面积是面积的2倍”分析得到点纵坐标，将点纵坐标代入反比例函数解析式求解，即可解题． （3）本课过点作垂直交延长线于点过点作轴，，，利用等腰直角三角形性质证明，根据全等三角形性质得到点坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式和反比例函数解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点， ， ， ， 点在上， ，即， ， ； （2）解：①当点在下方时， ， ， 作轴，轴，   ， ， ， ， 把代入中， ； ②当点在上方时，   ， ， 为中点， ，， ， 把代入中， ； 综上所述：点坐标为或． （3）解：过点作垂直交延长线于点过点作轴，，， ，，   三角形为等腰直角三角形， 在和中， ， 所以，， ， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， ， 整理得，解得，（不合题意，舍去）， ， 的横坐标为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的几何综合、用待定系数法求函数解析式、坐标与图形、等腰三角形性质、全等三角形的性质和判定、熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 35．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点，求的面积； (3)点为轴上任意一点，点为平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)3 (3)点的坐标为或． 【分析】（1）解方程或方程组即可得到结论； （2）根据中心对称的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）求得中点的坐标为，，设点，点，①当为菱形的对角线时，，，②当为菱形的对角线时，③当为菱形的对角线时，，根据菱形的性质列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象相交于，两点， ， ， ， 反比例函数的表达式为， 解得，， ； （2）直线交反比例函数的图象于另一点， 点与点关于原点对称， ， ，； 过作轴，过作于，过作于， ，， 的面积四边形的面积的面积； （3），； 中点的坐标为，， 设点，点， 以，，，为顶点的四边形是菱形， ①当为菱形的对角线时，，， ， ， 解得， ； ②当为菱形的对角线时，，， ， 解得或（此时，点在直线上，不合题意舍去） ； ③当为菱形的对角线时，， ， 此方程组无实数根，这种情况不存在， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 36．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点D，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，已知点D的坐标为． (1)求直线的解析式及E点的坐标； (2)若y轴上有一动点F，直线上有一动点G．当最小时，求的周长的最小值； (3)如图2，若y轴上有一动点Q，直线上有一动点P，以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，求P点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或或． 【分析】（1）先确定出点A，C坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，再用待定系数法求出反比例函数解析式，联立求出点E坐标； （2）先判断出，进而判断出EH垂直于x轴时，最小，进而求出点G坐标，再判断出点F在上时，的周长最小，即可求出答案； （3）分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求出点P坐标． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为①， ∵点在反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为②， 联立①②解得，或， ∵点E在第一象限内， ∴； （2）如图1， 由（1）知，，， ∴直线的解析式为， 过点G作轴于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G在上，且轴， 即时，最小， 作点关于y轴的对称点G'，则， ∴， 连接交y轴于， 此时，的周长最小， 即周长的最小值为； （3）由（2）知，直线的解析式为， 设，， ∵以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形，，， Ⅰ、当与为对角线时，， ∴， ∴， Ⅱ、当与为对角线时，， ∴， ∴， Ⅲ、当与为对角线时，， ∴， ∴． 综上：或或 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的交点坐标的求法，三角形的面积的求法，平行四边形的性质，对称性，极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 反比例函数 目录 基础能力夯试题 1 考点01：反比例函数的图象 1 考点02：反比例函数图象的对称性 3 考点03：反比例函数的性质 4 考点04：反比例函数系数k的几何意义 4 考点05：反比例函数图象上点的坐标特征 5 考点06：待定系数法求反比例函数解析式 5 考点07：反比例函数与一次函数的交点问题 7 考点08：根据实际问题列反比例函数关系式 8 考点09：反比例函数的应用 9 优选能力提升题 10 考点01：求反比例函数值 10 考点02：反比例函数、二次函数图象综合判断 11 考点03：已知反比例函数的图象，判断其解析式 12 考点04：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 13 考点05：已知比例系数求特殊图形的面积 15 考点06：根据图形面积求比例系数（解析式） 16 考点07：求反比例函数解析式 17 考点08：反比例函数与几何综合 19 考点09：一次函数与反比例函数图象综合判断 20 考点10：一次函数与反比例函数的交点问题 22 考点11：一次函数与反比例函数的实际应用 24 考点12：一次函数与反比例函数的其他综合应用 27 考点01：反比例函数的图象 1．（2023秋•亳州期末）已知关于x的二次函数y＝ax2+c的图象与x轴有两个交点，则关于x的一次函数y＝ax+c与反比例函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•宣城期末）已知反比例函数 与一次函数 y＝﹣x+b 的图象如图所示，则函数 y＝x2﹣bx+k﹣1 的大致图象为（　　） A． B． C． D． 3．（2021春•巢湖市期末）让我们一起用描点法探究函数y的图象性质，下面是探究过程，请将其补充完整： （1）函数y的自变量x的取值范围是 　 　； 根据取值范围写出y与x的几组对应值，补全下面列表： x … ﹣6 ﹣4 ﹣2 ﹣1.5 ﹣1 1 1.5 2 4 6 … y … 1 1.5 3 　 　 6 6 4 　 　 1.5 1 … （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中各组对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象； （3）观察画出的函数图象，写出： ①y＝5时，对应的自变量x值约为 　 　； ②函数y的一条性质：　 　． 考点02：反比例函数图象的对称性 4．（2023秋•怀宁县期末）如图，反比例函数y的图象与经过原点的直线相交于点A、B，已知A的坐标为（﹣2，1），则点B的坐标为 　 　． 5．（2023秋•谯城区校级期末）已知直线y＝mx与双曲线的一个交点A的坐标为（﹣1，﹣2），则m＝　 　；k＝　 　；它们的另一个交点坐标是　 　． 6．（2023秋•潜山市期末）已知正比例函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y（k2≠0）的图象有一个交点的坐标为（﹣2，﹣1），则它的另一个交点的坐标是（　　） A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1） 考点03：反比例函数的性质 7．（2023秋•金安区校级期末）函数y的图象中，在每个象限内y随x增大而增大，则k可能为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 8．（2023秋•利辛县期末）反比例函数y图象的每条曲线上y都随x增大而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＞1 B．k＞0 C．k＜1 D．k＜0 9．（2022秋•蒙城县期末）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 　 　． 考点04：反比例函数系数k的几何意义 10．（2021秋•舒城县期末）如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线y（x＞0）与△AOB的两条边OA，AB分别相交于C，D两点，OC＝CA，△ACD的面积为3，则k等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 11．（2022秋•东至县期末）如图，点P在反比例函数y（x＜0）的图象上，PA⊥x轴于点A，若△PAO的面积为6，则k的值为 　 　． 12．（2021秋•亳州期末）双曲线C1：y（k≠0）和C2：y的图象如图所示，点A是C1上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B、点C，AB与C2交于点D，若△AOD的面积为2，则k的值为（　　） A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5 考点05：反比例函数图象上点的坐标特征 13．（2023秋•迎江区校级期末）已知：平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，﹣3），点A关于原点对称的点A′恰好落在反比例函数的图象上，则k＝（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．9 14．（2023秋•亳州期末）若反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则k的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．2 15． （2023秋•萧县期末）在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是 　 　． 考点06：待定系数法求反比例函数解析式 16．（2023秋•金安区校级期末）如图，▱ABCO的边OA在x轴的正半轴上，OA＝5，反比例函数的图象经过点C（1，4）．D为反比例函数图象上一动点，过点D作EF∥x轴交OC于点E，交AB于点F． （1）反比例函数的表达式为 　 　． （2）当D点运动到直线AC上时，连接BD，记△DEC的面积为S1，△BDC的面积为S2，则的值为 　 　． 17．（2022秋•宣州区期末）已知反比例函数y的图象经过点（2，﹣3），则此函数的关系式是　 　． 18．（2023秋•宁国市期末）已知y＝y1+y2，若y1与x﹣1成正比例，y2与x+1成反比例，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝2时，y＝1． ①求y与x的函数关系式； ②求当x＝﹣2时，y的值． 考点07：反比例函数与一次函数的交点问题 19．（2023秋•迎江区校级期末）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数（k为常数且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式与B点坐标； （2）请直接写出不等式的解集； （3）若点P是线段BC上的一个动点，作PQ∥y轴交反比例函数的图象于点Q，则△PCQ的面积的最大值为 　 　． 20．（2023秋•贵池区期末）如图，反比例函数y（x＞0）与一次函数y＝x﹣2的图象交于点P（a，b），则的值为　 　． 21．（2023秋•金寨县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，C在x轴上，顶点A，D在第一象限．反比例函数y（x＞0）的图象经过点A交CD于点E，OB＝2，AB＝3． （1）求k的值； （2）若点E恰好为DC的中点． ①求直线AE的表达式； ②请根据图象直接写出在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的函数值小于直线AE对应函数的函数值． 考点08：根据实际问题列反比例函数关系式 22．（2022秋•太和县期末）俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相同金额，则他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款额x元之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D．y＝2000x﹣6000 23．（2014秋•怀远县校级期末）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图所示的是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（　　） A．I B．I C．I D．I 24．（2023秋•安庆期末）把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积s（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为 　 　． 考点09：反比例函数的应用 25．（2023秋•定远县期末）近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m． （1）求y与x的函数表达式； （2）已知王老师的近视眼镜镜片度数为200度，求该镜片的焦距． 26．（2023秋•肥西县期末）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求一次函数和反比例函数表达式； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于3mg时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 27．（2023春•蜀山区期末）有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为R1R2，总电阻阻值为R，三者关系为：．若已知R，R2，则R1＝　 　． 考点01：求反比例函数值 1．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）反比例函数图像经过的点是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·重庆綦江·期末）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·北京房山·期末）如图，平面直角坐标系中，若反比例函数的图象过点和点，则a的值为 ． 考点02：反比例函数、二次函数图象综合判断 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若实数满足，且，则与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）已知一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致可能是（    ） A． B． C． D． 6．（21-22九年级上·安徽芜湖·期末）函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 考点03：已知反比例函数的图象，判断其解析式 7．（22-23九年级上·安徽淮南·期末）下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是（    ） A． B． C． D． 8．（21-22九年级上·山东泰安·期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=（c≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（　　） A． B． C． D． 9．（22-23九年级上·江西赣州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，轴于点，点在函数的图象上，若，则的值为 ． 考点04：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 10．（20-21九年级上·安徽安庆·期末）已知直线（，k是常数）与双曲线交于点，两点，则的值为（　　　） A．5 B．0 C． D． 11．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）如图，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线在第一象限交于点C，连接． （1）点A的坐标是 ； （2）的面积是 ． 12．（22-23九年级上·浙江台州·期末）某同学根据学习函数的经验，在平面直角坐标系中画了函数的图象，如图1． (1)下列关于函数图象的表述，正确的有________（填序号）； ①图象与轴没有交点；②的图象可以看作由的图象向右平移1个单位长度得到；③当时，． (2)如图2，已知直线经过且与的图象的一个交点的横坐标等于4，求另一个交点的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出不等式的解集是________． 考点05：已知比例系数求特殊图形的面积 13．（21-22九年级上·山东济南·期末）如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 14．（23-24九年级上·江西宜春·期末）根据图①所示的程序，得到了与的函数图象，如图②．若点是轴正半轴上任意一点，过点作平行轴交图象于点，，连接，，则以下结论：①时，；②的面积为定值；③时，随的增大而增大；④；⑤可以等于．其中正确结论是（　　） A．①②⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤ 15．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，在反比例函数的图象上，有，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，则 ． 考点06：根据图形面积求比例系数（解析式） 16．（19-20九年级上·安徽·期末）已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线与边BC交于点D、与对角线OB交于点中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是（　　） A．10 B．5 C． D． 17．（20-21九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，轴，轴．垂足分别为点D，E．当矩形的面积是的面积2倍时，k的值为 ． 18．（20-21九年级上·江西上饶·期末）如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为2，则k的值为 ． 考点07：求反比例函数解析式 19．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，的边在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点．为反比例函数图像上一动点，过点作轴交于点，交于点， （1）反比例函数的表达式为 ； （2）当点运动到直线上时，连接，记的面积为，的面积为，则的值为 ． 20．（20-21九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围为______； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 21．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)直接写出当时，对应的x的取值范围． 考点08：反比例函数与几何综合 22．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若点坐标为，反比例函数恰好经过点，则的值是（    ） A． B．6 C． D． 23．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为3，则平行四边形的面积为 ． 24．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，在反比例函数上取一点，连接，作等腰． （1）的坐标为 ． （2）若过点作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，…，按此依次作图，则的坐标为 ． 考点09：一次函数与反比例函数图象综合判断 25．（22-23九年级·安徽宿州·期末）反比例函数（，为常数）和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点；轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论： ； 四边形的面积为； 当时，点是的中点； 若，则四边形为正方形． 其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）    26．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 ，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)观察函数图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 27．（21-22九年级上·山东济南·期末）如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点． (1)求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 考点10：一次函数与反比例函数的交点问题 28．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式与点坐标； (2)请直接写出不等式的解集； (3)若点是线段上的一个动点，作 轴交反比例函数的图象于点，则的面积的最大值为______． 29．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点A，B、C分别是x、y轴上的点，且，若四边形的面积为5，则 ．    30．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B．      (1)求a，k的值； (2)直线经过点A，与反比例函数图像交于点，连接，求的面积． 考点11：一次函数与反比例函数的实际应用 31．（22-23九年级上·河北邢台·期末）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式 ； （2）当水温为时， ； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为 ． 32．（22-23八年级下·江苏常州·期末）如图，一次函数的图像与轴交于点，点在上，是反比例函数图像上的一点，四边形是平行四边形．    (1)求、的值； (2)点在上． 判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由； 的面积是______． 33．（22-23八年级下·江苏南京·期末）如图①，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4．    (1)小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为；点B的坐标为． 请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形； (2)求直线，曲线的函数表达式； (3)小宁想利用这块边角料截取一个矩形，其中M，N在上（点M在点N左侧），点P在线段上，点Q在曲线上．若矩形的面积是，则PM=________________． 考点12：一次函数与反比例函数的其他综合应用 34．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．    (1)求反比例函数表达式； (2)过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，请求出点坐标． (3)在反比例函数图象上是否存在点，使，若存在，请求出点横坐标，若不存在，请说明理由． 35．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点，求的面积； (3)点为轴上任意一点，点为平面内任意一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 36．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点D，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，已知点D的坐标为． (1)求直线的解析式及E点的坐标； (2)若y轴上有一动点F，直线上有一动点G．当最小时，求的周长的最小值； (3)如图2，若y轴上有一动点Q，直线上有一动点P，以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，求P点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$