大单元复习05 三角函数- 2024-2025学年高一数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版2019专用）

大单元复习05 三角函数（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 9 【考点1】任意角 9 【考点2】弧度制 10 【考点3】三角函数的概念 12 【考点4】同角三角函数的基本关系 13 【考点5】诱导公式 13 【考点6】正弦函数、余弦函数的图象 14 【考点7】正弦函数、余弦函数的性质 15 【考点8】正切函数的性质与图象 16 【考点9】两角和与差的正弦、余弦和正切公式 18 【考点10】简单的三角恒等变换 18 【考点11】函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象 19 【考点12】三角函数的应用 21 知识梳理 一、角的相关概念 (1)角的分类：①一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.这样，零角的终边和始边重合. ②任意角包括正角、负角和零角，角的范围不再限于0°～360°. (2)角的加法与减法 ①若角α，β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. ②设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. ③相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β). 二、象限角 在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限. 三、终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 四、角度制与弧度制 (1)度量角的两种单位制 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的为1度的角，记作1° 弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad (2)角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝值是|α|＝. (3)一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 五、角度制与弧度制的换算 角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π__rad 2π rad＝360° 180°＝π__rad π rad＝180° 1°＝__rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 3.填空　一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 六、扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝α·R 扇形的面积 S＝ S＝l·R＝α·R2 七、三角函数的定义 (1)任意角的三角函数的定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin__α，即sin α＝y 余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos__α，即cos α＝x 正切 叫做α的正切函数，记作tan__α，即tan α＝(x≠0) 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 八、同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系 ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1. ②商数关系：tan α＝. 语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. (2)同角三角函数基本关系的变形 ①sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. ②sin α＝cos__αtan__α；cos α＝. 九、sin α±cos α，sin αcos α之间的关系 (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2. 十、各象限三角函数值的符号 正弦函数一、二象限正，三、四象限负；余弦函数一、四象限正，二、三象限负；正切函数一、三象限正，二、四象限负. 十一、诱导公式一 sin(α＋2kπ)＝sin__α，cos(α＋2kπ)＝cos__α，tan(α＋2kπ)＝tan__α，其中k∈Z，终边相同的角的同一三角函数的值相等. 十二、诱导公式二 诱导公式二：sin(π＋α)＝－sin__α，cos(π＋α)＝－cos__α，tan(π＋α)＝tan__α. 十三、诱导公式三与公式四 (1)诱导公式三：sin(－α)＝－sin__α，cos(－α)＝cos__α，tan(－α)＝－tan__α. (2)诱导公式四：sin(π－α)＝sin__α，cos(π－α)＝－cos__α，tan(π－α)＝－tan__α. 十四、诱导公式五 公式五：sin＝cosα，cos＝sinα. 十五、诱导公式六 十六、正弦函数的图象 (1)正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线. (2)在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图. 十七、余弦函数的图象 (1)将正弦函数y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到余弦函数y＝cos x，x∈R的图象. (2)余弦函数的图象叫做余弦曲线，是“波浪起伏”的连续光滑曲线. 十八、正弦、余弦函数的周期性 (1)设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. (3)正弦、余弦函数的周期性 正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期，最小正周期为2π. 十九、正弦、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数；余弦函数是偶函数. 二十、正弦、余弦函数的单调性 (1)正弦函数的单调性 在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1. (2)余弦函数的单调性 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1. 二十一、正弦、余弦函数的最值 (1)正弦函数当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时取得最小值－1. (2)余弦函数当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ＋π(k∈Z)时取得最小值－1. 二十二、正切函数的周期性与奇偶性 正切函数y＝tan x，x∈R且x≠kπ＋，k∈Z，是奇函数，也是周期函数，其最小正周期是π. 二十三、正切函数的图象 (1)正切函数的图象叫做正切曲线. (2)正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的. 二十四、y＝tan x的单调性和值域 (1)正切函数在每一个区间，k∈Z内都单调递增. (2)正切函数的值域是实数集R. 二十五、两角差的余弦公式 (1)任意角α，β都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ. (2)任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α－β). 二十六、两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，其中α，β∈R. 二十七、两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式 简记 公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ (2)记忆口诀：“正余余正，符号相同”. 二十八、(1)两角和与差的正切公式 简记符号 公式 使用条件 T(α＋β) tan(α＋β) ＝ α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z) T(α－β) tan(α－β) ＝ α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z) (2)S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)都叫做和角公式；S(α－β)，C(α－β)，T(α－β)都叫做差角公式. (3)公式变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan__αtan__β). tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β). tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan__αtan__β). tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β). 二十九、二倍角的正(余)弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α＝2sin__αcos__α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α T2α tan 2α＝ 三十、二倍角的余弦公式的变形 (1)cos 2α＝2cos2α－1，cos 2α＝1－2sin2α. (2)常用的二倍角公式的变形： ①1＋cos 2α＝2cos2α；②1－cos 2α＝2sin2α； ③cos α＝；④1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. 三十一、半角公式 半角公式 sin＝±，cos＝±，tan＝±(无理形式). 以上称之为半角公式，符号由所在的象限决定.另tan＝＝. 三十二、辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ).其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定. 三十三、探索φ(φ≠0)对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为φ时，对应的函数是y＝sin(x＋φ)(φ≠0)，把正弦曲线上的所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度，就得到函数y＝sin(x＋φ)的图象. 三十四、ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 一般地，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的周期是，把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)，就得到y＝sin(ωx＋φ)的图象. 三十五、A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 (1)一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.从而，函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域为[－A，A]，最大值是A，最小值是－A. (2)通过y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象方法： 先画出函数y＝sin x的图象，再把正弦曲线向左(或右)平移|φ|个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象. 三十六、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称中心 (k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时y是奇函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时y是偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 三十七、简谐运动的物理量 简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0. (1)A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； (2)简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； (3)简谐运动的频率由公式f＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； (4)ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相. 三十八、拟合函数模型 我们可以利用收集到的数据，首先画出相应的散点图，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题. 热考题型 【考点1】任意角 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏淮安·期中）下列各角中，与角终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，则图中表示角的终边所在区域正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·江苏·阶段练习）下列结论中正确的是（    ） A．终边经过点的角的集合是 B．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 C．若是第三象限角，则是第二象限角 D．若，，则 5．（21-22高一下·江西新余·开学考试）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上 三、填空题 6．（23-24高三下·北京西城·开学考试）已知函数，其中常数，若与所对应的角的终边关于轴对称，则的最小值为 . 【考点2】弧度制 一、单选题 1．（23-24高一上·山西吕梁·期末）木雕是我国雕塑的一种，在我们国家常常被称为“民间工艺”.传统木雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形木雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇形木雕的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·海南·模拟预测）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ）    A．3 B．2 C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 二、多选题 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列选项正确的是（    ） A．是第二象限角 B． C．经过4小时，时针转了 D．若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 5．（23-24高一上·山西长治·期末）下列说法中正确的是（    ） A． B．第一象限角都是锐角 C．在半径为2的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为 D．终边在直线上的角的集合是 三、填空题 6．（24-25高三上·上海·阶段练习）周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 ． 【考点3】三角函数的概念 一、单选题 1．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知角的终边与单位圆的交点为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·陕西榆林·阶段练习）角的终边在第一象限，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一上·全国·课后作业）(多选)已知函数 （且）的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）若角的终边在第三象限，则的值可能为（    ） A．0 B．2 C．4 D． 三、填空题 6．（2025高三·全国·专题练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上的一点，且，则 . 【考点4】同角三角函数的基本关系 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（21-22高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，则为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则 . 【考点5】诱导公式 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）若角的终边经过点，则（   ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高三上·宁夏·期中）已知角的终边经过，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2024高三·全国·专题练习）化简： . 【考点6】正弦函数、余弦函数的图象 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）用“五点法”画的图象时，下列哪个点不是关键点（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）函数在区间上的图象大致为（   ） A． B．C． D． 3．（2024·四川内江·一模）函数的部分图象如图所示，若、，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列的取值范围能使成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A．函数的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴 C．点是图象的一个对称中心 D．点是图象的一个对称中心 三、填空题 6．（24-25高三上·江苏·阶段练习）当时，曲线与交点的个数为 ． 【考点7】正弦函数、余弦函数的性质 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）当时，函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）函数，的值域是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）已知函数与的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 二、多选题 4．（24-25高三上·山西·期中）已知函数的最小正周期为，则（   ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C． D．函数图象的对称中心为 5．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为1 C．是偶函数 D．的图象关于直线对称 三、填空题 6．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上的单调递减区间是 ． 【考点8】正切函数的性质与图象 一、单选题 1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）若函数的最小正周期为1，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高三上·吉林·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 5．（24-25高三上·全国·单元测试）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）函数的定义域为 . 【考点9】两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 二、多选题 4．（22-23高一下·山东临沂·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·甘肃·期末）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知角为第二象限角，，角为第四象限角，，则的值为 ． 【考点10】简单的三角恒等变换 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知点是角终边上的一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建泉州·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广东汕尾·期中）已知函数，则下列结论错误的是（    ） A．的最小正周期为 B．关于直线对称 C．的最小值为1 D．任区间上单调递减 三、填空题 6．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习） . 【考点11】函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·浙江·期中）函数的部分图象如图所示，直线与其交于A，B两点，若，则（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 3．（22-23高三下·河南安阳·开学考试）已知函数，若把的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 4．（24-25高三上·云南保山·期中）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则下列结论正确的（    ） A． B．的最大值为，图象关于直线对称 C．在上单调递增，为奇函数 D．的最小正周期为，图象关于点对称 5．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递增 D．该图象向右平移个单位长度可得的图象 三、填空题 6．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数的一个单调减区间为，则 ， . 【考点12】三角函数的应用 一、单选题 1．（23-24高一下·四川成都·期末）筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为（    ）米． A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖北·期末）如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一下·江西上饶·阶段练习）铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·湖南株洲·开学考试）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面50m.最低点距离地平面10m.入口处距离地平面20m.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为12 B． C．时，过山车距离地平面40m D．一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s 三、填空题 6．（21-22高三上·山西阳泉·期末）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的.会标图案如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中较小锐角为，当小正方形的面积是大正方形面积的一半时， . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大单元复习05 三角函数（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 9 【考点1】任意角 9 【考点2】弧度制 13 【考点3】三角函数的概念 16 【考点4】同角三角函数的基本关系 19 【考点5】诱导公式 21 【考点6】正弦函数、余弦函数的图象 24 【考点7】正弦函数、余弦函数的性质 28 【考点8】正切函数的性质与图象 31 【考点9】两角和与差的正弦、余弦和正切公式 34 【考点10】简单的三角恒等变换 37 【考点11】函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象 40 【考点12】三角函数的应用 44 知识梳理 一、角的相关概念 (1)角的分类：①一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.这样，零角的终边和始边重合. ②任意角包括正角、负角和零角，角的范围不再限于0°～360°. (2)角的加法与减法 ①若角α，β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. ②设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. ③相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β). 二、象限角 在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限. 三、终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 四、角度制与弧度制 (1)度量角的两种单位制 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的为1度的角，记作1° 弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad (2)角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝值是|α|＝. (3)一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 五、角度制与弧度制的换算 角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π__rad 2π rad＝360° 180°＝π__rad π rad＝180° 1°＝__rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 3.填空　一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 六、扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝α·R 扇形的面积 S＝ S＝l·R＝α·R2 七、三角函数的定义 (1)任意角的三角函数的定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin__α，即sin α＝y 余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos__α，即cos α＝x 正切 叫做α的正切函数，记作tan__α，即tan α＝(x≠0) 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 八、同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系 ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1. ②商数关系：tan α＝. 语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. (2)同角三角函数基本关系的变形 ①sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. ②sin α＝cos__αtan__α；cos α＝. 九、sin α±cos α，sin αcos α之间的关系 (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2. 十、各象限三角函数值的符号 正弦函数一、二象限正，三、四象限负；余弦函数一、四象限正，二、三象限负；正切函数一、三象限正，二、四象限负. 十一、诱导公式一 sin(α＋2kπ)＝sin__α，cos(α＋2kπ)＝cos__α，tan(α＋2kπ)＝tan__α，其中k∈Z，终边相同的角的同一三角函数的值相等. 十二、诱导公式二 诱导公式二：sin(π＋α)＝－sin__α，cos(π＋α)＝－cos__α，tan(π＋α)＝tan__α. 十三、诱导公式三与公式四 (1)诱导公式三：sin(－α)＝－sin__α，cos(－α)＝cos__α，tan(－α)＝－tan__α. (2)诱导公式四：sin(π－α)＝sin__α，cos(π－α)＝－cos__α，tan(π－α)＝－tan__α. 十四、诱导公式五 公式五：sin＝cosα，cos＝sinα. 十五、诱导公式六 十六、正弦函数的图象 (1)正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线. (2)在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图. 十七、余弦函数的图象 (1)将正弦函数y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到余弦函数y＝cos x，x∈R的图象. (2)余弦函数的图象叫做余弦曲线，是“波浪起伏”的连续光滑曲线. 十八、正弦、余弦函数的周期性 (1)设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. (3)正弦、余弦函数的周期性 正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期，最小正周期为2π. 十九、正弦、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数；余弦函数是偶函数. 二十、正弦、余弦函数的单调性 (1)正弦函数的单调性 在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1. (2)余弦函数的单调性 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1. 二十一、正弦、余弦函数的最值 (1)正弦函数当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时取得最小值－1. (2)余弦函数当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ＋π(k∈Z)时取得最小值－1. 二十二、正切函数的周期性与奇偶性 正切函数y＝tan x，x∈R且x≠kπ＋，k∈Z，是奇函数，也是周期函数，其最小正周期是π. 二十三、正切函数的图象 (1)正切函数的图象叫做正切曲线. (2)正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的. 二十四、y＝tan x的单调性和值域 (1)正切函数在每一个区间，k∈Z内都单调递增. (2)正切函数的值域是实数集R. 二十五、两角差的余弦公式 (1)任意角α，β都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ. (2)任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α－β). 二十六、两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，其中α，β∈R. 二十七、两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式 简记 公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ (2)记忆口诀：“正余余正，符号相同”. 二十八、(1)两角和与差的正切公式 简记符号 公式 使用条件 T(α＋β) tan(α＋β) ＝ α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z) T(α－β) tan(α－β) ＝ α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z) (2)S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)都叫做和角公式；S(α－β)，C(α－β)，T(α－β)都叫做差角公式. (3)公式变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan__αtan__β). tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β). tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan__αtan__β). tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β). 二十九、二倍角的正(余)弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α＝2sin__αcos__α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α T2α tan 2α＝ 三十、二倍角的余弦公式的变形 (1)cos 2α＝2cos2α－1，cos 2α＝1－2sin2α. (2)常用的二倍角公式的变形： ①1＋cos 2α＝2cos2α；②1－cos 2α＝2sin2α； ③cos α＝；④1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. 三十一、半角公式 半角公式 sin＝±，cos＝±，tan＝±(无理形式). 以上称之为半角公式，符号由所在的象限决定.另tan＝＝. 三十二、辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ).其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定. 三十三、探索φ(φ≠0)对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为φ时，对应的函数是y＝sin(x＋φ)(φ≠0)，把正弦曲线上的所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度，就得到函数y＝sin(x＋φ)的图象. 三十四、ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 一般地，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的周期是，把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)，就得到y＝sin(ωx＋φ)的图象. 三十五、A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 (1)一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.从而，函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域为[－A，A]，最大值是A，最小值是－A. (2)通过y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象方法： 先画出函数y＝sin x的图象，再把正弦曲线向左(或右)平移|φ|个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象. 三十六、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称中心 (k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时y是奇函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时y是偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 三十七、简谐运动的物理量 简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0. (1)A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； (2)简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； (3)简谐运动的频率由公式f＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； (4)ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相. 三十八、拟合函数模型 我们可以利用收集到的数据，首先画出相应的散点图，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题. 热考题型 【考点1】任意角 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏淮安·期中）下列各角中，与角终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，则图中表示角的终边所在区域正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·江苏·阶段练习）下列结论中正确的是（    ） A．终边经过点的角的集合是 B．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 C．若是第三象限角，则是第二象限角 D．若，，则 5．（21-22高一下·江西新余·开学考试）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上 三、填空题 6．（23-24高三下·北京西城·开学考试）已知函数，其中常数，若与所对应的角的终边关于轴对称，则的最小值为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B B C ABD BD 1．B 【分析】先写出与终边相同的角的表示方法，对A，将代入求出，判断是否属于整数即可；对B，将代入求出，判断是否属于整数即可；对C，将代入求出，判断是否属于整数即可；对D，将代入求出，判断是否属于整数即可. 【详解】与终边相同的角可表示为：， 对A，，解得：，故A错； 对B，，解得：，故B对； 对C，，解得：，故C错； 对D，，解得：，故D错. 故选：B 2．B 【分析】求出临界位置的终边，结合选项即可得结果. 【详解】当，时，角的终边落在第一象限的角平分线上， 当，时，角的终边落在y轴的非负半轴上， 按照逆时针旋转的方向确定范围可得角的终边所在区域如选项B所示． 故选：B． 3．C 【分析】根据钝角的范围，即可得出选项C正确，再由第二象限角的范围，即可判断出选项ABD的正误，从而得出结果. 【详解】因为钝角大于，且小于的角，一定是第二象限角，所以，故选项C正确， 又第二象限角的范围为， 不妨取，此时是第二象限角，但，所以选项ABD均错误， 故选：C. 4．ABD 【分析】求出角的集合表示判断A；求出旋转角的弧度数判断B；举例说明判断C；分析两个集合判断D. 【详解】对于A，当时，角终边为射线，该角的集合为， 当时，角终边为射线，该角的集合为， 所以所求角的集合为，A正确； 对于B，将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是，B正确； 对于C，取，满足是第三象限角，而是第四象限角，C错误； 对于D，，， 是整数，是整数，而是奇数，因此，D正确. 故选：ABD 5．BD 【分析】由已知可得，然后逐个分析判断即可 【详解】因为是第二象限角，所以可得． 对于A，，则是第三象限角，所以A错误; 对于B，可得，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．所以B正确; 对于C，，即，所以是第一象限角，所以C错误; 对于D，，所以的终边位于第三象限或第四象限或y轴负半轴上，所以D正确． 故选：BD． 6．/ 【分析】由题意，根据所对应的角的终边关于x轴对称可得解之即可求解. 【详解】由题意知，， 因为所对应的角的终边关于x轴对称， 所以，解得，， 又，所以的最小值为. 故答案为： 【考点2】弧度制 一、单选题 1．（23-24高一上·山西吕梁·期末）木雕是我国雕塑的一种，在我们国家常常被称为“民间工艺”.传统木雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形木雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇形木雕的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·海南·模拟预测）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ）    A．3 B．2 C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 二、多选题 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列选项正确的是（    ） A．是第二象限角 B． C．经过4小时，时针转了 D．若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 5．（23-24高一上·山西长治·期末）下列说法中正确的是（    ） A． B．第一象限角都是锐角 C．在半径为2的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为 D．终边在直线上的角的集合是 三、填空题 6．（24-25高三上·上海·阶段练习）周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B A D BCD AC 1．B 【分析】先将圆心角化为弧度角，再利用扇形面积公式直接求解即可. 【详解】扇形OAB的圆心角为，又因为，， 所以该扇环形木雕的面积为. 故选：B 2．A 【分析】设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，根据，得到，. 【详解】如图，设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，则， 所以，得，又，所以.    故选：A 3．D 【分析】写出两条边界所表示的角，数形结合得到角的取值范围. 【详解】阴影部分的两条边界分别是，角的终边， 所以的取值范围是. 故选：D 4．BCD 【分析】根据象限角的定义，以及角度与弧度的转化关系，扇形面积公式，即可判断选项. 【详解】选项A，在第三象限，故A错误； 选项B，，故B正确； 选项C，时针按顺时针方向转，所以转过的角是负角，每经过1小时转，所以经过4小时，时针转了，故C正确； 选项D，若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的半径，该扇形的面积，故D正确． 故选：BCD 5．AC 【分析】根据弧度制、象限角、终边相同的角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，A正确； 角也是第一象限角，不是锐角，B错误； 在半径为的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为，C正确； 终边在上的角的集合是，D错误． 故选：AC 6． 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，再由扇形的面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 依题意可得，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 即扇形圆心角为时扇形的面积取得最大值. 故答案为：. 【考点3】三角函数的概念 一、单选题 1．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知角的终边与单位圆的交点为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·陕西榆林·阶段练习）角的终边在第一象限，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一上·全国·课后作业）(多选)已知函数 （且）的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）若角的终边在第三象限，则的值可能为（    ） A．0 B．2 C．4 D． 三、填空题 6．（2025高三·全国·专题练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上的一点，且，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B A A BD BC 1．B 【分析】根据任意角的三角函数的定义结合题意直接求解即可 【详解】因为角的终边与单位圆的交点为， 所以， 故选：B 2．A 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义列式计算即得. 【详解】依题意，，（为坐标原点）， 则，所以. 故选：A 3．A 【分析】先由题意求出为第一象限角或第三象限角，再分类进行讨论和的正负即可得解. 【详解】因为角的终边在第一象限，所以， 所以，所以为第一象限角或第三象限角， 当为第一象限角时，，故； 当为第三象限角时，，故. 所以的取值集合为. 故选：A. 4．BD 【分析】先根据对数函数的图象求出定点的坐标，再根据三角函数的定义求出和的值即可求解. 【详解】因为函数的图象经过定点， 所以或， 当点在角的终边上时，，， 此时，B正确； 当点在角的终边上时，，， 此时，D正确； 故选：BD 5．BC 【分析】由角在第三象限，确定所在象限并确定函数值的符号即可得解. 【详解】由角的终边在第三象限，得，则， 因此是第二象限角或第四象限角， 当是第二象限角时，， 当是第四象限角时，. 故选：BC 6． 【分析】根据三角函数的定义得到方程，解得即可. 【详解】因为是角终边上一点，所以， 由三角函数的定义，得，解得. 故答案为：. 【考点4】同角三角函数的基本关系 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（21-22高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，则为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A D D ABD BD 1．A 【分析】由即可求解. 【详解】因为，且， 所以. 故选：A 2．D 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由，， 得， 所以. 故选：D. 3．D 【分析】利用平方关系及齐次式法求值即可. 【详解】由. 故选：D 4．ABD 【分析】根据同角三角函数的关系求解判断各选项即可. 【详解】由题意知，∴， ∴． 又∵，∴，∴， ∴， ∴，，∴，故ABD正确，C错误． 故选：ABD. 5．BD 【分析】由韦达定理有，由，求出的值判断选项A；由，计算判断选项B；由的值，计算判断选项C；由计算结果判断选项D. 【详解】是方程的两根，则有， 由， 得，解得，A选项错误； ，有，由，有， ， 由，所以，B选项正确； 由得，，C选项错误； ，D选项正确. 故选：BD. 6． 【分析】由已知可求得，进而可求得的值，确定的正负可求值. 【详解】由，得， . 因为，所以， 故. 故答案为：. 【考点5】诱导公式 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）若角的终边经过点，则（   ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高三上·宁夏·期中）已知角的终边经过，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2024高三·全国·专题练习）化简： . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D C A BC ABC 1．D 【分析】先用诱导公式将条件化简得的值，再将所求式用诱导公式化简并转化成关于的二次齐次分式，进而化为关于的表示式，整体代入即可求值. 【详解】因为，所以，所以， 则. 故选：D. 2．C 【分析】利用诱导公式化简，再由三角函数的定义求出，即可得解. 【详解】由诱导公式可得， ， 又角的终边经过点，所以， 所以. 故选：C. 3．A 【分析】利用诱导公式化简，再结合正余弦有齐次式法计算即得. 【详解】由，得， 所以. 故选：A 4．BC 【分析】根据三角函数的定义即可求解，，，结合诱导公式即可求解. 【详解】由于角的终边经过，故，，， ，，故AD错误，BC正确， 故选：BC 5．ABC 【分析】利用诱导公式判断A，再利用同角基本关系得出判断BC，再次利用诱导公式判断D，从而得解. 【详解】因为，所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，D错误. 故选：ABC. 6．/ 【分析】由三角函数诱导公式化简可得. 【详解】 . 故答案为：. 【考点6】正弦函数、余弦函数的图象 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）用“五点法”画的图象时，下列哪个点不是关键点（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）函数在区间上的图象大致为（   ） A． B．C． D． 3．（2024·四川内江·一模）函数的部分图象如图所示，若、，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列的取值范围能使成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A．函数的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴 C．点是图象的一个对称中心 D．点是图象的一个对称中心 三、填空题 6．（24-25高三上·江苏·阶段练习）当时，曲线与交点的个数为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A A C AC AC 1．A 【分析】根据五点作图法得到五个关键点，得到答案. 【详解】五点作图法在内的五个关键点为 ，可知不是关键点． 故选：A 2．A 【分析】根据奇偶性排除BD，根据函数值与0的大小可以排除C. 【详解】令，， 则，所以为奇函数，排除BD； 又当时，，，所以，排除C． 故选：A. 3．C 【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可求出的值，代值计算可得出的值. 【详解】由图可知，函数的最小正周期为，则， 所以，， 因为，且函数在附近单调递减， 所以，，解得， 又因为，所以，，则， 因为，可得， 所以，， 因为、，则，， 因为，则，所以，， 故. 故选：C. 4．AC 【分析】由题意作图，结合图象，可得答案. 【详解】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数在上的图象，如图： 在内，当时，或， 结合图象可知满足的的取值范围是和. 故选：AC． 5．AC 【分析】对于A，由图可得，从而可求出周期，对于B，由周期求出，将代入解析式中可求出，从而可求出，然后将代入验证即可，对于C，将代入验证，对于D，将代入验证即可. 【详解】设的最小正周期为，由题中图象可知，解得，故A正确． 因为，所以，解得．由题图可知，故． 将点的坐标代入解析式化简得， 因为，所以，解得，故． 当时，，则点是函数图象的对称中心， 则直线不是图象的对称轴，故B错误． 当时，，则点是函数图象的对称中心，故C正确． 当时，，则点不是函数图象的对称中心，故D错误． 故选：AC． 6． 【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可. 【详解】与在上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为个. 故答案为：. 【考点7】正弦函数、余弦函数的性质 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）当时，函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）函数，的值域是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）已知函数与的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 二、多选题 4．（24-25高三上·山西·期中）已知函数的最小正周期为，则（   ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C． D．函数图象的对称中心为 5．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为1 C．是偶函数 D．的图象关于直线对称 三、填空题 6．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上的单调递减区间是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D D C BC BC 1．D 【分析】函数零点可转化为方程解的情况，作出函数图象，数形结合可得参数范围. 【详解】由，得， 函数有两个零点， 即函数的图象与直线有两个交点， 作出，的图象，如图所示， 由图象可知，，解得， 故选：D． 2．D 【分析】利用正弦函数的基本性质可求得原函数的值域. 【详解】因为，则，故. 故选：D. 3．C 【分析】由已知可得，结合三角函数的诱导公式可求． 【详解】由题意得，， 所以， 由三角函数的诱导公式可得，， 所以， 故当时，的最小值为 故选：C． 4．BC 【分析】根据函数周期求解判断A，代入求值判断B，根据余弦型函数的单调性判断C，根据对称中心结论求解判断D. 【详解】A选项，的最小正周期为，则，错误； B选项，由A可知，函数解析式为，当时， ，故是函数的一条对称轴，正确； C选项，，， 因为在时，函数单调递减，则，正确； D选项，令 则，则函数的对称中心为.错误. 故选：BC 5．BC 【分析】根据函数的图像逐项判断即可. 【详解】函数， 所以的图像关于轴对称，且不具备周期性，不关于直线对称， 故选项AD错误，C正确， 且的最大值为1，故B正确. 故选：BC 6．， 【分析】由，可得，然后由在上的单调递减区间可得答案. 【详解】当时，.注意到在上递减， 又，， 则在上的单调递减区间是：，. 故答案为：， 【考点8】正切函数的性质与图象 一、单选题 1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）若函数的最小正周期为1，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高三上·吉林·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 5．（24-25高三上·全国·单元测试）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）函数的定义域为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A D B ACD D 1．A 【分析】复合函数定义域问题，分解函数，分别求定义域再求交集. 【详解】令， 函数的定义域为：， 函数的定义域：，则，即， 所以的定义域为 故选：A 2．D 【分析】根据正切函数的图象与性质，得到，且，即可求解. 【详解】由函数在上单调递增， 根据正切函数的性质，可得， 当时，可得，则，解得． 故选：D. 3．B 【分析】由题意可得，结合正切函数的对称性计算即可得函数图象的对称中心. 【详解】，故， 当时，， 令，解得， 当时，， 令，解得， 故函数图象的对称中心为. 故选：B. 4．ACD 【分析】根据图象求周期，然后可判断A；根据正切函数定义域可判断B；代入验证可判断C；判断关于点对称，然后由图象的对称变换可判断D. 【详解】对A，由图可知，的最小正周期，则，A正确； 对B，由图象可知时，函数无意义，故， 由，得，即，B错误； 对C，，C正确； 对D，由，则的图象关于点对称， 由图象对称变换可得函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：ACD 5．D 【分析】根据单调性和对称轴可得周期，进而可得或，利用，即可代入求解或，即可得函数表达式，即可代入求解. 【详解】因为函数在区间单调递增，且直线和直线为函数的图象的两条对称轴， 所以所以，即， 则或． 而，即或， 所以或， 即或， 所以或， 所以或， 故选:D． 6．. 【分析】根据题意，利用正切函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数，则满足，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【考点9】两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 二、多选题 4．（22-23高一下·山东临沂·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·甘肃·期末）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知角为第二象限角，，角为第四象限角，，则的值为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D B B AB ACD 1．D 【分析】由诱导公式及二倍角公式即可求解. 【详解】， 所以， 所以， 故选：D. 2．B 【分析】先由，利用诱导公式得到，进而得到，再利用二倍角的正弦公式求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 故选：B 3．B 【分析】由三角恒等变换可得，进一步由同角三角函数关系以及商数关系、二倍角公式化简求值即可. 【详解】由，解得， 故 . 故选：B. 4．AB 【分析】根据两角和差公式判断AC；根据倍角公式判断BD. 【详解】因为，， 对于选项A：因为， 解得，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：因为，故D错误； 故选：AB. 5．ACD 【分析】对于A，利用诱导公式计算判断，对于B，利用正弦的二倍角公式计算判断，对于C，利用两角和的余弦公式计算判断，对于D，利用正切的二倍角公式计算判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 6． 【分析】结合角、所在象限与同角三角函数基本关系可得，，再利用两角和的正切公式计算即可得. 【详解】由角为第二象限角，则， 由角为第四象限角，则， 故，， 则. 故答案为：. 【考点10】简单的三角恒等变换 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知点是角终边上的一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建泉州·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广东汕尾·期中）已知函数，则下列结论错误的是（    ） A．的最小正周期为 B．关于直线对称 C．的最小值为1 D．任区间上单调递减 三、填空题 6．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习） . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B B C BD AD 1．B 【分析】利用三角恒等变换得到，两边平方求出. 【详解】， 即，， 两边平方得，即， 解得. 故选：B 2．B 【分析】由三角函数的定义结合二倍角的余弦公式即可求解答案. 【详解】因为是终边上一点，所以， ， 故选：B. 3．C 【分析】根据同角三角函数的基本关系以及辅助角公式求解即可. 【详解】解法一：（特殊法）由题知满足条件，所以. 解法二：由题得，所以， 所以，所以, . 解法三：由题得， 所以，即， 所以，即. 解法四：由题得，所以， 所以，即， 所以，所以. 解法五：观察，知同正，为第一象限角， 其正切值为正，排除A，B. 若，可取，则， 不符合已知条件，排除D， 故选:C. 4．BD 【分析】借助三角函数定义可得其正弦、余弦及正切值，再借助弦化切、二倍角公式与两角和的正切公式逐项计算即可得解. 【详解】由的终边过点，则， ，； 对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：BD. 5．AD 【分析】先化简，然后利用余弦函数的性质即可逐一解答 【详解】 对于A，的最小正周期为，故A错误； 对于B，，是的最小值，故B正确； 对于C，由B选项可知，的最小值为1，故C正确； 对于D，当时，，此时为增函数，故D错误， 故选：AD 6．/0.125 【分析】根据二倍角的正、余弦公式和辅助角公式化简计算即可求解. 【详解】原式. 故答案为： 【考点11】函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·浙江·期中）函数的部分图象如图所示，直线与其交于A，B两点，若，则（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 3．（22-23高三下·河南安阳·开学考试）已知函数，若把的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 4．（24-25高三上·云南保山·期中）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则下列结论正确的（    ） A． B．的最大值为，图象关于直线对称 C．在上单调递增，为奇函数 D．的最小正周期为，图象关于点对称 5．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递增 D．该图象向右平移个单位长度可得的图象 三、填空题 6．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数的一个单调减区间为，则 ， . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A C C ABD ABD 1．A 【分析】先由平移变换得到，根据对称性得到方程，求出，结合，求出答案. 【详解】由辅助角公式得， 的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度， 得到函数， 若图象关于对称， 故， 所以，由于，所以． 故选：A 2．C 【分析】首先解方程，结合图象，求得方程的实数根，即可求解的值. 【详解】令，则，，， 则，且，所以. 故选：C 3．C 【分析】由题意利用三角函数的图象变换，三角函数图象的对称性，即可求解. 【详解】平移后函数解析式为， 由题意得，解得， 当时，． 故选：. 4．ABD 【分析】根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据余弦函数的性质一一判断. 【详解】将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 则，故A正确； 函数的最大值为，当时，，为最大值， 则函数图象关于直线对称，故B正确； 函数为偶函数，故C错误； 函数的最小正周期， 即图象关于点对称，故D正确. 故选：ABD. 5．ABD 【分析】先根据图像求出解析式，A、B选项直接代入判断，C选项求出整体的范围后判断单调性，D选项按照平移变换进行判断. 【详解】由图可知，， 所以，代入，得， 又，∴，故. 对于A：∵，∴函数的图象关于对称，故A正确； 对于B：当时，，故B正确； 对于C：，，不单调，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：ABD. 6． 2 / 【分析】根据三角函数的单调性和周期性等图象性质易得结果. 【详解】由题意，周期，所以， 此时， 当时，可得， 则，解得， 又，所以. 故答案为：2；. 【考点12】三角函数的应用 一、单选题 1．（23-24高一下·四川成都·期末）筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为（    ）米． A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖北·期末）如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一下·江西上饶·阶段练习）铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·湖南株洲·开学考试）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面50m.最低点距离地平面10m.入口处距离地平面20m.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为12 B． C．时，过山车距离地平面40m D．一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s 三、填空题 6．（21-22高三上·山西阳泉·期末）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的.会标图案如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中较小锐角为，当小正方形的面积是大正方形面积的一半时， . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B D B ABC ACD 1．B 【分析】根据求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得. 【详解】依题意可得，即，又，所以， 所以， 则当时， 即当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为米. 故选：B 2．D 【分析】利用三角形相似，即可求解. 【详解】由图象可知，， 则，即， 所以. 故选：D 3．B 【分析】设为内切圆的圆心，为内切圆的半径，根据正多边形的性质，可得，再根据锐角三角函数计算可得； 【详解】解：如图， 设为内切圆的圆心，为内切圆的半径．正十边形的每个外角为，内角为，所以，所以，， ，得，解得． 故选：B． 4．ABC 【分析】先根据的最大值和最小值求出，再根据每分钟转4圈求出周期，从而可求得. 【详解】由图可知的最大值为15，最小值为， 所以，解得，所以AB正确，D错误， 因为每分钟转4圈，所以转一圈需要15秒，即周期为15， 所以，得，所以C正确. 故选：ABC 5．ACD 【分析】根据题意抽象出函数的最值，列式求，根据周期求，最后根据求，再根据函数的解析式判断CD. 【详解】由题意可知，周期满足，得， 所以，得，又，解得，. 所以，又，即，得，因为，所以，所以. 对于A，，A正确；对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由，得，即，，，解得，， 所以一个周期内过山车距离底面低于20m的时间是，D正确. 故选：ACD. 6． 【解析】设直角三角形直角边为，，令小正方形的面积为1，列方程组计算，，再根据锐角三角函数计算可得；． 【详解】解：设直角三角形中较长的直角边为，较短的直角边为，令小正方形的面积为1，则大正方形的面积为2， 则，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$