特训10 期末解答压轴题（十九大题型，最新浙江期末精选）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训10 期末解答压轴题（十九大题型，最新浙江期末精选） 目录： 题型1：传统解答证明题 题型2：作垂线、作平行线 题型3：截长补短型 题型4：倍长中线型、类倍长中线型 题型5：构造特殊三角形 题型6：几何中列函数关系式 题型7：最值问题 题型8：新定义题 题型9：情景探究题 题型10：数学活动题 题型11：一次函数—存在性问题 题型12：一次函数—最值问题 题型13：一次函数—取值范围问题 题型14：一次函数—动点问题 题型15：一次函数—旋转问题 题型16：一次函数—翻折问题 题型17：一次函数—情景探究题 题型18：一次函数—证明数量关系 题型19：一次函数—根据数量关系或位置关系求长度 题型1：传统解答证明题 1．（23-24八年级上·浙江·期末）在中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过点A作AD⊥BP于点D，交直线BC于点Q． (1)如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ； (2)如图2，当P在线段CA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？ （填“成立”或“不成立”） (3)在（2）的条件下，当∠DBA= 时，存在AQ=2BD，说明理由． 题型2：作垂线、作平行线 2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，在边上取点D，连接，在边延长线上取点E，使得． (1)若，则 ； (2)如图2，当，时，求四边形的面积（用含a的代数式表示）； (3)设， ① （用含α，β的代数式表示）； ②求证：． 题型3：截长补短型 3．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，等边，点E是边 (或延长线)上一点，点D是边（或延长线)上的点，连接，以为边向下作等边，连接． (1)如图1，若点D与点C重合，证明：； (2)如图1，移动点E，使点E为中点，则与的数量关系为 ； (3)如图2，移动点D，使点D为中点，求证：； (4)如图3，移动点D，E，使D，E分别在的延长线上，若，，直接写出的长(用m的代数式表示)． 题型4：倍长中线型、类倍长中线型 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 题型5：构造特殊三角形 5．（22-23八年级上·浙江台州·期末）在四边形中，，，，E为中点，连接，交于点F． (1)当时，______，_____； (2)当的大小改变时，的度数是否发生改变？若变化，求的变化范围，若不变，求的度数； (3)猜想之间的数量关系，并说明理由； (4)若，则_______． 题型6：几何中列函数关系式 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F． (1)如图，当BP=BA时，∠EBF=______°，猜想∠QFC =______°； (2)如图，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明． (3)已知线段AB＝，设BP＝x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式． 题型7：最值问题 7．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）如图1，为等腰直角三角形，，动点从出发沿线段向终点运动，连结，以为直角边向右作等腰直角，斜边与交于点，连结． (1)求证：； (2)如图2，过分别作于点于点．请探究：三条线段之间的数量关系； (3)在(2)的条件下，若，当等于多少时，的面积最大？并求出最大值． 题型8：新定义题 8．（20-21八年级上·浙江·期中）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． （1）概念理解：如图1，在和中，，说明和是共边直角三角形． （2）问题探究：如图2，和是共边直角三角形，E、F分别是、的中点，连结，求证． （3）拓展延伸：如图3，和是共边直角三角形，且，连结，求证：平分． 题型9：情景探究题 9．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）【基础练习】 （1）如图1，在等腰中，平分交于点D，于点E，求的长． 【类比探究】 （2）如图2，是的角平分线，，点E在上，．求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，点P是等边外一点，连结，恰好满足，平分交于点D，线段之间有什么关系？请作出猜测并进行证明． 题型10：数学活动题 10．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）小王同学在学习完第二章《特殊三角形》后，剪了两张等腰直角三角形纸片，并将锐角顶点叠合放置成如图1所示图形，其中，连结后取中点，再连接和．探究与的位置及数量关系． 【初步探究】 （1）小王变化等腰的位置，使得点E落在上，如图2所示，请猜想与的位置及数量关系分别是______，______． 【深入探究】（2）小王同学思考：“在一般位置时，（1）中猜测的结论是否仍成立，能否给出证明？”他带着问题与同学展开合作交流，最后得到这样的证明方案：如图3所示，过点作的平行线交的延长线于点，连结，请根据以上思路完成猜想的证明． 【体验应用】（3）小王继续等腰变化的位置，如图4所示，点E在所在直线的上方，且．若，请利用猜想的结论求出的面积． 题型11：一次函数—存在性问题 11．（22-23八年级上·浙江金华·期末）如图，已知，，C为y轴上的一个动点，连接，把线段分别绕着点O逆时针方向旋转得到，连接．    (1)求证：． (2)当时，求的面积． (3)在点C的运动过程中，是否存在为直角三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 12．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，直线与和与x轴分别交于A、B两点，两直线交于点，G是与y轴的交点，点D为的中点，点E是线段上一个动点（不与点A和C重合），连接，并过点D作交于点F． (1)判断的形状，并说明理由． (2)当点E的横坐标为时，在x轴上找到一点P使得的周长最小，请求出点P的坐标． (3)当是等腰三角形时，求E点的坐标． 题型12：一次函数—最值问题 13．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与y轴交于点B，直线交x轴正半轴于点C， ，点P是直线上的动点． (1)求直线的解析式． (2)若，求点P的坐标． (3)已知点Q在线段上，连结． ①若与全等，求线段的长； ②在P、Q的运动过程中，的最小值为 （直接写出答案）． 题型13：一次函数—取值范围问题 14．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称点P为的和谐点．    (1)在中，的和谐点是_______； (2)若点P为的和谐点，且，求点P的坐标； (3)直线l为过点且与x轴平行的直线，若直线l上存在的二个和谐点，请直接写出m的取值范围． 15．（23-24八年级上·浙江·期末）等腰，，，点A是y轴的正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上； (1)如图1，若，，求C点坐标； (2)如图2，如图，以为直角边在y轴的左边作等腰，，连接，试问A点在运动过程中与面积的比值是否会发生变化？如果没有变化，请求出．若变化，请说明理由． (3)如图3，点，E在x轴负半轴上的动点，且．以为边在第二象限作等腰，连接交轴于P点，问：在运动过程中的面积大小是否变化？若不变，请求出面积；若变化，请求出其取值范围． 题型14：一次函数—动点问题 16．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且． (1)的坐标为_________，线段的长为_________． (2)求直线的解析式和点的坐标． (3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连结． ①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②连结，当面积最大时，求的长度和的面积． 17．（23-24八年级上·浙江·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过点作交于D，交轴于点E．且． (1)求B点坐标为 ；线段的长为 ； (2)确定直线解析式，求出点D坐标； (3)如图2，点M是线段上一动点（不与点C、E重合），交于点N，连接． ①点M移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②当面积最小时，求点M的坐标和面积． 题型15：一次函数—旋转问题 18．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，把线段AB绕点B顺时针旋转后得到线段BC，连结AC，OC． (1)当时，求点的坐标； (2)当m值发生变化时，△BOC的面积是否保持不变？若不变，计算其大小；若变化，请说明理由； (3)当S△AOB=2S△BOC时，在轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，求满足条件的所有P点的坐标． 题型16：一次函数—翻折问题 19．（23-24八年级上·浙江·期末）已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点；    (1)求点E的坐标和k的值； (2)如图2，点M是y轴上一动点，连接，将沿翻折，当A点对应点刚好落在x轴上时，求所在直线解析式； (3)在直线上是否存在点，使得∠ECP=45°，若存在，请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 题型17：一次函数—情景探究题 20．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，将等腰按如图放置，直角顶点在原点，若顶点落在点处．则的长为______；点的坐标为______（直接写结果）； （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰按如图放置，直角顶点在处，点，点为轴上一点．当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标； （3）拓展研究：如图3，在（2）的条件下，已知点，若点为射线上一动点，连结，在坐标轴上是否存在点，使是以为底边的等腰直角三角形．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．    题型18：一次函数—证明数量关系 21．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴正半轴的夹角为，点B为l上任意一点，点在x轴正半轴上．以为边作等边三角形，交于点D．    (1)若，时，则__________． (2)当，时，求： ①的长度； ②点C的坐标． (3)如图2，延长交y轴于点E，连结．求证：． 题型19：一次函数—根据数量关系或位置关系求长度 22．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，，且点C在第一象限内． (1)如图1，若，求点C的坐标． (2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的2倍时，求的长． 23．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图1，直线分别与轴，轴交于点两点，为线段上的动点，点关于直线成轴对称，连结． (1)求直线的解析式． (2)如图2，连结并延长交于点，若，求点的坐标． (3)如图3，点是的中点，连结，当与中的一条边平行时，直接写出的长． 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∴AP=AB， ∵AD⊥BP， ∴BP=2BD， ∵PBC≌QAC， ∴AQ=PB， ∴AQ=2BD． 故答案为：22.5°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握利用ASA证明全等是解题的关键． 题型2：作垂线、作平行线 2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，在边上取点D，连接，在边延长线上取点E，使得． (1)若，则 ； (2)如图2，当，时，求四边形的面积（用含a的代数式表示）； (3)设， ① （用含α，β的代数式表示）； ②求证：． 【答案】(1)3 (2) (3)①；②见解析 【分析】（1）设，则，，根据，列式计算即可求解； （2）作于点，利用面积相等求得，根据已知求得，再根据利用三角形面积公式即可求解； （3）①利用等边对等角以及三角形内角和定理即可求解； ②作交的延长线于点，求得，证明，推出，求得，据此求解即可证明． 【解析】（1）解：设，则， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）解：作于点， ∵，， ∴， ∴， 又，且， ∴， ∵，且， ∴，即， ∵ ； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②作交的延长线于点，连接， ∵， ∴和都是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和都是等腰三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 题型3：截长补短型 3．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，等边，点E是边 (或延长线)上一点，点D是边（或延长线)上的点，连接，以为边向下作等边，连接． (1)如图1，若点D与点C重合，证明：； (2)如图1，移动点E，使点E为中点，则与的数量关系为 ； (3)如图2，移动点D，使点D为中点，求证：； (4)如图3，移动点D，E，使D，E分别在的延长线上，若，，直接写出的长(用m的代数式表示)． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用证明即可； （2）根据三线合一，全等三角形的性质，推出是含30度角的直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果； （3）过点作，连接，先证明为等边三角形，进而证明，得到，再证明，即可得证； （4）过点作，连接，得到为等边三角形，证明，得到，，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 【解析】（1）证明：∵，均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴； （2）∵为的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （3）过点作，连接，则：， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）过点作，连接，则：， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理．解题的关键是掌握等边三角形的性质，添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形． 题型4：倍长中线型、类倍长中线型 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 【答案】[方法储备]，；[思考探究] ；[拓展延伸]①见解析；② 【分析】[方法储备] 由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， [思考探究] 延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， [拓展延伸] ①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证， ②延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，作，， ，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中线法”． 【解析】[方法储备]解： 在和中，， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， [思考探究]解： 延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：， [拓展延伸]解： ①延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， 又， ， ，， 又， ， 为等腰直角三角形， ②如图，延长至点，使得，连结，，， 为中点，同上“倍长中线”方法可得， ，， 设， ， ，， ，，， 分别过，作，，，为垂足， ， 设，，，， ，，， 解得， ， ， 故答案为：． 题型5：构造特殊三角形 5．（22-23八年级上·浙江台州·期末）在四边形中，，，，E为中点，连接，交于点F． (1)当时，______，_____； (2)当的大小改变时，的度数是否发生改变？若变化，求的变化范围，若不变，求的度数； (3)猜想之间的数量关系，并说明理由； (4)若，则_______． 【答案】(1)40°，20°； (2)不变， (3)，理由见解析； (4)． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求出的度数，根据，可以求出的度数； （2）连接，求出是等边三角形，分别表示出，即可求解； （3）如图，作，交于点G，求出是等边三角形，再证明，从而得出之间的数量关系； （4）根据，设，，结合（3）得出，再根据，由30度直角三角形性质得出，由此即可解题． 【解析】（1）∵，， ∴， 如图，连接 ∵，， ∴是等边三角形 ∴，， 又∵E为中点， ∴ ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）结论：不变， 证明：如图，连接  ， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵E为中点， ∴， ∵， ∴． ∴． （3）如图，作，交于点G ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴． （4）∵， ∴设，， ∵由（3）得：， ∴， ∵，E为中点， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的知识，解题的关键是根据题目的条件，证明出等边三角形，之后运用相关性质定理进行推论． 题型6：几何中列函数关系式 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F． (1)如图，当BP=BA时，∠EBF=______°，猜想∠QFC =______°； (2)如图，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明． (3)已知线段AB＝，设BP＝x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式． 【答案】（1）∠EBF=30°；  ∠QFC=60°；（2）∠QFC=60°．（3）（x＞0）． 【解析】试题分析：（1）∠EBF与∠ABE互余，而∠ABE=60°，即可求得∠EBF的度数；利用观察法，或量角器测量的方法即可求得∠QFC的度数； （2）根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，证明∠BAP=∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ，证得∠AEQ=∠ABP=90°，则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF； （3）过点F作FG⊥BE于点G，过点Q作QH⊥BC，根据△ABP≌△AEQ得到：设QE=BP=x，则QF=QE+EF=x+2．点Q到射线BC的距离y=QH=sin60°×QF=（x+2），即可求得函数关系式． 试题解析：（1）∵∠ABC=90°，∠BAE=60°， ∴∠EBF=30°； 则猜想：∠QFC=60°； （2）∠QFC=60°． ∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP， ∴∠BAP=∠EAQ 在△ABP和△AEQ中， ， ∴△ABP≌△AEQ （SAS）　 ∴∠AEQ=∠ABP=90° ∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°， ∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°； （3）在图1中，过点F作FG⊥BE于点G，过点Q作QH⊥BC于点H， ∵△ABE是等边三角形， ∴BE=AB=， 由（1）得∠EBF=30°，在Rt△BGF中， ∴FG=2，BF=4，∴EF=BF=4， ∵△ABP≌△AEQ，∴QE=PB=x，∴QF=QE+EF=x+4， 由（2）得∠QFC=60°，∴在Rt△QHF中，∠FQH=30°      即y关于x的函数关系式是：（x＞0） . 题型7：最值问题 7．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）如图1，为等腰直角三角形，，动点从出发沿线段向终点运动，连结，以为直角边向右作等腰直角，斜边与交于点，连结． (1)求证：； (2)如图2，过分别作于点于点．请探究：三条线段之间的数量关系； (3)在(2)的条件下，若，当等于多少时，的面积最大？并求出最大值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)当时，最大为1． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理； （1）先证明，进而根据，即可证明； （2）先证明，根据，证明，得出，，即可得证； （3）根据全等三角形的性质可得，又，则要使最大，只要使最小即可，当时，最小，此时，，，． 【解析】（1）解：证明：与均为等腰直角三角形 ，， ， 在与中， ； （2）， ， ， 又 ， 在与中， ， ； （3）， ， ， 要使最大，只要使最小即可， 当时，最小， 此时，，，， 当时，最大，最大为1． 题型8：新定义题 8．（20-21八年级上·浙江·期中）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． （1）概念理解：如图1，在和中，，说明和是共边直角三角形． （2）问题探究：如图2，和是共边直角三角形，E、F分别是、的中点，连结，求证． （3）拓展延伸：如图3，和是共边直角三角形，且，连结，求证：平分． 【答案】（1）见解析（2）见解析（2）见解析 【分析】（1）先求出BC的长，再根据勾股定理逆定理得到△BCD是直角三角形即可求解； （2）连接AE,DE，根据直角三角形斜边上的中线得到AE=DE，再根据等腰三角形三线合一即可求解； （3）作DN⊥AB，DM⊥AC的延长线于M点，证明△BDN≌△CDM，得到DN=DM，故可得到平分． 【解析】（1）∵在中， ∴BC= ∵ ∴BD2+CD2=25=BC2 ∴△BCD是直角三角形 ∴和是共边直角三角形． （2）如图，连接AE,DE， ∵E点是BC中点 ∴AE,DE分别是Rt△ABC和Rt△DBC斜边上的中线 ∴AE=BC，DE=BC， ∴AE=DE ∴△ADE是等腰三角形 ∵F点是AD中点 ∴EF⊥AD； （3）作DN⊥AB，DM⊥AC的延长线于M点， ∵∠BAC=90° ∴四边形ANDM是矩形 ∴∠NDM=90° ∴∠NDC+∠CDM=90° 又∠BDC=90° ∴∠NDC+∠BDN=90° ∴∠BDN= CDM ∵∠BND=∠CMD=90°，BD=CD ∴△BDN≌△CDM ∴DN=DM， ∴平分． 【点睛】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、掌握等腰三角形的三线合一及全等三角形的判定与性质，熟知勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型9：情景探究题 9．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）【基础练习】 （1）如图1，在等腰中，平分交于点D，于点E，求的长． 【类比探究】 （2）如图2，是的角平分线，，点E在上，．求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，点P是等边外一点，连结，恰好满足，平分交于点D，线段之间有什么关系？请作出猜测并进行证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是关键． （1）由勾股定理求得的长度，再证明，即可求解； （2）证明，则易得，从而求证； （3）在上找一点，使得．证明，则易得是等边三角形．即可证明猜测成立． 【解析】（1）解：是等腰直角三角形，， ． 平分， ． ， ． ． ． ． （2）证明：是的角平分线， ． ， ． ． ， ， ， ． （3）解： 证明如下： 在上找一点，使得． 是等边三角形，， ． ， ． ． 平分， ． ， 是等边三角形． ， ． 题型10：数学活动题 10．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）小王同学在学习完第二章《特殊三角形》后，剪了两张等腰直角三角形纸片，并将锐角顶点叠合放置成如图1所示图形，其中，连结后取中点，再连接和．探究与的位置及数量关系． 【初步探究】 （1）小王变化等腰的位置，使得点E落在上，如图2所示，请猜想与的位置及数量关系分别是______，______． 【深入探究】（2）小王同学思考：“在一般位置时，（1）中猜测的结论是否仍成立，能否给出证明？”他带着问题与同学展开合作交流，最后得到这样的证明方案：如图3所示，过点作的平行线交的延长线于点，连结，请根据以上思路完成猜想的证明． 【体验应用】（3）小王继续等腰变化的位置，如图4所示，点E在所在直线的上方，且．若，请利用猜想的结论求出的面积． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握全等三角形的判定定理内容是解题关键． （1）延长交于点，证可推出是等腰直角三角形，即可求解； （2）证得,，再证可推出是等腰直角三角形，即可求解； （3）作，求出，进而求出即可求解． 【解析】解：（1）延长交于点，如图所示： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴, ∵ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵， ∴， 故答案为：， （2）∵ ∴， ∵ ∴ ∴, 由题意得： ∵ ∴ ∵ ∴， ∴    ， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵， ∴，     （3）作，如图所示： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由猜想的结论可知：是等腰直角三角形 ∴ ∴ 题型11：一次函数—存在性问题 11．（22-23八年级上·浙江金华·期末）如图，已知，，C为y轴上的一个动点，连接，把线段分别绕着点O逆时针方向旋转得到，连接．    (1)求证：． (2)当时，求的面积． (3)在点C的运动过程中，是否存在为直角三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3)在点C的运动过程中，存在为直角三角形，此时点D的坐标为或或或 【分析】（1）根据旋转的性质得到，进而利用证明即可； （2）先求出，如图所示，过点F作轴于H，证明，得到，进而求出；如图所示，过点C作轴，过点A作，过点D作，垂足分别为M、N，同理可得，求出，则，即可得到； （3）如图3-1所示，当点C在x轴上方时，过点C作轴，过点A作，过点D作，垂足分别为M、N，设点C的坐标为，同理可证，可得到；如图3-2所示，当点C在x轴下方时，过点D作轴，同理可得，可得到，综上所述，当点C的坐标为时，点D的坐标为，同理可得，当点C的坐标为时，点F的坐标为，利用勾股定理得到，，，再分当时， 当时， 当时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【解析】（1）证明：由旋转的性质可得， ∴，即， ∴；    （2）解：∵，，， ∴， 如图所示，过点F作轴于H， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点C作轴，过点A作，过点D作，垂足分别为M、N， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴；    （3）解：如图3-1所示，当点C在x轴上方时，过点C作轴，过点A作，过点D作，垂足分别为M、N， 设点C的坐标为， 同理可证， ∴， ∴；    如图3-2所示，当点C在x轴下方时，过点D作轴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当点C的坐标为时，点D的坐标为， 同理可得，当点C的坐标为时，点F的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ， 当时，则由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 当时，则由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 当时，则由勾股定理得， ∴， ∴， 解得或， ∴或； 综上所述，在点C的运动过程中，存在为直角三角形，此时点D的坐标为或或或．    【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质等等，通过证明三角形全等从而确定点D和点F两点坐标与点C坐标之间的关系是解题的关键． 12．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，直线与和与x轴分别交于A、B两点，两直线交于点，G是与y轴的交点，点D为的中点，点E是线段上一个动点（不与点A和C重合），连接，并过点D作交于点F． (1)判断的形状，并说明理由． (2)当点E的横坐标为时，在x轴上找到一点P使得的周长最小，请求出点P的坐标． (3)当是等腰三角形时，求E点的坐标． 【答案】(1)为等腰直角三角形；理由见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）分别求出A、B、C三点坐标以及、、的长，即可得出的形状； （2）连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，证明，得出，证明，得出，求出，，得出，说明要使周长最小，即只需时最小， 作点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，求出的解析式为，求出即可； （3）连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，设点E的坐标为，点H的坐标为：，求出点F的坐标为：，得出，，，分三种情况：当时，当时，，当时，列方程求解即可． 【解析】（1）解：∵在上， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 则， ， ， 则，且， ∴为等腰直角三角形． （2）解：由题意知，即，连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴要使周长最小，即只需时最小， 作点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小， 设的解析式为，把、代入得： ， 解得：， ∴的解析式为，令，， ∴． （3）解：连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，如图所示： 根据解析（2）可知，，， 设点E的坐标为， ∴， ∴， ∴点H的坐标为：， ∴点F的坐标为：， 把代入代入得：， ∴， ∴， ， ， 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：或（舍去）； ∴； 当时，， 解得：（舍去）或， ∴； 综上分析可知，点E的坐标为：或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题目，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，轴对称最短问题等知识，两点间距离公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型12：一次函数—最值问题 13．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与y轴交于点B，直线交x轴正半轴于点C， ，点P是直线上的动点． (1)求直线的解析式． (2)若，求点P的坐标． (3)已知点Q在线段上，连结． ①若与全等，求线段的长； ②在P、Q的运动过程中，的最小值为 （直接写出答案）． 【答案】(1) (2)P坐标为或 (3)①4；② 【分析】（1）把点A代入直线可求出b的值，可求出直线解析式； （2）设，分两种情况：当P在延长线上时和当P在线段上时，结合，即可求解； （3）①根据当时，可得为中位线，从而得到． 当时，可得四边形是平行四边形，从而得到，进而得到向右平移两个长度单位为直线，的解析式，即可求解；②过O作的对称点，过O'作，连接，此时最小．过作轴．可得，从而得到，，，再由， 可得， 从而得到，进而得到 ，再由，即可求解． 【解析】（1）解：∵点在直线上， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：设， 当P在延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当P在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：P坐标为或． （3）解：①当时， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴为中位线， ∴． 当时， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵直线解析式为， ∴向右平移两个长度单位为直线解析式：， 同理，直线解析式为：， 联立得：， ∴点P的坐标为， 同理， ∴； ②过O作的对称点，过O'作，连接，此时最小． 过作轴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴R的纵坐标， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的综合知识，待定系数法求一次函数解析式，三角形中位线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 题型13：一次函数—取值范围问题 14．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称点P为的和谐点．    (1)在中，的和谐点是_______； (2)若点P为的和谐点，且，求点P的坐标； (3)直线l为过点且与x轴平行的直线，若直线l上存在的二个和谐点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)P的坐标为或 (3) 【分析】（1）根据各点的坐标分别求出相应线段的长度，根据定义即可进行判断； （2）由题意得，分类讨论当时和当时，两种情况即可求解； （3）由题意知，的和谐点P，满足或；根据若，则点P在线段的垂直平分线上，若，则点P在线段的垂直平分线上，即y轴上；即可求解； 【解析】（1）解：∵， ∴， ， ， ， ∴， ∴不是△ABC的和谐点； ∵， ∴，， ∴， ∵在内， ∴是的和谐点； ∵， ∴，， ∴ ∵在内， ∴是的和谐点； 故答案为：， （2）解：①由可知，当P在内部时，， ②当时，过P作轴于H，过A作于G，如图：    ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 设 ∵ ∴ 解得： ∴P ③当时，过A作交延长线于Q，如图：    ∵ ∴B，C关于y轴对称， ∵， ∴P在y轴上， 同②可得Q 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 在中，令得， ∴ 综上所述，P的坐标为或 （3）解：由题意知，的和谐点P，满足或， 若，则点P在线段的垂直平分线上， 若，则点P在线段的垂直平分线上，即y轴上； 设的中点为K，线段的垂直平分线交于T，如图，    设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设 ∵， ∴ 解得， ∴T， ∵线段的中点； 直线l上存在的两个和谐点， ∴直线l与y轴，线段都相交， ∴． 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了坐标与图形，一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质等知识点，正确理解定义是解题关键． 15．（23-24八年级上·浙江·期末）等腰，，，点A是y轴的正半轴上的动点，点B在x轴的正半轴上； (1)如图1，若，，求C点坐标； (2)如图2，如图，以为直角边在y轴的左边作等腰，，连接，试问A点在运动过程中与面积的比值是否会发生变化？如果没有变化，请求出．若变化，请说明理由． (3)如图3，点，E在x轴负半轴上的动点，且．以为边在第二象限作等腰，连接交轴于P点，问：在运动过程中的面积大小是否变化？若不变，请求出面积；若变化，请求出其取值范围． 【答案】(1) (2)不变     (3)不变，的面积为 【分析】（1）过点作于点，证明，得出，，进而即可求解； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，证明，得出，又，即可求解； （3）过点分别作轴的垂线，垂足分别为，同理可得，则，，证明，得出，根据得出，设，则，继而求得，即可求解． 【解析】（1）如果，过点作于点， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴； （2）如图，过点作的垂线，交的延长线于点， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 同理可得， 则，， ∵点， ∴， ∵轴，轴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵． ∴ ， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 题型14：一次函数—动点问题 16．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且． (1)的坐标为_________，线段的长为_________． (2)求直线的解析式和点的坐标． (3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连结． ①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②连结，当面积最大时，求的长度和的面积． 【答案】(1)， (2)， (3)①相等，不变，见解析，②， 【分析】（1）分别将、时，代入解析式，即可求出点、坐标，即可求解， （2）根据，可得，通过，，求直线的解析式，与联立方程组，即可求解， （3）①由已知可证，即可求解，②由，得到为定值，当最小时最大， 由，得：当时，取最小值，即可求解， 本题考查了，一次函数综合，三角形的面积，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：利用全等三角形，实现面积之间的等量代换． 【解析】（1）解：当时，直线， 当时，直线，解得：， ， ， 故答案为：，， （2）解：过点作交于点，交轴于点，且， ，， ， 设过点，，直线的解析式为：， 则：解得：， 直线的解析式为：， 、交于点， 解得：， ， 故答案为：， ， （3）解： ①， ，， ，， ， ， ， ， ，即线段与线段数量关系，保持不变， ②， ， ， ， ， ，即：， ， ， ， ， ，，， ，， ， ∴为定值， ， ∴要使最大，求最小即可， ， ∴当取最小值时，最小， ，，， ， 当时，取最小值， ，即：，解得：， 面积最小为， ， 故答案为：①相等，不变，见解析；②，． 17．（23-24八年级上·浙江·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过点作交于D，交轴于点E．且． (1)求B点坐标为 ；线段的长为 ； (2)确定直线解析式，求出点D坐标； (3)如图2，点M是线段上一动点（不与点C、E重合），交于点N，连接． ①点M移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②当面积最小时，求点M的坐标和面积． 【答案】(1)；3 (2)； (3)①线段与数量关系不变，，证明见解析；②，的面积最小为 【分析】（1）令求出y的值，即可求出点B的坐标；先求出点A的坐标即可求出的长； （2）根据求出点E的坐标，然后用待定系数法求解即可； （3）①先证明，根据全等三角形的判定和性质得出；②根据三角形的面积公式可得面积=，从而得到当最小时，的面积最小，则当时，最小，此时的面积最小，即可求解． 【解析】（1）解：当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 设解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴解析式为； 联立得：，解得：， ∴； （3）解：①线段与数量关系不变，，证明如下： ∵， ， ∴， ， ∴， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②由①得：， ∵， ∴的面积， ∴当最小时，的面积最小， ∴当时，最小，此时的面积最小， ∵， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 联立得：，解得， ∴； ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像的交点与二元一次方程组解的关系，以及全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握一次函数图像的交点与二元一次方程组解的关系是解答本题的关键． 题型15：一次函数—旋转问题 18．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，把线段AB绕点B顺时针旋转后得到线段BC，连结AC，OC． (1)当时，求点的坐标； (2)当m值发生变化时，△BOC的面积是否保持不变？若不变，计算其大小；若变化，请说明理由； (3)当S△AOB=2S△BOC时，在轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，求满足条件的所有P点的坐标． 【答案】(1)C（-4，-1） (2)不变；，理由见解析 (3)，，， 【分析】（1）先求出A，B两点坐标，再作CH⊥y轴于点H，求出△AOB≌△BHC，求出CH和OH的长度，即可得答案；   （2）由（1）可知当m值变化时，始终都有△AOB≌△BHC，根据三角形面积公式即可得答案； （3）设A为4m，由S△AOB=2S△BOC，求出m的值，得出OA和AB的值，然后分3种情况讨论，AP=AB，BP=AB，PA=PB，即可得答案． 【解析】（1） 解：如上图：作CH⊥y轴于点H， 当时，， ∵x=0时，y=4；y=0时，x=5； ∴A(5，0)，B（0，4）， ∵CH⊥y轴于点H， ∴∠AOB=∠BHC=∠ABC=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3 又∵AB=BC ∴△AOB≌△BHC， ∴BH=OA=5，CH=BO=4，OH=5-4=1， ∴C(-4，-1)； （2）当m值变化时，△BOC的面积不变， 因为始终都有△AOB≌△BHC，CH=BO=4 ； （3）设A（4m，0）， ∵，A(4m，0)，B（0，4）， 又∵S△AOB=2S△BOC时，， ∴m=2，OA=8，， 由上图可知： 当时， 在A的右侧，=+8，在A的左侧，=， ∴，0），，0）； 当时，，0）； 当时，作AB中垂线交x轴于P4，设P4（w，0） 由距离公式： 16w=48 w=3 ∴（3，0）． 【点睛】此题考查了一次函数的性质、三角形全等的判定与性质、一次函数与三角形面积的结合、等腰三角形的判定，解题的关键是等腰三角形的分类讨论． 题型16：一次函数—翻折问题 19．（23-24八年级上·浙江·期末）已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点；    (1)求点E的坐标和k的值； (2)如图2，点M是y轴上一动点，连接，将沿翻折，当A点对应点刚好落在x轴上时，求所在直线解析式； (3)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)点E的坐标为，k的值是2 (2)所在直线解析式为或 (3)存在，P的坐标为或 【分析】（1）把代入得，即得，把代入得； （2）分两种情况：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，由知，，设，则，在中，有，可解得，用待定系数法即得直线解析式为；②当的对应点在轴正半轴时，由，可知与重合，即，故的解析式为； （3）当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，证明，得，，设，有，从而可得，直线解析式为，解得；当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，同理可得． 【解析】（1）解：把代入得： ， 解得， ， 把代入得： ， 解得， 点的坐标为，的值是2； （2）解：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图：    由（1）知， 直线解析式为， 在中，令得， ，， ， ∴，，， ∴， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 设直线解析式为，把代入得： ， 解得， 直线解析式为； ②当的对应点在轴正半轴时，如图：     ， ， 与重合，即， 此时的解析式为； 综上所述，所在直线解析式为或； （3）解：在直线上存在点，使得，理由如下： 当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：   ， 是等腰直角三角形， ， ，， ∴， ，， 设， ，， ，，，， ， 解得， ， 由，可得直线解析式为， 解得， ； 当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：    同理可得， 由，可得解析式为， 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 题型17：一次函数—情景探究题 20．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，将等腰按如图放置，直角顶点在原点，若顶点落在点处．则的长为______；点的坐标为______（直接写结果）； （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰按如图放置，直角顶点在处，点，点为轴上一点．当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标； （3）拓展研究：如图3，在（2）的条件下，已知点，若点为射线上一动点，连结，在坐标轴上是否存在点，使是以为底边的等腰直角三角形．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】（1），；（2）点的坐标为或；（3）点坐标为或或． 【分析】（1）由可得，，，，证，，，因此； （2）同（1）求得，设，由，利用勾股定理列方程求解即可； （3）分三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质，以及一次函数的性质列式求解即可． 【解析】解：（1）如图1，作轴，轴．    ， ，，， ，， ， ，， ． 故答案为：，； （2）如图，过点作轴．设，    ∵，， ∴，， 同理， ∴，， ∴， ∴， 由题意得，即， ∴， 解得， ∴点的坐标为或； （3）∵，， ∴设的解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为， 当点在x轴上的如图位置时， 设，作轴，轴，垂足分别为，    同理，， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 解得， ∴点坐标为； 当点在x轴上的如图位置时， 设，作轴，轴，垂足分别为，    同理，， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 解得， ∴点坐标为； 当点在y轴上的如图位置时， 设，作轴，轴，垂足分别为，    同理，， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 解得， ∴点坐标为； 综上，点坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 题型18：一次函数—证明数量关系 21．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴正半轴的夹角为，点B为l上任意一点，点在x轴正半轴上．以为边作等边三角形，交于点D．    (1)若，时，则__________． (2)当，时，求： ①的长度； ②点C的坐标． (3)如图2，延长交y轴于点E，连结．求证：． 【答案】(1) (2)①，； (3)见解析 【分析】（1）本题根据等边三角形性质得到，根据，推出，结合直线l与x轴正半轴的夹角为，证明，得到，再利用30度所对的直角边等于斜边一半，求出，最后进行等量代换即可解题． （2）①本题作于点，根据30度所对的直角边等于斜边一半，得到，再结合勾股定理求出、，最后根据，即可解题． ②本题作轴于点，证明，根据全等三角形性质得到，，推出，即可解题． （3）本题作于点，作轴于点，作轴于点，得到四边形为矩形，由（2）同理可证，得到，根据垂直平分线性质得到，再结合三角形外角性质和三角形内角和，推出，证明，得到，最后根据进行等量代换，即可解题． 【解析】（1）解：等边三角形， ，， ， ， 直线l与x轴正半轴的夹角为，即， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：． （2）解：①作于点，    ，即， ， ， ， ， ， ; ②作轴于点，    有，， ， ， ， ，， ， 点C的坐标为． （3）解：作于点，作轴于点，作轴于点，    ， ， 由上述条件易知，四边形为矩形， ， 由（2）同理可证， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形性质、30度所对的直角边等于斜边一半、勾股定理、全等三角形的性质和判定、垂直平分线性质、矩形的性质和判定、解题的关键在于作辅助线构造直角三角形和全等三角形，再结合相关性质即可解题． 题型19：一次函数—根据数量关系或位置关系求长度 22．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，，且点C在第一象限内． (1)如图1，若，求点C的坐标． (2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的2倍时，求的长． 【答案】(1)点C的坐标为 (2)点C，D之间的距离是为定值，定值为4，理由见解析 (3) 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定及性质，添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． （1）过点C作轴于点，利用互余可证，进而利用可证明，可得，，由，可得点的坐标； （2）连结，利用互余可证，进而利用可证明，可得，即可得结论； （3）过点C作轴于点F，由（1）可知，，得，结合题意可知，，再证，得， 根据，，可得，即，得，根据即可求解． 【解析】（1）解：过点C作轴于点， ， ， ， ， 在和中，， ， ，． ， ∴点C的坐标为． （2）点C，D之间的距离是为定值，理由如下： 连结， ， ， 在和中，， ． ， 即：点C，D之间的距离是为定值； （3）过点C作轴于点F，由（1）可知，， ， ， ，． ，，， ， ， ， 由题可知， ， ． ， ． 23．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图1，直线分别与轴，轴交于点两点，为线段上的动点，点关于直线成轴对称，连结． (1)求直线的解析式． (2)如图2，连结并延长交于点，若，求点的坐标． (3)如图3，点是的中点，连结，当与中的一条边平行时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）设直线的解析式为，将代入，利用待定系数法求解； （2）过点E作，垂足为点E．根据轴对称的性质可得，推出，进而证明，可得，结合（1）中所求解析式即可求解； （3）分，，三种情况，当，时，通过添加辅助线构造矩形、直角三角形，根据勾股定理列方程，即可求解；当时，延长交x轴于点K，设，通过轴对称可得，通过导角证明，进而证明，再根据平行线分线段成比例定理的推论证明，可得，由此列关于x的方程，即可求解． 【解析】（1）解：设直线的解析式为， 将两点的坐标代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：如图，过点E作，垂足为点E． ∵点C，O关于直线成轴对称， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即D点的纵坐标为5， 将代入直线方程中，得：， 解得， ∴点D的坐标是； （3）解：，点是的中点， ，，． 分三种情况： 当时，如图，延长交y轴于点M，过点C作轴于点N， ∵，，轴， ， 四边形是矩形， ∵，轴，， ， 设，则， ∵点C，O关于直线成轴对称， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，即； 当时，如图，延长交x轴于点H，过点P作于点G，易证四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵点C，O关于直线成轴对称， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得，即； 当时，如图，延长交x轴于点K， 设，则， ∵点C，O关于直线成轴对称， ∴，， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∵在中，点是的中点，， ∴， ∴， ∴， 解得，即； 综上可知，的长为或或． 【点睛】本题考查求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，矩形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行线分线段成比例定理的推论等，涉及知识点较多，特别是第3问，有一定难度，解题的关键是正确添加辅助线，注意分类讨论． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$