21.1一元二次方程 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

博雅君子，知行合一 第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 学习目标 1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点） 学习目标 新课导入 1.下列式子哪些是方程？ 2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18 没有未知数 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 新课导入 2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 想一想：什么叫一元二次方程呢？ 主问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 100cm 50cm 3600cm2 讲授新课 第一学程 一元二次方程的概念 自学学法指导 1、阅读课本第二页 2、剪去的小正方形边长为多少？ 3、剩下的图形面积如何计算？ 4、独立思考，不与组员讨论； 5、请将你得出的结论记录在练习本上或课本上。 主问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 100cm 50cm 3600cm2 讲授新课 第一学程 一元二次方程的概念 1、按4号、3号、2号、1号的顺序依次分享，交流自己的心得。 2、组内再次质疑——讨论，得出最终结论。 3、组长做好任务分配，准备展学。 互学学法指导 主问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 100cm 50cm 3600cm2 讲授新课 第一学程 一元二次方程的概念 展学学法指导 1、上台展示的同学抬头挺胸，大方得体， 声音洪亮，语言流畅，手势运用得体； 2、小组汇报后，师生共同质疑，进行补充。 第一学程 认识三角形 师生展导 解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（100－2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据方盒的底面积为3600cm2,得： 化简，得 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 8 主问题2:要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 第一学程 一元二次方程的概念 自学学法指导 1、阅读课本第二页 2、每两队之间是否重复赛过一场？ 3、独立思考，不与组员讨论； 4、请将你得出的结论记录在练习本上或课本上。 主问题2:要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 第一学程 一元二次方程的概念 1、按4号、3号、2号、1号的顺序依次分享，交流自己的心得。 2、组内再次质疑——讨论，得出最终结论。 3、组长做好任务分配，准备展学。 互学学法指导 主问题2:要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 第一学程 一元二次方程的概念 展学学法指导 1、上台展示的同学抬头挺胸，大方得体， 声音洪亮，语言流畅，手势运用得体； 2、小组汇报后，师生共同质疑，进行补充。 师生展导 解：根据题意，列方程： 化简，得： 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 第一学程 一元二次方程的概念 12 问题3 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？ 32 20 x 第一学程 一元二次方程的概念 自学学法指导 1.若设小路的宽是xm，那么横向小路的面______m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2. 2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？ 问题3 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？ 32 20 x 第一学程 一元二次方程的概念 1、按4号、3号、2号、1号的顺序依次分享，交流自己的心得。 2、组内再次质疑——讨论，得出最终结论。 3、组长做好任务分配，准备展学。 互学学法指导 问题3 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？ 32 20 x 第一学程 一元二次方程的概念 展学学法指导 1、上台展示的同学抬头挺胸，大方得体， 声音洪亮，语言流畅，手势运用得体； 2、小组汇报后，师生共同质疑，进行补充。 师生展导 第一学程 一元二次方程的概念 (20-x)(32-2x)=570 32 20 32-2x 20-x 16 方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2. x2-36x＋35=0 ③ 第一学程 一元二次方程的概念 师生展导 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0) ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式是 第一学程 一元二次方程的概念 师生展导 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 少了限制条件 a≠0 提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 第一学程 一元二次方程的概念 对应练习 判断下列方程是否为一元二次方程？ (2) x3+ x2=36 (3)x+3y=36 (5) x+1=0         (1) x2+ x=36 第一学程 一元二次方程的概念 对应练习 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 21 例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程. 第一学程 一元二次方程的概念 对应练习 变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程 （2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程 第一学程 一元二次方程的概念 例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10. 系数和项均包含前面的符号. 注意 第一学程 一元二次方程的概念 一元二次方程的根 第二学程 一元二次方程的根 自学学法指导 1、阅读课本第三页 2、什么叫一元二次方程的根？ 3、独立思考，不与组员讨论； 4、请将你得出的结论记录在练习本上或课本上。 一元二次方程的根 第二学程 一元二次方程的根 展学学法指导 1、上台展示的同学抬头挺胸，大方得体， 声音洪亮，语言流畅，手势运用得体； 2、小组汇报后，师生共同质疑，进行补充。 一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）. 第二学程 一元二次方程的根 师生展导 例4：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值. 解：由题意得 第二学程 一元二次方程的根 对应练习 当堂练习 1. 下列哪些是一元二次方程？ √ × √ × × √ 3x+2=5x-2 x2=0 (x+3)(2x-4)=x2 3y2=(3y+1)(y-2) x2=x3+x2-1 3x2=5x-1 第二学程 一元二次方程的根 2.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 第二学程 一元二次方程的根 30 4.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值为_______． 3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k 　　　时，是一元二次方程． 当k 　　　时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－1 4.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）. 解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为 3x2 cm2. 整理，得 根据题意有， 200cm 150cm (2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x 整理，得 根据题意有， 5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9 6.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0 有一个根为0，求m的值. 二次项系数不为零不容忽视 解：将x=0代入方程m2-4=0， 解得m= ±2. ∵ m+2 ≠0， ∴ m ≠-2， 综上所述：m =2. 35 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意得 思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? 解：由题意得 ∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1. 2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? x=2 课堂小结 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2. 一般形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件； 根 使方程左右两边相等的未知数的值. 课堂小结 $$